2018年高考数学江苏卷及答案解析

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在

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此
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_< br>_
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号
卷
生
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考
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上

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_< br>_
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_< br>_
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名
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_
姓_
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答

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题
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校
学
业
毕
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无
--------------------
效

绝密★启用前
江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷共160分.考试时长120分钟.
参考公式：
锥形的体积公式
V?
1
3
Sh
,其中
S
是椎体的底面积,
h是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集 合
A?{0,1,2,8}
,
B?{?1,1,6,8}
,
那么AB?
.
2.若复数
z
满足
i z?1?2i
,其中
i
是虚数单位,则
z
的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数
的平均数为 .

4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的
S
的值为 .

5.函数
f(x)?log
2
x?1
的定义域为 .
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名
女生的概率为 .
7.已知函数
y?sin(2x?
?
)(?
π
2
?
?
?
π
2
)
的图象关于直线x?
π
3
对称,则
?
的值
是 .
数学试卷 第1页（共26页）
在平面 直角坐标系
xOy
中,若双曲线
x
2
y
2
8.a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F(c,0)
到一条
渐近线的距离为
3
2
c
,则其离心率的 值是 .
9.函数
f(x)
满足
f(x?4)?f(x)(x?R)
,且在区间
(?2,2]
上,
?
cos
?
x(0＜x
f
?
x
?
?
?
?
?
2
≤2)，
,则
f(f(15))
的值为 .
?
1
?
?
x?
2
(-2＜x≤0)，
10.如图所示,正方体的 棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .

11.若函数
f (x)?2x
3
?ax
2
?1(a?R)
在
(0,??)< br>内有且只有一个零点,则
f(x)
在
[?1,1]
上
的最大值 与最小值的和为 .
12.在平面直角坐标系
xOy
中,
A
为直线
l:y?2x
上在第一象限内的点,点
B(5,0)
,以
AB
为直径的圆
C
与直线
l
交于另一点
D
.若
ABCD?0
,则点
A
的横坐标
为 .
13.在
△ ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对应的边分别为
a
,
b
,
c
,
?ABC?120
,
?A BC
的平分
线交
AC
于点
D
,且
BD?1
,则
4a?c
的最小值为 .
14.已知集合
A?{xx?2n?1 ,n?N
*
}
,
B?{xx?2
n
,n?N
*}
.
将
AB
的所有元素从小
到大依次排列构成一个数列
{a
n
}
,记
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和,则使得
S
n
＞12a
n?1
成
立的
n
的最小值为 .



数学试卷 第2页（共26页）

二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.(本小题满分14分)
在平行六面体
ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
中,
AA
1
?AB
,
AB
1
?B
1
C
1
.

求证 ：(Ⅰ)
AB
∥
平面
A
1
B
1
C
；

(Ⅱ)平面
ABB
1
A
1
?
平面A
1
BC
.
(Ⅰ)求
cos2
?
的值；
(Ⅱ)求
tan(
?
?
?
)
的值.

16.(本小题满分14分)
已知
?
,
?
为锐角,
tan
?
?
4
5
,
cos(
?
?
?
)??
.

5
3



数学试卷













第3页（共26页）




















数学试卷 第4页（共26页）

17.(本小题满分14分) 18.(本小题满分16分)


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-------------在
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此
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号

生
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考
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卷
_< br>_
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名
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上
_
姓_
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_< br>_
答
_
_
_
_
_
校
学
业< br>毕
--------------------
题
------------- -------
无
--------------------

效
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆
O
的一段圆弧
MPN
(
P
为此圆弧的中
点)和线段
MN
构成,已知圆
O
的半径为4 0米,
点
P
到
MN
的距离为50米.现规划
在此农田上修建 两个温室大棚,大棚
Ⅰ
内的地块形状为矩形
ABCD
,大棚
Ⅱ
内的地
块形状为
△CDP
,要求点
A
,
B
均在线 段
MN
上,
C
,
D
均在圆弧上.设
OC
与
MN
所成的角为
?
.

(Ⅰ)用
?
分别表 示矩形
ABCD
和
△CDP
的面积,并确定
sin
?
的取值范围；
(Ⅱ)若大棚
Ⅰ
内种植甲种蔬菜,大棚
Ⅱ
内种植乙 种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面
积年产值之比为
4:3
.
求当
?
为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.













数学试卷 第5页（共26页）
如图 ,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
过点
(3,
1
2
)
,焦点
F
1
(?3,0)
,
F
2< br>(3,0)
,
圆
O
的直径为
F
1
F
2
.

(Ⅰ)求椭圆
C
及圆
O
的方程；
(Ⅱ)设直线
l
与圆
O
相切于第一象限内的点
P
.

①若直线
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点,求点
P
的坐标；
②直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两点.若
△OAB
的面积为
26
7
,求直线
l的方程.













数学试卷 第6页（共26页）

19.(本小题满分16分)
记
f
?
( x)
,
g
?
(x)
分别为函数
f(x)
,
g(x)
的导函数.若存在
x
0
?R
,满足
20.(本小题 满分16分)
设
{a
n
}
是首项为
a
1
,公差为
d
的等差数列,
{b
n
}
是首项
b
1
,公比为
q
的等比数列.
(Ⅰ)设
a
1
?0
,
b
1
?1
,
q?2
若
|a
n< br>?b
n
|≤b
1
对
n?1,2,3,4
均成立,求< br>d
的取值范围；
(Ⅱ)若
a
1
?b
1
?0
,
m?N
*
,
q?(1,
m
2]
,
证明：存在
d?R
,使得
|a
n
?b
n
|≤b< br>1
对
f(x
0
)?g(x
0
)
且
f
?
(x
0
)?g
?
(x
0
)
,则 称
x
0
为函数
f(x)
与
g(x)
的一个“
S
点”.
(Ⅰ)证明：函数
f(x)?x
与
g(x)?x
2
?2x?2
不存在“
S
点”；
(Ⅱ)若函数
f(x) ?ax
2
?1
与
g(x)?lnx
存在“
S
点”, 求实数
a
的值；
n?2,3,…,m?1
均成立,并求
d
的取值范围(用
b
1
,
m
,
q
表示).
Ⅲ)已知函数
f(x)??x
2
?a
,
g(x)?
bex
(
x
.
对任意
a?0
,判断是否存在
b?0
,使函
数
f(x)
与
g(x)
在区间
(0,??)
内存在“
S
点”,并说明理由.

















数学试卷 第7页（共26页）




















数学试卷 第8页（共26页）

-------------
----------------
数学Ⅱ(附加题)
本试卷均为非选择题(第21题~第23题).
本卷满分40分,考试时间为30分钟.
21.
【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题,请选定其中两小题并作答,若多做,则按作答
．．．．．．．．．．．

C.[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,直线
l
的方程为
psin（
被曲线
C
截得的弦长.
在
?
6
?
?
）?2
,曲线
C
的方程为
p?4 cos
?
,求直线


_
_
_
----- ---------------
_
_
此
_
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_
_
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号

生
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_
考
_
卷< br>_

_

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_
< br>_
_
_
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_
_
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_
_
_< br>
_

_

_
--------------------

_
_
_< br>_
上
_
_
_
_
_
_
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_< br>_
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_
名
_
_
姓_
_

_

_

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--------------------

_

答< br>_
_
_
_
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_< br>_
_
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校
--------------------
学题
业
毕
--------------------
无
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效
的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

A.[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆
O的半径为2,
AB
为圆
O
的直径,
P
为
AB< br>延长线上一点,过点
P
作圆
O
的切线,切点为
C
,若
PC?23
,
求
BC
的长.


B.[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵
A?
?< br>?
23
?
?
12
?
?

(I)求
A
的逆矩阵
A
?1
；
(Ⅱ)若点
P
在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P（'31，）
,求点
P
的坐标。





数学试卷 第9页（共26页）











D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
若
x，y，z
为实 数,且
x?2y?2z?6
,求
x
2
?y
2
?z< br>2
的最小值.









数学试卷 第10页（共26页）

【必做题】第2 2题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)如图,在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB?AA
1
?2
,点
P，Q
分别
为
A
1
B
1
,BC
的中点.
(I)求异面直线
BP
与
AC
1
所成角的余弦值；
(Ⅱ)求直线
CC
1
,与平面
AQC
1
所成角的正弦值.
23.(本小题满分10分)
设
n?N
*
,对1,2,…,
n
的一个排列
i
1
i
2
i
n
,如果当< br>s?t
时,有
i
s
?i
t
,则称是
（is
，i
t
）
排列
i
1
i
2
i
n
的一个逆序,排列
i
1
i
2
i
n
的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对
1,2,3的一个排列231,只有两个逆序
?
2,1
?
，
?
3,1
?
,则排列231的逆序数为 2.记
f（
n
k）
为
1,2,,n
的所有排列中逆序数为< br>k
的全部排列的个数。
(I)求
f
3
?
2
?
,f
4
?
2
?
的值；
）
(Ⅱ)求f（
?
n?5
?
的表达式(用
n
表示)。
n
2

数学试卷 第11页（共26页）









































数学试卷第12页（共26页）

江苏省
2018
年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案解析

一、填空题
1.【答案】
{1,8}

【解析】观察两个集合即可求解。
【考点】集合的交集运算
2.【答案】2 【解析】
i(a?bi)?ai?bi
2
?ai?b?1?2i
，故a?2,b??1,z?2?i
.
【考点】复数的运算
3.【答案】90
【解析】
89?89?90?91?91
5
?90

【考点】茎叶图，数据的平均数
4.【答案】8
【解析】代入程序前
?< br>?
I?1
S?1
符合
I?6
，
?
第一次代 入后
?
?
I?3
，符合
?
S?2
I?6
， 继续代入；
第二次代入后
?
?
I?5
，符合
?
S ?4
I?6
，继续代入，
第三次代入后
?
?
I?7
，不符合
?
S?8
I?6
，输出结果
S?8
，
故最后输出
S
的值为
8
.
【考点】伪代码

5.【答案】
[2,??)

【解析】
?
?
log
2
x?1≥0
，解之得
x≥2
，即
[2,??)
.
?
x?0
【考点】函数的定义域，对数函数
数学试卷 第13页（共26页）
6.【答案】
3
10

【解析】假设
3
名女生为< br>a,b,c
，男生为
d,e
，恰好选中
2
名女生的情况有：选
a
和
b
，
a
和
c
，
b
和
c
三种。
总情况有
a
和
b
，
a
和
c
，
a
和
d
，
a
和
e
，
b
和
c
，
b
和
d
，
b
和
e
，
c
和
d
，
c
和
e
，
d
和
e
这
10
种，两者相比即为答案
3
10

【考点】古典概型
7.【答案】：
?
?
6

【解析】函数的对称轴为
?
2
+k
?
?
2
+k
?
(k?Z)
，
故把
x?
?
2
?< br>3
代入得
3
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
??
?
6
?k
?

因为
?
?
2
?
?
?
?
2
，所以
k?0,
?
??
?
6
.
【考点】正弦函数的图像和性质
8.【答案】2
【解析】由题意画图可知，渐近线
y?
b
a
x
与坐标轴的夹角为
60
。
故
b
?3,c
2< br>?a
2
c
a
?b
2
?4a
2
，故< br>e?
a
?2
.
【考点】双曲线的几何性质
9.【答案】
2
2

【解析】因为
f(x?4)?f(x)
，函数的周期为
4
，
所以
f(15)?f(?1),f(?1)??1?
1
2
?
12

∴
ff(f(15))?f
?
?
1
??
2
?
2
?
?
?cos
4
?
2
.
【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解
10.【答案】
4
3

【解析】平面
ABCD
将多 面体分成了两个以
2
为底面边长，高为
1
的正四棱锥，
所以其体积为
2?2?1?
1
?2?
4
33
.

数学试卷 第14页（共26页）

【考点】空间几何体的结构，体积的计算
11.【答案】
?3

【解析】
f(x)?2x
3
?ax
2
?1?a?2x?
1
x
2

令
g (x)?2x?
1
x
2
,g
'
(x)?2?
2x
3
?0?2x
3
?3x
2
?1

在
(0,1)
上单调递减，在
(1,??)
上单调递增
∵ 有唯一零点∴
a?g(1)?2?1?3?f(x)?2x
3
?3x
2
?1

求导可知在
[?1,1]
上，
f(x)
min?f(?1)??4,f(x)
max
?f(0)?1

∴
f(x)
min
?f(x)
max
??3

【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用
12.【答案】3
【解析】∵
AB
为直径∴
AD?BD

∴
BD
即
B
到直线
l
的距离。
BD?
0?2?5
1
2
?2
2
?25

∵
CD?AC?BC?r
，又
CD?AB

∴
AB?2BC?210

设
A(a,2a)

A B?(a?5)
2
?4a
2
?210?a?1
或
3
（舍去）.
【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系
13.【答案】9 【解析】由面积得：
1
acsin120??
1
22
asin6 0??
1
2
csin60?

化简得
a?c?ac?c?
a
a?1
(0?a?1)
4a?c?4a?
a
a?1
?1?4(a?1)?
1
(a?1)
?5
1

≥24(a??1)?
a?1
?5?9
当 且仅当
4(a?1)?
1
a?1
，即
a?
3
2,c?3
时取等号。
【考点】三点共线，基本不等式的应用
14.【答案】27
【解析】
B?{2,4,8,16,32,64,128??? }
与
A
相比，元素间隔大。所以从
S
n
中加了几个
B
中
元素考虑。
1
个：
n?1?1?2,S
2
? 3,12a
3
?24

2
个：
n?2?2?4,S
4
?10,12a
5
?60

3
个：
n?4?3? 7,S
7
?30,12a
8
?108

4
个：n?8?4?12,S
12
?94,12a
13
?204


数学试卷 第15页（共26页）
5
个：
n?16?5?2 1,S
21
?318,12a
22
?396

6
个 ：
n?32?6?38,S
38
?1150,12a
39
?780< br>
发现
21≤n≤38
时
S
n
?12a
n+ 1
发生变号，以下用二分法查找：
S
30
?687,12a
31< br>?612
，所以所求
n
应在
22?29
之间.
S< br>25
?462,12a
26
?492
，所以所求
n
应 在
25?29
之间.
S
27
?546,12a
28
?540
，所以所求
n
应在
25?27
之间.
a
26
?503,12a
27
?516.

∵S
27
?12a
28
，而
a
26
?12a27
，所以答案为
27
.
【考点】等差数列，等比数列
二、解答题
15.【答案】（Ⅰ）∵平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1

∴面
ABCD
面< br>A
1
B
1
C
1
D
1

∵
AB?
面
ABCD

∴
AB
面
A
1
B
1
C
1
D
1

又面
ABA
1
B
1
面
A
1
B
1
C< br>1
D
1
?A
1
B
1

且
AB?
面
ABA
1
B
1

∴
ABA
1
B
1

又
A
1
B
1
?
面
A
1
B
1
C,AB?
面
A
1
B
1
C

∴
AB
面
A
1
B
1
C

（Ⅱ）由
1
可知：
BCB
1
C
1

∵
AB
1
?B
1
C
1

∴
AB
1
?BC

∵平行六面体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1

∴
AB?A
1
B
1

又由
1
得
ABA
1
B
1

∴四边形
ABB
1
A
1
为平行四边形
∵
AA
1
?AB
1

∴平行四边形
ABB
1
A
1
为菱形
∴
AB
1
?A
1
B

又
A
1
BBC?C

∴
AB
1
?
面
A
1
BC

∵
AB
1
?
面
ABB
1
A
1

∴面
ABB
1
A
1
?
面
A
1BC

【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面
16.【答案】（Ⅰ）方法一：
∵
tan
?
?
4sin< br>?
3
∴
cos
?
?
4
3

又
sin
2
?
?cos
2
?
?1

数学试卷 第16页（共26页）

∴
sin
2?
?
16
25
,cos
2
?
?
925

∴
cos2
?
?cos
2
?
? sin
2
?
??
7
25

方法二：
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
cos
2
?
?sin
2
?
?
1?ta n
2
?

2
1?
?
?
4
?
?
?
3
?
?
7
1?
?
?
4?
2
??
25
?
3
?
?
（Ⅱ）方法一 ：
cos2
?
??
7
??
24
25
,< br>?
为锐角
?
4
?
?
?
2
?sin2
?
?0?sin2
?
?
25

∵
cos(
?
?
?
)??
5
5
,
?
,
?
均为锐角，
?
2
?
?
?
?
?
?

∴
sin(
?
?
?
)?
25
5

∴
cos(
?
?
?
)?cos(2
?
?(
?
?
?
))?cos2
?
cos(
?
?< br>?
)?sin2
?
sin(
?
?
?
)?115
25
∴
sin(
?
?
?
)?sin(2
?
?(
?
?
?
))?sin2
?
cos(
?
?
?
)?cos2
?
sin(
?
??
)??
25
25
∴
tan(
?
?
?
)?
sin
?
(
?
?
?
)
cos (
?
?
?
)
??
2
11

方法二：
∵
?
为锐角
cos2
?
??
7
25
∴
2
?
?(0,
?
)

∴< br>sin2
?
?1?cos
2
2
?
?
2425

∴
tan2
?
??
24
7
< br>∵
?
,
?
为锐角∴
?
?
?
?(0,
?
)
又∵
cos(
?
?
?
)??
5
5

∴
sin(
?
?
?
)?
25
5

∴
tan(
?
?
?
)??2

∴
tan(
?
?
?
)?tan(2
?
?(
?
?
?
))?
tan2
?
?tan(
?
?
?
)
1?tan2
?
tan(
?
?
?
)
数学试卷 第17页（共26页）
?
7?
25
?(?2)
2
1?(?2)
?
?
7?
??
11

?
?
25
?
?
【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换
17.【答案】（Ⅰ）过
N
作< br>MN
垂直于交圆弧
MPN
于，设
PO
交
CD
于
H

BC?40sin
?
?10,AB?2?40cos
?
?80cos
?
,PH?40?40sin
?

S
矩形ABCD
=AB?BC?(40sin
?
?10)?80cos
??3200sin
?
cos
?
?800cos
?
S
11
?CDP
?
2
?AB?PH?
2
?80 cos
?
?
?
40?40sin
?
?
?1600c os
?
?1600sin
?
cos
?
.
当
C
点落在劣弧
MN
上时，
AB?MN
，与题意矛盾。
所以点
C
只能落在劣弧上.
所以
MN
2
≤40s in
?
＜OP
，即
1
4
?sin
?
?1< br>
（Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为
4k(k?0)
，则乙种蔬菜年产值为
3 k
，设总年产值为
y
则
y?4kS
矩形ABCD
+3kS< br>△CDP
?8000（ksin
?
cos
?
?cos
?
）

设
f
?
?
?
?sin
?< br>cos
?
?cos
?
,f'
?
?
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?sin
?
? ?2sin
2
?
?sin
?
?1

令
f< br>?
(
?
)?0
，解得
sin
?
??1
或
1
1
?
?
?
2
，根据
1
舍去
?1
，记
sin
?
0
?
4
,
?< br>0
?
?
?
0,
2
?
?

?

?
?
?
?
?
?
?
?
0
,
6
?
?

6

?
?
?
6
,
?
?
2
?
?

f
?
(
?
)

?

0

?

f(
?
)

单调递增 极大值 单调递减
y

单调递增 极大值 单调递减
答：当
?
?
?
6
时，年总产值最大.
【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用
18.【答案】（Ⅰ）
x
2
4
?y
2
?1

（Ⅱ）①
(2,1)
②
y??5x?32

?
c< br>2
?a
2
?b
2
?3
【解析】（Ⅰ）由题意
?
?
?
点
?
?
?
?
3，
1
?
2
?
?
代入
3
a
2
?
1
4b
2
?1
解得
a
2
?4
，
b
2
?1

x
2
即椭圆标准方程为
4
?y
2
?1
< br>（Ⅱ）设
P(m,n)
，则
m
2
?n
2
?3

数学试卷 第18页（共26页）

显然
l
斜率存在，设，
l:y?kx?p,k=< br>n
OP
m
，

则
k??
m
n
，
l:y??
m
n
?p

将
P(m,n)
代入，得
p?n?
m
2
3
n
?
n

∴
l:y??
m3
n
x?
n
与椭圆方程联立 得
(4m
2
?n
2
)y
2
??6ny?9?4 m
2
?0

①与椭圆相切，则
??0
，即
36n< br>2
?4(4m
2
?n
2
)(9?4?4m
2
)?0

将
m
2
?n
2
?3
代入，解得< br>?
?
m
2
?0
?
m
2
?2
?
n
2
?3
(舍去)或
?
?
n
2
?1

由于
P
在第一象限，则
m?2
，
n?1

即
P(2,1)

②设
l
与轴交点为
M

在
l:y??
m
n
x?
3
n
中令
y?0
，得
x?
3
?
3
?
n
，即
M?
?
?
n
,0
?
?

假设
A
的纵坐标大于
B
的纵坐标
S
13
△OAB
?S
△OAM
?S
△OBM
?
2m
|y< br>A
?y
B
|

而
|y
A
?y
B
|?(y
A
?y
B
)
2
?4y
Ay
B

y
6n
A
?y
B
?
4 m
2
?n
2
，
y
9?4m
2
2
A
y
B
?
4m
2
?n
2
a?4,b
2
?1

?
2
2
即
3
2m
?6n
?
4(9?4m)
?
4m
2
?n
2
?
?
?
4m
2
?n
2
?
26
7

将
m
2
?n
2
?3
代入
16
化简得
3
3
m
2
(m
2
?2)
2 6
2mm
2
?1
?
7

解此方程，得
m< br>2
?20
，(由已知条件，
m?(0,3)
舍)或
5
2
，
n
2
?
1
2

由于
P
在第一象限，则
m?
102
2
，
n?
2

回代入
l:y??
m3
n
x?
n
，得
l:?5x ?32

【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置
关系 < br>19.【答案】（Ⅰ）
f
?
(x)?1
，
g
?
(x)?2x?2


数学试卷 第19页（共26页）
若存在，则有
??
?
x
2
0
?2x?2?x
0
…(1)
?
?
1?2x

0
+2…(2)
根据2得到
x< br>1
0
??
2
代入1不符合，因此不存在
（Ⅱ）
f< br>?
(x)?2ax
，
g
?
(x)?
1
x
?
根据题意有
?
ax
0
?1?lnx
0…(1)
?
?
2ax
1
且有
x
0
?0

?
0
?
x
…(2)
0
根据2得到
x
1
0
?
2a
代入1得到
a?
e
2
（Ⅲ）
f
?
(x)??2x
，
g
?
(x)?
be
x
(x?1)
x
2

?
x< br>?
根据题意有
?
?x
2
0
?a?
be
?
x
…(1)
0
?
x
x

0
?
?2x?
be(
0
?1)
?
0
x
2
…(2)
0
?2x
2
根据2有
be
x
0
?
0
x
?0?0?x
0
?1

0
?1转化为
?x
2
2x
2
0
0
?a?
x< br>?0

0
?1
∵
0?x
0
?1
< br>∴
?x
3
0
?x
2
0
?a(x
0< br>?1)?2x
2
0
?0

?m(x)??x
220
?3x
0
?a(x
0
?1)?0

转化为< br>m(x)
存在零点
x
0
，
0?x
0
?1
又
m(0)??a?0
，
m(1)?2

∴恒存在零点大于0小于1
∴对任意均存在
b?0
，使得存在“
S
点”.
【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用
20.【答案】（Ⅰ）由题意得
|a
n
?b
n
|≤1
对任意
n?1,2,3,4
均成立
故当
a
1
?0
，
q?2b
1
?1
时
?
|0?1|≤1
?
?
?
1≤d≤3
可得?
?
|d?2|≤1
?
|2d?4|≤1
即
?
?
3
≤d≤
5

?
2
?
?
2?
|3d?8|≤1
?
?
75
?
3
≤d≤2
数学试卷 第20页（共26页）

所以
7
≤d≤
5
32

（Ⅱ）因为
a1
?b
1
?0
，
|a
n
?b
n
|≤b
1
对
n?2,3,…m?1
均能成立
把
a
n?1
n
，
b
n
代入可得
|b
1
?(n ?1)d?b
1
q|≤b
1
(n?2,3,…,m?1)

b
1
n?1
化简后可得
1
q
n?
n?1
? 2b
b
1
n?1
b
1
1
?
n?1
(q?2n?2)?
n?1
(2
m
?2n?2)≤0(n?2,3,…,m? 1)

n?1
因为
q?(1,
m
2]
，所以
2
m
≤2
，
2?2n≤(n?2,3,…,m?1)

b
n?1
而
1
q
n?1
?0(n?2,3,…,m?1）
所以存在
d?R
，使得
|a
n
?b
n
|≤b
1
对
n?2,3,…,m?1
均成立
当
m?1< br>时，
(2?2)b
1
≤d≤2b
1

2
时， 设
c
b
?1
当
m≥
1
q
n
n?
n?1
，则
b
nn?1
c
1
qb
1
q
(q?1)n?q
n?1
?c
n
?
n
?
n?1
?b
1
q
n?1
n(n?1)
(n?2,3 ,…m)

设
f(n)?(q?1)n?q
，因为
q?1?0
，所以
f(n)
单调递增，又因为
q?(1,
m
2]
< br>?
所以
f(m)?(q?1)m?q≤(m?1)
?
?
mm
?
?
2?
m?1
?
?
?(m?1)
?
1
?
?
2
m
?
1
?
?
?
1?
1
?

m
?
?
设
1
m
?x
1
m
?x,x?
?
?
?
0,1
?
2
?
?
，且设
g(x)?2
x
?
1
x?1
，那么
g
'
(x)?2
x
ln2 ?
1
(x?1)
2

因为
2
x
ln2≤2 ln2
，
1
(x?1)
2
≥4

所以
g< br>'
(x)?2
x
ln2?
1
?
1
(x?1)
2
?0
在
x?
?
?
0,
?
2?
?
上恒成立，即
f(x)
单调递增。
所以
g(x)
的最大值为
g
?
?
1
?
?
2
?< br>?
?2?2?0
，所以
f(m)?0

∴
f(n)? 0
对
2≤n≤m
均满足，所以
{c
n
}
单调递减
∴
d?
?
?
b（
mm
1
q?2）b
1
?
?
m
,
q
m
?
?

【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用
21.
【选做题】

A.
【答案】2
【解析】先连圆心与 切点得直角三角形，求出
PO
，即得
B
为中点，再根据直角三角形
斜 边上中线长等于斜边一半的性质得结果
.
数学试卷 第21页（共26页）
详解：证明：连结
OC
．因为
PC
与圆
O
相切，所 以
OC?PC
.
又因为
PC?23
,
OC?2
,
所以
OP?PC
2
?OC
2
?4

又因为
OB?2
，从而
B
为
RtOCP
斜边的中点，所以
BC?2
.
【考点】圆与三角形等基础知识

B.【答案】（1）
A
?1
?
?
?
2?3
?
?
?12
?
?

（2）点
P
的坐标为
?
3，?1
?

【解 析】（1）因为
A?
?
?
23
?
?
，
de t
?
A
?
?2?2?1?3?1?0
?
12
，所以
?
A
可逆，
从而
A
?1
?
?
?< br>2?3
?
?
?12
?
?
．
（2）设
P(x，y)
，则，所以，
因此，点
P
的坐标为
(3，–1)
．
【考点】矩阵的运算、线性变换等基础知识
C.【答案】直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
23

【解析】因为曲线
C
的极坐标方程为
p?4cos
?
，
所以曲线
C
的圆心为
（2，0）
，直径为4的圆．
因为直 线
l
的极坐标方程为
psin（
?
6
?
?
）?2
，
则直线
l
过
A（4，0）
，倾斜角为
?
6
，
所以
A
为直线
l
与圆
C
的一个交点．
设另一个交点为
B
，则
?OAB?
?
6
．
连结
OB
，因为
OA
为直径，从而
?OBA?
?
2
，
所以
AB?4cos
?
6
?23
．
因此，直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
23
．
数学试卷 第22页（共26页）

【考点】曲线的极坐标方程
D.【答案】4
【解析】证 明：由柯西不等式，得
?
x
2
?y
2
?z
2
??
1
2
?2
2
?2
2
?
?
?
x?2y?2z
?
2
．
因为
x?2y?2z?6
，所以
x
2
?y
2
?z
2
?4
，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以
x
2
?y
2
?z
2
的最小值为4．
【考点】柯西不等式等基础知识
22.【答案】（1）
310
20

（2）
5
5

【解析】如图，在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，设
AC,AC
11
的中 点分别为
O,O
1
，则
OB?OC
，
OO
1
?OC
，
OO
1
?OB
，以
?
OB,OC,OO
1
?
为基底，建立空间直角坐标系
O?xyz
．
因为
AB?AA
1
?2
，
所以
A
?0,?1,0
?
B
?
3,0,0
?
A
1
?
0,?1,2
?
B
1
?
3,0,2
?
C
1
?
0,1,2
?
．

（1）因为
P
为
AB
?
31
,2
?
11
的中点，所以< br>P
?
?
2
,?
2
?
?
，
??
从而
BP?
?
?
31
?
?
2
,?
2
,2
?
?
,AC
?
1
?
?
0,2,2
?
，
?

数学试卷 第23页（共26页）
故
cosBP,AC
?1?4
10
1
?
BP?AC
1
BPAC
?
1
5?22
?
3
20
．
因此，异面直线
BP
与
AC
310
1
所成角的余弦 值为
20
．
（2）因为
Q
为
BC
的中点，所以< br>Q
?
?
31
?
?
2
,
2
, 0
?
?
，
??
因此
AQ?
?
?
33
,0
?
?
?
2
,
2
?
?，
?
AC
1
?
?
0,2,2
?
,CC
1
?
?
0,0,2
?
．
设
n?（x，y，z）
为平面
AQC
1
的一个法向量， < br>则
?
?
?
AQ?n?0
?
?
3
x?
3
y?
?
?
AC
1
?n?0
即
?
?
22
0

?
2y?2z?0
不妨取
n?
?
3,?1,1
?
，
设直线
CC
1
与平 面
AQC
1
所成角为
?
，
?n
则
sin
?
?cosCC
1
,n?
CC
1
CC
?< br>2
1
n
5?2
?
5
5
，
所以直线
CC
5
1
与平面
AQC
1
所成角的正弦值为
5
．
【考点】空间向量、异面直线所成角和线面角
23.【答案】（1）2 5
（2）
n?5
时，
f
n
2
?n?2
n
?
2
?
?
2

【解析】（1）记
iabc
??
为排列
abc
的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
i
?
123
?
?0,i
?
132
?
?1,
i
?
213
?
?1,i
?
231
?
?2, i
?
312
?
?2,i
?
321
?
?3< br>，
所以
f
3
?
0
?
?1,f
3< br>?
1
?
?f
3
?
2
?
?2
．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中
的位置只能是最后三个位置．
因此，
f
4
?
2
?
?f
3
?
2
?
?f
3
?
1
?< br>?f
3
?
0
?
?5
．
数学试卷 第24页（共26页）

（2）对一般的
（nn?4）
的情形，逆序数为0的排列只有一个：
12n
，所以
f
n
?
0
?
?1
．
逆序数为1的 排列只能是将排列
12n
中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所
以
f
n
?
1
?
?n?1
．
为计算
f
n?1
?
2
?
，当
1，2，,n
的排列及其逆序数确定后， 将
n?1
添加进原排列，
n?1
在
新排列中的位置只能是最后三个位 置．
因此，
f
n?1
?
2
?
?f
n?
2
?
?f
n
?
1
?
?f
n
?
0
?
?f
n
?
2
?
?n
．
当
n?5
时，
f
n
?
2
?
??
?
f
n
?
2
?
?f
n?1
?
2
?
?
?
??
?
f
n?1
?< br>2
?
?f
n?2
?
2
?
?
?
???
?
f
5
?
2
?
?f
4
?
2
?
?
?
?f
4
?
2
?

?
?
n?1
?
?
?
n?2
?
?? 4?f
n
2
?n?2
4
?
2
?
?
2
，
因此，
n?5
时，
f
?
2
?
?
n
2
?n?2
n
2
．
【考点】数列通项公式 的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转
化为特殊数列)、联想(联想常见 的数列)等方法

数学试卷 第25页（共26页） 数学试卷第26页（共26页）