江苏省2019-2020年高考数学(理科)密卷6

高考数学密卷（6）理
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合，，则= ．
2
3
2．已知复数z＝－i，其中i虚数单位，则z的模为 ． 1－i
3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解 学生视力情况，
现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共 抽
到测视力的人数为 ．
4．在平面直角坐标系中，若抛物线上
纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的
焦点到准线的距离为 ．
5．执行如图所示的流程图，则输出
S
的值为 ．


n
←
n – 1
开始
S
←
0
，
n
←
100
n<20
N
S
←
S + n
Y
输出
S
结束
(第5题)
6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为
柱的体积是 ．
7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线
对称，则的最小值为 ．
4π
，则该三棱
3
8．两人约定：在某天一同去
A
地， 早上7点到8点之间在
B
地会合，但先到达B地者最多在
原地等待5分钟，如果没有见 到对方则自己先行．设两人到达
B
的时间是随机的、独立的、
等可能的．那么，两人能 够在当天一同去
A
地概率是 ．
9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于
，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ．
→→
10．设正△
ABC
的边长为1，
t
为任意的实数 ．则|
AB
＋
tAC
|的最小值为 ．
11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ．
11
12．数列{a
n
}满足
a
1
＝，
a
2
＝，且a
1
a
2
+
a
2
a
3
+…+
a
n
a
n
+1
＝
na
1

a
n
+1
对任何正整数
n
成立，则
45
1
a
1
a
2
11
＋＋…＋的值为 ．
a
10
- 1 -

13．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数
m
的取值范
，
围是 ．
14．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知，
且，则实数的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分)
已知向量，．
（1）若，，且，求实数的值；
（2）若，求的最大值．



16．(本小题满分14分)
在平行六面体
ABC D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，，平面
BB
1
C
1
C
⊥底面
ABCD
，点、
F
分别是线段、
BC
的中点．
（1）求证：
AF
⊥
DD
1
；
（2）求证：
AD
平面．







17．(本小题满分16分)
x
2
y
21
如图，设椭圆
C
：
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)，离心率
e
＝，
F
为椭圆右焦点．若椭 圆上有一点
ab
2
P
在轴的上方，且
PF
⊥
x
轴，线段
PF
＝．
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）过椭圆右焦点
F
的直线（ 不经过
P
点）与椭圆交于
A
，
B
两点，当的平分线为时，求
- 2 -
3
2

直线
AB
的方程．











18．（本小题满分16分）
某公司 拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口
A
沿
AB
，
AC方向修建两条小路，
休息亭
P
与入口的距离为米（其中
a
为正 常数），过
P
修建一条笔直的鹅卵石健身步
行带，步行带交两条小路于
E
、
F
处，已知，．
（1）设米，米，求
y
关于
x
的函数关系式及定义域；
（ 2）试确定
E
，
F
的位置，使三条路围成的三角形
AEF
地 皮购价最低．









19．（本小题满分16分）
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间；
C
F
O
P
O
A
O
E
（17题图）
B
O
- 3 -

(2)若函数有两个极值点，且,求证:；
(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．








20．(本小题满分16分)
已知{
a
n
}为等差数列，{
b
n
}为等比数列，公比为
q
(
q
≠1)．令
A
＝{
k
|
a
k
＝
b
k
，
k
∈N*}．
(1)若
A
＝{1，2}，
①当
a
n
＝
n
，求数列{
b
n
}的通项公式；
②设
a
1＞0，
q
＞0，试比较
a
n
与
b
n
(
n
≥3)的大小？并证明你的结论．
(2)问集合
A
中最多有多少个元素？并证明你的结论．











高考模拟试卷（6）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．
．．．．．．．．．．．．．．．．．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
- 4 -

如图，圆
O
内接四边形
A BCD
，直线
PA
与圆
O
相切于点
A
，与
CD
的延长线交于点
P
，
AD
·
BC
＝
D P
·
AB
，求证：
AD
＝
BC
．




B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
二阶矩阵
M
对应的 变换将△
ABC
变换成△
A
1
B
1
C
1< br>，其中△
ABC
三个顶点坐标分别为
P
D
O
·
A
B
C
（第21题（A）
A
(1，－ 1)、
B
(－2，1)，
C
(2，2)，△
A
1
B
1
C
1
中与
A
、
B
对应的两个坐标分别为
A
1
(－1，－1)、
B
1
(0，－2)．求
C< br>1
点的坐标．




C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
ππ
若两条曲线的极 坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝1与ρ＝2sin(θ＋)，它们相交于
A
、
33
B
两点，求线段
AB
的长．



D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求证：对任意
x
，
y
∈R,不等式
x
＋
xy
＋
y
≥3(x
＋
y
－1)总成立．




． ．．．．．．．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答 ．
22．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为
中点，且平面，为线段上一动点，记．
22
- 5 -

（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．














23．（本小题满分10分）
1
21
n
设函数
f
n
(
x
)＝1+
x+
x
＋…＋
x
，
n
∈N*．
2!
n
!
(1)求证：当
x
∈(0，＋∞)时， e＞
f
n
(
x
)；
1
x
(2)若
x
＞0，且e＝
f
n
(
x
)+
x
n
+1
e
y
，求证：0＜
y
＜
x
．
(
n
+1)!







高考模拟试卷（6）参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：
x
- 6 -

1．
2

3
2．5 解：
z
＝－i＝1＋i＋i＝1＋2i，所以|
z
|＝5．
1－i
3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人
数为120，
高一抽到的人数为110，共348人．
4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6．
5．4860 解：由题设可知，
S
＝100+99+98+…+20＝4860．
6．6 3 解：由体积得球半径
R
＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．
V
＝
＝6 3．
7． 解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称，
所以，所以，即，，所以的最小值为．
23
8． 解：设两人到达
A
地的时间分别是7点边
m
分和7点过
n
分(0≤
m
、
n
≤60)．
144
用数对(
m
，
n
)表示两人分别到达
A
地的时间． 则在直角坐标系中，
点(
m
，
n
)的存在域是一个边长为60的正 方形，其面积为3600．
两人能够在当天一同去
A
地等价于|
m
－
n
|≤5．此时，相应点的存在
域是正方形中位于两直线
m
－
n
＝±5之间的部分区域(如图)，
57523
2
其面积为3600－55＝575．故所求概率为＝．
3600144
9． 解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离
．所以，解得．
10．
3
→→→→
解：令
a
＝
AB
，
b
＝
AC
．则|
a
|＝|
b
|＝1，
a
、
b
的夹角为60°．于是，|
AB
＋
tAC
2
3
2
(2 3)×2
4
1
2
333
→→
222222
|＝|
a
＋
t b
|＝
a
＋
tb
＋2
t a·b
＝
t< br>＋
t
+1＝(
t
＋)＋≥．所以|
AB
＋
t AC
|≥．
2442
11．或 解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合；
若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．
111
12．85 解法一：由
a
1
a
2
+
a
2
a
3
＝ 2
a
1
a
3
及
a
1
＝，
a
2
＝，得
a
3
＝，再由
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+
a
3
a
4＝3
a
1
a
4
，
456
a
4
＝．
111111111
进一步得
a
5
＝，
a
6
＝，
a
7
＝，
a
8
＝，
a
9< br>＝，
a
10
＝，故＋＋…＋＝
8910111213
a
1
a
2
a
10
- 7 -
1
7

4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝ 85．解法二：由
a
1
a
2
+
a
2
a3
+…+
a
n
a
n
+1
＝
na
1

a
n
+1
①，
a
1
a2
+
a
2
a
3
+…
+
a
n< br>a
n
+1
+
a
n
+1
a
n
+2
＝(
n
+1)
a
1

a
n
+2
②，②－①得，
a
n
+1
a
n
+2
＝(
n
+1)
a
1

a
n
+2
－
na
1

a
n
+1
1
a
1
＝
n
+1
n
－＝
a
n
+1
a
n
+2
nn
－12112111－＝＋，(
n
≥2)，则
a
1
a
2
+
a
2
a
3
＝2
a
1
a
3
＝＋，所 以数列{}成等差数列，
a
n
a
n
+1
a
n
+1
a
n
a
n
+2
a
2
a
1< br>a
3
a
n
11111
公差为1，即＝
n
+3 ，
a
n
＝．代入可得＋＋…＋＝85．
a
n
n
+ 3
a
1
a
2
a
10
13． 解：由对称性，只需当时，有两解即可.
即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，
在上递增. 由图可知，所以．
14． 解：由条件，．因为，所以，
所以，所以．
而，所以．
由，得，即，所以．
二、解答题：
15．解：（1）当，时，，
又，所以，
若，则，
即，解得． …… 7分
（2）因为，，所以，
因为，所以，则，
所以，
故当或时，的最大值为6． …… 14分
16．证明：（1）∵
ABAC
，点
F
是线段
BC
的中点 ，
∴
AF
⊥
BC
．…………………………………………2分
又∵平面底面，
AF
平面
ABC
，
平面底面，
∴
AF
⊥平面． ……………………………………………………………………5分
又
CC
1
平面，∴
AF
⊥
CC
1
，
又
CC
1
∥
DD
1
，∴
AF
⊥
DD
1
．………………………………………………………………7分
（2 ）连结
B
1
C
与
BC
1
交于点
E
，连结
EM
，
FE
．
在斜三棱柱中，四边形
BCC
1
B
1
是平行四边形，
- 8 -

∴点
E
为
B
1
C
的中点．
∵点
F
是
BC
的中点，
∴
FE

B
1
B
，
FEB
1
B
．…………………………10 分
又∵点
M
是平行四边形
BCC
1
B
1
边
AA
1
的中点，
∴
AM

B
1
B
，
AMB
1
B
．
∴
AM

FE
，
AMFE
．
∴四边形
AFEM
是平行四边形．
∴
EM

AF
．…………………………………………12分
又
EM
平面MBC
1
，
AF
平面
MBC
1
，
∴
AF
平面
MBC
1
．……………………………………………………………………14分
17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，
所以，
联立， …………………3分
解得，
所以椭圆方程为，右准线的方程为. ………………… 6分

（2）设，则直线的方程为，即，
联立 消去，
即得(※)， ………………… 9分
又为方程(※)的一根，所以另一根为，
又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，
所以.由（1）知，点
则直线的斜率，直线的斜率，………………… 12分
①当的平分线为时，，的斜率，满足，
所以，即，所以，
故直线
AB
的方程为
x
－2
y
－1＝0． …………… 14分
18．（方法一）（1）由得，
且
由题可知
所以
- 9 -

得
即
所以
由得定义域为 ……………………6分
(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为
k
元平方米，则(为常数)，
所以要使最小，只要使最小
由题可知
定义域为
令
则
当且仅当即时取等号
所以，当时，最小，所以最小
答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分
（方法二）(1) 由得，

设

中，由正弦定理
所以
同理可得
由
即
整理得，
由得定义域为 ……………………6分
（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，
则，，由，得，

所以
因为与共线
所以
所以
- 10 -

由得定义域为 ……………………6分
．解：
(1)当时,,
令或,令,
所以的递增区间为和,递减区间为.
(2)由于有两个极值点,
则在上有两个不等的实根,





设，
所以
所以在上递减，所以
即.
由题意知：只需成立即可.
因为,
所以，因为，所以，而，
所以，所以在递增，
当时，.
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
，又
当时，,在递减,当时，,
所以，所以；
当即时，
①即时，在上递增，
存在，使得，不合；
②即时，，在递减,
- 11 -
19
(3)

当时，,所以，所以
综上, 实数的取值范围为.
20．解：(1) 由
A
＝{1,2}，得
a
1
＝
b
1
，
a
2
＝
b
2
．
设数列{
a
n
}公差为
d
，数列{
b
n
}公比为我
q
，由
a
2
＝
b
2
a
1
+
d
＝
a
1
q
，故
d＝
a
1
(
q
－1)
①因为
a
n＝
n
，
a
1
＝
b
1
＝1，
a
2
＝
b
2
＝2，所以数列{
b
n
}的公比
q
＝＝2，所以，
b
n
＝2．……
2分
② 答：
a
n
＜
b
n
(
n
＝1，2，…)．证明如 下：
因为
a
1
＞0，
q
＞0，
q
≠1，所以
b
2
b
1
n
-1
b
n
－
a
n
＝
a
1
q
n
-1
－［(
a< br>1
＋(
n
－1)
a
1
(
q
－1)］＝
a
1
(
q
n
-1
－1)－
a
1
(
q
－1) (
n
－1)
＝
a
1
(
q
－1)(
q
+
q
+…+1)－
a
1
(
q
－1) (
n
－1)＝
a
1
(
q
－1)［
q
+
q
+…+1－(
n
－1)］
＝
a
1
(
q
－1)［(
q
－1)+(
q
－1)＋…＋(
q
－1)］
＝
a
1
(
q
－1)［(
q
＋
q
＋…+1)＋(
q
＋
q
＋…＋1)＋…＋(q＋1)＋1］＞0．
所以
a
n
＜
b
n
(
n
＝1，2，…)． ……………………………… 6
分
(2)不妨设
a
n
＝
a
+
bn
(
b
≠0)，
b
n
＝
pq
，由
a
n
＝
b
n
a
+
bn
＝
pq
令
s
＝，
t
＝，(
t
≠0 )，原问题转化为关于
n
的方程

q
－
tn
－
s
＝0 ① ……………………………… 8分
最多有多少个解．
下面我们证明：当
q
＞0时，方程①最多有2个解；
q
＜0时，方程②最多有3个解．
当
q< br>＞0时，考虑函数
f
(
x
)＝
q
－
tx－
s
，则
f
′(
x
)＝
q
ln
q
－
t
如果
t
ln
q
＜0，则
f
(
x
)为单 调函数，故方程①最多只有一个解；
如果
t
ln
q
＞0，且不妨设由
f
′(
x
)＝0得
f
′(
x
)有唯一零点
x
0
＝log
q
，于是当
x
＞
ln
qxx
n
nn
2
n
-2
n
-1
n
-2
n
-3
n
-2
n
-3
n
-3
n
-4
n
-4
n
-5
ab
n
＋
n
＝
q
．
pp
a
p
b
p
t
x
0
时，
f
′(
x
)恒大于0或恒小于0，当
x
＜
x0
时，
f
′(
x
)恒小于0或恒大于0，
这样f
(
x
)在区间(0，
x
0
)与(
x
0
，＋∞)上是单调函数，
故方程①最多有2个解． …………………… 10分
当
q
＜0时，如果
t
＞0．
如果
n
为奇数，则方程①变为
- 12 -

|
q
|+
tn
+
s
＝0，
显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．
如果
n
为偶数，则方程①变为
|
q
|－
tn－
s
＝0．由
q
＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有 2个．
这样，最多有3个正数满足方程①．
对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．
综上所述，集合
A
中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分
再由当
a
n
＝6
n
－ 8，，
b
n
＝(－2)，则
a
1
＝
b
1< br>，
a
2
＝
b
2
，
a
4
＝< br>b
4
．
A
＝{1，2，4}．
由此，可知集合
A
中的元素个数最多有3个． ………………… 16分
数学Ⅱ（附加题）
21A．证明：连
AC
，在△
ABC
与△
ADP
中，
因为
A
、
B、
C
、
D
四点共圆，所以∠
ADP
＝∠
ABC
，
又因为
AD
·
BC
＝
DP
·
AB
，即 ＝
所以 △
ABC
∽△
ADP
，
所以 ∠
BAC
＝∠
DAP
．
因为 直线
PA
与圆
O
相切，所以 ∠
DAP
＝∠
ACD
，
所以 ∠
BAC
＝∠< br>ACD
，所以，A
B
∥
CD
，
所以圆内接四边形< br>ABCD
为等腰梯形，所以
AD
＝
BC
．
21B．解：设
M
=，则有=，=，
所以且
解得，所以
M
=．所以
?
n
n
n
ADAB
，
DPB C
?
12
?
?
2
??
6
?
???
＝
??
，即
C
点坐标为(6,14)．
?
34
?

?
2
??
14
?
ππ

22
2 1C．解：由ρsin(θ＋)＝1得，3
x
＋
y
－2＝0，由ρ＝2sin (θ＋) 得，
x
+
y
－3
x
33
－
y< br>＝0，


31
，)，
22
直线3
x
＋
y
－2＝0过圆
x
+
y
－3
x
－
y
＝0的圆心(
22
π
所以线段
AB
的长为圆ρ ＝2sin(θ＋)的直径长，即
AB
＝2．
3
21D．法一：左－右=
x
2
＋（
y
－3)
x
＋
y
2
－3
y
＋3
- 13 -

∵Δ=（
y
－3)－4（
y
－3
y
＋3）=－3
y
＋6
y
－3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
法二：左－右=（
x－
1）
2
＋（
y
－1)
2
＋（
x－
1）（
y
－1)≥
2∣
x－
1∣∣
y
－1∣＋ （
x－
1）（
y
－1)≥∣
x－
1∣∣
y
－1∣＋∣
x－
1∣∣
y
－1∣＋ （
x
222
－
1）（
y
－1)
≥∣
x－
1∣∣
y
－1∣≥0 得证。
法三：左边=＋＋=＋＋＋＋＋2－3
≥
x
＋
y
＋2（
x
＋
y
）－3=右边，得证
22．解：连接CE， 以分别为轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，
因为
F
为线段
AB
上一动点，且，
则， 所以．
（1）当时，，，
所以．
（2），
设平面的一个法向量为=
由,得，化简得，取
设与平面所成角为，
则.
解得或（舍去），所以．
23．解：(1 )用数学归纳法证明：当
x
∈(0，＋∞)时，e＞
f
n
(
x
)；
(i)当
n
＝1时，令
f
(
x
) ＝e－
f
1
(
x
)＝e－
x
－1，则
f
′(
x
)＝e－1＞0，
x
∈(0，＋∞)恒成立，
所以，
f
(
x
)在区间(0，＋∞)为增函数，又因为
f
(0)＝ 0，所以
f
(
x
)＞0，即e＞
f
1
(
x
)．
(ii)假设
n
＝
k
时，命题成立，即当
x
∈(0，＋∞)时，e＞
f
k
(
x
)，
1
2
1
k
1
xx
则
n
＝
k
+1时 ，令
g
(
x
)＝e－
f
k
+1
(
x
)＝e－(1+
x
+
x
＋…＋
x
＋
x< br>k
+1
)，
2!
k
!(
k
+1)!
1
2
1
kxx
则
g
′(
x
)＝e－(1 +
x
+
x
＋…＋
x
)＝e－
f
k
(
x
)＞0，所以
g
(
x
)在区间(0，＋∞)为增函2!
k
!
数，又因为
g
(0)＝0，所以
g
(
x
)＞0，
x
∈(0，＋∞)恒成立，即e＞
f
k
+1
(
x
)，
x
∈(0，＋∞)．所
以
n
＝
k
+1时，命题成立．
由(i)(ii)及归纳假设可知，
x
x
x
x
xxx
x
z
A
F
E
xB
D
C
y
n
∈N*，当
x
∈(0，＋∞)时， e
x
＞
f
n
(
x
)．
11
x< br>n
+1
e
y
＞
f
n
(
x
) +
x
n
+1
(
n
+1)!(
n
+1)!< br>- 14 -
(2)由(1)可知e＞
f
n
+1
(
x
)，即
f
n
(
x
)+e＞1，即
y
＞0 ．

y

1
2
1
nxx
下面先用数学归纳法证明：当
x
＞0，e＜1+
x
+
x
＋… ＋
x
e．
n
∈N*．
2!
n
!
(i)当
n
＝1时，令
F
(
x
)＝1+
x
e－e， 则
F′
(
x
)＝
x
e＞0，
x
∈(0，＋ ∞)，所以
F
(
x
)在区
间(0，＋∞)单调增，又
F(0)＝0，故
F
(
x
)＞0，即e＜1+
x
e． < br>1
2
1
kxx
(ii)假设
n
＝
k
时，命题成立，即当
x
∈(0，＋∞)时，e＜1+
x
+
x
＋…＋
x
e．则
2!
k
!
1
2
1
k
1
当
n
＝
k
+1时，令
G
(
x
)＝1+
x
+
x
＋…＋
x
+
x
k
+1
e
x
－e
x
，则
2!
k
!(
k
+1)!
xx
xxx
G
′(
x
)＝ 1+
x
+
x
2
＋…＋
x
k
e
x< br>+
x
k
+1
e
x
－e
x
＞
x
k
+1
e
x
＞0，
2!
k
!(
k
+1)!(
k
+1)!
所以
G
(
x
) 在区间(0，＋∞)上为增函数，又
G
(0)＝0，故
G
(
x
)＞0，即
1
2
1
kx
1
x
e＜1+
x
+
x
＋…＋
x
e+
x
k
+1
e
x
，
x
∈(0，＋∞)．
2!
k
!(
k
+1)!
1
2
1
kx
1
x
由(i)(ii )及归纳假设，可知当
x
∈(0，＋∞)时，e＜1+
x
+
x
＋…＋
x
e+
x
k
+1
e
x
，对
2!
k
!(
k
+1)!
1111
n
∈N*成立．
1
2
1
nx
1111
x
由e＝1+
x+
x
＋…＋
x
e+
x
n
+1
e
y
＜1+
x
+
x
2
＋…＋
x
n
+
x
n
+1
e
x

2!
n
!(< br>n
+1)!2!
n
!(
n
+1)!
所以 e＜e

yx
y
＜
x
．证毕．
- 15 -