2018年江苏高考数学考试说明(含试题)

2018年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2018年普通高等 学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通
高中数学课程标准（实验）》，参照《普 通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏
省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人 才、促进学生健康发展、维
护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学 校继续
学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考 查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，
支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例 .注重知识内在联系的考查，
不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查 .
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这
几方面的能力.
（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，
能够根 据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互
关系，并能够对空间图形进 行分解和组合.
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质 ；能够
从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.
（3）推 理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，
运用归纳、类比和演绎进 行推理，论证某一数学命题的真假性.
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进 行运算及变形；能够根据问
题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或 近似计
算.

（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法 对数据进行整理、分析，
以解决给定的实际问题.
数学综合能力的考查，主要体现为分析 问题与解决问题能力的考查，要求能够综
合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学 的数学知识、思想和方法，构造适
合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数
学知识和思想方 法，创造性地解决问题.
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成. 选修测试历史的考生仅需对试题中的必做
题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这 两部分作答.必做题部
分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修 系
列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩
阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生
只需选考 其中两个专题）.
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、
C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.
具体考查要求如下：
1．必做题部分
内 容
1．集合 集合及其表示
要 求
A B C
√

√
子集


√
交集、并集、补集


√
函数的概念


√
函数的基本性质


√
指数与对数


√
指数函数的图象与性质
2．函数概念

与基本初

等函数Ⅰ
对数函数的图象与性质
√


√
幂函数


√
函数与方程


√
函数模型及其应用


√
三角函数的概念


√
同角三角函数的基本关系式


√
正弦函数、余弦函数的诱导公式
3．基本初等

函数Ⅱ（三
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与
√
角函数）、

性质
三角恒等

函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质

√
变换




√
两角和（差）的正弦、余弦及正切


√
二倍角的正弦、余弦及正切


√
4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用


√
平面向量的概念


√
平面向量的加法、减法及数乘运算


√
平面向量的坐标表示

5．平面向量

√
平面向量的数量积


√
平面向量的平行与垂直

√
平面向量的应用

数列的概念
6．数列 等差数列
等比数列
基本不等式
7．不等式 一元二次不等式
线性规划
复数的概念
8．复数 复数的四则运算
复数的几何意义
导数的概念
导数的几何意义
9．导数及其应
导数的运算
用
利用导数研究函数的单调性与极值
导数在实际问题中的应用
算法的含义
10．算法初步 流程图
基本算法语句
命题的四种形式
11．常用逻辑用
语
充分条件、必要条件、充分必要条件
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
合情推理与演绎推理
12．推理与证明
分析法与综合法
反证法


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√


√

√

√
抽样方法


√
总体分布的估计


√
总体特征数的估计


√
13．概率、统计 随机事件与概率


√
古典概型


√
几何概型

√


互斥事件及其发生的概率


√
柱、锥、台、球及其简单组合体

14．空间几何体

√
柱、锥、台、球的表面积和体积


√
平面及其基本性质

15．点、线、面
√
直线与平面平行、垂直的判定及性质

之间的位置关系

√
两平面平行、垂直的判定及性质


√
直线的斜率和倾斜角


√
直线方程


√
直线的平行关系与垂直关系

16．平面解析
√
两条直线的交点

几何初步

√
两点间的距离、点到直线的距离


√
圆的标准方程与一般方程


√
直线与圆、圆与圆的位置关系

中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何
√

性质
17．圆锥曲线 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几
√

与方程 何性质
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几
√

何性质

2．附加题部分

要 求
内 容
A B C



曲线与方程
√


√


√


√


√


√


√


√


√


√

√
选
修
1．圆锥曲线
系
与方程
顶点在坐标原点的抛物线的标准
列
：
不< br>含
选
修
系
列
中
的
内
容

2．空间向量
与立体几
空间向量的数量积
何
空间向量的共线与垂直
3．导数及其
简单的复合函数的导数
应用
1
2
方程与几何性质
空间向量的概念
空间向量共线、共面的充分必要条
件
空间向量的加法、减法及数乘运算
空间向量的坐标表示
直线的方向向量与平面的法向量
空间向量的应用

数学归纳法的原理
4．推理与证
明
数学归纳法的简单应用

√


√


√


√


√


√


√


√


√

√
加法原理与乘法原理
排列与组合
5．计数原理
二项式定理
离散型随机变量及其分布列
超几何分布
6．概率、统
条件概率及相互独立事件
计
n
次独立重复试验的模型及二项
分布
离散型随机变量的均值与方差
列
中
个
专
题











4















4
相似三角形的判定与性质定理
√

√


7．几何证明
射影定理
选讲
圆的切线的判定与性质定理
选
修
系

√

圆周角定理，弦切角定理
√


√


√


√

相交弦定理、割线定理、切割线定
理
圆内接四边形的判定与性质定理
矩阵的概念
二阶矩阵与平面向量
√

常见的平面变换
√


√


√


√


√


√


√

8．矩阵与变矩阵的复合与矩阵的乘法
换
二阶逆矩阵
二阶矩阵的特征值与特征向量
二阶矩阵的简单应用
坐标系的有关概念
9.坐标系与
参数方程
简单图形的极坐标方程

极坐标方程与直角坐标方程的互
化
参数方程

√


√


√


√


√


√


√

直线、圆及椭圆的参数方程
参数方程与普通方程的互化
参数方程的简单应用
不等式的基本性质
含有绝对值的不等式的求解
10．不等式选
不等式的证明（比较法、综合法、

讲
分析法）
算术-几何平均不等式与柯西不等
√
式
利用不等式求最大（小）值
运用数学归纳法证明不等式
三、考试形式及试卷结构
（一）考试形式


√

√
√


闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时 间
120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.

（二）考试题型
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组 成.其中填空题14小题，约
占70分；解答题6小题，约占90分.
2．附加题 附 加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系
列2（不含选修系列1）中的内容； 选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、
4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须 从中选2个小题作答.
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不 必写
出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（三）试题难易比例
必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在 试卷中的比例
大致为4：4：2.
附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中 等题和难题在试卷中的比例
大致为5：4：1.
四、典型题示例
A.必做题部分
1. 设复数
i
满足
(3?4i)z?|4?3i|
（i是虚数单位 ），则
z
的虚部为_____
【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.
【答案】
4

5
2. 设集合
A?{1,2},B?{a, a
2
?3},若A?B?{1}
，则实数
a
的值为_
【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.
【答案】1.
开始
k←1
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，
k
2
－5k+4>0
本题属容易题.
Y
输出k
结束
N
k←k +1

【答案】5

4. 函数
f(x)?
ln(x?1)
的定义域为
x?1
【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.
【答案】
(?1,1)?(1,??)

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中
随机抽取了
100
根棉花纤维的长度（棉花纤
维的长度是棉花质量的重要指标），所得数
据均在区间
[5,40]
中，其频率分布直方图
如图所示，则在抽测的
100
根中，有_ _根
棉花纤维的长度小于
20mm
.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.
【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于
20mm
的频率为
0. 04?5?0.01?5?0.01?5?0.3
,故频数为
0.3?100?30
.
6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩
具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.
【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.
【答案】
7. 已知函数
y?cosx与y?sin(2x?
?
) (0?x?
?
)
，它们的图像有一个横坐
标为的交点，则
?
的值是________.
【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函
数 的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.
本题属容易题.
【答案】.
?
6
?
3
5
6

8.在各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
中，若
a
2
?1,a
8
?a
6
?a
4
,则a
6< br>的值是______.
【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容
易题.
【答案】4.
x
2
9.在平面直角坐标系
xOy
中，双曲 线
?y
2
?1
的右准线与它的两条渐近线分别交于
P,Q
，
3
其焦点是
F
1
，
F
2
，则四边形
F
1
PF
2
Q
的面积是______.
【解析】本题主 要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦
点、焦距和直线与直线的交点等基础 知识.本题属中等难度题.
【答案】
23

10.如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?AD?3cm
，
AA
1
?2cm
，则四棱锥
A? BB
1
D
1
D
的体积为
D
1

3
C
1

B
1

D
C
B
cm．
A
1

【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力
和运算能力.本题属容易题.
【答案】6.
A
11.设直线
y?x?b
是曲线
y?l nx(x?0)
的一条切线，则实数
b
的值是 .
【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.
【答案】
ln2?1
.
x?a
,?1?x?0,
?
?
2
12.设
f(x)
是定义在
R
上且周期为2的函数， 在区间
[?1,1)
上，
f(x)?
?
|?x|
其中
,0?x?1,
?
?
5
59
a?R
.若
f(?) ?f()
，则
f(5a)
的值是 .
22
12
【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题
属 中等难度题.
【答案】
?


2
5

13.如图，在
?ABC
中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等
分点，< br>BA?CA?4
，
BF?CF??1
，则
BE?CE
的值是 .
【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平
面向量的数量积等基础知识 ，考查数形结合和等价转化的思想，
考查运算求解能力.本题属难题.
【答案】.
14. 已知正数
a，b，c
满足：
5c?3a
≤b≤4c?a，clnb
≥a?clnc
，
则的取值范围是 ．
【解析】 本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解
决问题的能力.本题属难题.
【答案】
[e,7]

二、解答题
15．在
?ABC中，角
A,B,C的对边分别为a,b,c
.已知
a?3，b?26，B?2A.

（1）求
cosA
值；
（2）求
c
的值.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力.
本题属容易题.
【参考答案】
（1）在
?ABC
中，因为
a?3，b?26，B?2A
，
故由正弦定理得
所以
cosA?
6
.
3
3262sinAcosA26
??
，于是.
sinAsin2 AsinA3
b
a
7
8
(2)由(1)得
cosA?
3
.所以
sinA?1?cos
2
A?
.
3
又 因为
B?2A
，所以
cosB?cos2A?2cos
2
?1?.
1
3
6
3

从而
sinB?1?co s
2
B?
22
.
3
在
?ABC中，因为A?B?C?
?
，
所以
s inC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?
因此由正弦定理得
c?< br>asinC
?5
.
sinA
53
.
9
16．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD
⊥平面 BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，
且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的
位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．
本题属容易题
【参考答案】 证明：（
1
）在平面
ABD
内，因为
AB
⊥
A D
，
EF?AD
，所以
EF∥AB
.
又因为
EF ?
平面
ABC
，
AB?
平面
ABC
，所以
EF
∥平面
ABC.
（
2
）因为平面
ABD
⊥平面
BCD
，

平面
ABD
平面
BCD=BD
，

BC?
平面
BCD
，
BC?BD
，

所以
BC?
平面
ABD
.
因为
AD?
平 面
ABD
，所以
BC?
AD
.
又
AB
⊥
AD
，
BCAB?B
，
AB?
平面
ABC
，
BC?
平面
ABC
，

所以
AD
⊥平面
ABC
，

又因为
AC
?
平面
ABC
，

所以
AD
⊥
AC.
x
2
y
2
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
E:
2
+
2=1(a＞b＞0)
ab
的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为，两准线之间的距离为
8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F
1
作直线PF
1
的垂线l
1
,过点F
2
作直线PF
2
的垂线l
2
.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l
1
，l
2
的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标. < br>【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何
性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题.
【参考答案】（
1
）设椭圆的半焦距为
c.
c1
1
2a
2
?8
，

因为椭圆
E
的离心率为，两准线之间的距离为
8
，所以
?
，
a2< br>2
c
1
2
解得
a?2,c?1
，于是
b?a
2
?c
2
?3
，

x
2
y2
因此椭圆
E
的标准方程是
??1
.
43
（
2
）由（
1
）知，
F
1
(?1,0)
，< br>F
2
(1,0)
.
设
P(x
0
,y
0
)
，因为点
P
为第一象限的点，故
x
0
?0, y
0
?0
.
当
x
0
?1
时，
l
2
与
l
1
相交于
F
1
，与题设不符
.
y
0
y
0
x?1PF
PF
当
0时，直线
1
的斜率为
x?1
，直线
2
的斜率为
x?1
.
0
0
因为
l
1
⊥PF
1
，
l
2
⊥PF
2
，所以直线
l
1
的斜率 为
从而直线
l
1
的方程：
y??
直线
l
2
的方程：
y??
x
0
?1
(x?1)
，

①

y
0
?x
0
?1x
0
?1< br>?
l

y
0
，直线
2
的斜率为
y< br>0
，
x
0
?1
(x?1)
.
②

y
0

2
2
1?x
0
1?x
0
)
.
由①②，解得
x??x
0
,y?
，所以< br>Q(?x
0
,
y
0
y
0
2
1?x< br>0
22
22
??y
0
，即
x
0
?y
0
?1
或
x
0
?y
0
?1
. < br>因为点
Q
在椭圆上，由对称性，得
y
0
22
x
0
y
0
又
P
在椭圆
E
上，故
??1.
43
2222
?
x
0
?
x
0?y
0
?1?y
0
?1
??
4737
,y0
?
由
?
x
0
2
y
0
2，解得
x
0
?
；
?
x
0
2
y
0
2
，无解
.
77
?1?1
?
?
?
?
33
?
4
?
4
因此点
P
的 坐标为
(
4737
,)
.
77
18. 如图：为保护河上 古桥
OA
，规划建一座新桥
BC
，同时设
立一个圆形保护区，规划要 求，新桥
BC
与河岸
AB
垂直；保护
区的边界为圆心
M在线段
OA
上并与
BC
相切的圆，且古桥两端
O
和A
到该圆上任一点的距离均不少于80
m
，经测量，点
A
位于点
O
正北方向60
m
处，
点
C
位于点
O正东方向170
m
处，（
OC
为河岸），
tan?BCO?.
（1）求新桥
BC
的长；
（2）当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直 线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考
查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的 能力..
【参考答案】
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k
BC
=－tan∠BCO=－.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k
AB
=.
3
4
4
3
4
3

设点B的坐标为(a,b)，则k
BC
=
b?04b?603
??,
k
AB
=
?,

a?1703a?04
解得a=80，b=120. 所以BC=
(170?80)< br>2
?(0?120)
2
?150
.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为
y??(x?170)
，即< br>4x?3y?680?0

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距 离是r，即
r?
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
?
680?3d
?d≥80
?
?
r?d≥80
?
5
所 以
?
即
?
解得
680?3d
r?(60?d)≥80
?
?
?(60?d)≥80
?
5
?
4
3
3|d680|?6803
?
5
?d
.
5
10≤d≤35

故当d=10时,
r?
680?3d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=
CF=
OC85 0500
,从而
AF?OF?OA?
.
?
cos?FCO334
3
4
5
3
5
680
.
3
4
5
400
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF
－
BF=150.
3
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =
680?3d
MDMDr3
.
???,
所以
r?
5
MFOF?OM
680
?d
5
3
因为O和A到圆M上任 意一点的距离均不少于80 m,

?
680?3d
?d≥80
?
?
r?d≥80
?
5
所以
?
即
?解得
10≤d≤35

680?3d
r?(60?d)≥80
?
?
?(60?d)≥80
?
5
?
故当d=10时,
r?
680?3d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
19. 设函数
f(x)?lnx?ax,g(x)?ex
?ax
，其中
a
为实数.
（1）若
f(x)
在
(1,??)
上是单调减函数，且
g(x)
在
(1,??)上有最小值，求
a
的取值范围；
（2）若
g(x)
在
(?1,??)
上是单调增函数，试求
f(x)
的零点个数，并证明你的结论. 【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结
合、分类讨论等 数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题．
【参考答案】解：(1)令f′(x) ＝
?a?
1
x
1?ax
＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞ )，故a
x
＞0，进而解得x＞a
－
1
，即f(x)在(a
－
1
，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a
－
1
)上 是
单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)
?
(a
－
1
，＋∞)，从而a
－
1
≤1，
即a≥1.令g ′(x)＝e
x
－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞
0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.
综上，有a∈(e，＋∞)．
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令 g′(x)＝e
x
－a＞0，解得a＜e
x
，
即x＞ln a.
因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e
－
1
.
结合上述两种情况，有a≤e
－
1
.
①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零点；
②当a ＜0时，由于f(e
a
)＝a－ae
a
＝a(1－e
a
)＜ 0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e
a,
1]
上的图象不间断，所以f( x)在(e
a,
1)上存在零点．
另外，当x＞0时，f′(x)＝－a＞0，故f (x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)
只有一个零点．
③当0＜a≤e
－
1
时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a
－
1
.当0＜x＜ a
－
1
时，f′(x)＞0，当x
＞a
－
1
时，f ′(x)＜0，所以，x＝a
－
1
是f(x)的最大值点，且最大值为f(a
－
1
)＝－ln a－1.
当－ln a－1＝0，即a＝e
－
1
时，f(x)有一个零点x＝e.
当－ln a－1＞0，即0＜a＜e
－
1
时，f(x)有两个零点．
实际上，对于0 ＜a＜e
－
1
，由于f(e
－
1
)＝－1－ae
－
1
＜0，f(a
－
1
)＞0，且函数f(x)在[e
－1
，
a
－
1
]上的图象不间断，所以f(x)在(e
－
1
，a
－
1
)上存在零点．
另外，当x∈(0，a
－
1
)时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a
－
1
) 上是单调增函数，所以
1
x
1
x
1
x
1
x

f(x)在(0，a
－
1
)上只有一个零点．
下面 考虑f(x)在(a
－
1
，＋∞)上的情况．先证f(e
a
－
1
)＝a(a
－
2
－e
a
－
1
)＜0.
为此，我们要证明：当x＞e时，e
x
＞x
2
.设h(x)＝ex
－x
2
，则h′(x)＝e
x
－2x，再设l(x)
＝h′(x)＝e
x
－2x，则l′(x)＝e
x
－2.
当x＞1 时，l′(x)＝e
x
－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调 增函数．故
当x＞2时，
h′(x)＝e
x
－2x＞h′(2)＝e
2
－4＞0，
从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，
h(x)＝e
x< br>－x
2
＞h(e)＝e
e
－e
2
＞0.即当x＞e时 ，e
x
＞x
2
.
当0＜a＜e
－
1
，即 a
－
1
＞e时，f(e
a
－
1
)＝a
－< br>1
－ae
a
－
1
＝a(a
－
2
－e
a
－
1
)＜0，又f(a
－
1
)＞0，
且 函数f(x)在
[a
－
1
，e
a
－
1
] 上的图象不间断，所以f(x)在(a
－
1
，e
a
－
1)上存在零点．又当x＞a
－
1
时，f′(x)
＝－a＜0，故f(x) 在(a
－
1
，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a
－
1，＋∞)上只有一
个零点．
综合①，②，③，当a≤0或a＝e
－
1
时，f(x)的零点个数为1，
当 0＜a＜e
－
1
时，f(x)的零点个数为2.
20. 设数 列
{a}
的前n项和为
S
．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S?a
，
n
n
1
x
nm
则称
{a}< br>是“H数列”．
n
（1）若数列
{a}
的前n项和
S?2( n?N)
，证明：
{a}
是“H数列”；
n?
n
n
n
（2）设
{a}
是等差数列，其首项
a
n1
?1
，公差
d?0
．若
{a
n
}
是“H数列”，求d的值；
n
（3）证明：对任意的等差数列
{a}
，总存在两个“H数列”
{ b}
和
{c}
，使得
n
n
a
n
?b
n
?c
n
(n?N
?
)
成立．

【解 析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证
能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）当
n≥2
时，
a
当
n?1< br>时，
a
∴
n?1
时，
S
n
1
n?S
n
?S
n?1
?2
n
?2
n?1
?2
n?1

?S
1
?2

?a
1
，当
n≥2
时，
S
n
?a
n?1

1
∴
{a}
是“H数列”
（2）
S
n
? na
1
?
n(n?1)n(n?1)
d?n?d

22

对
?n?N
，
?m?N
使
S
??
n
?a
m
，即
n?
n(n?1)
d?1?(m?1)d< br>
2
1
取
n?2
得
1?d?(m?1)d
，
m?2?
d

∵
d?0
，∴
m?2
，又< br>m?N
，∴
m?1
，∴
d??1

?
（3）设
{a}
的公差为d
n
令
b
n
?a
1
?(n?1)a
1
?(2?n)a
1
，对< br>?n?N
?
，
b
n?1
?b
n
??a
1

c
n
?(n?1)(a
1
?d)
，对
?n?N
?
，
c
n?1
?c
n
?a
1< br>?d

则
b
n
?c
n
?a
1
?(n?1)d?a
n
，且
{b
n
}，{c
n
}
为等差数列
{b
n
}
的前n项和
T
n
? na
1
?
n(n?1)n(n?3)
(?a
1
)
， 令
T
n
?(2?m)a
1
，则
m??2

22
当
n?1
时
m?1
；
当
n?2
时
m?1
；
当
n≥3
时，由于 n与
n?3
奇偶性不同，即
n(n?3)
非负偶数，
m?N

?
因此对
?n
，都可找到
m?N
，使
T
?
n
?b
m
成立，即
{b
n
}
为“H数列” ．
{c
n
}
的前ｎ项和
R
n
?
?
n(n?1)n(n?1)
(a
1
?d)
，令
c
n
?(m?1)(a
1
?d)?R
m
，则
m??1

22
?
∵对
?n?N
，
n(n?1)
是非负偶数，∴m?N

即对
?n?N
，都可找到
m?N
，使得
R
??
n
?c
m
成立，即
{c
n
}为“H数列”
因此命题得证.

B．附加题部分
1．选修
4?1
几何证明选讲
如图，
AB
是圆
O
的直径，
D
为圆
O
上一点，过点
D
作圆
O
的切线
交
AB
的延长线于点
C
,若
DA?DC
,求证:
AB?2BC.

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识 ，如三角形
的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】连 结
OD,BD
,因为
AB
是圆
O
的直径，所以
?A DB?90?,AB?2OB
因为
DC
是圆

O
的切线 ，所以
?CDO?90?
,又因为
DA?DC.
所以
?A??C.< br>于是
?ADB
≌
?CDO.
从而
AB?CO.
即2OB?OB?BC.
得
OB?BC.
故
AB?2BC.

2．选修
4?2
矩阵与变换
已知矩阵
A?
?
?< br>?10
??
12
?
，，求
A
?1
B
．
B?
???
?
02
??
06
?
【解析 】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】
设
A
的逆矩阵为
?
?
ab
??
?10
??< br>ab
??
10
??
?a?b
??
10
?，则，即
?
??
02
??
cd
??
01
??
2c2d
?
?
?
01
?
，故
a?? 1
，
b?0
，
cd
????????????
?
? 10
??
?10
?
?
12
??
?1?2
?
1
?1
???
AB??
?
c?0
，
d?< br>，从而
A
的逆矩阵为
A
?1
?
?
，所以，．
1
?
1
?
???
??
2
00
?< br>06
??
03
?
?2??2?
3．选修
4?4
坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆
C
经过点
P
?
C
的极坐标方程．
2，
?
4
?
，圆心为直线
?sin
?
?
?
?
?
?
?
3
? ?
3
?
2
?
与极轴的交点，求圆
【解析】本题主要考查直线 和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。本
题属容易题．
【参考答案】
∵圆
C
圆心为直线
?
sin
?
?
?
?< br>?
?
?
3
??
?
3
?
2
与 极轴的交点，
∴在
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
3
??
3
?
2
?
中令
?
=0
，得
?
?1
。
∴圆
C
的圆心坐标为（1，0）。
∵圆
C
经过点
P
?
2，
?
4
?
，∴圆
C
的半径为
PC?
??
2
2
?1
2
?2?1?2cos
?< br>4
=1
。
∴圆
C
经过极点。∴圆
C
的极坐 标方程为
?
=2cos
?
。
4．选修
4?5
不等式选讲

已知
a,b
是 非负实数，求证：
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b< br>2
)?

【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题．
【参考答案】
由
a,b
是非负实数，作差得
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)?a
2
a(a?b)?b
2
b(b?a
?(a?b)((a)
5
?(b)
5
)

当
a?b
时，
a?b,
从而
(a)
5
?(b)
5
,
得
(a?b)((a)
5
?(b)
5
)?0

当
a?b
时，
a?b
,从而
(a )
5
?(b)
5
,
得
(a?b)((a)
s
?(b)
5
)?0.

所以
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
).

5. 如图，在正四棱 柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
?2,AB?1
，点
N
是
BC
的
中点，点
M
在
CC
1
上，设二面角
A
1
?DN?M
的大小为
?
.
（1）当
?
?90
0
时，求
AM
的长；
（2）当
cos
?
?
6
6
时，求
CM
的长 。
【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间
向量解决问题的能力．本题属中等题．
【参考答案】
建立如图所示的空间直角坐标系
D?xyz
。
设
CM?t(0?t ?2)
，则各点的坐标为
A(1,0,0),A
1
1
(1,0,2) ,N(
2
,1,0),M(0,1,t)

所以
DN
?(< br>1
2
,1,0)
，
DM?(0,1,t),
DA
1< br>?(1,0,2)
.设平面
DMN
的法向量为
n
1
?(x
1
,y
1
,z
1
)
，则
n
1
?DN?0,n
1
?DM?0
,
即
x
1
?2y
1
?0,y
1
?tz
1
?0
，令
z
1
?1
,则
y
1
??t,x
1
?2t.

所以
n
1
?(2t,?t,1)
是平面
DMN< br>的一个法向量.
设平面
A
1
DN
的法向量为
n2
?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则n
2
?DA
1
?0,n
2
?DN?0

即
x
2
?2z
2
?0,x
2
?2y
2< br>?0
,令
z
2
?1
,则
x
2
??2 ,y
2
?1

所以
n
2
?(?2, 1,1)
是平面
A
1
DN
的一个法向量,从而
n
1
?n
2
??5t?1

(1)因为
?
?90
?
,所以
n
1
?n
2
??5t?1?0
解得t?
,从而
M(0,1,)

所以
AM?1
2
?1
2
?()?
1
5
51
?

5
1
5
1
5
(2)因为
|n
1
|
?5t2
?1,
|n
2
|?6

所以
cos?n1
,n
2
??
n
1
?n
2
|n
1
||n
2
|
?
?5t?1
65t?1
2

??
6
1
,解得
t?0
或
t?
. < br>6
2
1
2
因为
?n
1
,n
2
??
?
或
?
?
?
,所以
?5t?1
65 t
2
?1
1
2
根据图形和(1)的结论可知
t?
, 从而
CM
的长为.
x
(x?0)
6. 已知函数
f(x) ?
sin
，记
f(x)
为
f
x
0
nn?1
(x)
的导数，
n?N
?
．
（1）求
2f
1
?
?
f
?
?
?
的值；
?
?
?
222
2
（2）证明：对任意的
n?N
，等式
n f
?
n?1
?
?
f
?
?
?
?2
成立．
?
?
?
4442
n
【解析】本题主 要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础
知识。考察探究能力及推理论证能力 .本题属难题.
【参考答案】
sinx
?
?
cosxsinx< br>?
(1)解：由已知，得
f
1
(x)?f
0
?
(x)?
?
?
2
,

?
?
xx
?
x
?
cosx
?
?
?
sinx
?
?
sinx2cosx2sinx
?
于是
f
2
(x)?f
1
?
(x)?
?
?????,

??
2< br>?
23
xxx
?
x
??
x
?
所以< br>f
1
()??
2
??
216
???
故
,f()???,2f()?f()??1.

12
?
2
2
2
??
3
222
4
0
00
(2)证明：由已知， 得
xf(x)?sinx,
等式两边分别对x求导，得
f(x)?xf
?(x)?cosx
，
)
，类似可得 即
f(x)?xf(x)?cos x?sin(x?
?
2
01
2f
1
(x)?xf
2
(x)??sinx?sin(x?
?
)
，
3f
2
(x)?xf
3
(x)??cosx?sin(x?
3
?
)
，
2
4f
3
(x)?xf
4
(x)?sinx?sin (x?2
?
)
.
下面用数学归纳法证明等式
nf
n?1< br>(x)?xf
n
(x)?sin(x?
n
?
)
对所有 的
n?N
*
都成立.
2

(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即
kf
因为
[kf
k?1k?1
(x)?xf
k
(x)?sin(x?
k
?
)< br>.
2
?

(x)?xf
k
(x)]
??kf
k
?
?1
(x)?f
k
(x)?xf
k
(x)?(k?1)f
k
(x)?f
k?1
(x),
(k? 1)
?
]
，
2
[sin(x?
k
?
)]
?
?cos(x?
k
?
)?(x?
k
?
)
?
?sin[x?
222
所以
(k?1)f(x)?f
kk ?1
(x)
?sin[x?
(k?1)
?
]
.
2
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式
nf
令
x?
，可得
nf
4
n?1
(x)?xf
n
(x)?sin(x?
n
?
)
对所有的
n?N
*
都成立.
2
?
n?1
(
?
)?
?
f
n
(
?
)?sin(
?
?
n
?
)
(
n?N
*
).
44442
所以
nf(?
)?
?
n?1
4
f
n
(
?
)?
2
(
n?N
*
).
442