江苏省对口单招高中数学复习知识点

高
三
数
学
总
复
习
知
识
点
主编：杨林森

1

目录
一、高一上
1、数与式的计算……………………………………………………………… 3
2、集合………………………………………………………………………… 6
3、函数及其性质……………………………………………………………… 8
4、几个基本初等函数………………………………………………………… 10
5、三角函数…………………………………………………………………… 13
二、高一下
1、解析几何(Ⅰ)………………………………………………………………
2、三角函数(Ⅱ)………………………………………………………………
3、圆…………………………………………………………………………
4、平面向量……………………………………………………………………
5、数列…………………………………………………………………………
6、不等式………………………………………………………………………
三、高二上
1、命题与逻辑推理……………………………………………………………
2、解析几何(Ⅱ)………………………………………………………………
3、立体几何……………………………………………………………………
4、复数…………………………………………………………………………
四、高二下
1、计数法………………………………………………………………………
2、概率(Ⅱ)……………………………………………………………………
3、统计(Ⅱ)……………………………………………………………………
五、附录
附录(Ⅰ)………………………………………………………………………
附录(Ⅱ)………………………………………………………………………
附录(Ⅲ)………………………………………………………………………
六、附录答案（另附）






2
14
18
21
23
26
29
31
33
41
46
49
54
56
59
61
62

高三数学总复习知识点
．．．．．．．．．．
高一数学

（一）高一上学期：


1.数与式的计算

（
实数的概念
）

（1）常用的数集符号：自然数集：N
整数：Z
有理数集：Q
实数集：R
（2）绝对值：
?
a,当a?0时；
?
a?
?
0,当a?0时；
?
?
?a,当a?0时；
?
?
a?b?a?b?a?b
.
?数轴上两点A,B的坐标 分别为
x
A
,x
B
，则A,B之间的距离
AB?x
B
?x
A

例：化简
x?3?x?2

?
1?x?3
?







(实数的运算)
（1）实数运算的顺序：先乘方、开方，然后乘除，再加减，有括号先进行
括号内的运算.
（2）指数幂的推广：
a???
?
?
?
?a?a
（a为正整数） ?正整数指数幂：
a
?
?
???
???
n
n
?分数指数幂：
1

a
?n
?
n
（
a?0
，n为正整数）
a

a
0
?1
（
a?0
）

3

?负整数指数幂、零指数幂：

a?a
，
a
m
n
n
m
?
m
n
?
1
（
a?0
）
n
m
（3）实数指数幂的运算法则：
?
a
?
?a
?
?a
?
?
?
?
a
?
?a
?
?a
?
?
?
(a? 0)

?
?
a?b
?
?
a< br>?
?
a
?
??
?a?b
④
??
?
?
(b?0)

b
?
b
?
?
1
例：1.
?
?
?5
?
?(?2)?(?1)
10
?()
? 1
?(2?1)
0

2






1
?
1
?
2.
?1?(
?
?3.14)?
??
?

0
cos60
?
2
?
20
?3






（式的计算）
乘法公式：
平方差公式：
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

完全平方公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

立方和、差公式：
a
3
?b
3< br>?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

例：计算
(?3a
2
)
2
?a
2
.




(分式运算与根式化简)
一、分式.

4

1.定义：式子
B?0
.
A
叫做分式，其中
A,B
表示两个整式，且
B
中含有字母，
B
AA?mAA?m
?,?(其中m?0)
.
BB?mBB?m
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变
其中任何两个，分式的值不变.
aba?bacad?bc
;
?
??
3.分式的运算：（1）加减：?
??
.
cccbdbd
2.分式的基本性质：（1）
acac
（2）乘除：?
??
； ?
a
?
c
?
ad
.
bdbd
bdbc
a
n
?
a
?
（3）乘方：
??
?
n
.
b
?
b
?
二、二次根式.
1.二次根式的性质：（1）
n
?
a
?
2
?a

(a?0)
；
（2）
ab?a?b

(a?0,b?0)

（3）
aa
?
b
b

(a?0,b?0)

?
a(a?0)
（4）
a
2
?a?
?

?a(a?0)
?
2.二次根式的运算.
（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同
类”合并.
（2）做乘法时，要灵活运用乘法公式；做除法时，有时要写为分数的形
式，然后进行分母有理化.
（3）化简
a
2
时要注意
a
的正负性，尤其是隐含的正负性.
例：（1）当式子
x?5
x
2
?4x?5
的值为零时，
x
的值是_________
a
?
a
2
?2aa?1
?
（2）化简：
?
a?
；
?
2
?
?
2a?1
?
a?4a?3a?2
?






5

2.集合

（集合及其表示）
（1）集合的中元素的三个特性：
?元素的确定性
?元素的互异性
?元素的无序性
（2）集合的表示法：列举法；描述法；维恩图法.
（3）集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合
无限集 含有无限个元素的集合
空集 不含任何元素的集合
例：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它
自身的实数




（数集）
（1）基本数集：非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
（2）一般数集：除了基本数集以外的其他数集.
例：用
?或?填空

1
_____N -9______Z
5
______Q
7
?
?2
________R


（集合之间的关系）
（1）“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）
A与B是同一集合。
(2)“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则
两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B
的真子集，记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
(3) 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真
子集。
? 有n个元素的集合，含有
2
n
个子集，
2
n?1
个真子集


6

例：1.集合{a，b，c }的真子集共有 个
2.若集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
3.设集合A=
?
x1?x?2
?
，B=
?
x x?a
?
，若A
?
B，则
a
的取值范围是

（集合的运算）
运算
类型
交 集 并 集
由所有属于集合A或
属于集合 B的元素所
组成的集合，叫做A,B
的并集．记作：A
?
B
（读作‘ A并B’），即
A
?
B ={x|x
?
A，或
x
?
B})．
补 集
设S是一个集合，A是
S的一个子集，由S中
所有不属于A的元素组
成的集合，叫做S 中子
集A的补集（或余集）
记作
C
S
A
，即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

S

(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所组成
的集合,叫做A ,B的
交集．记作A
?
B（读
作‘A交B’），即
A
?B=｛x|x
?
A，且
x
?
B｝．
韦
恩
图
示
A
B
A
B
A

图1

图2
A
?
A=A
性
A
?
Φ=Φ

A
?
B=B
?
A

A
?
B
?
A

质
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B

例：1.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x| x
2
-5x+6=0}, C={x| x
2
-mx+m
2
-19=0},
若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值.













7

3.函数及其性质

（函数的概念及表示方法）
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确
定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合
B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就 称f：A→B
为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其
中，x叫做 自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与
x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

（函数的定义域与值域）
1.定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.
那么，它的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集
合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和
函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具
备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法

例：求下列函数的定义域：

⑴
y?
x?1
2


x
2
?2x?15
⑵
y?1?()
x?1
x?3?3










8

（函数的基本性质）
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某
个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
， 当x
1
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D
称为y=f(x)的单调增区间. < br>如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减
函数.区间D称为y=f(x)的单 调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函 数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说
函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区
间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象 从左
到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x○
2 作差f(x)－f(x)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
1212
12
12
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律： “同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能
把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－
x) =f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－
x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对
○
称；

9

2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x)
○
= 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋
f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例：判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
．





另附：
函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x )在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递
减则函数y=f(x)在x=b处有最大值 f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；




4.几个基本初等函数

（幂函数）
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)< br>的函数称
为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
（1，1）；
（2）< br>?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函 数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在
第一象限内，当
x
从右边趋向原点时， 图象在
y
轴右方无限
地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限
地逼近
x
轴正半轴．

例：求下列函数的定义域和值域.
（1）
y?x
（2）
y?x

2
3
?
3
4

10

（指数函数及其图象）
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x
(a? 0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为
R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负
数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44< br>33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246

-4-2
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调
递增
非奇非偶函
数
函数图象都
过定点（0，1）
定义域 R
值域y＞0
在R上单调
递减
非奇非偶函
数
函数图象都
过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
f(x) ?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1< br>；
f(x)
取遍所有正数当且
仅当
x?R
；
（3） 对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有
f(1)? a
；


（对数函数）
1．对数的概念：一般地，如果
a
x
?N
(a?0, a?1)
，那么
数
x
叫做以记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
．
a
为底
．．
N
的对数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2
a
○

x
?N?log
a
N?x
；
log
a
N

11

3 注意对数的书写格式．
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
○
lnN
．
? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，< br>M?0
，
N?0
，那么：
1
log
○
2
log
○
3
log
○
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； a
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
．
注意：换底公式
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；且
c?1
；．
c?0，
b?0
）
log
a
b?
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
1
n
（1）
log
a
b
n
?log
a
b
；（2）
log
a
b ?
．
m
log
b
a
（二）对数函数
1、对数函 数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做 对
m
数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定
义，注意辨别。如 ：
y?2log
2
x
，
y?log
5
数，而只能称 其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○





2、对数函数的性质：

12
x
5
都不是对数函

a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点（1，0）
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
（1，0）
2

例：1.函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为
2
2.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则a=
3.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
，（1）求
f(x)
的定义域（2）求使
f(x)?0
的
x
的取值
1?x
范围___________.


5.三角函数

（注：本章以公式为主！！！！）
sin(
?
?2k
?
)?sin
?

cos(
?
?2k
?
)?cos
?

tan(
?
?2k
?
)?tan
?
（其中
k?Z
）
sin(180??
?
）?-sin
?

sin(
?
?
?
）?-sin
?

cos(180??
?
）?-cos
?

cos(
?
?
?
）?-cos
?

?-sin
?

sin(?
?
）
cos(?
?
）?cos
?

sin(180??
?
）?sin
?

sin(
?
?
?
）?sin
?

cos(180??
?
）?-cos
?

cos(
?
?
?
）?-cos
?

sin(360??
?
）?-sin
?

sin(2
?
?
?
）?-sin
?

cos(360??
?
）?cos
?

cos(2
?
?
?
）?cos
?

sin(90? ??) = cos?, cos(90? ??) = sin?.
sin(90? +?) = cos?, cos(90? +?) = ?sin?.
sin(270? ??) = ?cos?, cos(270? ??) = ?sin?.
sin(270? +?) = ?cos?, cos(270? +?) = sin?.



13

（二）高一下学期：


1.解析几何（I）


(平面直线)

(1).数轴上两点间的距离公式：|AB|=|X1-X2|.
(2).x轴上两点间的距离公式： |AB|=|X2-X1|，其中
A(X1,0),B(X2,0).
(3) .与x轴平行的直线上两点的距离：|AB|=|X1-X2|，其中
A(X1,y),B(X2,y) .
(4).y轴上两点间的距离公式： |AB|=|y2-y1|，其中
A(0,y1),B(0,y2).
(5) .与y轴平行的直线上两点的距离：|AB|=|y1-y2|，其中
A(x,y1),B(x,y2) .
(6).任意两点间的距离公式：|AB|=
?
x
1< br>?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2
，其中
A(X1,y1),B(X2,y2).



















例
：
1.求下列各组两点之间的距离
（1）A(-3,9),B(-3,4)
(2) A(4,7),B(10,7)
(3) A(3,-2),B(4,5)





2.已知A(3,x),B(3,9),|AB|=8,求x的值.






(7).直线与x轴平行时，倾斜角规定为0.
(8).直线的倾斜角的范围时0≤
?
＜
?
.
?
??
(9).直线的斜率：直线的倾斜角
?
?
?
?
?
的正切tan是直线的斜率，
2
??
?
） .
2
(10).任何一条直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.

14
通常用k表
示 即k=tan
?
（
?
≠

?
（l
?
x轴）外，角与其正切tan是一一对应的，也可用 tan 表
2
示
l
的倾 斜程度.
(12).倾斜角与斜率之间的关系为：
①当
?
=0，即直线l平行于x轴时，k=0.
?
②当0＜
?
＜，即直线l的倾斜角为锐角时，k＞0.
2
?
③当＜
?
＜
?
，即直线l的倾斜角为钝角时，k＜0.
2
?
④当
?
=，即直线l平行于y轴时，k不存在，反之亦然.
2
(13).斜率公式：平面上的过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)的直线
l< br>的斜率
y2?y1
为 k=(x1≠x2)
x2?x1

当x1=x2时，直线
l
垂直于x轴，
l
的斜率不存在.
(11).除了
?
=















例
：
1.若三点A(,m),B(-2,3),C(3,-2)在同一条直线上，求m的值.





2.求经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线斜率、倾斜角.






（平面直线的方程）


(1).点斜式方程
直线l的斜率为k，过已知点A(X0,y0)
设p(x,y)为直线
l
上任意异于A的一点，已知k得
y?y0
K=
x?x0
即 y-y0=k(x-x0)
(2).斜截式方程
在点斜式方程中，如果点A在y轴上，坐标A(0,6),此时直线的点斜式方
程可
化为 y=kx+b (b是直线在y轴上的截距)



15

(3).直线方程的一般式
形如Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的方程叫做直线的一般式方程.
AC
由Ax+By+C=0(B≠0),可求得直线的斜率k=- ,截距b=-
BB
注：二元一次方程都是直线的方程，直线方程都是二元一次方程.





例
：
1.求过M(4，-2)，且满足下列条件的直线方程
①斜率k为-3
②且过N(3,-1)
③平行于x轴
④平行于y轴








2.求直线
3x?y?9?0
在x轴、y轴上的截距以及与坐标轴围成的三
角形的面积 .







3.直线
l
过点A(-2,3)且与两坐标轴围成的三角 形的面积为4，求直线
l
的 方程.


(直线间的位置关系)


(1).两条直线平行

l1l2
?
k1=k2,(k1,k2都存在)
(2).两条直线垂直
1
,即k1·k2=-1
k2
(3).求相交直线的交点

l1?l2
?
k1=-

l1:A1x?B1y?C1?0
,
l2:A2x?B2y?C2?0


16

?
A1x?B1y?C1?0
?

??
,(方程组的解就是两直线的交点）
?
A2x?B2y?C2?0
?
(4).点到直线的距离
设点M(x0,y0)为直线
l:Ax?By?C?0
外一点，过M向AB引垂线， 垂足为
D,把线段MD的长d叫点M到直线AB的距离.
AC
改写
l
的方程为
y???
,以
x?x0
代入，得：
BB
AC

y1??x0?

BB
即
d?MD?
(5).两条平行直线间的距离

l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0

即
d?



例
：
1.已知直线
l1:ax?3y?1?0
与直线
l2:2x?(a?1)y?1?0
平行，求
a
的值.



2.已知
?ABC
中，A(2，-1)，B(4,3)，C(3，-2)
求 ①BC边上的高所在的直线.
②过C与AB平行的直线方程.







3.求
l1:2x? 3y?6?0
和
l2
:过点(7，-2)，(5,2)的交点坐标.






17
Ax0?By0?C
A?B
22

C2?C1
A1?B1
22
(
l1l2
)

4.求点p(4,0)关于直线
5x?4y?21?0
的对称点
p
,
的坐标.













2.三角函数(II)

(两角和与差的三角公式)

正弦：< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?

余弦：
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

正切：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?t an
?

1?tan
?
?tan
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?

1?tan
?
?tan
?


例
：1
.求证：
cos(30
o
?
?
)?cos(30
o
?
?
)?3cos
?








2
?
?
2.已知，sin
?
?,
?
?(,
?
),
求
co s(?
?
)
.
323




18

3.已知
?
4
?
?
?
3
???
33
?
5
,0?
?
?,cos(?
?
)??,sin(??
)?

4445413
求
sin(
?
?
?
)
的值.







23
3.已知
sin
?
?,cos
?
??
，且
?
,
?
都是第二项限角
34
求
tan(
?
?
?
);tan(
?
?
?< br>)










(倍角公式)
sin2
?
1
正弦：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

cos
?
?

sin
?
?cos
?
?sin2
?

2sin
?
2
余弦：
cos2
?
?cos< br>2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

正切：
注把
tan
?
?
2tan
?
??
1?tan
2
?
(
2
?
??k
?
且
?
??k
?
， k?z
)
22
asin
?
?bcos
?
化为一个 角的一种三角函数为
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
，其中
cos
?
?



例
：
1.已知
sin(x?
a
a?b
22
，
sin
?
?
b
a?b
22

?
4
)??
5
，求
sin2x
的值.
13



19

2cos10
o
?sin20
o
2.求的值.
o
cos20








?
5
?
3.已知
sin(?x)?,0?x?
，求
cos2x
的值.
4134












(正弦定理)


定义：三角形内角的正弦与对边的对应比相等.
abc
公式：
???2R
(R表示三角形外接圆的圆心)
sinAsinBsinC
公式的适用范围：①已知两夹角一边 ②已知两边一对角（可能有两个
解） ③已知两角一对边
(余弦定理)
定义：三角形任一内角的对边的平方，等于邻边平方和减去邻边同这个
内角余弦乘
积的二倍.
b
2
?c
2
?a
2
公式：
a?b?c?2bc?cosA

cosA?

2bc
222
c
2
?a
2
?b
2

b?a?c?2ac?cosB

?

cosB?

2ac
222

20

a
2
?b
2
?c
2

c?a?b?2ab?cosC

cosC?

2ab
222
公式的适用范围：①已知三边 ②已知两边夹一角
(三角形的面积公式)
111

S
三角形
?ab?sinC?ac?sinB?bc?sinA

222


例
：
1.已知在< br>?ABC
中，
?A?45
o
,AB?6,BC?2
,
解此三角形.










2.在
?ABC
中，已知
a?3,b?2,B?45
o
，
求
A,C
和
c
.




3.圆

(圆的标准方程)


以c(a,b)为圆心，半径为r，
pc?r
时，点p(x,y)在圆上，则

(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
注：当圆心为原点o(0,0)时，
x
2
?y
2
?r
2
(x0,y0)在圆上是切点，则切点已知的且现方程为
x0x?y0y?r
2



例
：
1.求过点A(2,-3)，B(-2,-5),且圆心在直线

x?2y?3?0
上的直线方程.

21

(直线与圆的位置关系)


(1). 直线与圆的位置关系的判定：
位置关系 示意图像
相交
相切
相离

代数方法 几何方法
方程组方程组
（1） （2）
d?r

二解
??0

一解
无解
??0

d?r

??0

d?r



d?
Ax?By?C
A?B
22
点(x,y)为圆心
AB
2
弦长问题：
()
2
?r
2
?d
2

补充：特殊位置的圆的方程
与x轴相切
(x?a)
2
?(b?a)
2
?b
2
(b?0)

与y轴相切
(x?a)
2?(y?b)
2
?a
2
(a?0)

圆上的点到直线的最短距离：
d?r

圆上的点到直线的最长距离：
d?r

(d为点到直线的距离)

22


例
：
1.已知直线
l:kx?y?6?0
被
x?y?25

截得的弦长为8，求
k
的值.







(圆与圆的位置关系)

① 外离:
d?r1?r2
(
r1
、
r2
为两圆的半径)
② 外切：
d?r1?r2

③ 相交：
r2?r1?d?r2?r1


22

④ 内切：
d?r2?r1

⑤ 内含：
d?r2?r1

判断两个圆的位置关系
求出圆心距：
d?(x1?x2)
2
?(y1?y2)
2
，再根据概念，判断.


例
：1.
已知圆
C
1
:x
2
?y
2
?2x?8y? 8?0
，圆

C
2
:x2
?y
2
?4x?4y?2?0
，判断两圆的位置关系.









(圆的一般方程)
22

(1). 公式：
x? y?Dx?Ey?F?0
，圆心为
(?
DE
,?)

22
半径为
r?
D
2
?E
2
?4F

2


例
： 1.
圆
x
2
?y
2
?2x?4y?2?0
的圆心坐标和半径
分别为__________________



4.平面向量

1．向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向
?
?
(2)向量的表示：几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
r
(3)向量的长度：即向量的大小，记作
|a|?x
2
?y
2

?
?
?
?
(4)特殊的向量：零向量
a
＝
0
?
｜
a
｜＝0单位向量
a
0
为单位向 量
?
｜
?
a
0
｜＝1
注意区别零向量和零
(5)

相等的向量：
23
大小相等，方向相

?
x
1
?x
2
?
?
同．
a?b?
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?
．
?
y
1
?y
2
?
?
(6)平行向量(共线向量)：方向相同或 相反的向量，称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量可以进行任意的平移(即自由 向量)，平行向量总可以平移到同一直线
上，故平行向量也称为共线向量

(7)向量的夹角
夹角的范围是：
r
?
?
?
?
rr
(8)
a?b
的几何意义：<1>
a?b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积
r
r
r
r
a?b
xx?yy
r
<2> < br>b
在
a
上的投影为
bcos
?
?
r
?
1212

|a|
x
1
2
?y
1
2
r
(9)平移： 点
P(x,y)
按
a?(h,k)
平 移得到
P
'
(x?h,y?k)
；
r
函数
y?f (x)
按
a?(h,k)
平移得到
y?k?f(x?h)
。

4．向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积（内积）及其
各运 算的坐标表示和性质见下表：

运算类
型
几何方法
1平行四边形法则
坐标方法 运算性质
向量
加法
r
r
v
r
a?b?b?a
r
r
rr
v
r(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
(a
形）
?b)?c?a?(b?c)

uuuruuuruuur
AB?BC?AC
2三角（多边）形法则
（共起点构造平行四边
?
?
a?b?
（向量首尾相连）
向量
减法
三角形法则
（共起点向被减）
r
r
r
r
a?b?a?(?b)
uuuruuur
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
AB??BA

uuuruuuruuur
OB?OA?AB

?
?
a?b?

24

数乘
向量
?
1
?
a
是一个向量,满足:
?
?
2
?
>0时,
?
a
与
a
同向;
?
?
a?(
?
x,
?
y)

?
?
?
<0时,
?
a
与
a
异向;
?
?
=0时,
?
a
=0
?
(
?
a)?(
??
)a
rrr
(
?
?
?
)a?
?
a??
a
rr

r
r
r
?
(a?b)?< br>?
a?
?
b
rr
r
r
r
r
ab?a?
?
b(b?0)
?
??
?
a?b?b?a

?
?
?
??
?
(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)
?
?
a?b
是一个 实数
?
?
?
?
?
?
1
a?0
或
b?0
或
a?b
向量的
数量积
?
?
时,
a?b
=0
?
?
a?b?< br>x
1
x
2
?y
1
y
2
?
?
???
?
?
(a?b)c?a?c?b?c


? ?
?
a
2
?|a|
2
，
|a|?x
2?y
2

2
?
?
?
?
a?0
且
b?0
时,
?
?
?
?
?
?
a?b?|a||b|cos?a, b?

?
?
?
?
|a?b|?|a||b|


5．重要定理、公式：
(1)平面向量基本定理
??
①
e
1
,e
2
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向 量，有
?
??
且仅有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．
??
r
r
v
②对于基底
e1
,e
2
，
有
?
1
e
1
?< br>?
2
e
2
?0?
?
1
?
?
2
?0

③ 已知，
uuur
1
uuur
1uuur
OC?OA?OB

22
，C是A、B中点，则
rr
r
④以原点为起点的三个向量
a,b,c
的终点A、B、C在同一条< br>直线上的充要条件是，其中，
(2)两个向量平行的充要条件
?
r
r
r
r
?
??
?
?
a
∥
b
（
b
≠
0
）
?
存在惟一的实数?使得
a
＝
λ
b
（注意
b?0
，
b?0
时，显然
?
?
a
∥
b
）；
?
?
?
?
?
?
若
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),
则
a
∥
b
?
x1
y
2
?x
2
y
1
?0
（
b
可以为
0
）
向量的共线 是证明三点共线的重要依据（需注意说明两个向量有公共点）

25

(3)两个向量垂直的充要条件
?
?
?
?
?
?
?
当
a
，
b
≠
0
时，
a
⊥
b
?
a
·
b
＝0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
( 4)向量夹角的情况

r
r
r
?
rr
r
?
a?b?0
①
a,b
夹角为锐角
?
?
（其中
cos
?
?1
即为
a,b
不同向共线） < br>cos
?
?1
?
?
r
r
r
?
rr
r
?
a?b?0
②
a,b
夹角为钝角
??
（其中
cos
?
?1
即为
a,b
不反向共线 ）
?
?
cos
?
??1
r
r
r
r
③
a,b
夹角为直角
a?b?0

向量之间的夹角常用来判断三角形的形状。（判断三角形的形状也可以利用
正余弦定理）






5.数列

(递推数列与前n项和公式)

(1).数列｛
a
n
｝的前n 项和
S
n
?a1?a2?a3?
…
?a
n

(2).设数列｛
a
n
｝的前n项和为
S
n
，则
?
S,n?1

a
n
?
?
1

S?S,n?2,n?N
n?1
?
n

a
n
?a
n?1
?a
n?2
?????a
n?m
?S
n?m
?S
n?1
(n?1,n?N)



例
：
1.在数列｛
a
n
｝中，
S
n
??2n
2
?3n

求①求数列｛
a
n
｝的通项公式.
②问数列｛
a
n
｝的前多少项之和最大？





26

(等差数列)

(1).要证明数 列｛
a
n
｝为等差数列，只要证明
a
n?1
?a
n
?d
(常
数)即
可.
(2).等差数列的通项公式：
①
a
n
?a
1
?(n?1)d
；
②
a
n
?a
m
?(n?m)d(n,m?N
?
,d 为公差)

(3).等差中项：
a?b
.
2
(4).若已知三个数成等差数列，可设这三个数为
两个数a,b有等差中项A,且
A?
a?d,a,a?d
.
(5).等差数列｛
a
n
｝的前n项和
n(a
1
?a
n
)
；
2
②
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d
；
2
①
S
n
?
③
S
n
?An
2
?Bn

(6).等差数列的通项为
a
n
?kn?b



例
：
1.等差数列｛
a
n
｝中，
a
4
?10,a
20
?90
，求
a
100
.




1
2.在等差数列｛
a
n
｝中，已知
a
n
??7
，< br>n?21
，
d??
，
2
求
S
n
.






27

(等比数列)

(1).要证明数列｛a
n
｝为等比数列，只要证明
a
n?1
?常数q（q?0）
a
n
(2).等比数列｛
a
n
｝的通项公式

(3).




(4).


(5).

(6).

(7).


(8).
m?n?p?q
,

a
n?1
n
?a
1
q,a
n
? a
m
m
q
n?

等比中项：
G??ab(ab?0)

等比数列的前n项和
①当q=1时，
S
n
?na
1

②当q≠1时，< br>S
a
1
(1?q
n
)
a
1
?an
q
n
?
1?q
?
1?q

在等差数列｛
a
n
｝中，其前m项和记为
S
m
, 则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
成等差数列.
在等比数列｛
a
n
｝中，其前m项和记为
S
m
, 则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
成等比数列.
在等比数列｛
a
?m
n
｝中，有
q
n
?
a
n
a
.
m
①
n?m
为奇数时，
q?
n?m
a
n
a
；
m
②
n?m
为偶数时，
q??
n?m
a
n
a
.
m
设｛
a
n
｝为等比数列，若
m, n,p,q?N
?
，且
28

则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

例
：
1.在等比数列｛
b
n｝中，
b
1
和
b
11
是方程
2x
2< br>?4x?1?0

的两个根，求
b
5
?b
7
.










1
2.求等比数列
,1,2,???
从第5项到第8项的和.
2






3.数列｛
a
n
｝的通项公式为
a
n
?2
n?1< br>?3n
，求数列的前n
项和
S
n
.




6.不等式

(不等式及其基本性质)


(1).基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或
同一个式，不等号方向不变.



(2).基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正
数，不等号方向不变.
(3).基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负
数，不等号方向变向.

(等式或不等式的等价表示)

(1).对于任意两个实数
a,b
，有

29

a?b?a?b?0,a?b?a?b?0,a?b?a?b?0

(2).若
a?b?b?a
(对称性)
(3).若
a?b,b?c?a?c
(传递性)
(4).若
a?b,c?d?a?c?b?d
(相加法则)
(5).若
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(相乘法则)


例
：
1.比较实数
1?2x
与
2x?x
的大小.

4
32







(一元二次不等式)
(1).形如
ax
2
?bx?c?0( 或?0或?0或?0)，a?0
为一元二
次不等式
(2).一元二次不等式的解集


??0


xx?x1或x?x2

一元二次不等


??0


?
b
?
式，其中
xx?R且x??
??


2a
??
2

??b?4ac
，
??0

R


??0


x1,x2
，且
x2?x1

xx2?x?x1



??0


空集

??0


空集


a?0
??
a?0
??


例
:
1.已知不等式
x?ax?b?0
的解集为
?
x
2
?
11
?
?x?
?
，试求
2
??
3

a,b
的值.



30

2.已知函数
f(x)?log
1
(x
2
?2x?3).
5
(1).求
f(x)
的定义域.
(2).若
f(x)?log
1
(x
2
?4)
，求
x
的取值范围.
5





(绝对值不等式)
(1).若不等式中含有绝对值号，且变量x出现在绝对值号
内，则该不等
式叫做绝对值不等式.
(2).基本绝对值不等式：
x?k,x?k,x?k,x?k
.


例
：
1.解绝对值不等式
2?2x?4?6
.



高二数学
（一）高二上学期：

1. 命题与逻辑推理

（命题）

（1）命题：能够判断对错的语句。
（2）真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
（3）命题的表示：常常用小写英文字母
p,q,r,
…来表示命题。
例：判断下列语句是否为命题。
?
2
是有理数；?6是2的 倍数；?
3?2
；④
a?0
；⑤1是质数吗？






31

（命题的逻辑联结）
（1）
p且q


p

真


真

假


假

（2）
p或q

p
真
真
假
假

（3）非：若
p,q
是两个命题，如果
q
否定了
p< br>，则把
q
叫做“非
p
” 或“
p
的非”。
注：若
p
为真，则非
p
为假；若
p
为假，则非
p< br>为真。
例：已知命题
p
：四边形的一组对边平行，
q
：四边形的一组对边
相等，请指出下列命题的真假。
p
且
q
；
p
或
q
；非
p
。




(充分条件、必要条件和充要条件)
（1）若
p?q
，则
p< br>是
q
的充分条件；
p?q
，则
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件 （充分必要条件）．
例：
a?0且b?0是ab?0
的（ ）
A.充要条件 B.必要而非充分条件
C.充分而非必要条件 D.既非充分也非必要条件


（命题的四种形式）
（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结

32
q
真
假
真
假
p且q
真
假
假
假
q
真
假
真
假
p或q
真
真
真
假

论和条件，则这两个命题称为互逆命 题.其中一个命题称为原命题，另一个称为
原命题的逆命题.若原命题为“若
p
，则< br>q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
（2）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条
件的否定和结论的否定，则这两 个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，
另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
非p
，
则
非q”.
（3）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原
命题，另一个称为原 命题的逆否命题.若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题
为“若
非q
，则
非p
”.
（4）四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
?两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
例：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
?若
a?0
，则
a?1?0
；
?若
a
2
?b
2
，则
a?b
。


2.解析几何（Ⅱ）

（椭圆）
（1）定义：平面上到两个定点的距离之和为常数的动点轨迹。
（2）主要参数：

?长轴：椭圆与x轴所成的交点的长度为
2a
；
?短轴：椭圆与y轴所成的交点的长度为
2b
；
③焦距：
F
1
F
2
的长
2c
；
④焦点：点
F
1
、
F
2

注：任何椭圆的焦距必定小于长轴。
c
⑤离心率：< br>e?
，它是用来衡量椭圆的圆扁程度，当
e
越
a
大时椭圆越扁 ，当
e
越小时椭圆越圆。
⑥
a，b ，c
之间的关系：
a
2
?b
2
?c
2

(a?c?0，a?b?0)

例：1、已知椭圆的焦距为24，长半轴长为13，求短半轴和离心率。


33

2、在椭圆中，已知
B
1
B< br>2
=10，
F
1
F
2
=10，则
A
1
A
2
=____________
(写出过程)








（3）椭圆的性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0, a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?< br>2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b< br>?
、
?
2
?
0,b
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
椭圆第 二定义：设
?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准 线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的 距离为
d
2
，则
?F
1
?F
2
??e．
d
1
d
2
34

x
2
y
2
??1
表示焦点在
x
轴的椭圆，求实 数
k
的取 例：?已知方程
k?410?k
值范围。






337
?求经过点
A(1，)
、
B(?，)
的椭圆方程。
224







（双曲线）
（1）定义：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数的动点轨迹。
（2）主要参数：



?实轴：椭圆与x轴所成的交点的长度为
2a
；
?虚轴：椭圆与y轴所成的交点的长度为
2b
；
③焦距：
F
1
F
2
的长
2c
；
④焦点：点
F
1
、
F
2
；、
注：任何双曲线的焦距必定大于实轴长。
cb
2
⑤离心率：
e??1?
2
；
aa
⑥
a，b，c
之间的关系：
c
2
?a
2
?b
2
。

例：?已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。




35

? 已知双曲线的焦距为20，虚轴长为16，求实轴长。





（3）双曲线的性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a
2
x??

c

y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0?

a
2
b
2
?
1
?
?a, 0
?
、
?
2
?
a,0
?

?1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c ,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
双曲线第二定义：
?实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
?设
?
是双曲线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点?
到
F
2
对应

36

准线的距离为
d
2
，则

?F
1
?F
2
??e
．
d
1
d
2
5
例：?求准线方程为
y??
，离心率为2的双曲线方程。
3







x
2
?
F
1
，
F
2
为双曲线
?y
2
? 1
的两个焦点，点
P
在双曲线上，且
4
?F
1
P F
2
?60
?
，则三角形
F
1
PF
2的面积是多少？











（抛物线）
（1）定义：平面内到一定点
F
和到一定直线
l
距离相等的动点轨迹。
定点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
（2）过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线
段
??
，称为抛物线的“通径”，即
???2p
．
（3）焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?
p ?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
．
2

若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F< br>，则
?F?x
0
?

37

例：求下列抛物线的焦点和准线方程。
?
y
2
?12x





?
y?12x
2



（4）抛物线的性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2
对称轴
y
轴
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
x?
p

2
p
??
F
?
0,
?

?
2
?
y??
p

2
p
??
F
?
0,?
?

2
??
y?
p

2
准线方程
离心率

e?1

2)
， 例：?已知抛物线的顶点在原点，并且经过点
M(?2，
求它的标准方程。








38

x
2
y
2
?1
的左准线重合， ?若抛 物线
y?2px(p?0)
的准线与椭圆
?
62
2
求
p
的值。



（直线与圆锥曲线的相交问题）
（3）直线与椭圆的相交问题
?直线
x?n
和
y?m
与椭圆的位置关系：相离、相切、相交；
?直线
y?kx?b
与椭圆的位置关系：相离、相切、相交；
③判别椭圆与直线的位置关系：
?
??0直线与椭圆有两个交点
?
?
??0直线与椭圆有一个交点

?

?
??0直线与椭圆无交点
④弦长公式：
AB?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

x
2
y
2
?1
相交于点
A，B
两点， 例：?求直线
l
：
y??x?2
与椭圆
?
求
AB< br>。
64











?中点在原点，一个焦点为
F(0，52 )
的椭圆被直线
y?3x?2
所截得的
弦的中点的横坐标是



39
1
，求椭圆方程。
2

（4）直线与双曲线的相交问题
?交点情况：
?
b
2
?a
2
k
2
?0
?两个交点，
?
，
?
??0
?
b
2
?a
2
k
2
?0
?一个交点，
?
，斜率等于渐近线斜率
?
??0
?
b2
?a
2
k
2
?0
③无交点，
?
。
??0
?
?弦长：
AB?1? k
2
x
2
?x
1
?1?
1
y
1< br>?y
2
。
k
2
y
2
?1
，求过< br>P(2，1)
且被这点平分的弦所在的直线方程 例：已知双曲线
x?
2
2









（5）直线与抛物线的相交问题
?位置关系：相交、相切、相离
?弦长：
AB?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2。
③通径：
d?2p



40

1)
，斜率为1，求直线
l
与抛物线
y< br>2
?4x
相交所得的 例：直线
l
过点
(3，
弦长和弦中点。









3.立体几何
（本章以填空和练习为主）
（空间几何体）
1. 棱柱的概念：一般地，有两个面互相 ，其余各面都是 ，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ,由这些面所围成的多面
体叫做棱柱。
2. 棱柱的性质（即已知棱柱时可以得到的结果）：两底面 ，每个侧
面都是 。
3. 棱锥的概念：一般地，有一个面是 ，其余各面都是 形，
且有一个 ，由这些面所围成的多面体叫棱锥。
4. 正棱锥的性质：侧面都是 形；底面是 形；顶点与底面
中心的连线是正棱锥的 。
5. 正四面体的性质：每个面都是 形。
6. 斜二侧画法归纳起来可以是：横 ，纵 ，竖 。
7. 球体的表面积公式是
S
球
＝
；体积公式是
V
球
＝
。
V＝

8. 直棱柱：
S
侧
＝
；
S
全
＝
；
V＝
。
9. 正棱锥：
S
侧
＝
；
S
全
＝
；
V＝
。
10. 圆柱：
S
侧
＝
；
S
全
＝
；
V＝
。
11. 圆锥：
S
侧
＝
；
S
全
＝
；
V＝
。
12. 几种难区别的几何体：
⑴ 正四棱柱与正方体的区别是_ ；正四棱柱与长方体的区别
是 。
⑵ 正四面体与正三棱锥的区别是_ 。
12. 球的性质：球的任意截面都是________



41

练习：
1. 一个正四面体的棱长为2，则它各个面上的高是 ，正四面体的高
是 。
2.
下列关于多面体的说法：①底面是矩形的直棱柱是长方体；②底面是正方体的棱锥是正< br>四棱锥；③两底面都是正方形的棱台是正棱台；④正四棱柱就是正方体，正确的有
_______ _____。

3. 半径为5的一个球体，一个与球心距离为4的平面截球所得的截面面积是
________
4. 已知在斜二测画法下三角形OBC的平面直观图是直角边长为
a
的等腰直角?
OBC(?OBC?90)
，三角形那么原三角形OBC的面积为__________ __。
5. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为
?
，则球的体积为< br>__________。

6. 上、下底面半径分别为2cm、5cm，母线长为5 cm的圆台侧面积为________，
体积为_______。
6
?
7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为的扇形，圆锥的体积为
5
_________ _。
8. 一个边长分别为3、4、5的三角形绕长为5的一边所在的直线旋转一周所形
成的 几何体的全面积为________；体积为_______。
9. 正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则全面积为________；体积为_______。
10. 设正方体的棱长为1，则它的外接球的半径为_______，内切球的半径为
_______，与正方 体各棱相切的球的半径为_______；设长方体的长、宽、高
分别为1、2、3，则它的外接球的半 径为_______；



（点、直线、平面之间的位置关系）
1. 公理1：如果一条直线上的____________在一个平面内，那么这条直线在此
平面内。
2. 公理2：不共线的三点______。推论1：______确定一个平面；推论2：_____ _
确定一个平面。
3. 公理3：如果两个平面有1个公共点，那么它们有且只有
__________________。
4. 公理4：平行于同一条直线的两条直线______。
5. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角______。

6. 位置关系：
①线线关系有（1）______，此时有____交点，___ 同一平面（填“在”或

42

“不在”）（2）______，此时有____交点，___ 同一平面（3）______，此时有____
交点，___ 同一平面；
②线面关系有（1 ）_____，此时有___交点，（2）_____，此时有____交点，
（3）_____，此时 有____交点;
③面面关系有 （1）______，此时有____交点，（2）______，此时有____
交点。
7. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的______直线，则
称这条 直线垂直于这个平面。
8. 我们学过的空间角有：______________________________。
9. 平面几何中的知识
⑴直径所对的圆周角＝______
0
；
⑵直角三角形中斜边上的______等于斜边的一半；
⑶如右图,
l
1< br>、
l
2
、
l
3
是一组平行线，则图中所成的比例有

______＝______＝______；反之若前面的比例有一组成立，
则 直线
l
1
、
l
2
、
l
3
的关系是 ______。
10. 三角形的四心：
? 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的____心，它是三角形三条边
的____线的交点，是三角形____圆的圆心；
⑵到三角形三边距离相等的点是三角形的 ____心，它是三角形三条____线的
交点，是三角形____圆的圆心；
⑶三角形三条高线的交点叫三角形的____心；
⑷三角形三条中线的交点叫三角形的____心，它把每条中线分成____：____
两段。
练习：
1. 长方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
中的12条棱与6个面中，与棱AB异面的棱有_____
条；， 与棱AB垂直的棱有______条；与棱AB平行的面有_______个；与平
面
ABB< br>1
A
1
平行的面有_______个；与平面
A
1
B C
1
相交的面有_______个。
a?平面
?
，2. ①点A、 B、C
?
直线
a
，A、B
?
平面
?
，则< br>C?
?
；②点A
?
直线
a
，
则
A?
?
；③
?
,
?
是不同的平面，
a?
?,b?
?
，则
a,b
异面；④三条直线两
两相交，则这三条直线 共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线。
真命题为______________。
3. ① m∥
?
,n∥
?
?
m∥n ② m∥
?
,n∥m
?
n∥
?
③m∥
?
,n
?
?
?
m∥n
④
?∥
?
,n
?
?
?
n∥
?
⑤ ?
∥
?
,m
?
?
,n
?
?
?
m∥n（m,n表示直线，
?
,
?
表示平面）真命题的序号是___ ________。
4. 设
?
,
?
,
?
为不同 平面，
a,b
为不同直线，给出下列条件：①
a?
?
,
?< br>∥
a
；②
?
?
?
,
?
?
?
；③
a?
?
,b?
?
,a?b
；④
a?< br>?
,b?
?
,a?b
。其中能使
?
?
?
43

成立的条件为____________。
5. 如果平面
?
∥
?
，且直线a∥
?
，则a与< br>?
的位置关系为____________。
6. P是菱形ABCD所在平面外一点 ，且PC⊥面ABCD，则直线PA与BD的位
置关系是____________。
7. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC。
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心；
(3)若点P到△ABC三边的距离相等，则点O是△ABC的_____心。
8. 如图：已知AB⊥面BCD，BC⊥CD，则
(1)图中的直角三角形有_____________ _______________________________,
请任选一个进行证明；
A




B D

C

(2)图中互相垂直的平面有_________________________________ _________,请
任选一组进行证明。

A



D

B

C
9. 平行垂直综合题训练
⑴ 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
中，E、F分别为DD
1
、DB的
中点。
求证：① EF∥平面ABC
1
D
1
; ②求证：EF⊥B
1
C。










⑵在正方体AC
1
中，求证：（1）A< br>1
D⊥D
1
B； （2）B
1
D⊥面A
1
C
1
B


D
1

C
1


A
1


B
1

O
D
C
B
44
A

⑶如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB CD，∠ADC=∠
DAB=90
0
，CD=2AB，Q是PC中点。求证：BQ 面PAD。

P


D




A

B


⑷SA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形， 求证：（1）BC⊥面SAB；（2）面SBD
⊥面SAC。

S



A



C
B















45
C
D

10. 点到面的距离问题
①在9题⑴中中求三棱锥B
1
－EFC的体积； ②求点B
1
到面EFC的距离。







4.复数

（复数与复数集）
（1）复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i
2
??1
.
（2）复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
a，b?R
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
b?0
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且
b?0
时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是
实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
例：实数
m
取什么值 时，复数
z?m
2
?2m?3?(m
2
?m?2)i
是：
?实数？?虚数？③纯虚数？






（复数的关系）
（1）两个复数相等的定义：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R） 特别地a?bi?0?a?b?0
.
（2）共轭复数的性质：


z?z


z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z?z?2a
，
z?z?2bi
（
z?
a + bi）
z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z?z?|z|
2
?|z|
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

?
z
1
?
?
z
2
?
?
z
1
?
?
?
z
2
?
（
z
2
?0
）
z
n
?(z)
n


46

例：求
m、n
的值

2m?3n?(m?n)i?5i







（复数集中解一元二次方程）
在复数集 内解关于
x
的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
时，应注意下述问题：
①当
a,b,c?R
时，若
?
＞0，则有 二不等实数根
x
1,2
?
等实数根
x
1,2
??< br>数）.
②当
a,b,c
不全为实数时，不能用
?
方程根的情况.
③不论
a,b,c
为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
例：在复数集内解下列方程。
?
2x
2
?x?1?0
；
?
x
2
?x?1?0
；
③
3x
2
?26x?4?0
。






（复数的模和辐角及三角形式）
（1）复数的三角形式：
z?r(cos
?
?isin
?
)
.
模：
r?a
2
?b
2
?0

辐角主值：
?适合于0≤
?
＜
2
?
的值，记作
argz
.
注：①
z
为零时，
argz
可取
[0,2
?
)
内任意值.
?b??
2a
；若
?
=0，则有二相?b?|?|i
b
；若
?
＜0，则有二相等复数根
x
1 ,2
?
（
x
1,2
为共轭复
2a
2a

47

②辐角是多值的，都相差2
?
的整数倍.
③设
a?R
?
,
则
arga?0,arg(?a)?
?
,argai?
?
2
,arg(?ai)?
3
?
2
.
（2）复数的代数形式与三角形式的互化：
a?bi?r(cos
?
?isin
?
)
，
r?a
2
?b
2，
cos
?
?,sin
?
?
.
a
r
b
r
13
例：求复数
??i
的三角形式。
22

（复数的四则运算）
n?
z
?
?z
?
?z
?...z(n?N)
（1）①复数的乘方：
z?
??
n
②对任 何
z
，
z
1
,z
2
?C
及
m,n ?N
?
有
③
z?z?z
mnm?nn
,(z
m< br>)
n
?z
m?n
,(z
1
?z
2
)
n
?z
n
?z
12

注：①以上结论不能拓展 到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如
i??1,i?1
若由
i
2 4
2
11
4
2
?(i)?1
2
?1
就会得 到
?1?1
的错误结论.
②在实数集成立的
|x|?x
2
. 当
x
为虚数时，
|x|?x
2
，所以复数集内解方程不能采
用两边平方法.
（2）常用的结论：
i
2
??1,i
4n?1
?i,i< br>4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n
?1

i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3< br>?0,(n?Z)

(1?i)
2
??2i,
1?i1?i< br>?i,??i
1?i1?i

（3）复数的三角形式运算：
r
1
(cos
?
1
?isin
?
2
)?r
2
(cos
?
2
?isin
?
2
)?r
1
r
2
[cos(
?
1
?
?
2
)? isin(
?
1
?
?
2
)]

r
1
(cos
?
1
?isin
?
2
)r
1< br>?[cos(
?
1
?
?
2
)?isin(
?
1
?
?
2
)]

r
2
(cos< br>?
2
?isin
?
2
)r
2

例：计算?



48
(1?3i)(?1?i)
2?3i
2
；?
(?1?i)
。

（二）高二下学期：

1、计数法
注：本章练习题请见附录Ⅰ

（穷举法和分类法、分步法）
1、穷举法
定义：将一个集合中的元素不重复、不遗漏地一一列举出来的方法。
两种重要的穷举法：字典排列法、累加法。
2、分类法、分步法
①分类计数 原理：完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的< br>方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的方法，…，在第
n
类办 法中有
m
n
种不同的
方法，那么完成这件事共有
N?m
1< br>?m
2
?m
3
?????m
n
种不同的方法。
②分步计数原理：完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中有
m1
种不同的
方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的方法，…，在 第
n
类办法中有
m
n
种不同的
方法，那么完成这件事共有< br>N?m
1
?m
2
?m
3
?
…
?m< br>n
种不同的方法。



（排列与组合）
一、 排列
1、选排列和选排列数
?选排列：一般的，从个不同的元素中取出
n
k(k?n)
个元素，按照一
定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取 出个元素的一个选排列.
?选排列数：从个不同的元素中取出
n
k
n
k(k?n)
个元素的所有排列的个
数，叫做从个不同的元素中取出个元 素的一个选排列，用符号
n
k
A
表示.
n
k

例：
在3000与8000之间没有重复数字的奇数有多少个？




49

2、选排列数计算公式

排列数公式：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?

n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
m1 1
mm?1
0
A
n?
?A
m
?A
m
?C
m?
n
?A
m
?mA
m?
n
Cn
?C
n
规定
A?nA
n
?1

1nmn
nn?1






二、组合
（1）组合定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫 做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
A
m
n(n?1)?(n?m?1)
n!
n
（2）组合数公式：
C?
m

?C
m
?
n
m!m!(n?m)!
A
m
m
n
m?1mm
mn?m
（3）两个公式：①
C
n
?C
n
;
②
C
n
?C
n
?C
n?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同
元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不
同元素中取出n- m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同 小球其不
m
m?1
同选法，分二类，一类是含红球选法有
C
m?n
1
?C
1

1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法
时，对于某一元素，只存在取 与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的
1
n个元素中再取m-1个元素，所以有C< br>m?
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n
个元素中取出m个元素，所以共有< br>m
m?1mm
C
n
种，依分类原理有
C
n
? C
n
?C
n?1
.
（4）排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关
系.
（5）①几个常用组合数公式
n
C
n
?
C
n
?
C
n
?????
C
n
?2

012n

50

024135
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n?C
n
???2
n?1
mmmm?1
C
m
?C ?C?C?C
nm?1m?2m?nm?n?1
k?1
kC
k
?nC
nn?1

11
k?1
C
k
?C
nn?1
k?1n?1
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如：
n?111
123n1
??
） （利用
?????1?
n!(n?1)!n!
2!3!4!(n?1)!(n?1)!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用
C
n
?C< br>mm?1
n
m
C
3
?C
4
?C
5< br>??C
n
?C
n?1
.
?C
n?1
递推）如：
33334
0212n2n
vi. 构造二项式. 如：
(C
n
)?(C
n
)???(C
n)?C
2n

注：排列组合解决问题方法
排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在 特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体
排好之后再考虑它们“局部”的排列. 它主要用于解决“元素相邻问题”。
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间 或两端的空档
中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问 题中的特殊元素应优先排列，然后再排其
他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先 考虑，然后再排
其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素 次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行
m
全排列有
A
n由于要求m个元素次序一定，
n
种，
m(m?n)
个元素的全排列有A
m
种，
因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素
排成一列，其中m个元素次序一定，共有
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. < br>例如：
x
1
?x
2
?x
3
?x
4< br>?12
的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球
排成一列，在它们之间 形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个
组方
x
1
.每
x
2
一
x
种
x
4
法所得球的数目依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
显然
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?12
， 故
3
（
x
1
,x
2
,x
3
,x< br>4
）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解
(y
1
,y
2
,y
3
,y
4
)
，对应着惟
一的一种在12个球之 间插入隔板的方式（如图
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数
3
等于插隔板的方法数
C
11
.
A
n
n
A
m
m
种排列方法.

51

注意：若为非负数解的x个数，即用
a
1< br>,a
2
,...a
n
中
a
i
等于
x
i
?1
，有
x
1
?x
2
?x
3< br>...?x
n
?A?a
1
?1?a
2
?1?...a
n
?1?A
，进而转化为求a的正整数解
的个数为
C
A?n
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准 确分步策略；③排列、组合混合问题
先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列 ）；④正难
则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦ 定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的
策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩ 构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同 元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个
数相等，不管是否分尽，其分法种数为
AA
r
r
（其中A为非均匀不编号分组中分
法数）.如果再有K组均匀分组应再除以A
k
.
k
244
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4 、4，其分法种数为
C
10
C
8
C
4
A
2
2
?1575
.
n?1
若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2 、2、2，其分法种数为
22224
C
10
1
C
9
1
C
8
C
6
C
4
C
2
A
2
?A
24

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相 等，且考虑各组间
的顺序，其分法种数为
A?A
m

例：10人分成 三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法
233
为：
C10
?C
8
?C
5
5
?A
3
种. < br>m
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排
23 4
方法有
C
10
C
8
C
5
?A
3
3
种
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为
C< br>10
C
8
C
5
?2520
若从10人中选出6人分成 三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为
123
C
10
C
9
C
7
?12600
.
235

（二项展开式）
0n01n?1rn?rrn0n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
ab
. 1. ⑴二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
n?1
项；

52

< br>012r
,C
n
,C
n
,?,C
n
,?,C
n
② 系数：依次为组合数
C
nn
;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列
展开.
⑵二项展开式的通项.
（a?b)
n
展开式中的第
r?1
项为：
T
r?1
?C
n
a
rn?rr
b(0?r? n,r?Z)
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
．．．．．
n
I. 当n是偶数时 ，中间项是第
?1
项，它的二项式系数
C
2
n
最大；
2
n?1n?1
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第
?1项，它们的二项式系
22
n
数
C
n?1n?1
2
?C
2
nn
最大.
③系数和：
01n
C
n< br>?C
n
???C
n
n
?2
024
C
n
?C
n
?C
n
??
13
?C
n
?C
n
???2
n?1

附：一般来说
(ax?b y)
n
(a,b
为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根
．．．． ．．．．．．．
据性质二求解. 当
a?1或b?1
时，一般采用解不等式组
?
A
k
?A
k?1
,
?
A
k
?A
k?1
或
?
(A
k
为T
k?1
的系数或系 数的绝对值）的办法来求解.
?
A?AA?A
k?1k?1
?
k< br>?
k
⑷如何来求
(a?b?c)
n
展开式中含
ap
b
q
c
r
的系数呢？其中
p,q,r?N,
且
p?q?r?n
把
r
(a?b?c)
n
?[(a?b)? c]
n
视为二项式，先找出含有
C
r
的项
C
n(a?b)
n?r
C
r
，另一方面在
n
pqr
qn?r?qqqpq
(a?b)
n?r
中含有
b
q
的项为
C
n?r
ab?C
n?r
ab
，故在
(a?b?c )
中含
abc
的项为
rqpqr
r
C
n
C
n?r
abc
.其系数为
C
n
C
n?
q< br>r
?
(n?r)!
n!n!
pqr
???C
n
C
n?p
C
r
.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!






53

2、概率（Ⅱ）
注：本章练习题见附录Ⅱ

（典型例题与超几何概率）
1、古典概率
nn
如果一次实验中可能出现的结果有个，即此事件有个基本事件组成，而
1< br>且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
n
，如果某个
事件中包含的结果有
A
m
个，那么事件的概率
A
P(A)?
m
n


2、超几何概率
AB
n
m
设属性的个体的个数有个，属性的个体的个数有个，把全部个体混
合后任意抽取个个体
a
k
(k?m?n)
k?a
，则抽到属性的个体恰好为
A
a
(a?m)
个的事
件概率为：



P?
C
m
?
C
n
C
k
m?n

（反概率公式）
1、对立事件
设是随机事件，那么不发生
做互为对立事件，
2、反概率公式
A和A
AA
A
A和A
也是随机事件，记这个事件为,叫
是必 有一个发生的互斥事件。
对立事件的概率之和等于1，即







（独立事件的乘法公式）
1、独立事件
P(A)?P(A)?1

54

如果 随机事件
A
发生的可能性大小与随机事件
B
发生与否无关，随机事件
B
发生的可能性大小也与
A
发生与否无关，则称随机事件
A、B
互相 独立.反之，
则把随机事件
A、B
叫做有依赖关系.
2、独立事件的乘法公式
A
1
、A
2
、?，A
k
设是彼此独立的 随机事件，即发生其中任何一件随机事件的
概率，与其余
k?1
件事件中的任何一件或 若干件发生与否都无关系，则

P(A
1
A
2
A
k
)?P(A
1
)?P(A
2
)??P(A
k
)< br>

（反演公式）
要求：了解
．．
对于随机事件
A、B
有反演律：
A?B?A?B,A?B?A?B
.从而对应的概率有
反演 公式：
（1）当随机事件A、B独立时

（2）当随机事件A、B互斥时

P(A?B)?P(A?B),P(A?B)?P(A?B)
.
P (A?B)?P(AB)?P(A)P(B),P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)P(B)

P(AB)?P(A?B)?P(A?B)?P(A)?P(B)
P(AB)?1?P(A B)?1?[P(A)?P(B)]







（伯努利概型）
1、伯努利概型
n
（1）次独立试验和伯努利概型
若试验次数为次，且具有以下特点：
?每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，即每次试验都是独立的
?试验的结果只有两个，每次试验必发生其中之一，非此非彼，若记其
中一个为，则另一个为
n
A
A

55

③每次 试验结果出现A的概率都不变，则把这样的试验称为次伯努利
试验，将事件A恰好发生次
k(k?n)
n
的概率问题，称为伯努利概型或独立重复试
验概型.
（2）伯努利概型的计算公式
k
P
n
在次独立重复试验中，若一次发生A的概率为，在A恰好发生次
的概率为
2、小概率事件
（1）小概率原理
一个概率很小的事件，不大可能会在一次试验中发生，如果小概率事 件
在一次试验中发生了，就往往被认为是不正常现象，这也常常被用来判断一种进
程是否正常.
（2）小概率事件的一般标准
判断是否小概率事件没有绝对的标准.一般认为一次试验中 事件发生的概
率小于0.05，就可以认为它是小概率事件.


(k?n )
P
n
(k)?
C
n
?P
k
(1?P)< br>n?k
k

3、统计(Ⅱ)
注：本章练习题见附录Ⅲ

（离散型随机变量的概念及概率分布）

定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母
X , Y，
?
，
?
，… 表示．
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量

定义3 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量
就叫做连续型随机变量
比较：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变
量与连续型 随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变
量的结果可以按一定次序一一列出，而连续 性随机变量的结果不可以一一
列出.
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量 性质，但可以用数量来表达
如投掷一枚硬币，
?
=0，表示正面向上，
?=1，表示反面向上.
（2）若
?
是随机变量，
?
?a
?
?b,a,b
是常数，则
?
也是随机变量.
分布列:设离散型随机变量
ξ
可能取得值为

x
1
，
x
2
，…，
x
3
，…，
ξ
取每一个值
x
i
（
i
=1，2，…）的概率为< br>P(
?
?x
i
)?p
i
，则称表

56

ξ

x
1

x
2
…
x
i

P P
1

P
2
…
P
i

为随机变量
ξ
的概率分布，简称
ξ
的分布列
…
…
2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:
0?P(A)?1< br>，并且
不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量
的 分布列都具有下面两个性质：
⑴
P
i
≥0，
i
＝1，2，…；
⑵
P
1
+
P
2
+…=1．




（二项分布）
1、 如果一次试验中随机事件A发生的概率为，不发生的概 率为
p
1-p
，随
机变量X表示次独立试验中事件A发生的次数，则X的概率 分布叫做二项分布.
记着
X~N(n,p)
n
.
(1)参数的含义：随机变量X，试验次数,事件发生的概率.
(2)读作服从.
(3)试验的结果只有两个，也就是只有两个相互对立的事件.要么事件A发
p、1 ?p
生，要么不发生，它们的概率分别为.
2、若
X~N(n,p)
n
p
，则事件A发生次的概率：
k
k

P(X?k)?
C
n
p
k
(1?p)
n?k
(0?k?n)
.
说明：次独立重复试验中，事件A发生次的所有可能为
发生次的概率为，事件一定发生余下的
独 立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式的：



n< br>k
C
k
n
，事件A
，根据
k
p
k< br>A
n?k
次，概率为
(1?p)
n?k
P(X?k)?
C
n
p
k
(1?p)
n?k
(0?k?n)
k< br>
（超几何分布）
1、一般地，设具有甲、乙两类不同属性的一批事物中，具有属性 甲的事物个数
k(k?m?n)
n
m
为，具有属性乙的事物个数为，从中随机 抽取件，以随机变量X
表示其中属性为甲（或乙）的个数，则X的概率分布叫做超几何分布.即随机变< br>
57

量X服从以
m、n、k
为参数的超几何分布.
注意：元素分两类（或者更多类）；从中取部分.
m、n、k
2、随机变量X服从以为参数的超几何分布，其概率
m
P(X?a)?
C
n
C
,(a?k?m?n)
k
ak?a
C
m?n
.
(1)“公式”只是一种形式，大家要从具体题目中体味公式中每个字母的含
义，在解题中运用 公式，最后做到“没有了”枯燥的公式.
(2)这个公式其实直接可以用古典概率来理解，而不是刻意去辨别类型、死
套公式.
P
126
~P
141
本章其他内容请结合导学与同步训练
．．．． ．．．．．．．．．．．．
进行复习
．．．．
















58

附录Ⅰ
排列、组合、二项式定理专题练习
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 展开后不同的项数为（ ）
A. 9 B. 12 C. 18 D. 24
2.某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级 ，且每班安排两
名，则不同的安排方案种数为（ ）
A. B. C. D.
3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐 ，规定前排中间的3个座位不能坐，
并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A. 234 B. 346 C. 350 D. 363
4.将9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小 于其编号数，
则不同的放球方法共有（ ）
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种
5.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1 ，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这
五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数 与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（ ）
A. 20 B. 30 C. 60 D. 120
6.设
的系数为（ ）
展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中 项
A. 250 B. –250 C. 150 D. –150
7.若
范围是（ ）
与 的展开式中含 的系数相等，则实数m的取值
A.
8.若
B.
，且
C. D.
，则

，等于 （ ） A. 81 B. 27 C. 243
D. 729
二、填空题（每小题5分，共20分）
1．在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 。
2.有三张卡片的正反面分别写着1和2，4和6，7和8，用它们组成三位数，并且6可以当 9用，则可
得到的不同三位数的个数为 。
3.设坐标平面内有一个质点从 原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5
次跳动质点落在点（3，0）（允 许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 。
4.已知

59
，则 的值

是 。
三、解答题（本大题共4题，每题12分，满分48分）
1.在某次文艺晚会上，共有5个不同的 歌唱节目、三个不同的舞蹈节目，那么第一个是歌唱节目，并
且恰好有两个舞蹈节目连在一起的排法有多 少种？




2.现有一元人民币3张，五元人民币2张， 拾元人民币4张，伍拾元人民币1张，从中至少取一张（多
取不限），共可取得多少种不同的币值？





3. （1）若
；




（2）求



展开式中x的奇数次幂的项的系数之和。
，试求
4.设数列
x的降幂排列）。
为等比数列， ，公比q是 的展开式中的第二项（按
（1）用n，x表示通项
表示






。
与前n项和S
n
； （2）若 ，用n，x
附录Ⅱ

60

【概率练习】

一、选择题
1、甲射击命中目标的概率是
1
11
，乙命 中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在
3
24
三人同时射击目标，则目标被击中 的概率为( )
3247
A. B. C. D.

43510
2、已知随机变量
ζ
的分布列为：P(
ζ
=k)=
A.6
二、填空题
3、1盒中有9个正品和3个废品，每 次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前
已取出的废品数
ζ
的期望E
ζ
=_________.
4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中 选出4人参加某项活
动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.
三、解答题
5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率.









6、部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停 止工作.若一周5个
工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次 故障可
获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

1
,k=1,2,3,则P(3
ζ
+5)等于( )
3
B.9 C.3 D.4





61

附录Ⅲ
袋中有同样的球
5
个，其中
3
个红色，
2
个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每
次摸
1
个，当两种颜色的球都被摸到 时，即停止摸球，记随机变量
?
为此时已摸球的次
数，求：.
(1)随机变 量
?
的概率分布律；(2)随机变量
?
的数学期望与方差.



62