9江苏高考数学试卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

一、填空题：本大题 共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位
．．．．．．．
置上.
．．
1.若复数
z
1
?4?29i,z
2
?6?9 i
，其中
i
是虚数单位，则复数
(z
1
?z
2)i
的实部为.
2.已知向量
a
和向量
b
的夹角为< br>30
，
|a|?2,|b|?3
，则向量
a
和向量
b
的数量积
ab?
.
3.函数
f(x)?x
3
?1 5x
2
?33x?6
的单调
y?Asin(
?
x?
?
)(A,
?
,
?
为常数，
y
1
减区间为.
4.函数
A?0,
?
?0)
在闭区间
[?
?
,0]
上的图象如
图所示，则
?
?
.

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别
?
?

?
2
?
3
?
?
3

O 1 x
为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0 .3m
的概率为.
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投 篮练习，每人投10次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
2号
7
7
3号
7
6
4号
8
7
5号
7
9
1 6

则以上两组数据的方差中较小的一个为
s
2
?
.
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的
W?
.
开始
8.在平 面上，若两个正三角形的连长的比为1：2，则它
们的面积比为1：4，类似地，在宣传部，若两个正四 面
体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为
9.在平面直角坐标系
S?0

T?1

S?T
2
?S

xoy
中，点P 在曲线
C:y?x
3
?10x?3
上，且在第二象限内，已知曲线
C 在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.
T?T?2

N
5?1< br>x
10.已知
a?
，函数
f(x)?a
，若实数
m, n
满
2
足
f(m)?f(n)
，则
m,n
的大小关 系为.
11.已知集合
若
A?
S?10

Y
W?S?T

输出
W

A?
?
x|log
2
x?2
?
，
B?(??,a)
，
B
则实 数
a
的取值范围是
(c,??)
，其中
c?
.
12.设
?
和
?
为不重合的两个平面，给出下列命题：
（ 1）若
?
内的两条相交直线分别平行于
?
内的两条直
线，则
?
平行于
?
；
结束
（2）若
?
外一条直线l
与
?
内的一条直线平行，则
l
和
?
平行；
（3）设
?
和
?
相交于直线
l
，若
?内有一条直线垂直于
l
，则
?
和
?
垂直；
（ 4）直线
l
与
?
垂直的充分必要条件是
l
与
?内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号.（写出所有真命题的序号）.
．．．
x
2
y
2
13．如图，在平面直角坐标系
xoy
中 ，
A
1
,A
2
,B
1
,B
2
为椭 圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的
ab
四个顶点，< br>F
为其右焦点，直线
A
1
B
2
与直线
B1
F
相交于点T，线段
OT
与椭圆的交点
M
恰为线段< br>OT
的中点，则该椭圆的离心率为.



14．设
B
M
y
T
?
a
n
?
是公比为
q
的等比数列，
|q|?1
，令
b
n< br>?a
n
?1(n?1,2,)
若数列
?
b
n
?
有连续四项在
2 6
A
O
A
x

< br>集合
?
?53,?23,19,37,82
?
中，则
6q?< br>.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文< br>字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设向量
a?(4c os
?
,sin
?
),b?(sin
?
,4cos
?
),c?(cos
?
,?4sin
?
)

?
?
)
的值； （1）若
a
与
b?2c
垂 直，求
tan(
?
（2）求
|b?c|
的最大值。
（3）若
tan
?
tan
?








16．（本小题满分14分）
如图， 在直三棱柱
ABC
?16
，求证：
a
∥
b
. ?A
1
B
1
C
1
中，
E,F
分别是< br>A
1
B,AC
的中点，点
D
在
B
1
C
1
上，
1
A
1
D?B
1
C

求证：（1）
EF
∥
平面ABC

（2）
平面A
1
FD








17．（本小题满分14分）
设
2222
满足
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
, S
7
?7
（1）
?
a
n
?
是公差不为零的 等差数列，
S
n
为其前
n
项和，
?平面BB
1C
1
C

A
D
F
E
A
B
C
C
B
3 6

求数列
?
a
n
?
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
a
m
a
m?1
为数列
S
n
中的项.
a
m?2
（2）试求所有的正整数
m
，使得











18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
和圆
C
2
:(x?4)
2
?(y?5)
2
?4

（1）若直线
l
过点
A(4,0)
，且被圆
C
1< br>截得的弦长为
y
23
，求直线
l
的方程；
（2） 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多
对互相垂的直线
l
1
和l2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C
2
相
交 ，且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得
的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.





19.(本小题满分16分)
按照某 学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为
a
元，如果他卖出该产品的单
.
.
1
O 1
x
4 6

m
价为
m
元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为
n
元，则他的满意 度为
m?a
n
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为
h1
和
h
2
，则他对这两种交易
n?a
的综合满意度为< br>h
1
h
2
.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别 为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件
成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为< br>m
A
元和
m
B
元，甲买进A与卖出B的
综合满意度为
h
甲
，乙卖出A与买进B的综合满意度为
h
乙

(1) 求
h
甲
和
h
乙
关于
m
A
、
m
B
的表达式；当
m
A
3
?m
B
时，求证：
h
甲
=
h
乙
；
5
3
(2) 设
m
A
?m
B
，当
m
A
、
m
B
分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的
5
综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为
h
0
，试问能否适当选取
m
A
、
m
B
的值，使得h
甲
?h
0
和
h
乙
?h
0
同 时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
















20．(本小题满分16分)
5 6

设
a
为实数，函数
(1) 若
f(x)?2x
2
?(x?a)|x?a|
.
f(x),x?( a,??)
，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
h(x)?1
的
．．．．
f(0)?1
，求
a
的取值范围；求
f(x)
的最小值；
(2) 设函数
h(x)?
解集.









6 6