2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)

2017年江苏省高考数学试卷



一.填空题

1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a
2
+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．

2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．

3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，
400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品
中抽取60件 进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．

4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是 ．


5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．

6．（5 分）如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切，记圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积 为V
2
，则的值是 ．


7．（5分）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数
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x，则x∈D的概率是 ．

8．（5分）在平面 直角坐标系xOy中，双曲线﹣y
2
=1的右准线与它的两条渐
近线分别交于点P，Q ，其焦点是F
1
，F
2
，则四边形F
1
PF
2Q的面积是 ．

9．（5分）等比数列{a
n
}的各项均为实 数，其前n项为S
n
，已知S
3
=，S
6
=
则a< br>8
= ．

10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购 买x吨，运费为6万元次，
一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x
的值是 ．

11．（5分）已知函数f（x）=x
3
﹣ 2x+e
x
﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a
，
﹣1）+f（2a2
）≤0．则实数a的取值范围是 ．

12．（5分）如图，在同一个 平面内，向量
与的夹角为α，且tanα=7，与
，，的模分别为1，1，
=m
，
的夹角为45°．若+n（m，n∈R），
则m+n= ．


13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：
x
2
+y
2
=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x ）
=，其中集合D={x|x=，n∈N
*
}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个
数是 ．



二.解答题

15．（1 4分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面
BCD，点E、F（ E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

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求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．















16．（14 分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣
（1）若∥，求x的值；

（2）记f（x）=






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），x∈[0，π]．

，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xO y中，椭圆E：=1（a＞b＞0）
的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆
E上，且位于第一象限，过点F
1
作 直线PF
1
的垂线l
1
，过点F
2
作直线PF
2< br>的垂线
l
2
．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l
1
，l
2
的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

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18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台 形玻璃容器Ⅱ
的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角
线EG，E
1
G
1
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ 中注入水，水深
均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略
不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l没
入水中部分的长度；

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（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG
1
上，求l没
入水中部分的长度．
















19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a
n
}满足：a
n
﹣
k
+a
n
﹣
k
+
1
+…+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+…+a
n< br>+
k
﹣
1
+a
n
+
k
=2kan
对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a
n
}是“P（k）数列”．< br>
（1）证明：等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（ 2）若数列{a
n
}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a
n< br>}是等差数列．




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20．（16分）已知函数f（x）=x
3
+ax
2< br>+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′
（x）的极值点是f（x）的零点．（极值 点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：b
2
＞3a；

（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．






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二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分
0分 ）

21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC
2
=AP?AB．






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[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵A=
（1）求AB；

（2）若曲线C
1
：
C
2
的方程．










[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），
=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C
2
，求
，B=．

曲线C的参数方程为
直线l的距离的最小值．







（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到
第9页（共35页）

［选修4-5：不等式选讲］

24．已知a，b，c，d为实数，且a
2< br>+b
2
=4，c
2
+d
2
=16，证明ac+bd≤ 8．









【必做题】

25．如图，在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
⊥平面ABCD，且AB= AD=2，
第10页（共35页）

AA
1
=，∠BAD=120°．

（1）求异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值．










26．已知一个口袋有m个白球，n 个黑球（m，n∈N
*
，n≥2），这些球除颜色外
全部相同．现将口袋中的球随机的 逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，
m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为 k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个 取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的
数学期望，证明E（X）＜


．

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2017年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析



一.填空题

1．（5分）（2017?江苏）已知集合A={1，2}，B={a， a
2
+3}．若A∩B={1}，则实
数a的值为 1 ．

【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a， a
2
+3}．A∩B={1}，

∴a=1或a
2
+3=1，

解得a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意交集定义
及性质的合理运用．



2．（5分）（2017?江 苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的
模是 ．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，

∴|z|=
故答案为：．

=．

【点评】本题考查了复数 的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．



3．（5分）（2017?江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量
分别为 200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以
上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件．

【分析】由题意先求出抽样比例 即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产
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品中抽取的数目．

【解答】解：产品总数为200+400+300+100=10 00件，而抽取60辆进行检验，
抽样比例为=，

=18件，

则应从丙种型号的产品中抽取300×
故答案为：18

【点评】本题的考点 是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的
结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量 和总体容量的比值，在各层中进行
抽取．



4．（5分）（2017?江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为
的值是 ﹣2 ．

，则输出y

【分析】直接模拟程序即得结论．

【解 答】解：初始值x=
所以y=2+log
2
=2﹣
，不满足x≥1，

=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查程序框图，模拟程 序是解决此类问题的常用方法，注意解题方
法的积累，属于基础题．



5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣

）=．则tanα= ．

第13页（共35页）

【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可

【解答】解：∵tan（α﹣）===

∴6tanα﹣6=tanα+1，

解得tanα=，

故答案为：．

【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题



6．（5 分）（2017?江苏）如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的 上、下
底面及母线均相切，记圆柱O
1
O
2
的体积为V
1< br>，球O的体积为V
2
，则
．

的值是

【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．

【解答】解： 设球的半径为R，则球的体积为：
圆柱的体积为：πR
2
?2R=2πR
3< br>．

则==．

R
3
，

故答案为：．

【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算
能力．



第14页（共35页）

7．（5分）（2017?江苏）记函数f（x）=
上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．

定义域为D．在区间[﹣4，5]
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概 率公式进行计算即可．

【解答】解：由6+x﹣x
2
≥0得x
2< br>﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，

则D=[﹣2，3]，

则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P=
故答案为：

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，
以及利用几何概型的概率 公式是解决本题的关键．



8．（5分）（2017?江苏）在平面直角 坐标系xOy中，双曲线﹣y
2
=1的右准线
=，

与它的两条渐近 线分别交于点P，Q，其焦点是F
1
，F
2
，则四边形F
1
PF
2
Q的面积
是 ．

【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线 方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，
然后求解四边形的面积．

【解答】解：双曲 线
所以P（，
﹣y
2
=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=
），F
1
（﹣2，0）．F
2
（2，0）．

=2．

x，

），Q（，﹣
则四边形F
1
PF
2
Q的面积是：
故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．



9．（5分）（2017?江苏）等比数列{a
n
}的各项均为实数，其前n项为S
n
，已知S
3
=，
S
6
=，则a
8
= 32 ．

，可得=，【分析】设等比数列{a
n
}的公比为q≠1，S
3
=，S
6
=
第15页（共35页）

=，联立解出即可得出．

【解答】解：设等比数列{a
n
}的公比为q≠1，

∵S
3
=，S
6
=，∴=，=，

解得a
1
=，q=2．

则a
8
==32．

故答案为：32．

【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．



10．（5分）（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 x吨，运
费为6万元次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用
之和最 小，则x的值是 30 ．

【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
不等式的性质即可得出．

【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
×=240（万元）．

+4x≥4×2
+4x，利用基本
当且仅当x=30时取等号．

故答案为：30．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力 与计算能力，
属于基础题．



11．（5分）（2017?江苏 ）已知函数f（x）=x
3
﹣2x+e
x
﹣，其中e是自然对数
的底 数．若f（a﹣1）+f（2a
2
）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ．

【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R
上递增；再 由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a
2
≤1﹣a，
第16页（ 共35页）

运用二次不等式的解法即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）=x
3
﹣2x+e
x
﹣
f′（x ）=3x
2
﹣2+e
x
+≥﹣2+2
的导数为：

=0，

可得f（x）在R上递增；

又f（﹣x）+f（x）=（ ﹣x）
3
+2x+e
﹣
x
﹣e
x
+x
3< br>﹣2x+e
x
﹣
可得f（x）为奇函数，

则f（a﹣1）+f（2a
2
）≤0，

即有f（2a
2
）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），

即有2a
2
≤1﹣a，

解得﹣1≤a≤，

故答案为：[﹣1，]．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注 意运用导数和定义法，
考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．



12．（5分）（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量
1，1 ，，与的夹角为α，且tanα=7，与
，，的模分别为
=m+n
=0，

的夹角为45°．若
（m，n∈R），则m+n= 3 ．


【分 析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由
得cosα=
=．B
，sinα=
．利用
．C
=m+n
与的夹角为α，且tanα=7．可
．sin（ α+45
°
）．可得cos（α+45
°
）=
（m，n∈R），即可 得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．

第17页（共35页）

由与的夹角为α，且tanα=7．

，sinα=
．

（cosα﹣sinα）=
（sinα+cosα）=．

．

．

．

∴cosα=
∴C
cos（α+45°
）=
sin（α+45
°
）=
∴B
∵=m+n（m， n∈R），

∴=m﹣n，=0+n，

解得n=，m=．

则m+n=3．

故答案为：3．


【点评】本题考查了 向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．



13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0 ，6），
点P在圆O：x
2
+y
2
=50上．若
5，1] ．

≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [﹣
【分析】根据题意，设P（x
0
，y
0
），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x
0
+y< br>0
+5
≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线 与圆
的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．

第18页（共35页）

【解答】解：根据题意，设P（x
0
，y
0
），则有x
0
2
+y
0
2
=50，

=（﹣12﹣x
0
，﹣y
0
）?（﹣x
0
，6﹣y
0
）=（12+x
0
）x
0
﹣y（=12x
0+6y+x
0
2
+y
0
2
0
6﹣y
0
）
≤20，

化为：12x
0
﹣6y
0
+30≤0，

即2x< br>0
﹣y
0
+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，

联立，解可得x
0
=﹣5或x
0
=1，

，1]，

结合图形分析可得：点P的横坐标x
0
的取值范围是[﹣ 5
故答案为：[﹣5，1]．


【点评】本题考查数量积的运算以及直线与 圆的位置关系，关键是利用数量积化
简变形得到关于x
0
、y
0
的关 系式．



14．（5分）（2017?江苏）设f（x）是定义在R上且 周期为1的函数，在区间[0，
1）上，f（x）=
的解的个数是 8 ．

【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f
（x）=，其中集 合D={x|x=，n∈N
*
}，分析f（x）的图象与y=lgx
，其中集合D={ x|x=，n∈N
*
}，则方程f（x）﹣lgx=0
图象交点的个数，进而可得答案 ．

【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=
第19页（共35页）

，

第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，

又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，

∴在区间[1，2）上，f（x）=
只有一个交点；

同理：

区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；

故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；

即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，

故答案为：8

【 点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，
转化思想，难度中档．


二.解答题

15．（14分）（2017?江苏）如图 ，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平
面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥
AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

，此时f（x）的图象与y=lgx有且
第20页（共35页）

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段C D上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面
垂直的性质定理可知FG⊥AD， 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从
而可得结论．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

因为BC⊥BD，所以FG∥BC，

又因为平面ABD⊥平面BCD，

所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，

所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．

< br>【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思
想，涉及线面平行 判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，
属于中档题．



16．（14分）（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣第21页（共35页）

），x∈[0，

π]．

（1）若∥，求x的值；

（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

，问题得以解决，

【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣
（ 2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出

【解答】解：（1）∵= （cosx，sinx），=（3，﹣
∴﹣cosx=3sinx，

，

），∥，

∴tanx=﹣
∵x∈[0，π]，

∴x=，

=3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），

（2）f（x）=
∵x∈[0，π]，

∴x+∈[，]，

）≤，

∴﹣1≤cos（x+
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，

当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．

【点评】本题考查了向量的平行和向量 的数量积以及三角函数的化简和三角函数
的性质，属于基础题



17．（14分）（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1
（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F
1
作直线PF
1
的垂线l
1
，过点F
2
作直线PF
2
的垂线l
2
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l
1
，l
2
的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

第22页（共35页）

【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线 方程x=±
×=8，即可求得a和c的值，则b
2
=a
2
﹣c
2
=3，即可求得椭圆方程；

，则2
（2）设P点坐标，分别求得直线P F
2
的斜率及直线PF
1
的斜率，则即可求得l
2
及l1
的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y
0
2
=x
0
2
﹣1，联
立即可求得P点坐标；

方法二：设P（m， n），当m≠1时，=，=，求得直线l
1
及l
1
的方程，联立求得Q点坐标 ，根据对称性可得
求得P点坐标．

=±n
2
，联立椭圆方程，即可
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①

椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②

由①②解得：a=2，c=1，

则b
2
=a
2
﹣c
2
=3，

∴椭圆的标准方程：；

（2）方法一：设P（x
0
，y
0
），则直线PF
2
的斜率=，

则直线l
2
的斜率 k
2
=﹣，直线l
2
的方程y=﹣（x﹣1），

直线PF
1
的斜率=，

则直线l
2
的斜率k
2
=﹣

，直线l
2
的方程y=﹣
第23页（共35页）
（x+1），

联立，解得：，则Q（﹣x
0
，），

由P，Q在椭圆上，P，Q的 横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y
0
=
∴y
0
2
=x
0
2
﹣1，

则，解得：，则，

，

又P在第一象限，所以P的坐标为：

P（，）．


方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，

当m=1时，当m≠1时，
不存在，解得：Q与F
1
重合，不满足题意，

=，
=﹣
=，

，=﹣，

（x﹣1），②

由l
1
⊥PF
1
，l
2
⊥PF
2
，则
直线l
1
的方程y=﹣（x+1），①直线l
2
的方程y=﹣
），

=±n
2
，

联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，
由Q在椭圆方程，由对称性可得：

第24页（共35页）

即m
2
﹣n
2< br>=1，或m
2
+n
2
=1，

由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无
解，

又P在第一象限，所以P的坐标为：

P（，）．

【点评】本题考 查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公
式，考查数形结合思想，考查计算能力， 属于中档题．



18．（16分）（2017?江苏）如图，水平放置的 正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台
形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ
的两底面对角线EG，E
1
G
1
的长分别为14cm和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中
注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃
棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点 A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l没
入水中部分的长度；

（2 ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG
1
上，求l没
入水中 部分的长度．


【分析】（1）设玻璃棒在CC
1
上的点为M，玻 璃棒与水面的交点为N，过N作
NP∥MC，交AC于点P，推导出CC
1
⊥平面AB CD，CC
1
⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，
推导出△ANP∽△AMC ，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．

（2）设玻璃棒在GG
1
上的点 为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，
第25页（共35页）

交EG于点P，过点E作EQ⊥E
1
G
1
，交E
1
G
1
于点Q，推导出EE
1
G
1
G为等腰梯形，
求出E
1
Q=24cm，E
1
E=40cm，由正弦 定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l
没入水中部分的长度．

【解答】解 ：（1）设玻璃棒在CC
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，

在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，

∵ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
为正四棱柱，∴CC
1
⊥平面ABCD，

又∵AC?平面ABCD，∴CC
1
⊥AC，∴NP⊥AC，

∴N P=12cm，且AM
2
=AC
2
+MC
2
，解得MC=3 0cm，

∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，

∴=，，得AN=16cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

（2）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，

在平面E
1
EGG
1
中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
< br>过点E作EQ⊥E
1
G
1
，交E
1
G
1于点Q，

∵EFGH﹣E
1
F
1
G
1
H
1
为正四棱台，∴EE
1
=GG
1
，EG∥E
1
G
1
，

EG≠E
1
G
1
，

∴EE
1
G
1
G为等腰梯形，画出平面E
1
EGG
1
的平面图，

∵E
1
G
1
=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，N P=12cm，

∴E
1
Q=24cm，

由勾股定理得：E
1
E=40cm，

∴sin∠EE
1< br>G
1
=，sin∠EGM=sin∠EE
1
G
1
=， cos
根据正弦定理得：=，∴sin
，

，cos，

∴ sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠E MG=，

∴EN===20cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

第26页（共35页）

【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法 ，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象 能
力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．



19 ．（16分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{a
n
}满足：a
n< br>﹣
k
+a
n
﹣
k
+
1
+…+an
﹣
1
+a
n
+
1
+…+a
n
+
k
﹣
1
+a
n
+
k
=2ka
n
对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a
n
}是“P（k）
数列” ．

（1）证明：等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）若数列{a
n
}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a
n
}是等差数列．

【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a
n< br>﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a< br>n
+
3
=（a
n
﹣
3
+a
n
+
3
）+（a
n
﹣
2
+a
n
+
2
）+（a
n
﹣
1
+a
n
+
1
） ═2×3a
n
，根据“P（k）数列”的定义，可得
数列{a
n
}是 “P（3）数列”；

（2）由“P（k）数列”的定义，则a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a< br>n
+
2
=4a
n
，a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=6a
n
，变形整理即可求得2a
n
=a
n
﹣
1
+a
n
+
1
，即可证明数列{a
n
}是 等差
数列．

【解答】解：（1）证明：设等差数列{a
n
}首项为 a
1
，公差为d，则a
n
=a
1
+（n﹣1）
d，

则a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
，

=（an
﹣
3
+a
n
+
3
）+（a
n
﹣
2
+a
n
+
2
）+（a
n
﹣
1
+a
n
+
1
），

第27页（共35页）

=2a
n
+2a
n
+2a
n
，

=2×3a
n
，

∴等差数列{a
n
}是“P（3）数列”；

（2）证明：由数列{ a
n
}是“P（2）数列”则a
n
﹣
2
+a
n﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
=4a
n
，①

数列{a
n
}是“P（3）数列” a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n﹣
1
+a
n
+
1
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=6a
n
，②

由① 可知：a
n
﹣
3
+a
n
﹣
2
+a
n
+a
n
+
1
=4a
n
﹣
1
，③

a
n
﹣
1
+a
n
+a
n
+
2
+a
n
+
3
=4a
n
+
1
，④

由②﹣（③+④）：﹣2a
n
=6a
n
﹣4 a
n
﹣
1
﹣4a
n
+
1
，
整理得：2a
n
=a
n
﹣
1
+a
n
+
1
，

∴数列{a
n
}是等差数列．

【 点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，
考查转化思想，属于中档 题．



20．（16分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3
+ax
2
+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
且导函数f′（x） 的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自
变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：b
2
＞3a；

（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．
【分析】（1）通过对f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1求导可知g（ x）=f′（x）=3x
2
+2ax+b，进
而再求导可知g′（x）=6x+2a， 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为
x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（ a＞0），结合f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1
（a＞0，b∈ R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．

（2）通过（1）构造 函数h（a）=b
2
﹣3a=﹣+=（4a
3
﹣27）（a
3
﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；

（3）通过（1）可知f′（x ）的极小值为f′（﹣）=b﹣
全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣
，利用韦达定 理及完
+2，进而问题转化为解不
第28页（共35页）

等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．

【解答】（1）解：因为f（x） =x
3
+ax
2
+bx+1，

所以g（x）=f′（x） =3x
2
+2ax+b，g′（x）=6x+2a，

令g′（x）=0，解得x=﹣．

由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′ （x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜
0，g（x）=f′（x）单调递减；

所以f′（x）的极小值点为x=﹣，

由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，

所以f（﹣）=0，即﹣
所以b=+（a＞0）．

+﹣+1=0，

因为f（x）=x
3
+ax
2
+bx+1（a＞0，b∈R）有极值 ，

所以f′（x）=3x
2
+2ax+b=0有两个不等的实根，

所以4a
2
﹣12b＞0，即a
2
﹣
所以b=+（a＞3） ．

﹣+=（4a
3
﹣27）（a
3
+＞0，解得a＞3，

（2）证明：由（1）可知h（a）=b
2
﹣3a=
﹣27），

由于a＞3，所以h（a）＞0，即b
2
＞3a；

（3）解：由（ 1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣
设x
1
，x
2
是y =f（x）的两个极值点，则x
1
+x
2
=
所以f（x
1< br>）+f（x
2
）=++a（+
，

，x
1
x
2
=，

）+b（x
1
+x
2
）+2

=（x
1< br>+x
2
）[（x
1
+x
2
）
2
﹣3 x
1
x
2
]+a[（x
1
+x
2
）
2
﹣2x
1
x
2
]+b（x
1
+x
2< br>）+2

=﹣+2，

又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，

所以b﹣

+﹣+2=﹣≥﹣，

第29页（共35页）

因为a＞3，所以2a
3
﹣63a﹣54≤0，

所以2a（a
2
﹣36）+9（a﹣6）≤0，

所以（a﹣6）（2a
2
+12a+9）≤0，

由于a＞3时2a
2
+12a+9＞0，

所以a﹣6≤0，解得a≤6，

所以a的取值范围是（3，6]．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查
转化思想，注意解题方 法的积累，属于难题．



二.非选择题，附加题（21-24选做题）【 选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分
0分）

21．（2017?江苏）如图， AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥
PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC
2
=AP?AB．


【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠AB C．利用圆的性质可得∠
ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．

【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．

∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．

∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，

∴∠PAC=∠CAB．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，

∴=．

∴AC
2
=AP?AB．

第30页（共35页）

【点评】本题考查了 弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的
判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力 ，属于中档题．



[选修4-2：矩阵与变换]

22．（2017?江苏）已知矩阵A=
（1）求AB；

（2）若曲线C
1
：
C
2
的方程．

【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；

（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C
1
的方程化简即可．

【解答】解：（1）AB==，

=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C
2
，求
，B=．

（2）设点P（x，y）为曲线C
1
的任意一点，

点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x
0
，y
0
），

则
∴x=y
0
，y=
∴
=
，

，即x
0
2
+y
0
2
=8，

，即x
0
=2y，y
0
=x，

∴曲线C
2
的方程为x
2
+y
2
=8．

【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．



[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2017?江苏）在平面直角坐标系x Oy中，已知直线l的参数方程为（t
第31页（共35页）

为参数），曲线C的参数方程为
求点P到直线l的距离的最小值．

（s为参 数）．设P为曲线C上的动点，
【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于 参数s
的函数，从而得出最短距离．

【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，

∴P到直线l的距离d=
∴当s=时，d取得最小值=
=
．

，

【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．



［选修4-5：不等式选讲］

24．（2017?江苏）已知a，b，c ，d为实数，且a
2
+b
2
=4，c
2
+d
2=16，证明ac+bd
≤8．

【分析】a
2
+b
2
=4，c
2
+d
2
=16，令a=2cosα，b=2sinα，c =4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd
化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西 不等式可得：（ac+bd）
2
≤（a
2
+b
2
）（c2
+d
2
），即可得出．

【解答】证明：∵a
2+b
2
=4，c
2
+d
2
=16，

令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．

∴ac+ bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1
时取等号．

因此ac+bd≤8．

另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）
2
≤（a
2
+b
2
）（c
2
+d
2
）=4×16=64，当且仅当
时取等号．

∴﹣8≤ac+bd≤8．

【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不 等式的性质，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．



【必做题】

第32页（共35页）

25．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
⊥平面ABCD，
且AB=AD=2， AA
1
=，∠BAD=120°．

（1）求异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值．


【分析】在 平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA
1
⊥平面ABCD，可得AA
1
⊥Ax，
AA
1
⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA
1
所在直线为x、y、z轴建立空
间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A
1
，C
1
的坐标，进一步求出
，，的坐标．

，
（1）直接 利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值；

（2）求出平面BA
1
D与平面A
1
AD的一个 法向量，再由两法向量所成角的余弦值
求得二面角B﹣A
1
D﹣A的余弦值，进一步得 到正弦值．

【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，

∵AA
1
⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，

∴AA
1
⊥Ax，AA
1
⊥AD，

以A为坐标原 点，分别以Ax、AD、AA
1
所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
系．

∵AB=AD=2，AA
1
=，∠BAD=120°，

），C（，1，0），

∴A（0，0，0），B（
D（0，2，0），

A
1
（0，0，
=（
．

），C
1
（
），
）．

=（），，
第33页（共35页）

（1）∵cos＜＞==．

∴异面直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值为；

（2）设平面BA
1
D的一个法向量为
由，得，取x=，得
．

．

，

；

取平面A
1
AD的 一个法向量为
∴cos＜＞==
∴二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值为
．

，则二面角B﹣A
1
D﹣A的正弦值为

【点评】本题 考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，
是中档题．



26．（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N
*，n≥2），这
些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，
2，3 ，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个 取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的
数学期望，证明E（X）＜．

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【分析】（1）设事件A
i
表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A
2
）=P（A
2
|A
1
）
P（A
1
）+P（A
2
|）P（），由 此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．

，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n +2，…，（2）X的所有可能取值为
n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．

【解答】解：（1）设事件A
i
表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
< br>则p=p（A
2
）=P（A
2
|A
1
）P（A
1
）+P（A
2
|
=
==．

，…，，


）P（）

证明：（2）∵X的所有可能取值为
P（x=）=，k =n，n+1，n+2，…，n+m，

∴E（X）=（）=

=
=
＜
?（
=
）


=
∴E（X）＜
=
．

，

【点评】本题 考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础
知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、空间想象能力，考查数形结合思想、
化归与转化思想，是中档题．




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