高中数学人教2-2-高中数学必修三一变量间的相关关系
2018-2019学年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题(每题
8分,满分64分,将答案填在答题纸上)
金榜题名,高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆
三年的
生活,每天睡眠不足六个小时,十二节四十五分钟的课加上早晚自习,每天可以用完一支中性笔,在无数杯速溶咖
啡的刺激下,依然活蹦乱跳,当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时,我
看到了远方地平线上渐渐升起的黎明
充满自信,相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上,觉得自己不行。临近考试前可以设置完成
一些小目标,比如说今天走1万步等,
考试之前给自己打气,告诉自己“我一定行”!
1.若数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2a
n
1
,a
n?1
?,n?N
?
,则
a
2017
的值为 .
最新试卷十年寒窗苦,
23a<
br>n
?2
最新试卷多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多
少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。
踏上高考路,心态放平
和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。
2.若函数
f
?
x
?
?x
2
?1x
2
?ax?b
对于任意
x?R
都满足
f
?
x?
?f
?
4?x
?
,则
f
?
x
?
的最
小值是 .
3.在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
D,E
分别是侧棱
BB
1
,CC
1
上的点,
EC?BC?2BD
,
则截面
ADE
与底面
ABC
所成的二面角的大小是 .
????
4.若
sinxsin2xsin3x?cosxcos2xco
s3x?1
,则
x?
.
5.
设
x,y
是实数,则
2x?2y
的最大值是 .
44
2x?4y?9
6. 设
a
n
?1?2???n,n?
N
?
,S
m
?a
1
?a
2
???a
m
,m?1,2,3,?
,则
S
1
,S
2
,?,
S
2017
中
能被
2
整除但不能被
4
整除的数的个
数是 .
y
2
7. 在直角平面坐标系
xOy
中,
F
1
,F
2
分别是双曲线
x?
2?1
?
b?0
?
的左、右焦点,过点
b
2
F<
br>1
作圆
x
2
?y
2
?1
的切线,与双曲线左
、右两支分别交于点
A,B
,若
F
2
B?AB
,则
b
的
值是 .
8.
从正
1680
边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数
为
.
二、解答题
9.已知
x,y?R
,且
x?y?2,x?y<
br>,求
22
11
的最小值.
?
22
?
x?y
??
x?y
?
x
2
?y
2
?1
的
上顶点为
A
,不经过点
A
的直线
l
与10.在平面直角坐标
系
xOy
中,椭圆
C:
3
椭圆
C
交于
P,
Q
两点,且
AP?AQ?0.
(1)直线
l
是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
(2
)过
P,Q
两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点
B
,求
?BPQ
面积的取值范围.
11.设函数
f
n
?
x
??1?x?
1
2
1
x???x
n
.
2!n!
?
(1)求证:当
x?
?
0,??
?
,n
?N
时,
e
x
?f
n
?
x
?
;
(2)设
x?0,n?N
?
,若存在
y?R
使得
e
?f
n
?
x
?
?
x
1
x
n?1<
br>e
y
,求证:
0?y?x.
?
n?1
?
!
2017年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分标准
加试
1. 已知圆
O
的内接五边形ABCDE
中
AD
与
BE
相交于点
F,CF
的
延长线交圆
O
于点
P
,且
AB?CD?BC?ED.
求证:
OP?AE.
2.设
x,y
是非负实数,
a?
求
a,b
的值,
2
3.平面上
2n
个点
?
n?1,n?N
?
,无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意
n?1
条线
x?y,b?x?2?y
?2
,若
a,b
是两个不相邻的整数,
段染成红色.
求证:三边都为红色的三角形至少有
n
个.
4.设
n
为正
整数,
1?
111
a
?????
n
,
23nb<
br>n
?
其中
a
n
,b
n
为互素的正整数,对素
数
p
,令集合
S
p
?nn?N,pa
n
,
??
证明:对每一个素数
p?5
,集合
S
p
中至少有三个
元素.
试卷答案
1
0
2.
?16
3.
45
4.
k
?
,k?Z
3026
1
5.
4
6.252
7.
1?3
8.3432
1.
二、解答题 <
br>9.解:因为
x?y?2
,所以
?
x?y
?
?
?
x?y
?
?4
,
22
22
所以
11
1
?
11
?
22
??
????
???x
?y?x?y
2222
??
?
x?y
??
x?y
?
4
?
?
x?y
??
x?y
?
?
?
?
?
1
?
1?1
?
2
?1.
4
当
x?2,y?0
时,
11
??1.
22
?
x?y
??
x?y
?
所以
11
的最小值为
1.
?
22
?x?y
??
x?y
?
10.解:(1)
因为
AP?AQ?0
,所以
AP?AQ.
直线
AP,AQ
与
x
轴平行时,
P
或
Q
与
A
重合
,不合题意.
设
PA:y?kx?1
,则
QA:y??
1
x?1.
k
将
y?kx?1
代入
x
2
?
3y
2
?3
,得
1?3k
2
x
2
?6kx
?0.
??
6k2
,y??1.
P
1?3k<
br>2
1?3k
2
6k6
,y
Q
?1?
2
.
同理
x
Q
?
2
k?3k?3
所以
x
P
??
1?3k
2
?
y?1
?
?21?3
k
2
x?6k
y?y
P
x?x
P
所以,直线
l:
,即
l:
,
?
?
22
y
Q
?y
P
x
Q
?x
P
1?3k
?
y
Q
?1
?
?21?3kx
Q
?6k
k
2
?11
x?.
化简得
l:y?
4k2
直线
l
纵截
距是常数
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>1
1
??
,故直线
l
过定点
?
0,?
?
.
2
2
??
(2)由 (1) ,
AP?<
br>6k1?k
2
1?3k
2
61?k
2
.
,
同理,
AQ?
2
k?3
2
?
k
2
k
2
?3?1?3k
2
2
??361?k?
2
?
2
22
2
2
k?3
?
1?3kk?3
?
?<
br>k
2
所以
PQ?361?k?
?
2
?
?<
br>1?3k
2
?
2
?
1
?
?
361?
k
2
k
6
?15k
4
?15k
2
?
?
3k
??
4
?10k
2
?3
?
2??
?1
?
.
2
?
??
?
?
??
???
?
2
1
36t
2
t
2
?12
2
不妨设
k?0
,令
t?k?
,则
t?2
,可化得
PQ?
,
2
2
k
3
t?4
?
?
?
?
6tt
2
?12
.
即
PQ?
2
3t?4
设
B
?
x
0<
br>,y
0
?
,则切点弦
PQ
的方程是
x
0x?3y
0
y?3
,
k
2
?11
x?
上,所以
y
0
??2
,
又
P,Q
在
l:y?
4k2
3k
2
?1
.
从而
x
0
?
2k
?
k?1
?
3
?
?
k
?
?
?12
3t
2
??
?.
所以
B
到
PQ
的距离
d?
22
2t?12
?
k
2
?1<
br>?
2
?
?
k
?
?
?16
??
2
2
??
113t
2
6tt
2
?129t
3
因此的面积
S??d?PQ????.
22
2
22<
br>2t?12
3t?423t?4
??
令
u?
9
11<
br>.
,则
0?u?
,化得
S?
3
t2
24u
?3u
??
1
3
时,
4u?3u
递增,
2
91
3
所以
0?4u?3u?2
,即
S?
,当且仅当u?
,即
t?2,k?1
时,等号成立,
42
当
0?
u?
故
?BPQ
的面积
S
的取值范围是
?
,??<
br>?
.
?
4
?
11.解: (1)
用数学归纳法证明如下:
(ⅰ)当
n?1
时,令
f
?
x<
br>?
?e?f
1
?
x
?
?e?x?1
,则f
?
?
x
?
?e?1?0,x?
?
0,??<
br>?
恒成
xxx
?
9
?
立,
所以
f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
为增函数,
x
又因为
f
?
0
?
?0
,所以
f
?
x
?
?0
,即
e?f
1
?
x<
br>?
.
(ⅱ)假设
n?k
时,命题成立,即当
x?<
br>?
0,??
?
时,
e
x
?f
k
?<
br>x
?
,
2kk?1
则
n?k?1
时,令
g
?
x
?
?e
x
?f
k?1
?
x<
br>?
?e
x
?
?
?
1?x?
2!
x?
??
k!
x?
?
k?1
?
!
x
?
?
,
??
?
111
?
则
g
?
?
x
?
?e
x
?
?
1?x?
函数,
?
?
1
2
1
?
x?
?
?x
k<
br>?
?e
x
?f
k
?
x
?
?0
,所以
g
?
x
?
在区间
?
0,??
?<
br>为增
2!k!
?
又因为
g
?
0
?
?
0
,所以
g
?
x
?
?0,x?
?
0,??
?
恒成立,即
e
x
?f
k?1
?
x
?
,x?
?
0,??
?
,
所以
n?k?1
时,命题成立.
由(ⅰ)(ⅱ)
及归纳假设可知,
?n?N
?
,当
x?
?
0,??
?
时,
e
x
?f
n
?
x
?
.
(2)由(1)可知
e
x
?f
n?1
?
x<
br>?
,即
f
n
?
x
?
?
所以
e
y
?1
,即
y?0
,下证:
y?x.
下面先用数学归纳法证明:当
x?0,e?1?x?
x
11
x
n?1
e
y
?f
n
?
x
?
?x
n?1<
br>,
?
n?1
?
!
?
n?1
?
!<
br>1
2
11
x?
?
?x
n?1
?x
n
e
x
,n?N
?
.
?
n?1
?
!2!n!
(ⅰ)当
n?1
时,令
F
?
x
?
?1?xe
x
?e
x
,则
F
?
?
x
?
?xe
x
?0,x?
?
0,??
?
,
所以
F
?
x
?
在区间
?
0,???
单调增,
xx
又
F
?
0
?
?0<
br>,故
F
?
x
?
?0
,即
e?1?xe.
(ⅱ)假设
n?k
时,命题成立,
即当
x?
?0,??
?
时,
e?1?x?
x
1
2
11x?
?
?x
k?1
?x
k
e
k
.
?
k?1
?
!2!k!
1
2
11
x
???x
k
?x
k?1
e
x
?e
x
, <
br>?
k?1
?
!2!k!
则当
n?k?1
时,令
G
?
x
?
?1?x?
G
?
?
x
?
?1?x?
1
2
111
x???x
k
e
x
?x
k?1
e
x
?e
x
?x
k?1e
x
?0
,
?
k?1
?
!
?
k?1
?
!2!k!
所以
G
?
x
?
在区
间
?
0,??
?
上为增函数,又
G
?
0
?
?0
,故
G
?
x
?
?0
,即
e
x
?1?x?
1
2
11
x?
?
?x
k
?x
k?1
e
x
,x?
?
0,??
?
.
?
k?1
?
!2!k!
由(ⅰ)(ⅱ)及归纳假设,
可知当
x?
?
0,??
?
时,
e?1?x?
x
1
2
11
x???x
n
?x
n?1
e
x
,
对
n?N
?
成立,
?
n?1
?
!2!n!
所以
e
x
?1?x?
1
2
11111
x???x
n
?x
n?1
e
y
?1?x
?x
2
???x
n
?x
n?1
e
x
, <
br>?
n?1
?
!
?
n?1
?
!2!n!2!n
!
yx
从而
e?e
即
y?x
,证毕.
复赛加试答案
1.证明:连接
PA,PE.
因为五边形
ABCDE
内接于圆
O
,
所以
?BAF??DEF,?ABF??EDF
,
所以
?ABF~?EDF
,
ABFB
?.
①
EDFD
PEPF
?
同理,, ②
BCBF
DCDF
?.
③
PAPF
ABPEDC
???1.
由①
?
②
?<
br>③得
EDBCPA
ABDC
??1.
因为
AB?CD?BC
?ED
,所以
BCED
所以
所以
PE?PA
,即点
P
是弧
AE
的中点,
所以
OP?AE.
2.解:因为
a,b
是不相邻的整数,
所以
2?b?a?
x?2?y?2?
?
x?y?
??
x?2?x?
??
y?2?y
?
?
2
?
x?2?x
222
???22?3.
y?2?y22
由于
b?a
是整数,所以
b?a?2.
<
br>设
a?n?1,b?n?1,n?Z
,即
x?
则
y?n?1,
x?2?y?2?n?1
,
x?yx?y
?n?1,?n?1
,
x?yx?2?y?2
y?
x?yx?y
,x?2?y?2?
, <
br>n?1n?1
x?yx?y
,2x?2?n?1?
于是
2x?n?1?
,
n?1n?1
则
x?
从而
2
?
n?1
?
x?
?
n?1
?
?
?
x?y
?
,2
?
n?1
?
x?2?
?
n?1
??
?
x?y
?
,
22
故
?
n?1<
br>?
x?2n?
?
n?1
?
x?2.
又因为
?
x?2?
??
x
?
22
?2.
①
令
t?x
,得
x?2?
?
n
?1
?
t?2n
,代入①得
n?1
2nt
2
?2
n
?
n?1
?
t?n
2
?2n?1?0
,
2n
?
n?1
?
?4n
2
?
n?1
?<
br>?8nn
2
?2n?1
n
?
n?1
?
??
n?1
?
n
?
n?2
?
于是
x?t
?
,
?
4n2n
2
??
??
y?n?1?x?<
br>n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n?
n?2
?
,
2n
因此,
n?2
,并且n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?
,
2
即
n?2n?1?0
,解之得
1?2?n?1?2
,
从而
2?n?1?2
,且
n?Z
,故
n?2.
所以
a?1,b?3.
3.
证明:首先证明一定存在红色三角形(三边均为红色的三角形为红色三角形,下同).
设从顶点
A
出发的红色线段最多,
由
A
引出的红色线段为
AB
1
,AB
2
,
?
,AB
k
,
则
k?n?1.
若
B
1
,B
2
?
,B
k
中存在两点,不妨设为
B
1
,B
2
使线段
B
1
B
2
为红色线段,
则
?AB
1
B
2
为红色三角形,
若
B<
br>1
,B
2
,
?
,B
k
相互之间没有红色线段
相连,
则从
B
i
?
i?1,2,?,k
?
出发的
红色线段最多有
2n?k
条,
所以这
2n
个点红色线段最多有 <
br>1
?
k?k
?
2n?k
?
?
?
2n
?1?k
?
?
?k
?
2n?k
?
?
?k?2n?k
?
?n
2
?n
2
?1.
24
2
与题设矛盾,
所以存在以
A
为顶点的红色三角形,
下面用数学归纳法证明,
(1)当
n?2
时,平面上有四个点
A,
B,C,D
中两两连线共有
6
条,
其中有
5
条为红色,只有一条非红色,设为
AB,
则
?ACD
与
BCD
均为红色三角形,命题成立,
(2)假设
n?k
时,命题成立,即至少存在
k
个红色三角形, <
br>当
n?k?1
时,有
2k?2
个点,且有
?
k?1<
br>?
?1
条红色线段,
2
一定存在一个红色三角形,设为
?ABC.
考察从
A,
B,C
引出的红色线段分别记为
d
?
A
?
,d
?<
br>B
?
,d
?
C
?
条,不妨设
d
?<
br>A
?
?d
?
B
?
?d
?
C
?
.
若
d
?
A
?
?d
?
B
?
?2k?2
,则除去点
A,B
余下的
2k
个
点之间至少有
?
k?1
?
2
?1?
?
2k?1<
br>?
2
?k
2
?1
,
由归纳假设可知存在至少
k
个红色三角形,再加上
?ABC
至少有
k?1
个红色三角形,
若
d
?
A
?
?d
?
B
?
?2k?3
,则
d
?
A
?
?d
?
B
?
?d
?
C
?
?3k?5
,
故从
A,
B,C
出发向其它
2k?1
个点引出红色线段至少有
3k?1
条,
因为
?
3k?1
?
?
?
2k?1
?
?k.
这
?
3k?1
?
线段至少有
k
对线段有公共点(不包括
A,B,C
)
故至少存在
k
个红色三角形
,再加上
?ABC
,则至少有
k?1
个红色三角形,
所以
n?k?1
时命题也成立,
2
由(1)(2)可知,当
n?1,n?N
时,
2n
点之间的
n?1
条红色线段至少可组成<
br>n
个红色
三角形.
4.证明:引理:设
p?5
为素数,k
为非负整数,令
t
111
??
?
??k
,
kp?1kp?2kp?p?1s
k
其中
t
k,s
k
为互素的正整数,那么
pt
k
.
引理的证明:
2
?
?
2k?1
?
p
p?
1
t
k
p?1
11
p?1
?
111
?因为,
?
?
?
?
?
???
?
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br>S
k
i?1
kp?i2
i?1
?
kp?ikp?p?
i
?
2
i?1
?
kp?i
??
kp?p?i
?
令
A?
1
,
?
????
i?1
kp
?ikp?p?i
p?1
因为素数
p?5
,由
Fermat
小定理,以及
k
1
k
?2
k
???
?
p
?1
?
?0
?
modp
?
,其中
1?k?p?2
,
有
??
kp?1??
kp?2
?
?
?
kp?p?1
??
p?1
p?1
A
p?1
p?1
??
kp?1
?
?
kp?2
?
?
?
kp?p?1
??
p?2
?
?
?
?
i
p?2
?
p?i
?
?
kp?i
??
kp?p?i
?
i?1i?1
??
?
i
i?1
p?1
2p?4
??
?
ip?3
?0
?
modp
?
.
i?1
p?1
p?1
所以
??
kp?1
??
kp?2
?<
br>?
?
kp?p?1
??
A?pMM?N
?
.
??
?
t
k
2k?1
?
p
2
M<
br>即
?.
p?1
S
k
2
??
kp?
1
??
kp?2
?
?
?
kp?p?1
??
因为
p,2
??
kp?1
??
kp?2
?
?
?
kp?p?1
??
所以
pt
k
,引理证毕,
2
由引理得,
pa
p?1
,所以
pa
p?1
,
?
p?1
?
?1
,
2
从而
p
?
p?1
?
?S
p
,
又
a
2
p?1
2
b
p?1
11
p
?1
1
p?1p?1
11
a
p?1
p?1
t
k
?
?
?
?
?
??
???
?
,
p
i?1
i
k?0i?1
kp?ipb
p?1
k?
0
s
k
i?1
i
p
2
?1
22
因
为
pa
p?1
,pt
k
,所以
pa
p
2<
br>?1
从而
p?1?S
p
.
因为
p?1?p
?
p?1
?
?p
2
?1
,所以集合S
p
中元素至少有
3
个.
2