关键词不能为空

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2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 17:41
tags:江苏高中数学

高中数学奥赛一等奖的-高中数学函数总结带图

2020年9月20日发(作者:方范)



2017-2018学年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题(每题8分,满分64分,将答案填在答题纸上)
1.若数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
2a
n
1,a
n?1
?,n?N
?
,则
a
2017
的值 为 .
23a
n
?2
2.若函数
f
?
x
?
?x
2
?1x
2
?ax?b
对于任意
x?R
都满足
f
?
x
?
?f
?
4 ?x
?
,则
f
?
x
?
的最
小值是 .
3.在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
D,E
分别是侧棱
BB
1
,CC
1
上的点,
EC?BC?2BD

则截面
ADE
与底面
ABC
所成的二面角的大小是 .

????

4.若
sinxsin2xsin3x?cosxcos2xcos3x?1
,则
x?

5. 设
x,y
是实数,则
2x?2y
的最大值是 .
44
2x?4y?9
6. 设
a
n
?1?2???n, n?N
?
,S
m
?a
1
?a
2
???a< br>m
,m?1,2,3,?
,则
S
1
,S
2
, ?,S
2017

能被
2
整除但不能被
4
整除的数 的个数是 .

y
2
7. 在直角平面坐标系
x Oy
中,
F
1
,F
2
分别是双曲线
x?
2
?1
?
b?0
?
的左、右焦点,过点
b
2
F
1
作圆
x
2
?y
2
?1
的切线,与双曲 线左、右两支分别交于点
A,B
,若
F
2
B?AB
,则b

值是 .

8. 从正
1680
边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数
为 .



二、解答题
9.已知
x,y?R
,且x?y?2,x?y
,求
22
11
的最小值.
?
22
?
x?y
??
x?y
?
x
2
?y
2
?1
的上顶点为
A
,不经过点
A
的直线
l
与10.在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C:
3
椭圆
C
交于
P,Q
两点,且
AP?AQ?0.

(1)直线
l
是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
(2 )过
P,Q
两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点
B
,求
?BPQ
面积的取值范围.
11.设函数
f
n
?
x
??1?x?
1
2
1
x???x
n
.

2!n!
?
(1)求证:当
x?
?
0,??
?
,n ?N
时,
e
x
?f
n
?
x
?

(2)设
x?0,n?N
?
,若存在
y?R
使得
e ?f
n
?
x
?
?
x
1
x
n?1< br>e
y
,求证:
0?y?x.

?
n?1
?
!

2017年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分标准
加试
1. 已知圆
O
的内接五边形ABCDE

AD

BE
相交于点
F,CF
的 延长线交圆
O
于点
P
,且
AB?CD?BC?ED.

求证:
OP?AE.


2.设
x,y
是非负实数,
a?

a,b
的值,
x?y,b?x?2?y?2
,若
a,b
是两个不相邻的整数,



3.平面上
2n
个点
?
n?1,n?N
?,无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意
n
2
?1
条线
段 染成红色.
求证:三边都为红色的三角形至少有
n
个.
4.设
n
为正整数,
1?
111
a
?????
n

23nb
n
?
其中
a
n
,b
n
为互素的 正整数,对素数
p
,令集合
S
p
?nn?N,pa
n

??
证明:对每一个素数
p?5
,集合
S
p
中至少有三个元素.

试卷答案
1
0
2.
?16
3.
45
4.
k
?
,k?Z

3026
1
5.
4
6.252 7.
1?3
8.3432

1.
二、解答题 < br>9.解:因为
x
2
?y
2
?2
,所以
?x?y
?
?
?
x?y
?
?4

22
所以
111
?
11
?
22
??

????
???x?y?x?y
2222
??
?
x?y
??
x?y
?
4
?
?
x?y
??
x?y
?
?
??
?
1
?
1?1
?
2
? 1.

4

x?2,y?0
时,
11
??1.

22
?
x?y
??
x?y
?
所以
11
的最 小值为
1.

?
22
?
x?y
??
x?y
?
10.解:(1) 因为
AP?AQ?0
,所以
AP?AQ.

直线
AP,AQ

x
轴平行时,
P

Q

A
重合 ,不合题意.

PA:y?kx?1
,则
QA:y??
22
1
x?1.

k

y?kx?1
代入
x?3y? 3
,得
1?3kx?6kx?0.

所以
x
P
??
?
2
?
2
6k2
,y??1.

P
22
1?3k1?3k



同理
x
Q
?
6k6
,y?1?.

Qk
2
?3k
2
?3
1?3k
2
?
y? 1
?
?21?3k
2
x?6k
y?y
P
x?xP
所以,直线
l:
,即
l:

?
?
22
??
y
Q
?y
P
x
Q
?x
P
1?3ky
Q
?1?21?3kx
Q
?6k
k
2< br>?11
x?.
化简得
l:y?
4k2
直线
l
纵截距是常数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
??
,故直线
l
过定点
?
0,?
?
.

2
2
??
(2)由 (1) ,
A P?
6k1?k
2
1?3k
2
61?k
2
,同理,
AQ?.

k
2
?3
2
?
k
2< br>k
2
?3?1?3k
2
2
??361?k?
2
?
2
22
2
2
k?3
?
1?3kk?3
?
?
k
2
所以
PQ?361?k?
?
2
?
?
1?3k
2
?
2
?
1
?
?< br>361?k
2
k
6
?15k
4
?15k
2< br>?
?
3k
??
4
?10k
2
?3
?
2
??
?1
?
.

2
?
???
?
??
???
?
2

1
36t2
t
2
?12
2
不妨设
k?0
,令
t ?k?
,则
t?2
,可化得
PQ?

2
2
k
3t?4
?
?
?
?
6tt
2
?12< br>即
PQ?.

2
3t?4

B
?
x
0
,y
0
?
,则切点弦
PQ
的方程是
x
0
x?3y
0
y?3

k
2
?11x?
上,所以
y
0
??2
, 又
P,Q
l:y?
4k2
3k
2
?1
.
从而
x
0
?
2k
?
k
2
?1
?
3
?< br>?
k
?
?
?12
3t
2
??
?.< br> 所以
B

PQ
的距离
d?
22
2t?12
?
k
2
?1
?
2
?
?
k
?
?
?16
??
2
??
113t
2
6tt
2
?129t
3
因此的面积
S??d?PQ????.
< br>22
2
22
2t?12
3t?423t?4
??




u?
9
11
,则
0?u?
,化得< br>S?.

3
t2
24u?3u
??
1
时,< br>4u
3
?3u
递增,
2
91
所以
0?4u
3
?3u?2
,即
S?
,当且仅当
u?
,即
t?2,k?1
时,等号成立,
42

0?u?

?B PQ
的面积
S
的取值范围是
?
,??
?
.

?
4
?
11.解: (1) 用数学归纳法证明如下:
(ⅰ)当< br>n?1
时,令
f
?
x
?
?e
x
?f
1
?
x
?
?e
x
?x?1
,则
f
?
?
x
?
?e
x
?1?0,x?
?
0,??
?
恒成
立,
所以
f
?
x
?< br>在区间
?
0,??
?
为增函数,
又因为
f
?
0
?
?0
,所以
f
?
x
?
?0
,即
e
x
?f
1
?
x
?
.

(ⅱ)假设
n?k
时,命题成立,即当
x?
?
0,??
?
时,
e
x
?f
k
?
x
?

2kk?1

n?k?1
时,令
g
?
x?
?e
x
?f
k?1
?
x
?
?ex
?
?

?
1?x?x???x?x
??
?
k?1
?
!
?
2!k!
?
?
9
?
?
111
?

g
?
?
x
?
?e
x
?
?
1?x?
函数,
?
?
1< br>2
1
?
x?
?
?x
k
?
?e
x
?f
k
?
x
?
?0
,所以
g
?
x
?
在区间
?
0,??
?
为增
2!k!
?
又因为
g
?
0
?
?0
,所以
g
?
x
?
?0,x?
?
0,??
?
恒成立, 即
e
x
?f
k?1
?
x
?
,x?
?
0,??
?

所以
n?k?1
时,命题成立.
由(ⅰ)(ⅱ)及归纳假设可知,
?n?N
,当
x?
?
0,??< br>?
时,
e
x
?f
n
?
x
?
.

?
(2)由(1)可知
e
x
?f
n?1
?
x
?
,即
f
n
?
x
?
?y
所以
e?1
,即
y?0
,下证:
y?x.

11
x
n?1
e
y
?f
n
?
x< br>?
?x
n?1

?
n?1
?
!
?
n?1
?
!
下面先用数学归纳法证明:当
x?0,e?1?x?x
1
2
11
x?
?
?x
n?1
?x< br>n
e
x
,n?N
?
.

?
n?1< br>?
!2!n!
x
(ⅰ)当
n?1
时,令
F
?
x
?
?1?xe?e
,则
F
?
?
x
?
?xe?0,x?
?
0,??
?

xx



所以
F
?
x
?
在区 间
?
0,??
?
单调增,

F
?
0?
?0
,故
F
?
x
?
?0
,即
e
x
?1?xe
x
.

(ⅱ)假设
n?k
时,命题成立,
即当
x?
?
0 ,??
?
时,
e?1?x?
x
1
2
11
x ?
?
?x
k?1
?x
k
e
k
.

?
k?1
?
!2!k!
1
2
11
x??? x
k
?x
k?1
e
x
?e
x

?
k?1
?
!2!k!
则当
n?k?1
时,令
G< br>?
x
?
?1?x?
G
?
?
x
??1?x?
1
2
111
x???x
k
e
x?x
k?1
e
x
?e
x
?x
k?1
e
x
?0

?
k?1
?
!
?
k? 1
?
!2!k!
所以
G
?
x
?
在区间?
0,??
?
上为增函数,又
G
?
0
?
?0
,故
G
?
x
?
?0
,即
e
x
?1?x?
1
2
11
x?
?
?x
k< br>?x
k?1
e
x
,x?
?
0,??
?
.
?
k?1
?
!2!k!
由(ⅰ)(ⅱ)及归纳假设,
可知当
x?
?
0,??
?
时,
e?1?x?
x< br>1
2
11
x???x
n
?x
n?1
e
x
,

n?N
?
成立,
?
n?1
?< br>!2!n!
所以
e
x
?1?x?
1
2
111 11
x???x
n
?x
n?1
e
y
?1?x?x< br>2
???x
n
?x
n?1
e
x

?
n?1
?
!
?
n?1
?
!2!n!2!n!yx
从而
e?e

y?x
,证毕.
复赛加试答案
1.证明:连接
PA,PE.

因为五边形
ABCDE
内接于圆
O

所以
?BAF??DEF,?ABF??EDF
,
所以
?ABF~?EDF
,
ABFB
?.

EDFD
PEPF
?
同理,, ②
BCBF
所以



DCDF
?.

PAPF
ABPEDC
???1.
由①
?

?
③得
EDBCPA
ABDC
??1.
因为
AB?CD? BC?ED
,所以
BCED
所以
PE?PA
,即点
P
是弧
AE
的中点,
所以
OP?AE.

2.解:因为
a,b
是不相邻的整数,
所以
2?b?a?

x?2?y?2?
?
x?y?
??
x?2?x?
??
y?2?y

?
?
2
?
x?2?x
222
???22?3.

y?2?y22
由于
b?a
是整数,所以
b?a?2.
< br>设
a?n?1,b?n?1,n?Z
,即
x?

y?n?1, x?2?y?2?n?1

x?yx?y
?n?1,?n?1

x?yx?2?y?2
y?
x?yx?y
,x?2?y?2?
, < br>n?1n?1
x?yx?y
,2x?2?n?1?
于是
2x?n?1?

n?1n?1

x?
从而
2
?
n?1
?
x?
?
n?1
?
?
?
x?y
?
,2
?
n?1
?
x?2?
?
n?1
??
?
x?y
?

22

?
n?1< br>?
x?2n?
?
n?1
?
x?2.

又因为

t?
?
x?2?
??
x
?
22
?2.

x
,得
x?2?
?
n?1
?
t?2n
,代入①得
n?1
2nt
2
?2n< br>?
n?1
?
t?n
2
?2n?1?0

2 n
?
n?1
?
?4n
2
?
n?1
?
?8nn
2
?2n?1
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?
于是
x?t?< br>,
?
4n2n
2
??
??
y?n?1?x?
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?

2n
因此,
n?2
,并且
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?




n
2
? 2n?1?0
,解之得
1?2?n?1?2

从而
2?n?1?2
,且
n?Z
,故
n?2.

所以
a?1,b?3.

3. 证明:首先证明一定存在红色三角形(三边均为红色的三角形为红色三角形,下同).
设从顶点
A
出发的红色线段最多,

A
引出的红色线段为
AB
1
,AB
2
,
?
,AB
k
, 则
k?n?1.


B
1
,B
2
?
,B
k
中存在两点,不妨设为
B
1
,B
2
使线段
B
1
B
2
为红色线段,

?AB
1
B
2
为红色三角形,

B< br>1
,B
2
,
?
,B
k
相互之间没有红色线段 相连,
则从
B
i
?
i?1,2,?,k
?
出发的 红色线段最多有
2n?k
条,
所以这
2n
个点红色线段最多有 < br>1
?
k?k
?
2n?k
?
?
?
2n ?1?k
?
?
?k
?
2n?k
?
?
?k?2n?k
?
?n
2
?n
2
?1.

24
2
与题设矛盾,
所以存在以
A
为顶点的红色三角形,
下面用数学归纳法证明,
(1)当
n?2
时,平面上有四个点
A, B,C,D
中两两连线共有
6
条,
其中有
5
条为红色,只有一条非红色,设为
AB,


?ACD

BCD
均为红色三角形,命题成立,
(2)假设
n?k
时,命题成立,即至少存在
k
个红色三角形, < br>当
n?k?1
时,有
2k?2
个点,且有
?
k?1< br>?
?1
条红色线段,
2
一定存在一个红色三角形,设为
?ABC.

考察从
A, B,C
引出的红色线段分别记为
d
?
A
?
,d
?< br>B
?
,d
?
C
?
条,不妨设
d
?< br>A
?
?d
?
B
?
?d
?
C
?
.


d
?
A
?
?d
?
B
?
?2k?2
,则除去点
A,B
余下的
2k
个 点之间至少有
?
k?1
?
2
?1?
?
2k?1< br>?
2
?k
2
?1
,



由归 纳假设可知存在至少
k
个红色三角形,再加上
?ABC
至少有
k?1
个红色三角形,

d
?
A
?
?d
?B
?
?2k?3
,则
d
?
A
?
?d< br>?
B
?
?d
?
C
?
?3k?5
,
故从
A,B,C
出发向其它
2k?1
个点引出红色线段至少有
3k?1
条,
因为
?
3k?1
?
?
?
2k?1
?
?k.


?
3k?1
?
线段 至少有
k
对线段有公共点(不包括
A,B,C

故至少存在
k
个红色三角形,再加上
?ABC
,则至少有
k?1
个红色三角形 ,
所以
n?k?1
时命题也成立,
2
由(1)(2)可知,当< br>n?1,n?N
时,
2n
点之间的
n?1
条红色线段至少可组 成
n
个红色
三角形.
4.证明:引理:设
p?5
为素数,
k
为非负整数,令
t
111

??
?
??
k

kp?1kp?2kp?p?1s
k
其中
t
k
,s
k
为互素的正整数,那么
pt
k
.

引理的证明:
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2

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