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2019年江苏省高考数学试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 17:32
tags:江苏高中数学

高中数学成绩退步原因-高中数学连贯性大吗

2020年9月20日发(作者:万方澍)


2019年江苏省高考数学试卷

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分 ,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置
上.
1.已知集合
A?{?1
,0,1,
6}

B?{x|x?0

x?R}
,则A
3.如图是一个算法流程图,则输出的
S
的值是 .
B?

2.已知复数
(a?2i)(1?i)
的实部为0,其中
i
为虚 数单位,则实数
a
的值是 .

4.函数
y?7?6x?x
的定义域是 .
2
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .
6.从 3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少
有1名女同学的概率 是 .
y
2
7.在平面直角坐标系
xOy
中,若双曲线
x?
2
?1(b?0)
经过点
(3,4)
,则该双曲线的渐近
b
线方程是 .
2
8.已知数列
{a
n
}(n?N< br>*
)
是等差数列,
S
n
是其前
n
项和.若< br>a
2
a
5
?a
8
?0

S
9
?27
,则
S
8

值是 .
9.如图,长方 体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积是120,
E

CC
1
的中点,则三棱锥
E?BCD

体积是 .
4
10.在平面直角坐标系
xOy
中,< br>P
是曲线
y?x?(x?0)
上的一个动点,则点
P
到直线< br>x
x?y?0
的距离的最小值是 .

11.在平面直角坐标系< br>xOy
中,点
A
在曲线
y?lnx
上,且该曲线在点
A
处的切线经过点
(?e

,则点
A
的坐标是 . ?1)(e
为自然对数的底数)
12.如图,在
?ABC
中,
D

BC
的中点,
E
在边
AB
上,
BE?2 EA

AD

CE
交于点
O
.若
第1页( 共21页)


ABAC?6AOEC
,则
AB
的值是 .
AC
13.已知
2
?
??
,则
sin(2
?
?
)
的值是 .
?
3
4
tan(
?
?)
4
tan
?

14.设
f(x)

g(x )
是定义在
R
上的两个周期函数,
f(x)
的周期为4,
g (x)
的周期为2,且
?
k(x?2),0?x
?
1,
?< br>当
x?(0

其中
k?0
.若
f(x)
是奇 函数.
2]
时,
f(x)?1?(x?1)

g(x)?
?
1
?,1?x
?
2,
?
?2
2
在区间(0

9]
上,关于
x
的方程
f(x)?g(x)有8个不同的实数根,则
k
的取值范围是 .
二、解答题:本大题共6小题, 共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
1 5.(14分)在
?ABC
中,角
A

B

C的对边分别为
a

b

c

2
(1 )若
a?3c

b?2

cosB?
,求
c
的值;
3
?
sinAcosB
(2)若
,求
sin(B ?)
的值.
?
2
a2b
16.(14分)如图,在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
D

E
分别为
BC

AC
的中点,
AB?BC
. < br>求证:(1)
A
1
B
1

平面
DEC
1

(2)
BE?C
1
E

x
2y
2
17.(14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点为
ab
F< br>1
(?1,0)

F
2
(1,0)
.过
F< br>2

x
轴的垂线
l
,在
x
轴的上方,1与圆
F
2
:(x?1)
2
?y
2
?4a
2交于

A
,与椭圆
C
交于点
D
.连结
AF
1
并延长交圆
F
2
于点
B
,连结
BF
2
交椭圆
C
于点
E
,连
5

DF
1
.已知
DF
1
?

2
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)求点
E
的坐标.

第2页(共21页)



18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为
O
的圆,湖 的一侧有一条直线型公路
l
,湖上有

AB(AB
是圆
O< br>的直径),规划在公路
l
上选两个点
P
、并修建两段直线型道路
PB

QA

Q

规划要求:线段
PB

QA
上的所有点到点
O
的距离均不小于圆
O
的半径.已知 点
A

B

直线
l
的距离分别为
AC
BD(C

D
为垂足),测得
AB?10

AC?6

BD?12
(单位:
百米).
(1)若道路
P B
与桥
AB
垂直,求道路
PB
的长;
(2)在规划要求下 ,
P

Q
中能否有一个点选在
D
处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路
PB

QA
的长度均为
d
( 单位:百米),求当
d
最小时,
P

Q
两点间的距离.

19.(16分)设函数
f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)
,< br>a

b

c?R

f?(x)

f (x)
的导函数.
(1)若
a?b?c

f
(4)
?8
,求
a
的值;
(2)若
a?b

b?c< br>,且
f(x)

f?(x)
的零点均在集合
{?3
, 1,
3}
中,求
f(x)
的极小值;
4
(3)若
a?0

0?b?1

c?1
,且
f(x)
的极大 值为
M
,求证:
M?

27
20.(16分)定义首项为 1且公比为正数的等比数列为“
M?
数列”.
(1)已知等比数列
{an
}(n?N
*
)
满足:
a
2
a
4< br>?a
5

a
3
?4a
2
?4a
1< br>?0
,求证:数列
{a
n
}
为“
M?
数列” ;
(2)已知数列
{b
n
}(n?N
*
)
满足:
b
1
?1

①求数列
{
b
n
}< br>的通项公式;
②设
m
为正整数,若存在“
M?
数列” {c
n
}(n?N
*
)
,对任意正整数
k
,当
k?m
时,都有
c
k
剟b
k
c
k?1成立,求
m
的最大值.
122
,其中
S
n
为 数列
{b
n
}
的前
n
项和.
??
Sn
b
n
b
n?1
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定 其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
?
31
?
21.(10分)已知矩阵
A?
??

?
22
?
第3页(共21页)


(1)求
A
2

(2)求矩阵
A
的特征值.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
?
?
?22.(10分)在极坐标系中,已知两点
A
(3,)

B(2

)
,直线1的方程为
?
sin(
?
?
)
?
3

4
24
(1)求
A

B
两点间的距离;
(2)求点
B
到直线
l
的距离.
C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
23.设
x?R
,解不等式
|x|?|2x?1|?2

【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答
时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.
2
?2a
2
a
4
. < br>24.(10分)设
(1?x)
n
?a
0
?a
1x?a
2
x
2
???a
n
x
n
n…4

n?N*
.已知
a
3
(1)求
n的值;
(2)设
(1
?
3)
n
?a?b
3< br>,其中
a

b?N*
,求
a
2
?3b
2
的值.
25.(10分)在平面直角坐标系
xOy
中,设点集
A
n
?
{(0,0)

(1,0)

(2,0)< br>,
?

(n,0)}

B
n
?{(0,1)


(n,1)}

C
n
?
{(0,2)

(1,2)

(2,2)

??

(n ,2)}

n?N*
.令
M
n
?A
n
集合
M
n
中任取两个不同的点,用随机变量
X
表示它们之间的距离.
(1)当
n?1
时,求
X
的概率分布;
(2)对给定的正整数
n(n…

3)
,求概率
P(X? n)
(用
n
表示)
B
n
C
n
.从
第4页(共21页)



2019年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请 把答案填写在答题卡相应位置
上.
1.已知集合
A?{?1
,0,1,6}

B?{x|x?0

x?R}
,则
A
【 思路分析】直接利用交集运算得答案.
【解析】:
?A
B?

{1

6}

A?{?1
,0,1,
6}
B?{x|x?0

x?R}

B?{?1
,0, 1,
6}{x|x?0

x?R}?{1

6}
.故答案为 :
{1

6}

【归纳与总结】本题考查交集及其运算,是基础题.
2.已知复数
(a?2i)(1 ?i)
的实部为0,其中
i
为虚数单位,则实数
a
的值是 2 .
【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的
a
值.
【解析】:
(a?2i)(1?i)?(a?2)?(a?2)i
的实部为0,
?a?2?0
,即
a?2
.故答案为:2.
【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
3.如图是一个算法流程图,则输出的
S
的值是 5 .

【思路 分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S

值 ,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解析】:模拟程序的运行,可得
x?1

S?0

S?0.5

4
,执行循环体,
x?2

S?1.5
不满足条件
x…
4
,执行循环体,
x?3

S?3
不满足条件
x…
4
,执行循环体,
x?4

S?5
不满足条件
x…
4
,退出循环,输出
S
的值为5. 此时,满足条件
x…
故答案为:5.
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题 ,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便
得出正确的结论,是基础题.
第5页(共21页)


4.函数
y?7?6x?x
2
的定义域是
[?1

7]

【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.
【解析】:由
7?6x?x
2

x7

0
,得
x
2
?6x?7?0
,解得:
?1剟
?
函数
y?7?6x?x
2
的定义域是
[?1

7]
.故 答案为:
[?1

7]

【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 2 .
【思路分析】先求出一组数据6,7,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.
【解析】:一组数据6,7,8,9,10的平均数为:
1
x?(6?7?8?9?10)?8

5
?
该组数据的方差为:
1
S
2
?[(6?8)
2
?(7?8)
2
?(8?8)
2
?(9?8)
2
?(10?8)
2
]?2

5
故答案为:2.
【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算
求解能力,是 基础题.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少< br>7
有1名女同学的概率是 .
10
【思路分析】基本事件总数
n? C
5
2
?10
,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本
11 2
C
2
?C
2
?7
,由此能求出选出的2名同学中至少有1 名女同学的概率.
事件个数
m?C
3
【解析】:从3名男同学和2名女同学 中任选2名同学参加志愿者服务,
基本事件总数
n?C
5
2
?10

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:
112
m?C
3
C
2
?C
2
?7

?
选出的2名同学中 至少有1名女同学的概率是
p?
m7
?

n10
7

10
【归纳与总结】本题考查概率的求法,考查古典概 型、排列组合等基础知识,考查运算求解
故答案为:
能力,考查数形结合思想,是基础题. < br>y
2
7.在平面直角坐标系
xOy
中,若双曲线
x?
2
?1(b?0)
经过点
(3,4)
,则该双曲线的渐近
b
线方程是
y??2x

2
【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程 ,求得
b
,则双曲线的渐近线方程可求.
y
2
【解析】:双曲线< br>x?
2
?1(b?0)
经过点
(3,4)

b16
?
3
2
?
2
?1
,解得
b
2
?2
,即
b?2

b

a?1
,< br>?
该双曲线的渐近线方程是
y??2x

2
故答案为:
y??2x

【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.
第6页(共21页)


8.已知数列
{a
n
}(n?N
*
)
是等差数列,
S
n
是其前
n项和.若
a
2
a
5
?a
8
?0
S
9
?27
,则
S
8

值是 16 . 【思路分析】设等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,公差为
d
,由已知列关于首项与公差的方程组,
求解首项与公差,再由等 差数列的前
n
项和求得
S
8
的值.
【解析】:设等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,公差为
d

?
(a
1
?d)(a
1
?4d)?a
1
?7d?0
?
a
1
??5
?

?,解得.
?
9?8
d?2
9a?d?27
?
1
?
?2
8?7d
?
S
8
?8a
1
??6 ?(?5)?15?2?16

2
故答案为:16.
【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前
n
项和,是基础题.
9.如图,长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积是120,
E

CC
1
的中点,则三 棱锥
E?BCD

体积是 10 .

?AB?BC?DD
1
?120
,三棱锥
E?BCD
的体积:
【思路分析】推导出V
ABCD?A
1
BC
1
D
11
1111V
E?BCD
??S
?BCD
?CE???BC?DC?CE??AB? BC?DD
1
,由此能求出结果.
33212
【解析】:长方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积是12 0,
E

CC
1
的中点,
?
V
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
?AB?BC?DD
1
?120

?
三棱锥
E?BCD
的体积:
1
V
E?BCD
??S
?BCD
?CE

3
11
???BC?DC?CE

32
1
??AB?BC?DD
1

12
?10

故答案为:10.

【归纳与总结】本题 考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基
础知识,考查运算求解能力,考查 数形结合思想,是中档题.
4
10.在平面直角坐标系
xOy
中,
P
是曲线
y?x?(x?0)
上的一个动点,则点
P
到直线
x
第7页(共21页)


x?y?0
的距离的最小值是 4 .
4
【思路分析】利用导数求平行于
x?y?0
的直线与曲线
y? x?(x?0)
的切点,再由点到直
x
线的距离公式求点
P
到直线< br>x?y?0
的距离的最小值.
44
【解析】:由
y?x?(x?0)
,得
y??1?
2

xx
4
4
设斜率为
?1
的直线与曲线
y?x?(x?0)
切于
(x
0

x
0
?)

x
0
x

1?< br>4
??1
,解得
x
0
?2(x
0
?0)
x
0
2
4
(x?0)
上,点
P(2,32 )
到直线
x?y?0
的距离最小,
x
|2?32|
最小值为
?4

2
?
曲线
y?x?
故答案为:4.
【归纳与总结】本题考 查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式
的应用,是中档题.
11 .在平面直角坐标系
xOy
中,点
A
在曲线
y?lnx
上, 且该曲线在点
A
处的切线经过点
(?e

,则点
A
的坐标是
(e,1)

?1)(e
为自然对数的底数)
【思路 分析】设
A(x
0

lnx
0
)
,利用导数求得曲 线在
A
处的切线方程,代入已知点的坐标求

x
0
即可.
【解析】:设
A(x
0

lnx
0
)
,由
y?lnx
,得
y??
?
y?|
x?x
0
?
1

x
1
1
,则该曲线在点
A
处的切 线方程为
y?lnx
0
?(x?x
0
)

x
0
x
0
e
?1

x
0
切线经过点
(?e,?1)

?
?1?lnx
0
??
lnx
0
?
e
,则
x
0
?e

x
0
?A
点坐标为
(e,1)

故答案为:
(e,1)

【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某 点处的切线方程,区分过点处与在点处的
不同,是中档题.
12.如图,在
?ABC
中,
D

BC
的中点,
E
在边
AB
上,
BE?2EA

AD

CE
交于点
O
.若
AB
ABAC?AOE6C
,则
的值是
3

AC

【思路分析】首先算出
AO?
1
AD
,然后 用
AB

AC
表示出
AO

EC
,结合< br>2
第8页(共21页)


ABAC?6AOEC
得< br>22
13
AB?AC
,进一步可得结果.
22
【解析】:设
AO?
?
AD?
(
AB?AC
)

2< br>AO?AE?EO?AE?
?
EC?AE?
?
(AC?AE)

1?
?
?(1?
?
)AE?
?
AC?AB?
?
AC

3
1
?
?
?
1?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
2
2
3< br>?
?

?
?

1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?4
?2
11?
AO?AD?(AB?AC)

24
1
EC?AC?AE??AB?AC

3
11
6AOEC?6?(AB?AC)?(?AB?AC)

43
22
312
?(?AB?ABAC?AC)

233
22
13
??AB?ABAC?AC

22
22
13
ABAC??AB?ABAC?AC

22
2
?
22
AB
13
?3

?
AB?AC

?
2
22
AC
AB
??3

AC
故答案为:
3

【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.
1 3.已知
2
?
??
,则
sin(2
?
?
)
的值是
?
3
4
tan(
?
?)
4
tan
?
2

10
【思路分析】由已知求得
tan< br>?
,分类利用万能公式求得
sin2
?

cos2
?
的值,展开两角和
的正弦求
sin(2
?
?
)
的值 .
4
tan
?
2
tan
?
2
??
,得
??
, 【解析】:由
?
?
3
3
tan(< br>?
?)
tan
?
?tan
4
4
?
1 ?tan
?
tan
4
1
tan
?
(1?tan?
)2
?
??
,解得
tan
?
?2

tan
?
??

3
1?tan
?
31?tan
2
?
3
2tan
?
4

t an
?
?2
时,
sin2
?
?
,,
co s2
?
???
?
2
1?tan
?
5
1?t an
2
?
5
???
42322

?sin(2< br>?
?)?sin2
?
cos?cos2
?
sin?????< br>444525210
2
1?tan
?
4
1
2tan< br>?
3

tan
?
??
时,
sin2
?
?

cos2
?
??

??
2
2
1?tan
?
5
3
1?tan
?
5
第 9页(共21页)

?


???
32422
?sin(2
?
?)?sin2
?
cos?cos2
?
sin??????
444525210
2
?
综上,
sin(2?
?
)
的值是

10
4
2
故答案为:.
10
【归纳与总结】本题考查三角 函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公
式的应用,是基础题.
14.设
f(x)

g(x)
是定义在
R
上的两个周期函数,
f(x)
的周期为4,
g(x)
的周期为2,且
?
k(x?2), 0?x
?
1,
?

x?(0

其中
k?0
.若
f(x)
是奇函数.
2]
时,
f(x)?1?(x?1 )

g(x)?
?
1
?,1?x
?
2,
?
?2
1
在区间
(0

9]
上,关于
x的方程
f(x)?g(x)
有8个不同的实数根,则
k
的取值范围是
[

3
1
)

22
【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.
2
【解析】:作出函数
f(x)

g(x)
的图象如图,
1
由图可知,函数
f(x)

g(x)??(1?x?2

3?x?4

5?x?6

7?x?8)
仅有2个实数根;
2
要使关于
x
的方程
f(x)?g(x)
有8个不同的实数 根,


f(x)?1?(x?1)
2

x?(0

2]

g(x)?k(x?2)

x?(0

1]
的图象有2个不同交点,

(1,0)
到直线
kx?y?2k ?0
的距离为1,得
1
两点
(?2,0)

(1,1)连线的斜率
k?

3
11
?
?k?

3
22
1
1
)
. 即
k
的取值范围为[

3
22
1
1
)
. 故答案为:
[

3
22
|3k|
k?1
2
?1
,解得< br>k?
1
22
(k?0)

【归纳与总结】本题考查函数零点 的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思
想方法,是中档题.
第10页(共21页)


二、解答题:本大题共6小题,共计90分 .请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14 分)在
?ABC
中,角
A

B

C
的对边 分别为
a

b

c

2
(1)若
a?3c

b?2

cosB?
,求
c
的值;
3
?
sinAcosB
(2)若
,求
sin(B?)
的值.
?
2
a2b
a
2
?c
2
?b< br>2
10c
2
?22
【思路分析】(1)由余弦定理得:
cos B???
,由此能求出
c
的值.
2ac6c
2
3
sinAcosB
(2)由
,利用正弦定理得
2sinB?cosB
,再由< br>sin
2
B?cos
2
B?1
,能求出
?
a 2b
525
?

cosB?
,由此利用诱导公式能求出
si n(B?)
的值.
sinB?
55
2
【解析】:(1)在
?ABC
中,角
A

B

C
的对边分别为
a

b

c

2
a?3c

b?2

cosB?

3
?
由余弦定理得:
a
2
?c
2
?b< br>2
10c
2
?22
cosB???

2ac6c
2
3
3
解得
c?

3
sinAcosB
(2)

?
a2b
sinAsinBcosB
?
由正弦定理得:,
??
ab2b
?2sinB?cosB

sin
2
B?cos
2
B?1

?sinB?
525

cosB?

55
?
25

?sin(B?)?cosB?
25
【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导
公式、同角 三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.
16.(14分)如图,在直三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
D

E
分别为
BC

AC
的中点,
AB?BC
求证:(1)
A
1
B
1

平面
DE C
1

(2)
BE?C
1
E


第11页(共21页)


【思路分析】(1)推导出
DEA B

ABA
1
B
1
,从而
DEA
1
B
1
,由此能证明
A
1
B
1

平面
DEC
1

(2)推导出
BE?AA
1

BE ?AC
,从而
BE?
平面
ACC
1
A
1
, 由此能证明
BE?C
1
E

【解答】证明:(1)在直三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
中,
D
E
分别为
BC

AC
的中点,
?DEAB

ABA
1
B
1

?DEA
1
B
1

DE?
平面
DEC
1

A
1
B
1
?
?
平面
DEC
1

?A
1
B
1

平面
DEC
1
. < br>解:(2)在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
E

AC
的中点,
AB?BC

?BE?AA
1

BE?AC


AA
1
AC?A

?BE?
平面
ACC
1
A
1

C
1
E?
平面
ACC
1
A
1

?BE?C
1
E


【归纳与总结】本题考查 线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识,考查运算求解能力 ,考查数形结合思想,是中档题.
x
2
y
2
17.(14分)如图 ,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C:
2
?
2
? 1(a?b?0)
的焦点为
ab
F
1
(?1,0)

F
2
(1,0)
.过
F
2

x
轴的垂线
l
,在
x
轴的上方,1与圆
F
2
:(x?1)2
?y
2
?4a
2
交于

A
,与椭圆
C
交于点
D
.连结
AF
1
并延长交圆
F< br>2
于点
B
,连结
BF
2
交椭圆
C
于 点
E
,连
5

DF
1
.已知
DF
1
?

2
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)求点
E
的坐标.

【思路分析】(1)由题意得到
F
1
DBF
2
,然后求
AD
,再由
AD?DF1
?
方程可求;
第12页(共21页)

5
求得< br>a
,则椭圆
2


(2)求出
D
的坐标,得到k
BF
2
?k
DF
1

E
的坐标.
3
3
?
2
?
,写出
BF
2
的方程 ,与椭圆方程联立即可求得
24
【解析】:(1)如图,
F
2
A?F
2
B

??F
2
AB??F
2
BA

F
2
A?2a?F
2
D?DA?F
2
D?F
1
D

?AD?F
1
D
,则
?DAF1
??DF
1
A

??DF
1
A??F2
BA
,则
F
1
DBF
2

x
2
y
2
?1

c?1

?b ?a?1
,则椭圆方程为
2
?
2
aa?1
22
a? 1a?1a
2
?1

x?1
,得
y
D
?< br>,则
AD?2a?

?
aaa
2
a?15
5

DF
1
?

?
?
,解得
a? 2(a?0)

a2
2
x
2
y
2
?椭圆
C
的标准方程为
??1

43
3
(2) 由(1)知,
D(1,)

F
1
(?1,0)

2
3
3
3
?
k
BF
2
?k
DF< br>1
?
2
?
,则
BF
2
:y?(x?1)
24
4
3
?
y?(x?1)
?
?
4
联立
?
2
,得
21x
2
?18x?39?0
2
?
x
?
y
?1
?
3
?
4
13
解得
x
1
??1

x
2< br>?
(舍
)

7
3
?
y
1
??

2
3
即点
E
的坐标为
(?1,?)

2
22

【归纳与总结】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查 计算能力,证明
DF
1
BF
2
是解答该题的关键,是中档题. 18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为
O
的圆,湖的一侧有一条直线型公路
l
,湖上有

AB(AB
是圆
O
的直径),规划在公路< br>l
上选两个点
P
、并修建两段直线型道路
PB

QA

Q

规划要求:线段
PB

QA
上的所 有点到点
O
的距离均不小于圆
O
的半径.已知点
A

B

直线
l
的距离分别为
AC

BD(C

D
为垂足),测得
AB?10

AC?6

B D?12
(单位:
第13页(共21页)


百米). (1)若道路
PB
与桥
AB
垂直,求道路
PB
的长;
(2)在规划要求下,
P

Q
中能否有一个点选在
D
处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路
PB

QA
的长 度均为
d
(单位:百米),求当
d
最小时,
P

Q
两点间的距离.

【思路分析】(1)设
BD
与圆
O交于
M
,连接
AM
,以
C
为坐标原点,
l
x
轴,建立直角
坐标系,则
A(0,?6)

B(? 8,?12)

D(?8,0)

设点
P(x
1

0)

PB?AB
,运用两直线垂直的条件:斜率之积为
?1
,求得
P
的坐标,可得
所求值;
(2)当
QA?AB
时 ,
QA
上的所有点到原点
O
的距离不小于圆的半径,设此时
Q(x< br>2

0)

运用两直线垂直的条件:斜率之积为
?1
,求得
Q
的坐标,即可得到结论;
9
(3)设
P(a,0)

Q(b,0)
,则
a??17

b…?
,结合条件,可 得
b
的最小值,由两点的距
2
离公式,计算可得
PQ
. < br>【解析】:设
BD
与圆
O
交于
M
,连接
AM

AB
为圆
O
的直径,可得
AM?BM

即有
DM?AC?6

BM?6

AM?8
, < br>以
C
为坐标原点,
l

x
轴,建立直角坐标系,则< br>A(0,?6)

B(?8,?12)

D(?8,0)
< br>(1)设点
P(x
1

0)

PB?AB


k
BP
k
AB
??
1

0?(?12)?6?(?12)

??1

x
1
?(?8)0?(?8)
解得
x
1
??17
,所以
P(? 17,0)

PB?(?17?8)
2
?(0?12)
2
? 15

(2)当
QA?AB
时,
QA
上的所有点到原点< br>O
的距离不小于圆的半径,设此时
Q(x
2

0)

0?(?6)?6?(?12)
9
9

k
QA
k< br>AB
??
1
,即
??1
,解得
x
2
??

Q(?

0)

x
2
?00?( ?8)
2
2
9

?17??8??
,在此范围内,不能满足
PB

QA
上所有点到
O
的距离不小于圆的半径,
2
所以
P

Q
中不能有点选在
D
点;
9
225

(3)设
P(a,0)

Q(b,0 )
,则
a??17

b…?

PB
2
?( a?8)
2
?144…
2
321
,当
d
最小时,< br>PQ?17?321

QA
2
?b
2
?36…22 5
,则
b…
第14页(共21页)



【 归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率
之积为
?1
,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档
题. 19.(16分)设函数
f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)

a

b

c?R

f?(x)

f(x)
的导函数.
(1)若
a?b?c

f
(4)
?8
,求
a
的值;
(2)若
a?b

b?c
,且f(x)

f?(x)
的零点均在集合
{?3
,1,
3 }
中,求
f(x)
的极小值;
4
(3)若
a?0

0?b?1

c?1
,且
f(x)
的极大值为
M
,求证:
M?

27
【思路分析】(1)由
a?b?c< br>,可得
f(x)?(x?a)
3
,根据
f
(4)
?8
,可得
(4?a)
3
?8

解得
a
. < br>(2)
a?b

b?c
,设
f(x)?(x?a)(x?b)
2
.令
f(x)?(x?a)(x?b)
2
?0
,解得x?a
,或
2a?b

f?(x
解得
x?b
, 或
x?
.根据
f(x)

f?(x)
)?0
x?b

f?(x)?(x?b)(3x?b?2a)

3
的零 点均在集合
A?{?3
,1,
3}
中,通过分类讨论可得:只有
a? 3

b??3
,可得
2a?b6?3
2
??1?A
,可得:
f(x)?(x?3)(x?3)
.利用导数研究其单调性可得
x?1
时,函
33

f(x)
取得极小值.
(3)
a?0
0?b?1

c?1

f(x)?x(x?b)(x?1)< br>.
f?(x)?3x
2
?(2b?2)x?b
.△
?0
.令
b?1?b
2
?b?1
x
1
??(0
33< br>1
,

f?(x)?3x?(2b?2)x?b?0
2
.解得 :
]
b?1?b
2
?b?1
x
2
?
x
1
?x
2
,可得
x?x
1
时,
f( x)
取得极大值为
M
,通过计算化简即可
3
证明结论.
【 解析】:(1)
a?b?c

?f(x)?(x?a)
3

f
(4)
?8

?(4?a)
3
?8

?4?a?2
,解得
a?2

(2)
a?b
,< br>b?c
,设
f(x)?(x?a)(x?b)
2


f(x)?(x?a)(x?b)
2
?0
,解得
x?a
,或
x?b

f?(x)?(x?b)
2
?2(x?a)(x?b)?(x? b)(3x?b?2a)

2a?b

f?(x)?0
,解得x?b
,或
x?

3
f(x)

f?(x)
的零点均在集合
A?{?3
,1,
3}
中,
2a?b?6 ?15
若:
a??3

b?1
,则
????A
,舍 去.
333
第15页(共21页)


2a?b2?31
????A
,舍去.
333
2a?b?6?3

a??3

b?3
, 则
???1?A
,舍去.
33
2a?b6?17
a?3
,< br>b?1
,则
???A
,舍去.
333
2a?b5
a ?1

b?3
,则
??A
,舍去.
33
2a?b6?3

a?3

b??3
,则< br>??1?A

33
2a?b
因此
a?3

b ??3

?1?A

3
可得:
f(x)?(x?3)(x?3)
2

a?1< br>,
b??3
,则
f?(x)?3[x?(?3)](x?1)
可得
x?1
时,函数
f(x)
取得极小值,
f
(1)< br>??2?4
2
??32

(3)证明:
a?0

0?b?1

c?1

f(x)?x(x?b)(x?1)

f?(x)?(x?b)(x?1)?x(x ?1)?x(x?b)?3x
2
?(2b?2)x?b

1
?4(b?1)
2
?12b?4b
2
?4b?4?4(b?)
2
?3…3

2

f?(x)?3x
2
?(2b?2)x?b?0
. < br>b?1?b
2
?b?11b?1?b
2
?b?1
?(0,]< br>,
x
2
?
解得:
x
1
?

x
1
?x
2

333
b
2b?2
x
1
x
2
?

x
1
?x
2
?
3
3
可得
x?x
1
时,
f(x)
取得极大值为
M

1
f?(x
1
)?3x
1< br>2
?(2b?2)x
1
?b?0
,可得:
x
1
2
?[(2b?2)x
1
?b]

3
M?f(x
1
)?x
1
(x
1
?b)(x
1
?1)

(2b?2)x
1
?b
1
?(x
1
?b)(x1
2
?x
1
)?(x
1
?b)(?x
1
)?[(2b?1)x
1
2
?2b
2
x
1
?b< br>2
]

33
(2b?2)x
1
?b
11?[(2b?1)?2b
2
x
1
?b
2
]?[(?2b
2
?2b?2)x
1
?b
2
?b]

3 39
13
?2b
2
?2b?2??2(b?)
2
??0
22
1
?M

x
1
?(0
]
上单调递减,
3
1?2b
2
?5b?2
2
b
2
?5b?24

?M剟(?b?b)?
932727
4

?M?
27【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方
法、等价 转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“
M?
数列”.
(1)已知等比数列
{a
n
}(n?N
*
)
满足:
a
2
a
4
?a
5

a
3
?4a< br>2
?4a
1
?0
,求证:数列
{a
n
}为“
M?
第16页(共21页)


数列”;
(2)已知数列
{b
n
}(n?N
*
)
满足:
b< br>1
?1

①求数列
{
b
n
}
的通项 公式;
②设
m
为正整数,若存在“
M?
数列”
{cn
}(n?N
*
)
,对任意正整数
k
,当
k? m
时,都有
c
k
剟b
k
c
k?1
成立,求
m
的最大值.
122
,其中
S
n
为数列
{b
n
}
的前
n
项和.
??
S
n
b
n
b
n?1
【思路分析】(1)设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
,然后根据
a
2
a
4< br>?a
5

a
3
?4a
2
?4a
1< br>?0
列方
程求解,在根据新定义判断即可;
(2)求出
b
2

b
3

b
4
猜想
b
n
,然后用数学归纳法证明;
lnklnklnx
(3)设
{
c
n< br>}
的公比为
q
,将问题转化为
[]
max
?
[]
min
,然后构造函数
f
(
x
)
?
(
x…
3)

kk?1x
lnx
g(x)?(x
?< br>3)

x?1
ln3lnm
分别求解其最大值和最小值,最后解不等式
,即可. < br>?
3m?1
【解析】:(1)设等比数列
{
a
n
}< br>的公比为
q
,则

a
2
a
4
?a
5

a
3
?4a
2
?4a
1
?0
,得
244
?
?
a
1
?1
?
a
1
q?a
1
q
?

?
2
?q?2
aq?4aq?4a?0
?
?
?
111
?
数列
{a
n
}
首项为1且公比为正数
即数列
{
a
n
}
为“
M?
数列”;
122
(2)①
b
1
?1

??
S
n
b
n
b
n?1
1122
???

?b
2
?2

S
1
b
1
b1
b
2
1122

n?2
时,
???

?b
3
?3

S
2
b
1
?b
2
b
2
b
3
?

n?1
时,
n?3
时,
1122
???

?b
4
?4

S
3
b
1
?b
2
?b
3
b
3
b
4
猜想
b
n
?n
,下面 用数学归纳法证明;
(i)

n?1
时,
b
1
? 1
,满足
b
n
?n

(ii)
假设
n? k
时,结论成立,即
b
k
?k
,则
n?k?1
时,
122

,得
??
S
k
b
k
b
k?1
k(k?1)
2b
k
S
k
2
bk?1
???k?1

2S
k
?b
k
2k(k?1)
?k
2

n?k?1
时结论成立,
2k
根据
(i)(ii)
可知,
b
n
?n
对任意的n?N
*
都成立.
故数列
{
b
n
}
的通项公式为
b
n
?n

②设
{
c
n
}
的公比为
q

第17页(共21页)


存在“
M?
数列” {c
n
}(n?N
*
)
,对任意正整数
k
,当
k?m
时,都有
c
k
剟b
k
c
k?1成立,
k

q
k?1

k

k?m
恒成立,

k?1
时,
q…1
,当
k?2
时,
2剟2

lnklnk

k…

k?m
有解,
3
,两边取对数可得,

kk?1
lnklnk

[]
max
?
[]
min

kk?1
lnx1?lnx
令< br>f
(
x
)
?

(
x…
3)
,则
f
?
(x)?
xx
2

x…3
时,
f
?
(x)?0
,此时
f(x)
递增,
lnkln3
?

k…

3
时,
[]< br>max
?
k3
1
1??lnx
lnx
x
令< br>g
(
x
)
?

(
x
?
3 )
,则
g
?
(x)?
x
2
x?1
11?x

?
(x)?1??lnx
,则
?
?
(x)?2

xx

x…3
时,
?
?
(x) ?0
,即
g
?
(x)?0

?g(x)

[3

??)
上单调递减,
lnklnm

k…
,则
3
时,
[]
m in
?
k?1m?1
ln3lnm

?
3m?1
ln3lnm
下面求解不等式

?
3m?1
化简,得
3lnm?(m?1)ln3?0

3
?ln3

m
3

m…3

h
?
(m)?0

?h(m)

[3

? ?)
上单调递减, 由
k…

h(m)?3lnm?(m?1)ln3
,则
h
?
(m)?
又由于
h
(5)
?3ln5? 4ln3?ln125?ln81?0

h
(6)
?3ln6?5ln3?l n216?ln243?0

?
存在
m
0
?(5,6)< br>使得
h(m
0
)?0

1
3
1
4
?m
的最大值为5,此时
q?[3

5]

【归 纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学
归纳法和构造法, 是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两 小题,并在相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
?
31
?
21.(10分)已知矩阵
A?
??

22
??
(1)求
A
2

(2)求矩阵
A
的特征值.
【思路分析】(1)根据矩阵
A
直接求解
A
2
即可;
(2)矩阵
A
的特征多项式为
f(
?
)?

?
?3?1
?
?
2
?5
?
?4
,解方程
f(
?
)?0
即可.
?2
?
?2
第18页(共21页)


【解析】:(1 )
?
31
?
A?
??

?
22
?
?
31
??
31
?
?A
2
?
?? ?
22
?

22
????
?
115
?
?
??

106
??
(2)矩阵
A
的特征多项式为:
f(
?
)?
?
?3?1
?
?
2
?5
?
?4

?2
?
?2

f(
?
)?0,则由方程
?
2
?5
?
?4?0
,得
?
?1

?
?4

?
矩阵
A
的特征值为1或4.
【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础
题.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
?
?
?22.(10分)在极坐标系中,已知两点
A
(3,)

B(2

)
,直线1的方程为
?
sin(
?
?
)
?
3

4
24
(1)求
A

B
两点间的距离;
(2)求点
B
到直线
l
的距离.
【思路分析】(1)设极 点为
O
,则由余弦定理可得
AB
2
?OA
2
?OB
2
?2OA?OBcos?AOB

解出
AB

(2)根据直线
l
的方程和点
B
的坐标可直接计算
B
到直线
l
的距离.
【解析】:(1)设极点为
O
,则在
?OAB
中,由余弦定理,得
AB
2
?OA
2
?OB
2
?2OA?OBcos? AOB

?AB?3
2
?(2)
2
?2?3?2?cos (
?
?)?5

24
?
(2)由直线1的方程
?
sin(
?
?
)
?
3
,知
4
3
?
??
直线
l

(32

)
,倾 斜角为,又
B(2

)

4
22
3
??
?

B
到直线
l
的距离为
(32?2)?sin( ?)?2

42
【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.
C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
23.设
x?R
,解不等式
|x|?|2x?1|?2

【思路分析】对
|x|?|2x?1|
去绝对值,然后分别解不等式即可.
1
?
3x?1,x?
?
2
?
1
?
x
【解析】:
|x|?|2x?1|?
?
?x?1,0剟

2?
?
?3x?1,x?0
?
?
?
|x|?|2x?1| ?2

第19页(共21页)


?
3x?1?2
?
?x?1?2
?
?3x?1?2
?
?
?
?
或或,
?
1?
1
x?0
x?
0剟x
?
?
?
?2
?2
1
?x?1

x??

x??

3
1
?
不等式的解集为
{x|x? ?

x?1}

3
【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.
【必做题】第24题 、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解
答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
2
?2a
2
a
4

24.(10 分)设
(1?x)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
???a
n
x
n

n…4

n?N*
.已知
a
3
(1)求
n
的值;
(2)设
(1
?
3)
n
?a?b
3
,其中
a

b?N*
,求
a
2
?3b
2
的值.
【思路分析】(1)运用二项式定理,分别求得
a
2

a
3

a
4
,结合组合数公式,解方程可得
n
的值;
(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得
a

b
,计算可得所求 值;
方法二、由于
a

b?N*
,求得
(1?3)
5
?a?b3
,再由平方差公式,计算可得所求值.
0122nn
?C< br>n
x?C
n
x???C
n
x

n…
【解析】:(1)由
(1?x)
n
?C
n
4

n (n?1)n(n?1)(n?2)n(n?1)(n?2)(n?3)
234
可得
a
2
?C
n

a
3
?C
n

a
4
?C
n

???
2624
n(n?1)( n?2)
2
n(n?1)n(n?1)(n?2)(n?3)
2
a
3
?2a
2
a
4
,可得
(

)?2
6224
解得
n?5

135
3?C5
2
(3)
2
?C
5
(3)
3
?C< br>5
4
(3)
4
?C
5
(3)
5
?a ?b3

(2)方法一、
(1?3)
5
?C
5
0
?C
5
0135
?3C
5
2
?9C
54
?1?30?45?76

b?C
5
?3C
5
?9C
5
?44

由于
a

b?N*
,可得
a?C
5
可得
a
2
?3b
2
?76
2
?3?44
2
??32

135
3?C
5
2
(3)
2
?C
5
(3)
3
?C5
4
(3)
4
?C
5
(3)
5
?a? b3

方法二、
(1?3)
5
?C
5
0
?C
5
0135
(1?3)
5
?C
5
?C
5
(?3)?C
5
2
(?3)
2
?C
5
( ?3)
3
?C
5
4
(?3)
4
?C
5(?3)
5

0135
?C
5
?C
5
3?C
5
2
(3)
2
?C
5
(3)
3?C
5
4
(3)
4
?C
5
(3)
5< br>,
由于
a

b?N*
,可得
(1?3)
5
?a?b3

可得
a
2
?3b
2
?(1 ?3)
5
(1?3)
5
?(1?3)
5
??32

【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能
力, 属于中档题.
25.(10分)在平面直角坐标系
xOy
中,设点集
An
?
{(0,0)

(1,0)

(2,0)

?

(n,0)}

B
n
?{(0,1)


(n,1)}

C
n
?
{(0,2)

(1,2)

(2,2)

??

(n,2) }

n?N*
.令
M
n
?A
n
集合
M
n
中任取两个不同的点,用随机变量
X
表示它们之间的距离.
(1)当
n?1
时,求
X
的概率分布;
(2)对给定的正整数
n(n…

3)
,求概率
P(X? n)
(用
n
表示)
B
n
C
n
.从
【思路分析】(1)当
n?1
时,
X
的所有可能取值为1,
2
,2,
5
,由古典概率的公式,
第20页(共21页)


结合组合数可得所求值;
(2)设
A(a,b)

B(c,d)
是从
M
n
中取出的两个点,因为
P(X?n)?1?P (X?n)
,所以只需
考虑
X?n
的情况,分别讨论
b
,< br>d
的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,
即可得到所求值.
【 解析】:(1)当
n?1
时,
X
的所有可能取值为1,
2
, 2,
5

7744
X
的概率分布为
P(X?1)?
2
?

P(X?2)?
2
?

C
6< br>15C
6
15
P(X?2)?
2222
;;
?P( X?5)??
22
C
6
15C
6
15
(2)设A(a,b)

B(c,d)
是从
M
n
中取出的两个点 ,
因为
P(X?n)?1?P(X?n)
,所以只需考虑
X?n
的 情况,
①若
b?d
,则
AB?n
,不存在
X?n
的取法;
②若
b?0

d?1
,则
AB?(a?c)
2?1?n
2
?1
,所以
X?n
当且仅当
AB?n
2
?1

此时
a?0

c?n

a? n

c?0
,有两种情况;
③若
b?0

d?2
,则
AB?(a?c)
2
?4?n
2
?4
,所以< br>X?n
当且仅当
AB?n
2
?4

此时
a ?0

c?n

a?n

c?0
,有两种情况;
④若
b?1

d?2
,则
AB?(a?c)
2?1?n
2
?1
,所以
X?n
当且仅当
AB?n
2
?1

此时
a?0

c?n

a? n

c?0
,有两种情况;
综上可得当
X?n

X
的所有值是
n
2
?1

n
2
?4

42

P(X?n
2
?1)?
2

P(X?n
2
?4)?
2

C
2n?4
C
2n?4
可得
P(X?n)?1?P(X?n
2
?1)?P(X?n
2
?4)?1?
6
2
C
2n?4

【归纳与总 结】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论
思想方法,以及化简运算 能力,属于难题.

————————————————————————————————————


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