全国高中数学联赛江苏赛区

2008年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1. 如果实数m，n，x，y满足
m
2
?n
2
?a
，
x
2
?y
2
?b
，其中a，b为常数，那么mx+ny
的最大值为 答：[B]
a?b
A. B.
2
ab
C.
a
2
?b
2
D.
2
a
2
?b
2

2
解 由柯西不 等式
(mx?ny)
2
?(m
2
?n
2
)(x2
?y
2
)?ab
；或三角换元即可得到
mx?ny?ab< br>，当
m?n?
a
b
，
x?y?
时，
mx?n y?ab
. 选B.
2
2
?
11
?
2. 设
y?f(x)
为指数函数
y?a
x
. 在P(1,1)，Q(1, 2)，M(2,3)，
N
?
,
?
四点中，函数
?
24
?

y?f(x)
与其反函数
y?f< br>?1
(x)
的图像的公共点只可能是点 答：[D]
A. P B. Q C. M D. N
解 取
a?
11
1
?
1
??< br>1
?
，把坐标代入检验，
?
??
?
，而
??
?
，∴公共点只可能是
42
16
?
16
??16
?
1
2
1
4
点N. 选D.
3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比
数列，那么
x?y?z
的值为 答：[A]
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4



解 第一、二行后两个数分别 为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的
x?0.5
，
1








2
1






0.5
x



y



z

y?
53
，
z?
，则
x?y?z?1
. 选A.
1616
4. 如果
?A
1
B
1
C
1的三个内角的余弦值分别是
?A
2
B
2
C
2
的 三个内角的正弦值，那么
答：[B]
A.
?A
1
B
1
C
1
与
?A
2
B
2
C
2
都是锐角三角形
B.
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2
是钝角三角形
C.
?A
1
B
1
C
1
是钝角三角形，< br>?A
2
B
2
C
2
是锐角三角形
D. ?A
1
B
1
C
1
与
?A
2
B
2
C
2
都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直 角；
?A
1
B
1
C
1
的内角余弦都大于零，所以是 锐角三
角形；若
?A
2
B
2
C
2
是锐角三 角形，则不妨设
?
?
??
?
?
cos
A
1
=sin
A
2
=cos
?
?A
1
?， cos
B
1
=sin
B
2
=cos
?< br>?A
2
?
，
?
2
??
2
?
?
?
?
cos
C
1
=sin
C
2
=cos
?
?C
1
?
.
?
2
?
则
A
1
?
?
2?A
2
，
B
1
?
?
2
?B
2
，
C
1
?
?
2
?C
2
，
即
A
1
?B
1
?C
1
?
3
?
?(A
2
?B
2
?C
2
)
，矛 盾. 选B.
2
5. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“
a??
，
b?
?
，且
?
?
?
”的平面?
， [D]
?
答：
A. 不存在 B. 有且只有一对
C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面
?
，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作
?
的垂线. b与
垂线确定的平面
?
垂直于
?
. 选D.

二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合
A?xx
2
?
?
x
?
?2和 B?
?
xx?2
?
，其中符号
?
x
?
表示 不大于x的最大整数，则

A?B??1,3
.
解 ∵x?2
，
?
x
?
的值可取
?2,?1,0,1
.
当[x]=
?2
，则
x
2
?0
无解； 当[x]=
?1
，则
x
2
?1
，∴x=
?1
；
当[x]=0，则
x
2
?2
无解； 当[x]=1，则
x
2
?3
，∴
x?3
.
所以
x??1或3
.
7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是
P?
分数）.
91
(结果要求写成既约
216
??

??
91
?
5
?
解 考虑对立事件，
P?1?
??
?
.
6216
??
8. 已知点O在
?ABC
内部，
OA?2O B?2OC?0
.
?ABC与?OCB
的面积之比为5：1.
A
解 由图，
?ABC
与
?OCB
的底边相同，
高是5：1. 故面积比是5：1.


9. 与圆
x
2
?y
2
?4x?0
外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为
y
2
?8x (x?0)
或

y?0(x?0)
.
解 由圆锥曲线的定 义，圆心可以是以(2,0)为焦点、
x??2
为准线的抛物线上的
点；若切点是原点 ，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为
y
2
?8x(x?0)
，或
y?0(x?0)
.
3
O
B
C

a
2
?b
2
10. 在
?ABC
中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 .
c
2
解 切割化弦，已知等式即


sinAsinBsinAsinCsinBsinC
??
，
cosAcosBcosAcosCcosBcosC

亦即
sinAsinBcosCabcosC
sinAsinBsin(A?B)
，即 =1，即
??1
.
sinCcosC
sin
2
Cc2
a
2
?b
2
?c
2
a
2
? b
2
?1
，故
?3
. 所以，
2
2
2c
c

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）
11. 已 知函数
f(x)??2x
2
?bx?c
在
x?1
时有最大值 1，
0?m?n
，并且
x?
?
m,n
?
时，
?
11
?
f(x)
的取值范围为
?
,
?
. 试求m，n的值.
?
nm
?
解 由题
f(x)??2(x?1)
2
?1
， ……5分

?f(x)?1
，
?
1
?1
， 即
m?1
，
?f(x)在
?
m,n
?
上单调减，
m
11
且
f(n)??2(n?1)
2
?1?
. ……10分
mn
1
的两个解，方程即
x

?f(m)??2(m?1)
2
?1?

?m
，n是 方程
f(x)??2(x?1)
2
?1?
(x?1)(2x
2
?2x?1)
=0，
解方程，得解为1，
1?31?3
，.
22
1?3
. ……15分
2

?1?m?n
，
?m?1
，
n?
x
2
y
2
?1
上的两个动点，满足
OA?O B?0
。 12. A、B为双曲线
?
49
（Ⅰ）求证：
1
OA
2
?
1
OB
2
为定值；
（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足
OP?AB?0
，求证：点P在定圆上.
证 （ Ⅰ）设点A的坐标为
(rcos
?
,rsin
?
)
，B的坐 标为
(r
?
cos
?
?
,r
?
sin?
?
)
，则
r?OA
，

r
?
?OB
，A在双曲线上，则 ?
cos
2
?
sin
2
?
?
r
?
?
4
?
9
?
?
?1
.
??
2
所以
1cos
2
?
sin
2
?
??
.
2
49
r
……5分
由
OA?OB?0
得
OA?OB
，所以
cos
2
?
?
?sin
2
?
，
cos2
?
?sin
2
?
?
.
同理， < br>1cos
2
?
?
sin
2
?
?
si n
2
?
cos
2
?
????
，
4949
r
?
2
所以
1
|OA|
2?
1
|OB|
2
?
11115
????
.
22
4936
rr'
……10分
（Ⅱ）由三角形面积公式，得
OP?AB?OA?OB
，所以
2222
??

OP?AB?OA?OB
，即
OP?
?
OA?OB
?
?OA?OB
.
??
22222
??
22
?
11
?
?
11
??
5
?
??OP???OP?
即
OP?
?
????
?1
.
22
?
?< br>49
??
36
?
?
OAOB
?
??
2
于是，
OP?
2
36
.
5
65
为半径的定圆上. ……15分
5
即P在以O为圆心、
13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线
DC在平面N内. 已知
?BDC?
?
，
?BDA?
?
，
?CDA?< br>?
，且
?
，
?
，
?
都是

锐角. 求二面角
M?l?N
的平面 角的余弦值（用
?
，
?
，
?
的三角函数值表示）.
解 在平面M中，过A作DA的垂线，
交射线DB于B点；
在平面N中，过A作DA的垂线，
交射线DC于C点.
设DA=1，则
AB?tan
?
，
DB?
AC?tan
?
，
DC?
1
，
cos
?
1
， ……5分
cos
?
B
M
N
C
A
D
并且
?BAC?
?
就是二面角
M?l?N
平面角. ……10分
在
?DBC与?ABC
中，利用余弦定理，可得等式
BC2
?
112
22
??cos
?
?tan
??tan
?
?2tan
?
tan
?
cos
?< br>，
22
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
所以，
2tan
?
tan
?
cos< br>?
?tan
2
?
?tan
2
?
?
1 12
??cos
?

cos
2
?
cos
2
?
cos
?
cos
?
=
故得到
2(cos
?
?cos
?
cos
?
)
， ……15分
cos
?
cos
?
cos
?
?
cos
?
?cos
?
cos
?
. ……20分
sin
?
sin
?
14. 能否将下列数组中的数填入 3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、
每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能 ，请给出一种填法；若不能，请给
予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；
（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.
解（Ⅰ）不能. ……5分

因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是
2×4×6×8×12×18×24 ×36×48=2
1+2+1+3+2+1+3+2+4
×3
1?1?2?1?2?1
=2
19
·3
8
不是立方数，故不能.
（Ⅱ）可以. ……15分
36 2 24
如右表

8 12 18

6 72 4


表中每行、每列及对角线的积都是2
6
·2
3
.




……20分