2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)

2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解

2017年5月7日8:00——10:00
一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）
1.已知向量
AP?1,3 ,PB??3,1
，则向量
AP
与
AB
的夹角等于 ．
解一：由题设
AP?PB?(1,3)?(?3,1)?0
，且
|AP| ?|PB|
，故
?APB
为等腰直角三角
形，从而向量
AP
与
AB
的夹角等于
????
?
.
4
2
， 所以向量
AP
2
解二：因为
AB?AP?PB?(1?3,3?1)
，所以
cos?AB,AP??
与
AB
的夹角等于
?
. < br>4
2.已知集合
A?x|
?
ax?1
??
a?x?
?0
，且
a?A,3?A
，则实数
a
的取值范围是 ．
??
解：有题设，知
?
?
(2a?1)(a?2)?0

?
(3a?1)(a?3)?0
?
a?2或a?
1
?
2
所以：
?

?
1
?a?3
?
3
所以
1
?a?
1
或
2?a?3

32
?
?
2
?
，其中
i
是虚数单位，则
z
3?z
2
?
．
?isin
33
3. 已知复数
z?cos
32
解：有题设
z?z?cos
6
?< br>?isin
6
?
?cos
4
?
?isin
4
?
?
1
?
3
i

333322
x
2
y
2
4.在平面直角坐标系
xOy
中，设
F1
,F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左，右焦点，
ab
P
是双曲线右支上一 点，
M
是
PF
2
的中点，且
OM?PF
2
,3PF
1
?4PF
2
，则双曲线的离心率
为
．

答案：5．
5.定义区间
?
x
1
,x2
?
的长度为
x
2
?x
1
．若函数
y ?log
2
x
的定义域为
?
a,b
?
，值域为?
0,2
?
，则
区间
?
a,b
?
的长 度的最大值与最小值的差为 ．

答案：3.
6.若关于
x
的二次方程
mx
2
?
?
2m?1?
x?m?2?0
?
m?0
?
的两个互异的根都小于1，则实数
m
的取值范围是 ．


?
3?7
?
,??
?
.
答案：
?
?
4
?
??
7.若
tan4x?
3
sin4xs in2xsinxsinx
，则
????
．
3
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx


答案：
3.

8.棱长为2的正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
在空间坐标系
O
-
xyz
中运动，其中顶点
A
保持在
z
轴
上，顶点
B
1
保持在平面
xOy
上，则
OC长度的最小值是 ．

答案：
6?2.

9.设数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
21
满足：
a
n?1
?a
n
?1
?
n?1,2,3,,20
?
，
a
1
,a
7
,a
21
成等比数列．若
a
1
?1,a
21
?9
，则满足条件的不同的数列的个数为 ．


答案：15099．
10.对于某些正整数
n
，分数
n?2
不是既约分数，则
n
的最小值是 ．
2
3n?7

答案：
17.

二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
na
n?1
2
,n?N
*
.
11.设数列
?
a
n
?
满足：①
a
1
?1
，②
a
n
?0
，③
a
n
?
na
n?1
?1
求证：（1）数列
?
a
n
?
是递增数列；
1
（2）对如图任意正整数
n
，
a
n
?1?
?
.

k?1
k
na
n?1
2a
n?1
?,
且
a
n
?0
， 证明：（1）因 为
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
nan?1
?1na
n?1
?1
n
所以
a
n?1< br>?a
n
?0
．所以
a
n?1
?a
n
,n?N
*
.

所以数列
?
a
n
?
是递增数列．

（2）因为
a
n?1
?a
n
?
所以当
n?2
时，
a
n?1
a
1
?
n?1
?,
< br>na
n?1
?1na
n?1
n
a
n
?
?
a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n ?1
?a
n?2
?
?
11
??
n?1n?2
n
1
?1?
?
.
k?1
k
??
11??1
21
?
?
a
2
?a
1
?
?a
1

1
又
a
1
?1?1?1,
所以 对任意正整数
n
，
a
n
?1?
?
.
k?1
k
n
x
2
y
2
12.在平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
E:
2
?
2
?1
?a?b?0
?
，直线
l:x?y?3a?0.
若椭
ab
3
，原点
O
到直线
l
的距离为
32.

2
（1）求椭圆
E
与直线
l
的方程；
圆
E
的离心率为
（2）若椭圆
E
上三点
P,A
?
0, b
?
,B
?
a,0
?
到直线
l
的距离分别 为
d
1
,d
2
,d
3
，
求证：
d
1
,d
2
,d
3
可以是某三角形三条边的边长．
?
3a
?32,
?
?
2
?
?
a?2,< br>3
?
c
,
解：（1）由题设条件得
?
?
，从 而
?

b?1.
a2
?
?
222
?
b?c?a,
?
?
?
x
2
故所求的椭圆
E:?y
2
?1
．直线
l:x?y?6?0.

4
（2）设
P
?
2cos
?
,sin
?
?
，则
d
1
?
所以
2cos
?
?sin
?
?6
2
?
6?5sin
?
?
?
?
?
2
,
其中
tan
?
?2.

62?1062?10
?d
1
?.

22
0?1? 6
2
?
2?0?6
52
,d
3
??22.

2
2
又
d
2
?
故
d
2
? d
1
.

因为
d
2
?d
3
?d
1
?d
3
?
529262?10
?22???d1
,

222
62?10102?1052
?22???d
1
.

222
所以
d
1
,d
2
,d
3
可 以是某个三角形的三条边的边长．
13.如图，圆
O
是四边形
ABCD的内切圆，切点分别为
P,Q,R,S,
OA
与
PS
交于点A
1
,
OB
与
PQ
交于点
B
1
，
OC
与
QR
交于点
C
1
，
OD
与
SR
交于点
D
1
．
求证：四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是平行四边形．

D
D
1
S
R
C
1
C
Q
O
B
1
A
1
B
P
A
证明：连接
PR ,QS.



D
D
1
S
R
C< br>1
C
Q
O
B
1
A
1
B
P< br>A
因为圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆，所以
OA< br>是
?SAP
的平分线，且
AP?AS.

在△
ASP
中，由三线合一，点
A
1
是线段
PS
的中点．
同 理点
B
1
是线段
PQ
的中点，所以
A
1
B
1
SQ
．

同理
A
1
D
1
B
1
C
1
．
所以四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是平行四边形．
14.求 满足
x
3
?x?y
7
?y
3
的所有素数
x
和
y.

解：满足题设条件的素数只有
x?5,y?2.

假设
y?5,
则
y
7
?y
3
?5y6
?y
3
?y
6
?20y
5
?y
3< br>?y
6
?6y
5
?70y
4
?y
3
?y
6
?6y
5
?15y
4
?20y
3
? 15y
2
?6y?1

?
?
y?1
?
.< br>6
所以，
x
3
?x
3
?x?y
7
? y
3
?
?
y?1
?
,
即
x?
?< br>y?1
?
.

又因为
x|x
3
?x?y7
?y
3
?y
3
?
y?1
??
y?1
?
y
2
?1
，且
x
为素数，
而
y?1?y?y?1?y
2
?1?
?
y?1
?
?x,
从而
x|y
3
?
y?1
??
y?1
?
y
2
?1,

这与
x|y
7
?y
3
矛盾．
所以
y?5.

因为
y
是素数，所以
y?2,
或
y?3.

当
y?2
时，
x
3
?x?120
，即
?
x?5
?
x
2
?5x?24?0,
所以
x?5.

当
y?3
时，
x
3
?x?2160?2
4
?3
3
?5.

所以
x?2,
或
x?3
，或
x?5.

经 检验，
x?2
，或
x?3
，或
x?5
时，
x
3
?x?2
4
?3
3
?5.

所以满足条件的素数只有
x?5,y?2.



2
62
??
??
??