江苏省高中数学竞赛试卷含答案

江苏省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
22
1．如果实数m，n，x，y满足
m?n?a
，
x?y?b
，其中a，b为常数，那么mx+ny 的
最大值为 （ ）
22

a?b
A．
2
B．
ab

x
a
2
?b
2
C．
2
a
2
?b
2
D．
2
2．设
y ?f(x)
为指数函数
y?a
．在P（1,1），Q（1,2），M（2,3），N
?
,
?
四点中，函
数
y?f(x)
与其反函 数
y?f(x)
的图像的公共点只可能是 （ ）
A．P B．Q C．M D．N
3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数
列，那么
x?y?z
的值为 （ ）
1 2
A．1 B．2
0.5 1
C．3 D．4
x




y


4．如果
?A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别是
z


?A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，那么 （ ）

A．
?A
1
B
1
C
1< br>与
?A
2
B
2
C
2
都是锐角三角形
B．
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
? A
2
B
2
C
2
是钝角三角形
C．
?A< br>1
B
1
C
1
是钝角三角形，
?A
2
B
2
C
2
是锐角三角形
D．
?A
1
B< br>1
C
1
与
?A
2
B
2
C
2
都是钝角三角形
5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“
a?
?
，
b?
?
，且
?
?
?
”的平面
?
，

A．不存在 B．有且只有一对
C．有且只有两对 D．有无数对
二、填空题（本题满分50分，每小题10分）
?1
?
11
?
?
24
?
?
（ ）
6．设集合
A?xx?
?
x
?
?2和B?x x?2
，其中符号
?
x
?
表示不大于x的最大整数，则
2< br>??
??
AB?
___________________.
7． 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是
P?
____________（结果要 求写
成既约分数）.
8．已知点O在
?ABC
内部，
OA?2OB ?2OC?0
.
?ABC与?OCB
的面积之比为
____________ _____.
22
9．与圆
x?y?4x?0
外切，且与y轴相切的动圆圆 心的轨迹方程为
________________________.
a
2
?b
2
10．在
?ABC
中，若tanAtanB=tanAtanC+t anctanB，则 =______________.
c
2
三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）

11．已知函数
f(x)??2x?bx?c
在
x ?1
时有最大值1，
0?m?n
，并且
x?
?
m,n
?
时，
2
?
11
?
f(x)
的取值范围为
?
,
?
. 试求m，n的值.
?
nm
?














x
2
y
2
??1
上的两个 动点，满足
OA?OB?0
。 12．A、B为双曲线
49
（Ⅰ）求证：
1
OA
2
?
1
为定值；
2
OB
（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足
OP?AB?0
，求证：点P在定圆上.

















13．如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平
面N内. 已知
?BDC?
?
，
?BDA?
?
，
?CDA?
?
，且
?< br>，
?
，
?
都是锐角. 求
二面角
M?l?N
的平面角的余弦值（用
?
，
?
，
?
的三角函数值表示）.





N
C
A
D
B

14．能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一 个数，使得每行、每列、
两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予 证明.
（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；
（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

















参考答案

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1．解 由柯西不等式
(mx?ny )
2
?(m
2
?n
2
)(x
2
?y
2
)?ab
；或三角换元即可得到
mx?ny?ab
，当
m?n?
a
，
x?y?
b
时，
mx?ny?ab
. 选B.
2
2

2．解 取
a?
N. 选D. < br>1
1
1
?
1
?
?
1
?
，把 坐标代入检验，
?
??
?
，而
??
?
，∴公共点只 可能是点
2
16
4
?
16
?
?
16
?
5
，
16
1
2
1
4
3．解 第一、 二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的
x?0.5
，
y?
3
，则
x?y?z?1
. 选A.
16
4．如果< br>?A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别是
?A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，那么解 两个三角形的内角不能有直角；
?A
1
B
1
C
1
的 内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若
?A
2
B
2
C
2
是锐角三角形，则不妨设
?
?
??
?
?
cos< br>A
1
=sin
A
2
=cos
?
?A
1
?
， cos
B
1
=sin
B
2
=c os
?
?A
2
?
，
?
2
??
2
?
?
?
?
cos
C
1
=sin
C
2
=cos
?
?C
1
?
.
?
2
?
z?
则
A
1
?
?2
?A
2
，
B
1
?
?
2
?B
2
，
C
1
?
?
2
?C
2
，
即
A
1
?B
1
?C
1
?
5．解 任作a的平面
?
，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作
?
的垂线. b与垂线确
定的平面
?
垂直于
?
. 选D.
二、填空题（本题满分50分，每小题10分）
6．解 ∵
x?2
，
?
x
?
的值可取
?2,?1,0,1
.
当[x]=
?2
，则
x?0
无解； 当[x]=
?1
，则
x?1
，∴x=
?1
；
22
当[x]=0，则
x?2
无解； 当[x]=1，则
x?3
，∴
x?
22
3
?
?(A
2
?B
2
?C
2
)
，矛盾. 选B.
2
3
.
所以
x??1或3
.
91
?
5
?
7．解 考虑对立事件，
P?1?
??
?
.
216
?
6
?



8．解 由图，
?ABC
与
?OCB
的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.

A
9．解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以（2,0）为焦点、
x??2
为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心
O
在x轴负半轴上.所以轨迹方程为
y?8x(x?0)
，
或
y?0(x?0)
.
2
3
C
B
sin AsinBsinAsinCsinBsinC
10．解 切割化弦，已知等式即，
??
cosAcosBcosAcosCcosBcosC

sinAsinBcosCabcosC
sinAsinBsin(A?B)
，即=1，即
??1
.
22
sinCcosC
sinCca
2
?b
2
?c
2
a
2
?b
2
?1
，故
?3
. 所以，
22
2cc
亦即
2
三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）
11．解 由题
f(x)??2(x?1)?1
， ……5分
1
?1
，即
m?1
，
?f(x)在
?< br>m,n
?
上单调减，
m
11
22

?f(m)??2(m?1)?1?
且
f(n)??2(n?1)?1?
. ……10分
mn
1
2

?m
，n是方程
f(x)??2(x?1)?1?
的两个解，方程即
x
(x?1)(2x
2
?2x?1)
=0，

?f(x)?1
，
?
1?3
1?3
，.
2
2
1?3

?1?m?n
，
?m?1
，
n?
. ……15分
2
12．证 （Ⅰ）设点A的坐标为
(rcos
?
, rsin
?
)
，B的坐标为
(r
?
cos
?
?
,r
?
sin
?
?
)
，
解方程，得解为1，
则
r?OA
，
?
cos
2
?
sin
2
?
?
r
?
?OB
，A在双曲线上 ，则
r
?
?
4
?
9
?
?
?1.
??
1cos
2
?
sin
2
?
?
所以
2
?
. ……5分
49
r
由
OA?OB?0
得
OA?OB
，
2222
所以
cos
?
?
?sin
?
，
cos
?
?sin
?
?
.
1cos
2
?
?
sin
2
?
?
sin
2
?
co s
2
?
???
同理，
2
?
，
4949
r
?
1111115
??????
所以. ……10分
22
22
4936
rr'
|OA||OB|
2
（Ⅱ）由三角形面积公式，
得
OP?AB?OA?OB
，所以
2222
??

OP?AB?OA?OB
，即
OP?
?
OA?OB
?
?OA?OB
.
??
??
222
?
11
?
?
11
??
5
?
即
OP?
?
??OP???OP?
????
?1
.
?
22
?
49
??
36
?
?
OAOB< br>?
??
2222
2

于是，
OP
2
?
36
.
5
65
为半径的定圆上. ……15分
5
13．解 在平面M中，过A作DA的垂线，
交射线DB于B点；
在平面N中，过A作DA的垂线，
交射线DC于C点.
设DA=1，则
即P在以O为圆心、
1
，
cos
?
1
， ……5分
AC?tan
?
，
DC?
cos
?
并且
?BAC?
?
就是二面角
M?l?N
平面角. ……10分
在
?DBC与?ABC
中，利用余弦定理，可得等式
112< br>BC
2
???cos
?
?tan
2
?
?ta n
2
?
?2tan
?
tan
?
cos
?< br>，
22
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
112
22
??cos
?
所以，
2t an
?
tan
?
cos
?
?tan
?
?t an
?
?
22
cos
?
cos
?
cos< br>?
cos
?
2(cos
?
?cos
?
cos
?
)
=， ……15分
c os
?
cos
?
cos
?
?cos
?
co s
?
故得到
cos
?
?
.
sin
?
sin
?

AB?tan
?
，
DB?
……20分
14．解（Ⅰ）不能. ……5分
因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是
2×4×6×8×12× 18×24×36×48=2
1+2+1+3+2+1+3+2+4
×3=2
19·3
8
不是立方数，故不能.


（Ⅱ）可以. ……15分
如右表


36 2 24



8 12 18



6 72 4

表中每行、每列及对角线的积都是2
6
·2
3
. ……20分
1?1?2?1?2?1