2020年全国高中数学联赛江苏赛区 精品

2020年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分细则
一 试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．已知数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
a
n
＝2
式是 ．
答案：
b
n
＝
2
n
+3
5
1
，
b
n
＝log
2
(
a
1
a2
a
3
…
a
n
)，
n
∈N*，则数列 {
b
n
}的通项公
n
n
＋4
5
，
n
∈N*
，得
a
1
a
2
a
3
…
a
n
＝2
2(1＋2＋…＋
n
)＋3
n
5
简解：由
a
n
＝2
2
n
+3
5
n
(
n
＋4)
＝2
5
，
n
∈N* ．
1
n
(
n
＋4)
n
＋4
所以
b
n
＝×＝，
n
∈N*．
n
55
2．已知两点< br>M
(0，2)、
N
(－3，6)到直线
l
的距离分别为1和4 ，则满足条件的直线
l
的条
数是 ．
答案：3 < br>简解：易得
MN
＝5，以点
M
为圆心，半径1为的圆与以点
N
为圆心，半径为4的圆外切，故
满足条件的直线
l
有3条．
23．设函数
f
(
x
)＝
ax
＋
x
．已 知
f
(3)＜
f
(4)，且当
n
≥8，
n
∈N*时，
f
(
n
)＞
f
(
n
＋1)恒成 立，
则实数
a
的取值范围是 ．
11
答案：(－，－)
717
简解：(方法一) 因为当
n≥8时，
f
(
n
)＞
f
(
n
＋1)恒 成立，所以
a
＜0，此时
f
(
n
)＞
f
(
n
＋1)
恒
1
成立等价于
f
(8)＞
f
(9)，即64
a
＋8＞81
a
＋9，解得
a
＜－ ．
17
111
因为
f
(3)＜
f
(4)，所以9
a
＋3＜16
a
＋4，解得
a
＞－．即
a
∈(－，－)．
7717
(方法二)考察二次函数
f
(
x
)＝
ax
＋
x
的对称轴和开口方向．
1171
因为当n
≥8时，
f
(
n
)＞
f
(
n
＋1)恒成立，所以
a
＜0，且－＜，解得
a
＜－．
2
a
217
17111
因为
f
(3)＜
f
(4)，所 以－＞，解得
a
＞－．即
a
∈(－，－)．
2
a
27717
4．已知
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为3的正方体，
点
P、Q、R
分别是棱
AB、AD、AA
1
上的
点，
AP＝AQ
＝
AR
＝1，则四面体
C
1
PQR
的
体积为 ．
4
答案：
3
简 解：因为
C
1
C
⊥面
ABCD
，所以
C
1
C
⊥
BD
．
又因为
AC
⊥
BD
，
所以
BD
⊥面ACC
1
，所以
AC
1
⊥
BD
．
C
1
D
1
A
1
B
1
2
R
C
D
A
Q
(第4题)
P
B

又
PQ
∥
BD
，所以
AC1
⊥
PQ
．
同理
AC
1
⊥
QR．所以
AC
1
⊥面
PQR
．
因为
AP＝AQ
＝
AR
＝1，所以
PQ
＝
QR
＝
RP＝2．
11
2
1
因为
AC
1
＝33，且V
A
－
PQR
＝··1·1＝，所以
326
V
C
1
－
PQR
＝·
5．数列< br>?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?1
?
答案：－6
1
3
34
2
·(2)·33－V
A
－
PQR
＝．
43
1?a
n
，
n?
N*．记
T
n
＝
a
1
a
2
…
a
n
，则
T
2020
等于 ．
1?a
n
11
简解：易得：
a
1
＝2，
a
2
＝－3，
a
3
＝－，
a
4
＝，
a1
a
2
a
3
a
4
＝1．
23
又
a
5
＝2＝
a
1
，由 归纳法易知
a
n
＋4
＝
a
n
，
n
∈N*．
所以
T
2020
＝
T
2008×
a
2020
×
a
2020
＝
a
1< br>a
2
＝－6．
6．骰子是一个立方体，
6
个面上分别刻有< br>1
、
2
、
3
、
4
、
5
、< br>6
点. 现有质地均匀的
骰子10只. 一次掷
4
只、
3< br>只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为
6
的
概率的比为 ．
答案：1：6.
提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，
10
3
概率为
6
.
掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+
101010
434
为
6
. 所以概率的比为
6
:
6
= 1:6 .
C
2
4
=10种，概率
7
7．在△
ABC
中，已知
BC
＝5，
AC
＝4，cos(
A
－
B
)＝，
8
则cos
C
＝ ．
11
答案：
16
简解：因
BC?AC
，故
?A??B
. 如图，作
AD
，
使∠
BAD
＝∠
B
，则∠
DAC
＝∠
A
－∠
B
．
设
AD
＝BD
＝
x
，则
DC
＝5－
x
．在△
A DC
中，
11
由余弦定理得
x
＝3．再由余弦定理得cos
C
＝．
16
8．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝2
x
的焦点为
F
. 设
M
是抛物线上的动点，则
2
A
B
D
(第7题)
C
MO
的最大值为 ．
MF
23
答案：
3

2
MO
2
x
2
＋
y2
4
x
＋8
x
4
x
－1
简解：设点< br>M
(
x
，
y
)，则()＝＝
2
＝1＋
2
．
MF
1
2
4
x
＋4
x
＋ 14
x
＋4
x
＋1
(
x
＋)
2
令 4
x
－1＝
t
，
当
t
≤0时，显然≤1． 当
t
＞0时，则()＝1＋
MO
MF
MO
MF
2
14
≤1＋＝，且当
t
＝3，即
x
＝1时，等号成立．
933
t
＋6＋
4
t
MO
23
所以的最大 值为，此时点
M
的坐标为(1，±2)．
MF
3

二、解答题（本题满分16分）
22
如图，点
P
是半圆
C
：
x
＋
y
＝1(
y
≥0)上位于
x
轴上方的任意一点，
A
、
B
是直径的两个
端点，以
AB< br>为一边作正方形
ABCD
，
PC
交
AB
于
E
，
PD

y
交
AB
于
F
，求证 ：
BE
，
EF
，
FA
成等比数列．
P

证明：设
P
(cosα，sinα)，
C
(－1，－2)，
D
(1，－2)，
B
E
(
x
1
，0)，
F
(
x
2
，0)．
O
E
F
A
x
sinα＋22
因为点
P
、
E
、
C< br>三点共线，所以＝，
cosα＋1
x
1
＋1
2(cosα＋ 1)
所以
x
1
＝－1． ………………5分
sinα＋2
sinα＋22
由点
P
、
F
、
D
三点共线 ，所以＝，
cosα－1
x
2
－1
2(cosα－1)
所 以
x
2
＝＋1． ………………10分
sinα＋2
2(cosα＋1)2sinα2(cosα－1)
所以
BE
＝
x
1
＋1＝，
EF
＝
x2
－
x
1
＝ ，
FA
＝．
sinα＋2si nα＋2sinα＋2
2(cosα＋1)2(cosα－1)4sinα
2
所以BE
·
FA
＝×＝
2
＝
EF
．
si nα＋2sinα＋2(sinα＋2)
即
BE
，
EF
，
F A
成等比数列． ………………16分

三、解答题（本题满分20分）
设实数
a
，
m
满足
a?1
，
0?m?23
，函数
f
?
x
?
?
2
C
D
amx?mx
2a?a
?
1?a
?
m
2
2
，
x?
?
0,a
?
. 若存在
a
，
m，
x
，使
f
?
x
?
?
2
3< br>，求所有的实数
x
的值．
2
x
2
ma
2< br>ma
2
解答：因为
x?(0, a)
时，
amx?mx??m(a?)?
，
?
244
当且仅当
x?
a
时等号成立， ……………5分
2

所以
a
2
m
3amx ?mx
2
am
4
???

2222
2
a? a(1?a)ma?a(1?a)m4(1?(1?a)
2
m
2
)
?
amm3
， ……………15分
??
442
当且仅当
x?
a
及
a?1
与
m?23
时等号成立.
2
故
x?1
. ……………20分

四、解答题（本题满分20分）
32
数列{
a
n
}中，已知
a
1
∈(1，2)，
a
n
＋1
＝
a
n
－3
a
n
＋3
a
n< br>，
n
∈N*，求证：
1
(
a
1
－
a
2
)(
a
3
－1)＋(
a
2
－
a
3
)(
a
4
－1)＋…＋(
a
n
－
a
n
＋1)(
a
n
＋2
－1)＜．
4
证明：(方法一) 由
a
n
＋1
＝
a
n
－3
a
n
＋3
a
n
，得
a
n
＋1
－1＝(
an
－1)．
3
令
b
n
＝
a
n－1，则0＜
b
1
＜1，
b
n
＋1
＝
b
n
＜
b
n
，0＜
b
n
＜1． ………………5分
所以 (
a
k
－
a
k
＋1
)(
a
k< br>＋2
－1)＝(
b
k
－
b
k
＋1
) ×
b
k
＋2

1
33223
＝(
bk
－
b
k
＋1
)×
b
k
＋1
＜(
b
k
－
b
k
＋1
)×(
b
k
＋
b
k
b
k
＋1
＋
b
k
b
k
＋1
＋
b
k
＋1
)
4
144
＜(
b
k
－
b
k
＋1
)． ………………15分
4
所以 (
a
1
－
a
2)(
a
3
－1)＋(
a
2
－
a
3)(
a
4
－1)＋…＋(
a
n
－
a
n
＋1
)(
a
n
＋2
－1)
1
4
1
4
1
4444
＜(
b
1
－
b
2
)＋(
b
2
－
b
3
)＋…＋(
b
n
－
b
n
＋1
)
444
1
4
1
4
1
4
＝(
b
1
－
b
n
＋1
)＜
b
1
＜． ………………20分
444
(方法二) 由
a
n
＋1
＝< br>a
n
－3
a
n
＋3
a
n
，得
a
n
＋1
－1＝(
a
n
－1)．
3
令
b
n
＝
a
n
－1，则0＜
b
1
＜1，
b
n
＋1
＝
b
n
，0＜
b
n
＜1． ………………5分
所以 (
a
1
－
a
2
)(
a
3
－1)＋(
a
2
－
a
3
)(
a
4
－1)＋…＋(
a
n
－
a
n
＋1)(
a
n
＋2
－1)
＝(
b
1
－
b
2
)
b
3
＋(
b
2
－
b
3
)
b4
＋…＋(
b
n
－
b
n
＋1
)
b
n
＋2

33
＝(
b
1
－
b
2
)
b
2
＋(
b
2
－
b
3
)
b3
＋…＋(
b
n
－
b
n
＋1
)
b
n
3
＋1

1
323
323
?3
x
?
dx?
0
1
4
．
………………20分

2020年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分标准
加 试

一、（本题满分40分） 圆心为I的
?ABC
的内切圆分别切边
AC、AB
于点
E、F.
设
M
为线段
EF
上一点，
证明：
?MAB
与
?MAC
面积相等的充分必要条件是
MI?BC
.
A
A


P

Q
M E

M E
F
F

I
I


B C
B C


D
(第1题)

证明：过点
M
作
MP?AC
、
MQ?AB
，垂足分别为< br>P、Q
. 圆
I
切边
BC
于点
D
，
则
ID?BC
,
IF?AB
,
IE?AC
.
显然
AF=AE
, 所以
?AFM??AEM
, 从而推知
Rt?QFM:Rt?PEM
, 得
MQMF
.
?< br>MPME
1
MQ?AB
S
?MAB
2
MQABMFA B
又 , 所以
?????
1
S
?MAC
MP?ACMPACMEAC
2
ABME
. ①
?
?MAB
与
?MAC
面积相等的充要条件是
ACMF
ABME由①可知，问题转化为证明：的充分必要条件是
MI?BC
. ………10分
?
ACMF
ABME
首先证明：若
MI?BC
，则. < br>?
ACMF
由
MI?BC
可知点
M
在直线
I D
上.
因为
B、D、I、F
四点共圆，所以
?MIF??DBF ??B
，
?MIE??ECD??C
.
又
IE=IF
，则由正弦定理得
MFFIIEME
???
,
sin?MIFsin?IMFsin(
?
??IMF)sin?MIE
即
MEsinCABsinCABME
???
，而. 所以. ……………30分
MFsinBACsinBACMF
ABME
?
，则MI?BC
.
ACMF

其次证明：若

ABM
'
E
?
设直线ID与E F交于点
M
，则由上述证明可知，于是有
ACM
'
F
'< br>ABM
'
E
?
'
，从而
M?M
'
. 故命题成立. ……………40分
ACMF

二、（本题满分40分）
将凸
n< br>边形
A
1
A
2
LA
n
的边与对角线染上红、 蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三
角形. 对
k
=1, 2,…，
n< br>，记
b
k
是由顶点
A
k
引出的蓝色边的条数，求证：
n
2
b
1
?b
2
?L?b
n
?< br>.
2
证明：不妨设
b?max{b
1
,b
2
,L,b
n
}
，并且由点
A
向
A
1
,A
2
,L,A
b
引出
b
条蓝色边，则
A
1< br>,A
2
,L,A
b
之间无蓝色边，
A
1
,A
2
,L,A
b
以外的
n?b
个点，每点至多引出
b
条蓝
2
?
(n?b)?b
?
n
色边，因此蓝色边 总数
?(n?b)b
?
??
?
. …………20分
24
??
2
n
2
n
2
?
故
b
1
?b
2
?L?b
n
?2?
. 命题得证. ……………40分
42

三、（本题满分50分）
2
设正整数的无穷数列
?
a
n< br>?
（
n?
N
*
）满足
a
4
?4，
a
n
?a
n?1
a
n?1
?1
（< br>n?2
），
求
?
a
n
?
的通项公式．
解：由已知得
a
n
a
?
n?1
.
a
n?1
a
n
a
n?1
?1
，则
a
n
?a
n?1
， …………10分
a
n
若有某个
n
，使
*
从而a
n?1
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?L
，这显然不可能，因为
{a
n
} (n?N)
是正整数的
无穷数列. 故数列
{a
n
}
中的项是严格递增的. …………20分
从而由
a
4
?4
可知，
a
1< br>?1
，
a
2
?2
，
a
3
?3
. …………30分

*
于是由?
a
n
?
的递推公式及数学归纳法知
a
n
?n (n?N)
. …………40分
显然数列
{n} (n?N)
满足要求，故所求的正整数无穷数列为
{n}(n?1)
.
…………50分

四、（本题满分50分）
设
p
是一个素数，
p?3 (mod 4)
. 设
x
，
y
是整数，满足
p|x?xy?
证：存在整数
u
，v
，使得
x?xy?
22
*
2
p?1
2
y
. 求
4
2
p?1
2
p?1
2
y?p (u
2
?uv?v)
.
44
2
证明：由条件可知
p|(2x?y)?py
，则
p|(2x?y)
.
因
p
是素数，故有
p|2x?y
. 设
2x?y?pk
， …………20分
则 x?xy?
2
p?1
2
1
y?(py
2
?(2 x?y)
2
)

44
1
?((2x?pk)
2p?p
2
k
2
)

4
p
?((2x?pk)
2
?pk
2
)
…………30分
4
p
?((2x?pk?k?k)
2
?pk
2
)

4
pk(p?1)
，
v?k
）
?((2u?v)
2
?pv
2
)
（这里
u? x?
42
p
?(4u
2
?4uv?(p?1)v
2
)

4
p?1
2
?p(u
2
?uv?v)
.
4
命题得证. …………50分