2018年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含详细答案)

2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1． 已知
A?
?
xx＜2
?
，
B?
?< br>xx＞1
?
，则
AB?
▲ ．
2． 已知复数z满足
(1?i)z?2?i
，则复数z的实部为 ▲ ．
3． 函数
f(x)?log
5
(x?9)
的单调增区间是 ▲ ．
4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观
察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．
5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是 ▲ ．
6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：thm
2
）分别为：
9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．
7． 已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)(0?
?
?3，0?
?
??)
．若
x??
?
为函数
f(x)
的
4
一个零点，
x?
?
为函数
f(x)
图 象的一条对称轴，则
?
的值为 ▲ ．
3
8． 已知
a?b? 1
，且
?
a?2b
?
?
?
a?b
?
??2
，则a与b的夹角为 ▲ ．

?
?
?
0， ?
?
，且
tan
?
?
?
?
?
?
1
，
tan
?
??< br>1
，则
tan
?
的值为 ▲ ． 9． 已知
?
，
5
2
5
?
，其中
a，
10．已知关于
x
的一元二次不等式
ax
2
?bx?c >0
的解集为
?
?1，
b，c
为常数．则不等式

Read x
If
x≤2
Then

y?6x

Else

y?x?5

End if
Print y

（
第5题
）
cx
2
?bx?a
≤
0
的解集为 ▲ ．
11．已知正数
x
，
y
满足
1
?
2
?1< br>，则
log
2
x?log
2
y
的最小值为 ▲ ．
xy
12．在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆C：
x
2
?y
2
?2x?8?0
，直线l：
y?k(x?1) (k?R)
过定点A，
且交圆C于点B，D，过点A作BC的平行线交CD于点E，则三角形AEC的周长 为 ▲ ．
13．设集合
A?
?
xx?2
n
，n?N
*
?
，集合
B?
?
xx?b
n
，n?N< br>*
?
满足
AB??
，且
AB?N
*
．若对
任意的
n?N
*
，
b
n
?b
n?1
，则
b
2017
为 ▲ ．
b
?
表示
a< br>，
b
中的较大者．设函数
f(x)?max
?
1?x，1?x
?
，
g(x)?x
2
?k，
14．定义：
max
?
a，
若函数
y?f(x)?g(x)
恰有4个零点，则实数
k
的取值范围是 ▲ ．





1

二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（本小题满分14分） < br>在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知
cosC?cos
C< br>?0
．
2
（1）求C的值．
（2）若c
?
1，三角形ABC面积的为
3
，求a，b的值．
12









16．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABC—DEF中，若ABDE，B CEF．
（1）求证：平面ABC平面DEF；
（2）已知
?CAB
是二面角C-AD-E的平面角．
求证：平面ABC
?
平面DABE．





2
A
C
B
D F
E
（第16题）

17．（本小题满分14分）
如图，长方形
ABCD表示一张6
?
12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），
中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点
P
）到外边框
AB
，
AD的距离分别为1分米，2分米．
现欲经过点
P
锯掉一块三角形废料
MA N
，其中
M，N
分别在
AB
，
AD
上．设
AM
，
AN
的
长分别为
m
分米，
n
分米．
（1）为使剩下木板
MBCDN
的面积最大，试确
定
m
，
n
的值；
（2）求剩下木板
MBCDN
的外边框长度（
MB，


BC，CD，DN
的长度之和）的最大值．









18．（本小题满分16分）
2
x
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
C
：
2
?y
2
?1
（ a＞1）.
a
D
C
N
P
A
M
12分米
（第17题）
6分米
B
（1）若椭圆
C
的焦距为2，求a的值；
（2）求直线
y?kx?1
被椭圆
C
截得的线段长（用a，k表示）； （3）若以A（0，1）为圆心的圆与椭圆
C
总有4个公共点，求椭圆
C
的离心率
e
的
取值范围.






（第18题）

3
y
O
x

19．（本小题满分16分）
已知函数
f(x)?2x3
?ax
2
?bx?c(a，b，c?R)
．
（1）若函数< br>f(x)
为奇函数，且图象过点
(?1，2)
，求
f(x)
的 解析式；
（2）若
x?1
和
x?2
是函数
f(x)
的两个极值点．
①求a，b的值；
②求函数
f(x)
在区间
[0，3]
上的零点个数．







20．（本小题满分16分）
设等差数列
?
a
n
?
与等比数列
?
b
n< br>?
共有
m
( m?N
*
)
个对应项相等．
（1）若
a
1
?b
1
?0
，
a11
?b
11
?0
，试比较
a
6
，b
6
的大小；
（2）若
a
n
?3n?4
，
b
n
??
?
?2
?
n?1
，求
m
的 值．
（3）若等比数列
?
b
n
?
的公比
q ?0
，且
q?1
，求证：
m
?
3
．
【参考结论】若
R
上可导函数
f(x)
满足
f(a)?f(b)（
a?b
），则
?
?
?(a，b)
，
f
?
(
?
)?0
．




4

第II卷（附加题，共40分）
21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域
．．．．．．．．．
内作答.
．．．
A，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形
ABCD
是圆的内 接四边形，
BC?BD
，
BA
的延长线
交
CD
的延 长线于点
E
．求证：
AE
是四边形
ABCD
的外角
?DAF
的平分线．









B．（选修4-2：矩阵与变换）
?
1
?
10
?
已知矩阵
A?
?< br>，
B?
?
?
?
0
?
02
?
?
B
A
F
C
D
（第21
?
A题）
E
1
?
2
?
，求矩阵AB的逆矩阵．
1
?
?





C．（选修4 -4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆
?
2
?4
?
sin< br>?
?5?0
截直线
?
?
π
(
?
?R )

3
所得线段长．









D．（选修4-5：不等式选讲）求证：
2x?3?4?x
≤
5
．

5

【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分. < br>22
．在平面直角坐标系
xOy
中，设点
A(a
2
， 2a)
，
B(b
2
，2b)
，
C(1，2)
均在抛 物线

y
2
?2px(p?0)
上，且
?BCA?90?
．
（1）求
p
的值；
（2）试用
a
表示
b
；
（3）求直线
x?5
与直线
AB
交点的纵坐标．











23．
n(n?1)
（
n≥2，n?N
*
）个不同数随机 排成如下的一个三角形：
2

＊
＊ ＊

＊ ＊ ＊

……………………
＊ ＊ … ＊ ＊


M
k
1
≤
k
≤
n， k?N
*
是 从上往下数第
k
行中的最大数，
p
n
为
M
1
?M
2
?????M
n
的概率．
（1）求
p
2
的值；
（2）猜想
p
n
的表达式，并证明．
??

6

2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）参考答案
一、填空题
1 ．
?
1，2
?
．
AB?
?
1，2
?
．
(2?i)(1?i)
1?3i
2．
1
．
z?
2?i
??.
，则复数z的实部为
1
．
2

2
1?i(1?i)(1?i)2
3．（-9，+∞）．函数
f(x)?log
5
(x?9)
的单调增区间（-9，+∞）.
4．
5
．点数之 和是6包括
(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(1，5)
共5种情况，则所
36
求概率是
5
．
36
5． 8．若
6 x?13
，则
x?
13
?2
，不符；若
x?5?13
，则
x?8?2
．
6
6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为
2
(10?9.4?)

1
?
?
5
?(10
2
?9.7?)
2
(< br>2
?10?9.8)?(1?0
2
10
?
.?3)4
.
(

10
?
10.8)0.2
7．
?
．函数
f(x)
的周期
T?4?(
?
?
?
)???
，又
Τ?
??
，所以
?
的值为
?
.
7343
?
7
8．
?
．依题意，
a
2
?a?b?2b
2
?0
，又
a?b?1
，故
a? b?1
，则a与b的夹角为
?
．
1
?
1
tan< br>?
?
?
?tan
?
??
25
?
?< br>?
?
?
?
?
???
?
． 9．
?
．
tan
?
?tan
?
?
??
1111< br>1?tan
?
?
?
?
?
tan
?
1 ?
1
??
1
25
??
?1，
1
?
．因为不等式
ax
2
?bx?c >0
的解集为
?
?1， 5
?
，所以
a(x?1)(x?5)>0
，且
a?0
，即1 0．
?
?
5
?
??
ax
2
?4ax?5 a>0
，则
b??4a，c??5a
，则
cx
2
?bx?a
≤
0
即为
?5ax
2
?4ax?a
≤
0
，从而
?1，
1
?
．
5x
2
?4x?1
≤
0
，故解集为
?
? ?
5
??
?
y?2?2
?
y
2
y
12
11．3．由
??1
得，
x?
?log
2
?0
，则
log
2
x?log
2
y?log
2
xy?log
2

xy
y?2y?2
y?2
4
?4
?
≥log8?3
．
?log
2
?
y? 2?
??
2
?
y?2
?
??
12． 5．易得圆C ：
(x?1)
2
?y
2
?9
，定点A
(?1，0)
，
EA?ED
，则
EC?EA?EC?ED?3
，
从而三角形AEC的周长为5．
13． 2027．易得数列
?
b
n
?
：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，
kk?1
k?1
则…，当
2?k?1?2037?2017
，
?2?1?2?k?1
k?10，
1?1?3?7?

2

7

2037?2017?20
，从而第
2017
项 为
2
11
?1?20?2027
．
?1
?
14．
?
??，
．
f(x)?max
?
1?x，1?x
?
g(x)?x?k(k?R)
恰有4个零点，
?
1，
5
4
?

2
当
k?
5
时，
f(x)
与
g(x)
相切．如图，
4
y




1
O
x

y
1
O x
?1
?
结合图形知，实数
k
的取值范围是
?
??，
．
?
1，
5
4
?
二、解答题
15． （1）因为
cosC?cos
C
?0
，
2
2

所以
2cos
C
?cos
C
?1?0
，

22

解得
cos
C
??1
或
cos
C
?
1
，



222

又
0＜C＜?

，故
0＜
C
＜
?
，

22

从而
C
?
?
，即
C?
2?
．

233

（
2
）由余弦定理
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
得，


a
2
?b
2
?ab?1
，

①




由三角形
ABC
的面积
1
absinC?
3ab
?
3
得，

2412
ab?
1
，

②

3

由①②得，
a?b?
3
．

3
16． （1）因为ABDE，
又AB
?
平面DEF，
DE
?
平面DEF，
所以AB平面DEF，
同理BC平面DEF，
又因为
ABBC?C
，

AB，BC?
平面ABC，

8

所以平面ABC平面DEF.
（2）因为
?CAB
是二面角C-AD-E的平面角，
所以
CA?AD，BA?AD，


又因为
CAAB?A
，

AB，
CA?
平面ABC，
所以DA
?
平面ABC，
又DA
?
平面DABE，
所以平面ABC
?
平面DABE.
17． （1）过点
P
分别作
AB
，
AD
的垂线， 垂足分别为
E
，
F
，
则△
PNF
与△
MPE
相似，
D
C
从而
PF
?
NF
，
EMPE
N
所以
2
?
n?1
，
F
m?21
A
21
即
??1
．
mn
6分米
P
E M
12分米
（第17题）
B
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料
MAN
的面积

S?
1
mn
最小．
2
由
1?
2
?
1
≥2
2
?
1
得，
m n≥8
（当且仅当
2
?
1
，即
m?4
，
n?2
时，
mnmn
mn
“
?
”成立），此时
S
min
?4
（平方分米）．
（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要
m?n
最小．
由（1）知，
m?n?
?
m?n
?2
?
1
?
2n
?
m
?3≥2
2n?
m
?3?22?3
，
mnmnmn
（当且仅当
2n
?
m
即
m?2?2
，
n?2?1< br>时，“
?
”成立），
mn
答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为
33?22
分米．
2
x
18． （1）由椭圆
C
：
2
?y
2
?1
（a＞1）知，
a
??
焦距为
2a
2
?1?2
，
解得
a??2
，
因为a＞1，所以
a?2
.

9

（2）设直线
y?kx?1
被椭圆截得的线段长为
ΑΡ
，
?
y?kx?1，
?
由
?
x
2
得
1?a
2
k
2
x
2
?2a
2
kx?0
，
2
?
2
?y?1，
?
a< br>??
2a
2
k
解得
x
1
?0
，
x
2
??
．
22
1?ak
2a
2
k
因此
ΑΡ< br>?1?
kx
1
?
x
2
??1?
k
2
．
22
1?ak
2
（3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设
y
轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为< br>P，Q，满足
AP?AQ
．
记直线AP，AQ的斜率分别为
k
1
，
k
2
，且
k
1
，
k
2?0
，
k
1
?k
2
．
2a
2
k
1
1?k
1
2
2a
2
k
2
1 ?k
2
2
由（2）知，
AP=
，
AQ=
，
1?a
2
k
1
2
1?a
2
k
2
2
2a
2
k
1
1?k
1
2
2a
2
k
2
1?k
2
2
=
则，
1?a
2
k
1
2
1?a
2
k
2< br>2
2222222
所以
（k
1
2
?k
2)
?
1?k?k?a(2?a)kk
2
?
121
??< br>?0
，
因为
k
1
，
k
2
?0，
k
1
?k
2
，
22
?a
2
(2?a
2
)k
1
2
k
2
?0
， 所以
1?k
1
2
?k
2
变形得，
1
2
?1
1
2
?1?1?a
2
(a
2
?2)
，
k
1
k
2
从而
1+a
2
(a
2< br>?2)＞1
，
解得
a＞2
，
则
e?
c
?1?
1
2
?
2
，1
．
a
2
a
19． （1）因为函数
f(x)
为偶函数，
所以
f(?x)??f(x)
，即
2
?
?x
?
?a
?
?x
?
?b
?
?x
?
?c??2x
3
?ax
2
?bx?c
，
整理得，
ax
2
?c?0
，
所以
a?c?0
，从而
f(x)?2x
3
?bx
，
又函数
f(x)
图象过点
(?1，2)
，所以
b??4
．
从而f(x)?2x
3
?4x．

10
32
??
??
??

（2）①
f(x)?2x
3
?ax
2
?bx?c(a，b，c?R)
的导函数
f
?
(x)?6x
2
?2ax?b
．
因为
f(x)
在
x?1
和
x?2
处取得极值，
所以
f
?
(1)?0，f
?
(2)?0
，
?
6?2a?b?0，
即
?

24?4a?b?0，
?
解得
a??9，b?12
．
②由（1）得
f(x)?2x
3
?9x
2
?12 x?c(c?R)
，
f
?
(x)?6(x?1)(x?2)
．
列表：
x
f
?
(x)

f(x)

0

c
(0，1)
??
单调增
1
0
5 ? c
(1，2)
??
单调减
2
0
4 ? c
(2，3)
??
单调增
3

9 ? c
显然，函数
f(x)
在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．
由表知， 函数
f(x)
在[0，3]上的最小值为
f(0)?c
，最大值为
f (3)?9?c
．
所以当
c?0
或
9?c?0
（即c??9
）时，函数
f(x)
在区间
[0，3]
上的零点个数为 0．
当
?5?c?0
时，因为
f(0)f(1)?c(5?c)?0
，且函数
f(x)
在(0，1)上是单调增函数，
所以函数
f(x)
在(0，1)上有1个零点．
当
?5?c??4
时，因为
f(1)f(2)?(5?c)(4?c)?0
，且
f(x)
在(1，2)上是单调减函数，
所以函数
f(x)
在(1，2)上有1个零点．
当
?9?c??4
时，因为
f(2)f(3)?(4?c)(9?c)?0< br>，且
f(x)
在(2，3)上是单调增函数，
所以函数
f(x)
在(2，3)上有1个零点．
综上，当
c?0< br>或
c??9
时，函数
f(x)
在区间
[0，3]
上的 零点个数为0；
当
?9
≤
c??5
或
?4?c
≤
0
时，零点个数为1；
当
c??4
或
c??5
时，零点个数为2；
当
?5?c??4
时，零点个数为3．
20．（1）依题意，
a
6
-b
6
?
a
1
?a
11
a?a
?b
1
b
11
?
111
?a
1
a
11
≥0

22
（当且仅当
a
1
?a
11
时，等号成立）．
（2）易得
3n?4??
?
?2
?
n?1
， 当
n
为奇数时，
3n?4??
?
?2
?
n?1?0
，所以
n?
4
，
3
又
n?N
*
，故
n?1
，此时
a
1
?b
1< br>??1
；

11

当
n
为偶数时，
3n?4???
?2
?
n?1
?0
，所以
n?
4
，
3
又
n?N
*
，故
n?2，4，6，
…
若
n?2
，则
a
2
?b
2
?2
，若
n?4
，则
a
4
?b
4
?8
，
n?1
下证：当
n≥6
，且
n
为 偶数时，
3n?4??
?
?2
?
n?1
，即
??
?2
?
3n?4
?1
．
n?1
n?1
证明：记
p(n)?
??
?2
?
3n?4
，则
p(n?2)
?
??2
?
4
?
3n?4
?
p(n)
?
3 n?2
?
3n?4
?
?
?2
?
n?1
?< br>3n?2
?1
，
所以
p(n)
在
n≥6
，且
n
为偶数时单调递增，
从而
p(n)?p(6)?
17
7
?1
．
综上，
n?1，2，4
，所以
m
的值为3．
（3）证明：假设
m?3
，不妨
n
1
?n
2?n
3
，满足
a
n
1
?b
n
1
，
a
n
2
?b
n
2
，
a
n3
?b
n
3
，
设a
n
?a
1
?(n?1)d
，
b
n
? b
n?1
1
q
，其中
q?0
，且
q?1
，
记
f(x)?a
b
1
1?(x?1)d?
q
?q
x
，
则
f
?
(x)?d?
b
1
x
b
2
q
?qlnq
，
f
??
(x)??
1
q
? q
x
?
lnq
?
，
参考结论，知
?
?
1
?(n
1
，n
2)
，
f
?
(
?
1
)?0
，
?
?
2
?(n
2
，n
3
)
，
f?
(
?
2
)?0
，
同理，
?
?
?(
?
b
1
1
，
?< br>2
)
，
f
??
(
?
)?0
，即f
??
(
?
)??
q
?q
?
?
lnq
?
2
?0
，
这与< br>f
??
(
?
)??
b
1
q
?q?
?
lnq
?
2
?0
矛盾，故假设不成立，从而
m
?
3
．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

A．因为
ABCD
是圆的内接四边形，
所以
?DAE??BCD
，
?FAE??BAC??BDC
．
因为
BC?BD
，所以
?BCD??BDC
，
所以
?DAE??FAE
，
所以
AE
是四边形
ABCD
的外角
?DAF
的平分线．
1
B．因为
A?
?
10
?
?
?
1
2
?
?
?
02
?
?
，
B?
?
?
，
?
01
?
?

12
由

?
10
?
?
1
?
所以
AB?
??
?
02
?
?
?
0
1
??
1
2
?
?
?
?
1
?
??
0
1
?
2
?
．
2
?
?
?
1
?
由逆矩阵公式得，
(AB)
?1
?
?
?
0
?
?
1
?
4
?
．
1
?
?< br>2?
C．以极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy．
则圆
?
2
?4
?
sin
?
?5?0
化为普 通方程
x
2
?y
2
?4y?5?0
，
即
x
2
?(y?2)
2
?9
．
直线
?
?
π
(
?
?R)
化为普通方程y?3x
，即
3x?y?0
．
3
圆心
(0，2)
到直线
3x?y?0
的距离为
d?
3?0? 2
3?1
?1
，
于是所求线段长为
29?d
2
?42
．
D．由柯西不等式可得，
22
?

2x?3?4 ?x
≤
?
2
2
?1
2
?
?
?x?3)?(4?x)
?
?5
，
??
2
4]
时，“=”成立．） （当且仅当
2x?3?4? x
，即
x?
16
?[3，
5
22． （1）依题意，将C(1，2)
代入
y
2
?2px(p?0)
得，
p?2
；
（2）因为
?BCA?90?
，
所以
CA?CB?0
，
其中
CA?( a
2
?1，2a?2)
，
CB?(b
2
?1，2b?2)< br>，
从而
(a
2
?1)(b
2< br>?1)?4(a?1)(b?1)?0
，
化简得，
b??
a?5
；
a?1
（3）易得直线
AB
的方程为
y?2a?
令
x?5
得，
y?
2
(5?a
2
)?2a??2
．
?
a?5
?a
a?1
2
(x?a
2
)，
b?a
23．当
n?2
时，1，2，3排成一个三角形有：
1
2 3
2
3 1
1
3 2
3
1 2
2
1 3
3
2 1

13

共有6种，其中满足
M
1
?M
2
的有如下4种：

1 1 2 2
2 3 3 2 1 3 3 1
所以
p
2
?
4
6
?
2
3
；
（2）设当
n?k
时，
M
1
?M
2
????M
k
的概率为
p
k
，
则当n?k?1
时，
M
1
?M
2
????M
k?M
k?1
的概率为
p
k?1
，
而
k?1
排在第
k?1
行的概率为
k?1
(k?1)(1?k ?1)
?
2
k?2
，
2
所以
p
k?1
?
2
k?2
p
k
(k≥2)
，即< br>p
k?1
p
?
2
(k≥2)
，
k
k?2
p
4
p
?
2
，
p
5
?
2
，…，
p
n
?
2
，
3
5p
4
6p
n?1
n?1
叠乘 ，得
p
n
p
?
2
n?2
1
?
?n ?????4
，其中
p
4
2
?
6
?
23
，
2
?
n?
所以
p
2
n
n
?
(n?1)!
．

14
故
p
3
p
?
2
，
2
4