高中数学2019江苏试卷

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学
本试卷满分160分，考试时间120分钟


一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1.

2.

3.
4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 在平面直角坐标系
xOy
中，
P
是曲线
y?x?

11. 在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
在曲线
y?ln x
上，且该曲线在点
A
处的切线经过点
?
?e,?1
?（
e
为自然对数
的底数），则点
A
的坐标是 ．

12. 如图，在
△ABC
中，
D
是
BC< br>的中点，
E
在边
AB
上，
BE?2EA
，
A D
与
CE

uuuruuuruuuruuur
AB
交于点
O
．若
AB?AC?6AO?EC
，则的值是 ．
AC

B
?
?
tan
?
2
?
13. 已知
??
，则
sin
?
2
?
?
?
?
．
?
?
4
?
3
?
?
tan
?< br>?
?
?
4
??

E
O
DC
A
开始
x 1，S 0
已知集合
A?
?
?1,0,1,6
?
，
B?
?< br>x|x?0,x?R
?
，则
AIB?
．
已知复数
?
a?2i
??
1?i
?
的实部为0，其中i
为虚数单位，则实数a的值是 ．
S S＋
x
2
x x＋1
右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ．

函数
y?7?6x?x
2
的定义域是 ．
已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．
x≥4
Y
输出S
结束
N
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿 者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率
是 ．
y
2
在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
x?
2
?1
?
b? 0
?
经过点
?
3,4
?
，则该双曲线的渐近线方程
b
是 ．
2
已知数列
?
a
n
?
?
n?N*
?
是等差数列，
S
n
是 前n项和．若
a
2
a
3
?a
8
?0
，S
9
?27
，则
S
8
的值是 ．
如图，长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积是120，E是
CC
1
的中点，
则三棱锥
E?BCD
的体积是 ．
D
1
A
1
D
A
B
B
1
C
1
E
C
4
?
x?0
?
上一个动点，
x
则点
P
到直线
x?y?0
的距离最小值是 ．

14. 设
f
?
x
?
，
g?
x
?
是定义在
R
上的两个周期函数，
f
?< br>x
?
的周期为4，
g
?
x
?
的周期为2，且
f
?
x
?
是奇函数．
?
k
?
x ?2
?
,0?x?1
?
当
x?
?
0,2
?
时，
f
?
x
?
?1?(x?1)
，
g?
x
?
?
?
1
，其中
k?0
．若在区 间
?
0,9
?
上，关于
x
的
1?x?2
?
?,
?2
方程
f
?
x
?
?g
?< br>x
?
有8个不同的实数根，则
k
的取值范围是 ．
2


二、解答题：本大题共6小题，共90分
15. （本 小题满分14分）在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
．
2
（ 1）若
a?3c
，
b?2
，
cosB?
，求
c的值；
3
?
?
sinAcosB
?
（2）若，求sin
?
B?
?
的值．
?
2
?
a2b
?














16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
D，E
分别为
BC，AC
的中点，
AB?BC
．求证：
（1）
A
1
B
1
∥
平面
DEC
1
；
（2）
BE?C
1
E
．
A
1
C
1
B
1
A
E
C
D
B

x
2
y
2
17. （本小题满分14分）如图，在平 面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
2
?
2
?1?
a?b??
?
的焦点为
F
1
?
?1,0?
，
ab
2
过
F
2
作
x
轴的 垂线
l
，在
x
轴的上方，
l
与圆
F
2:
?
x?1
?
?y
2
?4a
2
交于点
A
，与椭圆
C
交于点
D
．
F
2
?
1,0
?
．
连结
AF
1
并延长交圆
F< br>2
于点
B
，连结
BF
2
交椭圆
C
于 点
E
，连结
DF
1
．已知
DF
1
?
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）求点
E
的坐标．
5
．
2
y
A
l
D
F
1
F
2
O
B
E
x




18. （本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为
O
的圆，湖的一侧有一条 直线型公路
l
，湖上有桥
AB
（
AB
是圆
O
的直径）．规划在公路
l
上选两个点
P，Q
，并修建两段直线型道路
PB，QA
，规划要求：线段
PB，QA

上的所有点到点
O的距离均不小于圆
O
的半径，已知点
A
（
C，D
为垂足 ），
，B
到直线
l
距离分别是
AC
和
BD
．．．
测得
AB?10
，
AC?6
，
BD?12
（ 单位：百米）．
（1）若道路
PB
与桥
AB
垂直，求道路
PB
的长；
（2）在规划要求下，
P和Q
中能否有一个点选在
D< br>处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路
PB和QA
的长度均为
d
（单位：百米），求当
d
最小时，
P，Q
两点间的距离．
D
C
l
A
O
B

19. （本小题满分16分） 设函数
f
?
x
?
?
?
x?a
??
x?b
??
x?c
?
，
a
，
b
，
c?R
，
f
?
?
x
?
为
f
?x
?
的导函数．
（1）若
a?b?c
，
f
?
4
?
?8
，求
a
的值；
（2）若
a?b
，
b?c
，且
f
?
x
?
和
f?
?
x
?
的零点均在集合
?
?3,1,3
?< br>中，求
f
?
x
?
的极小值；
4
（3）若< br>a?0
，
0?b?1
，
c?1
，且
f
?x
?
的极大值是
M
，求证：
M?
．
27
















20. （本小题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“
M?
数列”．
（1 ）已知等比数列
?
a
n
?
（
n?N*
）满足：a
2
a
4
?a
5
，
a
3
?4 a
2
?4a
4
?0
，
求证：数列
?
a
n
?
为“
M?
数列”；
（2）已知数列
?
b
n
?
（
n?N*
）满 足：
b
1
?1
，
①求数列
?
b
n
?
的通项公式；
②设
m
为正整数．若存在“
M?
数列”< br>?
c
n
?
（
n?N*
），对任意正整数
k< br>，当
k?m
时，都有
c
k
?b
k
?c
k?1
成立，求
m
的最大值．





122
，其中
S
n
为数列
?
b
n
?
的前
n
项和．
??
S
n
b
n
b
n?1