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【江苏高考】2018年高中数学二轮复习:全套配套练习(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 17:49
tags:江苏高中数学

高中数学经典题型的资料-高中数学圆锥曲线大题题型

2020年9月20日发(作者:吴纯一)


专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语
(对应学生用书第77页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
1 .(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合
A
={
x
|-1<
x
<3},
B
={
x
|
x
<2} ,则
A

B
=________.
{
x
|-1<
x
<2} [集合
A
={
x
|-1<
x
<3},
B
={
x
|
x
<2},则
A

B
={
x
|-1<
x
< 2},
故答案为:{
x
|-1<
x
<2}.]
2.(江苏 省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数
y

f
(
x
),
x
∈R,

y
=|
f
(< br>x
)|的图象关于
y
轴对称”是“
y

f
(
x
)是奇函数”的________条件.(填“充
分不必要”“必要不充分”“充要 ”“既不充分也不必要”).
必要不充分 [充分性不成立,如
y

x图象关于
y
轴对称,但不是奇函数;必要性成
立,
y

f
(
x
)是奇函数,|
f
(-
x
)|=|-
f
(
x
)|=|
f
(
x
)|,所以
y< br>=|
f
(
x
)|的图象关于
y
轴对称.]
3.(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集,集合
A
={1,2 ,3,4,5},
2
B
={
x
|
x
(4-
x
)<0},则
A
∩(?
R
B
) =________.
{1,2,3,4} [集合
A
={1,2,3,4,5},
B
= {
x
|
x
(4-
x
)<0}={
x
|x
(
x
-4)>0}={
x
|
x
<0或
x
>4},
∴?
R
B
={
x
|0≤
x
≤4},

A
∩(?
R
B
)={1,2,3,4}.
故答案为:{1,2,3,4}.]
4.(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{
a
n
},{
b
n
}满足
b
n
=< br>a
n

a
n
+1
,则“数列{
a
n
}
为等差数列”是“数列{
b
n
}为等差数列”的________ 条件.
充分不必要 [若数列{
a
n
}为等差数列,设其公差为
d
1
,则
b
n
+1

b
n
=(a
n
+1

a
n
+2
)-(
a
n

a
n
+1
)=
a
n
+2

a
n
=2
d
1
,所以数列{
b
n
}是等差数列;若数列{
b
n
}为等差数列,设其公差

d
2
,则
b
n
+1

b
n
=(
a< br>n
+1

a
n
+2
)-(
a
n
a
n
+1
)=
a
n
+2

a
n

d
2
,不能推出数列{
a
n
}为 等差
数列,所以“数列{
a
n
}为等差数列”是“数列{
b
n
}为等差数列”的充分不必要条件.]
5.(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若 集合
A
={
x
∈Z|-2<
x
<2},
B
={
x
|
y
=log
2
x
},

A

B
=________.
【导学号:56394004】
{-1,1} [因为
A
={
x
∈Z|-2<
x
< 2}={-1,0,1},
B
={
x
|
y
=log
2
x
}={
x
|
x
≠0},
所以
A

B
={-1,1}.]
6.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一) )设等比数列{
a
n
}的公比为
q
,前
n
项和为< br>2
2


S
n
,则“|
q
|=1”是“< br>S
6
=3
S
2
”的________条件 .
充要 [由
S
6
=3
S
2
,得
a
1
(1 +
q

q

q

q

q
)=3
a
1
(1+
q
),即
q

q

q

q
-2-
2
q
=0,(
q
+1)(
q
-1)(
q
+2)=0,解得
q
=±1,所以 “|
q
|=1”是“
S
6
=3
S
2
”的充
要条件.]
7.(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合
A
={- 1,1},集合
B
={
x
|
ax
=1,
a
∈R},
则使得
B
?
A

a
的所有 取值构成的集合是________.
{-1,0,1} [因为
B
?
A< br>,所以
B
=?,{-1},{1},因此
a
=-1,0,1.] 8.已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
aq

b
(
a
≠0,
q
≠0,1) ,则“
a

b
=0”是数列{
a
n
}为等
比数列的________条件.
充要 [当
a

b
=0时,a
1

S
1

aq

b
=< br>a
(
q
-1),当
n
≥2时,
a
n

S
n

S
n
-1

aq
-1) ,

n
=1时,也成立,
n
-1
n
22
23455432
(
q
a
n
+1
aq
n
q

于是=
a
n
aq
n
-1
q


q
(
n
∈N),
*
即数列{
a
n
}为等比数列;

n
= 1时,
a
1

S
1

aq

b< br>,

n
≥2时,
a
n

S
n
S
n
-1

aq

q
≠0,
q
≠1,
n
-1
(
q
-1),
a
n
+1
aq
n
q

∴=
a
n
aq< br>n
-1
q

∵{
a
n
}为等比数列,

q
(
n
∈N),
*
a
2
a< br>n
+1
aq
2

aq
∴==
q
,=
q

a
1
a
n
aq

b

aq

a

aq

b
,∴
a

b
=0,
综上所述,“
a

b
=0” 是数列{
a
n
}为等比数列的充要条件.]
9.(江苏省南通中学2017 届高三上学期期中考试)命题“?
x
∈R,
x

x
+1≤0 ”的否定是
________.
?
x
∈R,
x

x
+1>0 [命题“?
x
∈R,
x

x
+1≤0”的否定是“?
x
∈R,
x

x
+1
222
2
>0”.]
10.(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题:
p
1
:任意
x
∈R,2
x
>0;
p
2
:存在
x
∈R,
x
2

x
+1<0;
p
3
:任意
x
∈R,sin
x
<2
x

p
4

存在
x
∈R,cos
x

x

x
+1.其中的真命题是________.
2
p
1

p
4
[对于
x
∈R, 2
x
>0,
p
1
为真命题;
x
2

x
+1=
?
x

?
2
+>0,
p
2
为假命题;
2
?
?
1
?
?
3
4


3π1π33
?

?
sin
?

?
=1>2-,
p
3
为假命题;
x
=-时,co s
x
>cos =>=
x
2

x
+1,
22624
?
2
?
p
4
为真命题.]
11.(广 东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题
p
:“?
x
0∈R,2
x
0
-2≤
a

3
a
”是假 命题,则实数
a
的取值范围是________.
[1,2] [“?
x< br>0
∈R,2
x
0
-2≤
a
-3
a
” 是假命题等价于?
x
∈R,2-2>
a
-3
a
,即-
2≥
a
-3
a
,解之得1≤
a
≤2,即实数
a< br>的取值范围是[1,2].]
12.(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集 合
S
={0,1,2,3,…,
n
},则集

S
中 任意两个元素的差的绝对值的和为________.
1
3
1
2
1
n

n

n
[设集合中第
k
个元素,则其值为
k
-1.
623
|(< br>k
-1)-
k
|+|(
k
-1)-(
k
+1 )|+…+|(
k
-1)-
n
|
=1+2+…+(
n
+1-
k
)

2
2
2
x
2
n
+1-
k
2
1
2
3
2
n
+1-
k


3
2
1
2
T
n

n
2
·
n

n
·
n

n
-(1+2+…+
n
)
n
-(1+2+…+
n
)+·(1
2
+2
2
+…+
n
2
)=
nn

6
n
+1
3
1< br>2
11
3
1
2
1

n

n

n
.故答案是:
n

n

n
. ]
623623
13.(泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测)设实数
a
>1,
b
>1,则“
a

b

是“ln
a
-ln
b

a

b
”的_ _______条件.(请用“充分不必要”“必要不充分”“充
要”“既不充分也不必要”中之一填空 )
1
充要 [令
f
(
x
)=ln
x

x
(
x
>1),则
f
′(
x
)=-1<0 ,因此
a

b
?
f
(
a
)>
f< br>(
b
)?ln
x
a

a
>ln
b

b
?ln
a
-ln
b

a

b
,即“
a

b
”是“ln
a
-ln
b

a

b
”的充要条
件.]
14.(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论:
①若
x
>0,则
x
>sin
x
恒成立;
②命题“若
x
-sin
x
=0,则
x
=0”的逆 否命题为“若
x
≠0,则
x
-sin
x
≠0”;
③“命题
p

q
为真”是“命题
p

q
为真”的充分不必要条件;
④命题“?
x
∈R,
x
-ln
x
>0”的否定是“?
x
0
∈R,
x
0
-ln
x
0
≤0 ”.
其中正确结论的个数是________.
4 [对于①,令
y

x
-sin
x
,则
y
′=1-cos
x
≥0,则函数
y

x
-sin
x
在R上单
调递增,则当
x
>0时,
x
-sin
x
>0-0=0,即
x
>sin
x
恒成立,故①正确;对于
②,命题“若
x
-sin
x
=0,则
x
=0” 的逆否命题为“若
x
≠0,则
x
-sin
x
≠0”
正确;对于③,命题
p

q
为真,则命题
p

q
均为真,命题
p

q
为真,反过来,当


命题
p

q
为真时,则
p

q
中至少有一个为 真,不能推出命题
p

q
为真,所以“命

p
∧< br>q
为真”是“命题
p

q
为真”的充分不必要条件, 故③正 确;对于④,由全
称命题与特称命题的关系可知,命题“?
x
∈R,
x
-ln
x
>0 ”的否定是“?
x
0
∈R,
x
0
-ln
x
0
≤0”,所以④正确.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知
m
∈R,设p
:?
x
∈[-
1
222
1,1],
x
-2
x
-4
m
+8
m
-2≥0成立;
q
:?
x
∈[1,2],log(
x

mx
+1)<-1成立 ,如果
2

p

q
”为真,“
p

q
”为假,求
m
的取值范围.
【导学号:56394005】
[解] 若
p
为真:对?
x
∈[-1,1],4
m
-8
m

x
-2
x
-2恒成立,

f< br>(
x
)=
x
-2
x
-2,配方得
f
(
x
)=(
x
-1)-3,

f
(
x
)在[-1,1]上的最小值为-3,
132
∴4
m
-8
m
≤-3,解得≤
m
≤,2分
22
13

p
为真时:≤
m
≤;
22< br>若
q
为真:?
x
∈[1,2],
x

mx< br>+1>2成立,
2
22
22
x
2
-1
∴< br>m
<成立.4分
x
x
2
-11

g
(
x
)==
x
-,
xx
33
易知
g< br>(
x
)在[1,2]上是增函数,∴
g
(
x
)的最大 值为
g
(2)=,∴
m
<,
22
3

q
为真时,
m
<,
2
∵“
p

q
”为真,“
p

q
”为假,∴
p

q
一真一假,9分
13

m
≤,< br>?
?
22

p

q
假时
?
3
m

?
?
2

13
m
<或m
>,
?
?
22

p

q
真 时
?
3
m

?
?
2



3

m
=,
2
1

m
<,12分
2
13
综上所述,
m
的取值范围是
m
<或
m
=.14分
22


16.(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考) 设集合
?
?
?
1

x
A

?x
?
≤2≤4
?
?
32
?

?
?
?

B
={
x
|
x
2
+2< br>mx
-3
m
2
<0}(
m
>0).
??
(1)若
m
=2,求
A

B

(2)若
A
?
B
,求实数
m
的取值范围.
[解] 集合
A
={
x
|-2≤
x
≤5},因为< br>m
>0,所以
B
=(-3
m

m
),4分
(1)
m
=2时,
B
={
x
|-6<
x< br><2},
所以
A

B
={
x
|-2≤x
<2}.8分
(2)
B
=(-3
m

m< br>),要使
B
?
A
,10分
?
?
-3
m
≥-2
只要
?
?
m
≤5
?

2
?
m

,12分
3
2
所以0<
m
≤.
3
?
2
?
综上,知
m
的取值范围是
?
0,
?
.14分 ?
3
?
?
?
?
x
+2
<0
1 7.(本小题满分14分)已知集合
A
={
x
|log
2
x
<log
2
3},
B

?
x
?
x
-4
?
?
?

?
?
?

C
={
x
|
a

x
?
?

a
+1}.
(1)求集合
A

B

(2)若
B

C

B
,求实数
a
的取值范围.
[解] (1)由log
2
x
<log
2
3,得0<x
<3.
由不等式
2分
x
+2
<0得(
x
-4)(
x
+2)<0,
x
-4
5分
7分
9分
11分
所以-2<
x
<4.
所以
A

B
={< br>x
|0<
x
<3}.
(2)因为
B

C< br>=
B
,所以
C
?
B

?
?
a
+1≤4,
所以
?
?
a
≥-2.
?


解得-2≤
a
≤3.
所以,实数
a
的取值范围是[-2,3]. 14分
2
18.(本 小题满分16分)设命题
p
:函数
y

kx
+1在R上是增 函数,命题
q
:?
x
∈R,
x

(2
k< br>-3)
x
+1=0,如果
p

q
是假命题,
p

q
是真命题,求
k
的取值范围.
[解] ∵函数
y

kx
+1在R上是增函数,∴
k
>0,
22
2分
由?
x
∈R,
x
+(2
k-3)
x
+1=0得方程
x
+(2
k
-3)
x
+1=0有解,4分


15
2
∴Δ=(2
k
-3)-4≥0,解得
k
≤或
k
≥.
22

p< br>∧
q
是假命题,
p

q
是真命题,∴命题
p

q
一真一假,
6分
10分
k
>0,
?
?
①若
p

q
假,则
?
15

k
<,
?
2
?
2
k
≤0,
?< br>?
②若
p

q
真,则
?
15
k≤或
k
≥,
?
2
?
2


15
∴<
k
<;
22
12分
解得
k
≤0, 14分
?
15
?
综上可得
k
的取值范围为(-∞,0]∪
?

?
.
?
22
?
2
16分
19.(本小题满分16分)已知命题
p
:函数
y
=log
a
(2
x
+1)在定 义域上单调递增;命题
q
:不
等式(
a
-2)
x
+ 2(
a
-2)
x
-4<0对任意实数
x
恒成立,若“
p
且﹁
q
”为真命题,求实

a
的取值范围.
[解] 因为命题
p
:函数
y
=log
a
(2x
+1)在定义域上单调递增,所以
a
>1.4分
∴又因为命题
q
:不等式(
a
-2)
x
+2(
a
-2)
x
-4<0对任意实数
x
恒成立;所以
a
=2
?
?
a
-2<0,

?
?
Δ=
a

?
2
2

a
-<0,

综上所述:-2<
a
≤2,10分
12分
14分
16分 因为
p
且﹁
q
为真命题,∴
p

q
假 ,

?
?
a
>1,
?
?
?
a< br>≤-2或
a
>2,


a
∈(2,+∞).
∴实数
a
的取值范围为(2,+∞).
20.(本小题满分16分)(江苏 省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题
p
:函数
f
(
x
)=
x
3

ax
2

x
在R 上是增函数;命题
q
:若函数
g
(
x
)=e
x
x

a
在区间[0,+∞)
上没有零点.
(1)如果命题
p
为真命题,求实数
a
的取值范围;
(2 )命题“
p

q
”为真命题,“
p

q
” 为假命题,求实数
a
的取值范围.
【导学号:56394006】
[解] (1)如果命题
p
为真命题,
∵函数
f
(
x
)=
x

ax

x
在R上是增函数,

f
′(
x
)=3
x
+2
ax
+1≥0 对
x
∈(-∞,+∞)恒成立,
∴Δ=4
a
-12≤0?
a
∈[-3,3].
(2)g
′(
x
)=e-1≥0对任意的
x
∈[0,+∞)恒成立,

g
(
x
)在区间[0,+∞)上递增, 9分
x
2
2
32
4分
7分


若命题< br>q
为真命题,
g
(0)=
a
+1>0?
a
> -1,
由命题“
p

q
”为真命题,“
p
q
”为假命题知
p

q
一真一假,
11分
?
-3≤
a
≤3

p

q
假,则
?
?
a
≤-1

p

q
真,则
?
?
a
<-3或
a
>3
?
a
>-1


?
a
∈[-3,-1], 13分
?
a
∈(3,+∞), 14分
16分 综上所述,
a
∈[-3,-1]∪(3,+∞).


专题限时集训(二) 函 数
(对应学生用书第80页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
?
log
5
x

x
>0,
?
1.(河南省豫 北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)=
?
x
?
?
2,
x
≤0,

??
1
??

f
?
f
???
=________.
??
25
??
111
?
1
???
1
??
-2
[
f
??
=log
5
=-2,∴
f
?
f
???

f
(-2)=2=.]
4254
?
25
???
25
??
2.(江苏省苏州市2017届高三 上学期期中)已知函数
f
(
x
)是定义在R上的周期为2的奇函
?
19
?
x
数,当0<
x
<1时,
f
(
x
)=8.则
f
?

?
=________.
?
3
?
-2 [函数
f
(
x
)是定义在 R上的周期为2的奇函数,当0<
x
<1时,
f
(
x
)=8,则
x
f
?

?

f
?

?
=-
f
??
=-8=-2.]
333
3.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数
f
(
x
)=
[-2,2] [由lg(5-
x
)≥0,得5-
x
≥1,

x
≤4,解得-2≤
x
≤2.
∴函数
f (
x
)=-
x
2
2
22
?
19
?
??
?
1
?
??
?
1
?
??
1
3

x
2
的定义域是________.
的定义域是[-2,2].
故答案为:[-2,2].]
1
?
1
?
b
1
a
4.(广西柳州市2017届高三10月模拟)设
a

b

c
均为正数,且2=log
a

??
=log
b

2
?
2
?
2
?
1
?
c
=log
c
,则
a

b< br>,
c
的大小关系为________.
?
2
?
2< br>??
a

b

c
[画图可得0<
a

b
<1<
c
.]



5.(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+2)=-
f
(
x
),
当0≤
x
≤1时,
f
(
x
)=
x
,则
f
(37.5)等于________.
0.5 [∵
f
(
x
+2)=-
f
(
x
),∴
f
(
x
+4)=
f
(
x
)且
f
(-
x
)=-
f
(
x
),0≤
x
≤1时,
f
(
x
)=
x


f
(37.5)=
f
(1.5)=-
f
(
-0.5
)

f
(
0.5
)
=0.5.]
11+
ax
6.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数
f
(
x
)=-log
2
为奇函数,则
x
1-
x
实数
a
=________.
11-
ax
11+
ax
±1 [因为函数
f
(
x
)为奇函数,所以
f
(-
x
)=-log< br>2
=-+log
2


x
1+
xx
1-
x

1+
x
1+
ax
=,所以
a=±1.]
1-
ax
1-
x
7.(天津六校2017届高三上 学期期中联考)已知定义在R上的偶函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+2)·
f
(
x
)=1对于
x
∈R恒成立,且
f
(
x
)>0,则
f
(2 015)=________.
1 [因为
f
(
x
+2)·
f
(
x
)=1?
f
(
x
+4)=
1
fx


f
(
x
)?
T
=4,
因此
f
(2 015)=
f
(3)=
f
(-1)=
f
(1);

f
(
x
+2)·
f
(
x
)=1?
f
(-1+2)·
f
(-1)=1?
f
(1)=1,
f
(
x
)>0?
f
(1)=
1,所以
f
(2 015)=1.]
8.(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)是R上的单调函数,
且对任意实数
x
,都有
f
?f
2
?
?
x

2
?
1
?=,则
f
(log
2
3)=________.
2+1
?
3
x
1
?
[因为函数
f
(
x
)是R上的单调函数,且
f
?
f
2
?

x
x

2
?
1
=,所以可设
f
(
x
)
2+1
?
?
3
x
22 121

t
(
t
为常数),即
f
(
x
)=
t

x
,又因为
f
(
t
)=,所以
t

t
=,
2+12+132+13
21

g
(
x
)=
x

x
,显然
g
(
x
)在R上单调递增,且
g
(1)=,所以< br>t
=1,
f
(
x
)=1
2+13

< br>-
221

f
(log3)=1-=.]
2
x< br>2+12log
2
3+12
9.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质 量检测)已知函数
f
(
x
)=|ln
x
|-1,
g
(
x
)
=-
x
+2
x
+3,用min {
m

n
}表示
m

n
中最小值,设h
(
x
)=min{
f
(
x
),
g
(
x
)},则函数
2
h
(
x
)的零点个数 为________.
3 [作出函数
f
(
x
)和
g< br>(
x
)的图象(两个图象的下面部分图象)如图,由
g
(
x< br>)=-
x

1
2
x
+3=0,得
x
=-1或
x
=3,由
f
(
x
)=|ln
x
|-1=0,得
x
=e或
x
=.
e

2


g
(e)>0,∴当
x
>0时,函数
h
(
x
)的零点个数为3个.]
10.(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知
f
(
x
),
g
(
x
)分别是定义在R上的奇
?
1
?x
?
1
?
函数和偶函数,且
f
(
x
)+
g
(
x
)=
??
.若存在
x
0

?
,1
?
,使得等式
af
(
x
0< br>)+
g
(2
x
0
)=0
?
2
??< br>2
?
成立,则实数
a
的取值范围是________.
【导学号:56394011】
52
??
?
1
?
x
?
1
?

x
?
22,
?
[由
f
(
x
)+
g
(
x
)=
?
2
?

f
(-
x
)+
g
(-< br>x
)=
?
2
?
,即-
f
(
x)+
g
(
x
)
????
2
??
1
xx
1

xx
?
1
?

x
?
1
?

??
,所以
f
(
x< br>)=(2-2),
g
(
x
)=(2+2).存在
x
0

?
,1
?
,使得等式
af
22
?2
??
2
?
?
1
?
a
=-
g
(
x
0
)+
g
(2
x
0
)=0成 立,即
x
0

?
,1
?

f
?< br>2
?
1
2

h
(
x
)=-
1
2
-2
x
x
0
gx
??
1
??
,设
h
(
x
)=-
?
x

?,1
??

x
0
fx
??
2
??+2
-2
2
x
2
x
-2
x
2+22< br>?
1
?
x

xx

x

x

x
=(2-2)+
x

x

x

?
,1
?
时,2-2∈
2-22-2
?
2
?

xx
22
?
2
?
23
??
23
??
x

x
?

?
,设
t< br>=2-2,则
t

?

?
,而
h
(
x
)=
t

t
,易知
y

t
t

?
,2
?
?
22
??
22
??
2
?
3
?
2
?
上递减,在
?
2,
?
上递增,因此
y
min
=2+=22,
2
??
2


y
max

2252
5 2
?
52
???
+=,所以
h
(
x
)∈< br>?
22,
,即
a

?
22,
??
. ]
22
2
?
2
???
2
2
?
?
2
x
-1,
x
>0,
11.(江苏省苏州市2017届高三 上学期期中)已知函数
f
(
x
)=
?
2
?
x

x

x
≤0,
?

若函数
g
(
x
)

f
(
x)-
m
有三个零点,则实数
m
的取值范围是________.
?

1
,0
?
[由
g
(
x
)=
f
(
x
)-
m
=0得
f
(
x
)=
m

?
4
?
??若函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
m
有三个零点,
等价为函数
f
(
x
)与
y

m
有三个不同的交点,
作出函数
f
(
x
)的图象如图:

1
?
1
?
2
1
2

x
≤0时,
f
(
x
)=
x

x

?
x

?
-≥-,
4
?
2
?
4
若函数
f
(
x
)与
y

m
有三个不同的交点,
1
则-<
m
≤0,
4
?
1
??
1
?
即实数
m
的取值范围是
?
-,0
?
, 故答案为:
?
-,0
?
.]
?
4
??
4
?
4
x

x

x
≥0,
?
?
12.(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数
f
(< br>x
)=
?
3

x
<0,
?
?
x
若函数
g
(
x
)=|
f
(
x
)|-3
x

b
有三个零点,则实数
b
的取值范围为__ ______.
2

?
1
?
(-∞,-6)∪
?
-,0
?
< br>?
4
?
4
x

x

x
≥0 ,
?
?
[函数
f
(
x
)=
?
3

x
<0,
?
?
x
2

若函数
g
(
x
)=|
f
(
x
) |
-3
x

b
有三个零点,就是
h
(
x< br>)=|
f
(
x
)|-3
x

y
= -
b
有3个交点,
?
?
x
-7
x
x
>4,
h
(
x
)=
?
3
--3x

x
<0,
?
?
x
2
x

x
2
,0≤
x
≤4,


画出两个函数的图象如图:



3

x
<0 时,--3
x
≥6,当且仅当
x
=-1时取等号,此时-
b
>6,可得
b
<-6;
x
11
?
1
?
2
当0≤
x
≤4时,
x

x
≤,当
x
=时取得最大值,满足条件的
b

?
-,0
?
. 42
?
4
?
?
1
?
综上,
b
∈(-∞,-6)∪
?
-,0
?
.
?
4
?
?
1
?
故答案为:(-∞,-6)∪
?
-,0
?
.]
?
4
?
?

x

m
x
<0,
?
13.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数
f
(
x
)=
?
2
?
?
x
-1,x
≥0,

其中
m
>0,
若函数
y

f
(
f
(
x
))-1有3个不同的零点,则
m
的取 值范围是________.
(0,1) [①当
x
<0时,
f
(
f
(
x
))=(-
x

m
) -1,图象为开口向上的抛物线在
y

左侧的部分,顶点为(0,
m
-1);
②当0≤
x
<1时,
f
(
f
(x
))=-
x
+1+
m
,图象为开口向下的抛物线在0≤
x
<1之间
的部分,顶点为(0,
m
+1).根据题意
m
>0,所以
m
+1>1;
③当
x
≥1时,
f
(
f
(
x
))=(
x
-1)-1,图象为开口向 上的抛物线在
x
=1右侧的部
分,顶点为(1,-1).
根据题意,函数
y

f
(
f
(
x
))-1有3个不同的零点,即
f
(
f
(
x
))的图象与
y
=1有
3个不同的交点.
根据以上三种分析的情况:第③种情况
x
=1时,
f
(
f
(
x
))=-1,右侧为增函数,
所以与
y
=1有一个交点 ;第②种情况,当
x
→1时,
f
(
f
(
x))→
m
,所以与
y
=1有
交点,需
m
<1; 第①种情况,当
x
→0时,
f
(
f
(
x
))→
m
-1,只要
m
-1<1即可,

m
>0 ,∴0<
m
<2,
综上
m
的取值范围为(0,1).]
22
22
2
2
2
?
?
14.(2017·江苏省无 锡市高考数学一模)若函数
f
(
x
)=
?
ln
x
?
?
x

x
≥1,
2
1
x-1,
x
<1,
2

则函数
y


1
|
f
(
x
)|-的零点个数为________.
8
ln
x
11
2
4 [当
x
≥1时,
2
=,即ln
x

x

x
88
1
2

g
(
x
)=ln
x

x

x
≥1时函数是连续函数,
8
g
(1)=-<0,
g
(2)=ln 2-=ln
1
8
1
2
2
e
>0,
1
8
g
(4)=ln 4-2<0,由函数的零点判定定理可知
g
(
x
)=ln
x

x
2
有2个零点.
ln
x
1(结合函数
y

2

y
=可知函数的图象有2个交点. )
x
8
1
?
?
2
-1,
x
<0 ,

x
<1时,
y

?
1
1-
?
?
2

x
∈[0,
x
x

1
函数的图象与
y
=的图象如图,考查两
8
个函数有2个交点,
1
综上函数
y
=|
f
(
x
)|-的零点个数为4个.
8

故答案为4.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数
f
(
x
)
=3+λ·3(λ∈R).
(1)若
f
(
x
)为奇函数,求λ的值和此时不等式
f
(
x
)>1的解集;
(2)若不等式
f
(
x
)≤6对
x
∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围.
【导学号:56394012】
[解] (1)函数
f
(
x
)=3+λ·3的定义域为R,

f
(
x
)为奇函数,∴
f
(-
x
)+
f
(
x
)=0对?
x
∈R恒成立,即3+λ·3+3+λ·3

x

x
x

x
x

x
xx
=(λ+1)(3+3)=0对?
x
∈R恒成立,∴λ=-1.
x

x
x

x
3分
此时
f
(
x
)=3-3>1,即3-3-1>0,
1+51-5
xx
解得3>或3<(舍去),
22
6分
x

x


?
?
1+5
∴解集为
?x
?
x
>log
3
2
?
?

?
?
.
?
7分
λ
x

xx
(2)由
f
(
x
)≤6得3+λ·3≤6,即3+
x
≤6,
3
λ
x
2

t
=3∈[1,9],原问题等价于
t
+≤6对
t
∈[1,9]恒成立,亦即λ≤-
t
+6
t
对< br>t
t
∈[1,9]恒成立,

g
(
t
)= -
t
+6
t

t
∈[1,9],

g
(
t
)在[1,3]上单调递增,在[3,9]上单调递减.
∴当
t
=9时,
g
(
t
)有最小值
g(9)=-27,
∴λ≤-27.
2
10分
14分
16 .(本小题满分14分)(泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测)设函数
y

lg(-
x
+4
x
-3)的定义域为
A
,函数
y

(1)当
m
=2时,求
A

B

(2)若“
x

A
”是“
x

B< br>”的必要不充分条件,求实数
m
的取值范围.
[解] (1)由-
x
+4
x
-3>0,
解得1<
x
<3,所以
A
=(1,3),
又函数
y

所以
y

?

B

?
2
在区间(0,
m
)上单调递减,
x
+1
2分
2
2
2

x
∈(0,
m
)的值域为
B< br>.
x
+1
?
2
,2
?

?
?
m
+1
?
5分
?
2
,2
?

?
?
m
+1?
?
2
?

m
=2时,
B

?
,2
?
,所以
A

B
=(1,2).7分
?
3
?
(2)首先要求
m
>0, 9分
2
≥1,解
m
+1
而“
x

A
”是“
x< br>∈
B
”的必要不充分条件,所以
B

A
的真子集, 从而
得0<
m
≤1.
所以实数
m
的取值范围为(0,1].
12分
14分
17.(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规
划 地铁三号线:该线起于惠山区惠山城铁站,止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机
场站,全长28公里 ,目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好,余下的工程是在
已经建好的站点之间铺设轨道和等距 离修建停靠站.经有关部门预算,修建一个停靠站
的费用为6 400万元,铺设距离为
x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400
x
+20
x
3

< p>
万元.设余下工程的总费用为
f
(
x
)万元.(停靠站位于轨道两侧,不影响轨道总长度).
(1)试将
f
(
x
)表示成
x
的函数;
(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小,并求最小值.
[解] (1)设需要修建< br>k
个停靠站,则
k
个停靠站将28公里的轨道分成相等的
k
+ 1
段,
28
∴(
k
+1)
x
=28?
k
=-1,
x
3分
3

f
(
x
)=6 400< br>k
+(
k
+1)(400
x
+20
x
)=6 400
?
化简得
f
(
x
)=28×400
x
2
?
28
-1
?

28
(400< br>x
3
+20
x
),
?
x
?
x
?
7分
28×6 400
-5 840,
x
28×3 20028×3 200
2
(2)
f
(
x
)=28×400
x
++-5 840
xx
3
≥328×400
x
·
2
28×3 20028×3 200
·-5 840=128 560(万元),
xx
28×3 20028
2
当且仅当28×400
x
=,即
x
=2,k
=-1=13时取“=”.13分
xx
故需要建13个停靠站才能使工程费用最小,最小值费用为128 560万元.14分
18.(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数
f
(
x
)=|
x
-1|

x

kx
,且定义域为(0,2).
(1)求关于
x
的方程
f
(
x
)=
kx
+3在(0,2)上的解;
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)=0在(0,2 )上有两个的解
x
1

x
2
,求
k
的取值 范围.
[解] (1)∵
f
(
x
)=|
x
-1 |+
x

kx

f
(
x
)=
k x
+3,即|
x
-1|+
x
=3.当0<
x
≤1< br>时,
|
x
-1|+
x
=1-
x

x
=1,此时该方程无解.当1<
x
<2时,|
x
-1|+
x
=2
x
-1,
原方程等价于:
x
=2,此时该方程的解为 2.综上可知:方程
f
(
x
)=
kx
+3在(0,2)
上的解为2.
(2)当0<
x
≤1时,
kx
=-1,①
当1<
x
<2时,2
x

kx
-1=0,②
k
=0,则①无解,②的解为
x
=±
1
解为
x
=-.
2
?(1,2),故
k
=0不合题意.若
k≠0,则①的
2
8分
2
2
2222222
2222
2
2
6分
k
1
2
(ⅰ)当-∈(0,1]时,
k
≤-1时,方程②中Δ=k
+8>0,故方程②中一 根在(1,2)
k


?
?g
1
内,一根不在(1,2)内.设
g
(
x
)=2x

kx
-1,而
x
1
x
2
=-<0 ,则
?
2
?
g
?
2
<0,
>0,

k
<-1,
?
?
?
7
k
>-,
?
2
?
k

x
7

k
≤-1,故-<
k
<-1.
2
12分
1
(ⅱ)当-?(0,1]时,即-1<
k
<0 或
k
>0时,方程②在(1,2)需有两个不同解,而
x
1
x
2
=-<0,知道方程②必有负根,不合题意. 综上所述,故-<
k
<-1.
19.(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、 徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函
-3+
a

f
(
x
)=
x
+1
.
3+
b
(1)当
a

b
=1时,求满足
f
(
x
)=3的
x
的值;
(2)若函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数.
①存在
t
∈R,不等式
f
(
t
-2
t
)<
f
(2
t

k
)有解,求
k
的取值范围;
1

xx
②若函数
g
(
x
)满足
f (
x
)·[
g
(
x
)+2]=(3-3),若对任意< br>x
∈R,不等式
3
22
1
2
7
2
x
g
(2
x
)≥
m
·
g
(
x
)-11恒成立,求实数
m
的最大值 .
-3+1
xx
2
x
[解] (1) 由题意,
x
+1
=3,化简得3·(3)+2·3-1=0,
3+1
1
xx
解得3=-1(舍)或3=,
3
所以
x
=-1.
(2) 因为
f
(
x
)是奇函数,所以
f
(-
x
)+
f
(
x
)=0,
-3+
a
-3+
a
所以< br>-
x
+1

x
+1
=0,
3+
b
3+
b
化简并变形得: (3
a

b
)(3+1)+(2
ab
-6)·3=0, < br>要使上式对任意的
x
成立,则3
a

b
=0且2ab
-6=0,
?
?
a
=1,
解得
?
?
b
=3
?
2
x

x
x
2分
4分
x
x

?
?
a
=-1,

?
?
b
=-3,
?

?
?
a
=-1
因为
f
(
x
)的 定义域是R,所以
?
?
b
=-3
?
x

(舍去),
-3+1
所以
a
=1,
b
=3, 所以
f
(
x
)=
x
+1
.
3+3
x
2
?
-3+11
?

f
(
x
)=
x
+1

?
-1+
x
?

3+1
?
3+33
?
6分
对任意
x
1

x
2
∈R,
x
1

x2
有:

f
(
x
1
)-
f (
x
2
)=
??

?
3
?
3
x
1
+13
x
2
+1
?
3
?1
?
22
?
2
?
3
x
2
-3
x
1
x
1

x
2

?

?
?


因为
x
1

x
2,所以3
x
2
-3
x
1
>0,所以
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
),
因此
f
(
x
)在R上递减.
因为
f
(
t
-2
t
)<
f
(2
t
-< br>k
),所以
t
-2
t
>2
t

k< br>,

t
+2
t

k
<0在
t∈R上有解 ,
所以Δ=4+4
k
>0,解得
k
>-1,
所以
k
的取值范围为(-1,+∞).
1

xx
②因为
f
(
x
)·[
g
(
x
)+2]=(3-3),
3
3-3
所以
g
(
x
)=-2,
3
fx

g
(
x
)=3+3.
所以g
(2
x
)=3+3
2
x
-2
x
-< br>x
2
2222
8分
10分
x
x

x
12分
=(3+3)-2.
x

x
2
不等式
g
(2
x
)≥
m
·
g
(
x
)-11恒成立,
即(3+3)-2≥
m
·(3+3)-11,
9
x
x

m
≤3+3+
x

x
恒成立.
3+3
9
x

x

t
=3+3,
t
≥2,则
m

t
+在
t
≥2时恒成立,
14分
x

x
2
x

x
t
99

h
(
t
)=
t
+,
h
′(
t< br>)=1-
2

tt
t
∈(2,3)时,
h
′(
t
)<0,所以
h
(
t
)在(2,3)上单调递减,
t
∈(3,+∞)时,
h
′(
t
)>0,所以
h< br>(
t
)在(3,+∞)上单调递增,
所以
h
(
t< br>)
min

h
(3)=6,所以
m
≤6,
所以实数
m
的最大值为6 . 16分
20.(本小题满分16 分)(江 苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定
义在(0,+∞)上的两个函数f
(
x
)=
x

a
ln
x

g
(
x
)=
x

ax
.
(1)若
f
(
x
)在
x
=1处取最值,求
a
的值;
(2)若函数
h
(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
)在区间(0,1]上单调递减 ,求实数
a
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,试确定函数
m
(
x
)=
f
(
x
)-
g
(
x
)-6的零点个数,并说明理由.
【导学号:56394013】
[解] (1)
f
′(
x
)=2
x
-,由已知
f
′(1)=0,即2-
a
=0,
解得
a
=2,经检验
a
=2满足题意,
所以
a
=2.
(2)
h
(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
)=
x

a
ln
x
x

ax
=2
x

a
(
x
+ln
x
),
2222
2
2
a
x
4分


h
′(
x
)=4
x

a
?
1+
?
,要使得
h
(
x
)=2
x
2

a
(
x
+ln
x
)在区间(0,1]上单调递减,
?
x< br>?
?
1
?
?
1
?

h
′(
x
)≤0,即4
x

a
?
1+
?
≤0在区间(0,1]上恒成立,
?
x
?
4
x
因为
x
∈(0,1],所以
a
≥,
x
+1
4
x设函数
F
(
x
)=,则
a

F
(x
)
max

x
+1
4
x
4
F
(
x
)==,
x
+1
?
1
?
2
1
??

2
2
2
6分
8分
?
x
?
x
1
因为
x
∈(0,1],所以∈[1,+∞),
x
??
1
?
2
1
?
所以
?
??

?
min
=2,
?
?
x
?
x
?
所以F
(
x
)
max
=2,所以
a
≥2.
(3)函数
m
(
x
)=
f
(
x
)-
g
(
x
)-6有两个零点.
因为
m
(
x
)=
x
-2ln
x

x
+2
x
-6,
212
x
-2-
x

x
所以
m
′(
x
)=2
x
--1+==
2
2
10分
x

x
x
x
xx
+2
x

x

x
.
x
∈(0,1)时,
m
′(
x
)<0,当
x
∈(1,+∞)时,
m
′(
x
)>0,
所以
m
(
x
)
min

m
(1)=-4<0, 14分
1+2e+e
<0,
m
(e)=
8
e
-4
842
m
(e)=
-2

e
+e+2e
4
3

>0,
m
(e
4
)=e
4
(e4
-1)+2(e
2
-7)>0,故由零点存在定理可知:
函数
m
(
x
)在(e
-4,
1)上存在一个零点,函数
m(
x
)在(1,e)上存在一个零点,
16分
4
所以函数
m
(
x
)=
f
(
x
)-
g
(
x
)-6有两个零点.


专题限时集训(三) 导数
(对应学生用书第83页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
1.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数
f
(
x< br>)=-
x

x
+1在区间
32
x
3
a
2
?
1
,3
?
上单调递减,则实数
a
的 取值范围是________.
?
2
?
??


xa
2
?
10
,+∞
?
[因为函数
f
?< br>1
,3
?
上单调递减,(
x
)=-
x
x
+1在区间所以
f
′(
x
)
?
3
??
2
?
32
????
3
?
1
??
x
+1
?

?
x

1
?
2

x

ax
+1≤0在区间
?
,3
?
上恒成立,所以
x
+1≤
ax
?
a

? ?
max
?
x
?
max
?
2
??
x
???
2
2
10
?
1
??
10
?
当且仅当
x
=3时,
?
x

?
max< br>=,所以
a

?
,+∞
?
.]
3
?
x
??
3
?
2.(泰州中学2016-2017年度第一学期第一 次质量检测)若函数
y

f
(
x
)的定义域为R,
?
x
∈R,
f
′(
x
)<
f
(
x
),且
f
(
x
+1)为偶函数,
f
(2)=1,则不等式
f
(
x
)<e
的解集
x
为________.
(0,+∞) [令
g
(
x
)=
fx
e
x
,则
g
′(
x
)=
fx

fx
e
x
<0,所以
g
(
x
)在定义
域内为减函数,因为
f
(
x
+1)为偶函数,所以
f
(
x
+1)=
f
(-
x
+1)?
f
(0)=
f
(2)
=1?
g
(0)=1,因此
f
(
x
)<e
?
g
(
x
)<1=
g
(0)?
x
>0.]
x
3.(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数
f (
x
)=log
2
x
在点
A
(1,2)
处切线的斜率为________.
【导学号:56394017】
111
[∵
f
′(
x
)=,∴
k

f
′(1)=.]
ln 2
x
ln 2ln 2
4.(江苏省南通市 如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数
a

b

c

d
满足|
b

a
-4ln
a
|+|2
c

d
+2|=0,则(
a

c
)+(
b

d
)的最小值为________.
5 [|
b

a
-4ln
a
|+|2
c
-< br>d
+2|=0?
b

a
-4ln
a
=0, 2
c

d
+2=0,所以(
a

c
)22
222
222
+(
b

d
)表示直线2< br>x

y
+2=0上点
P
到曲线
y
=4ln
x

x
上点
Q
距离的平方.由
y

?
|2+1+2|
?
2
=-2
x
=2?
x
=1(负舍)得
Q
(1,-1),所以所求最小值为
??
=5.]
x
5
??
4
1
3
5.(江苏省南通市如东县、徐州市丰县 2017届高三10月联考)已知函数
f
(
x
)=
x
+< br>mx
+,
4
g
(
x
)=-ln
x
,min{
a

b
}表示
a

b
中的最小 值,若函数
h
(
x
)=min{
f
(
x
),
g
(
x
)}(
x

0)恰有三个零点,则实数
m
的取值范围是________.
?

5
,-
3
?
[
f
2′(
x
)=3
x

m
,因为
g
(1) =0,所以要使
h
(
x
)=min{
f
(
x),
g
(
x
)}(
x
?
4
?
4
??
>0)恰有三个零点,需满足
f
(1)>0,
f
?
153

?-

m
<-.]
244
6.(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数
f
(
x
)=ln(e+e)+
x
,则使得
f
(2
x
)

f
(
x
+3)成立的
x
的取值范围是________.
(-∞,-1)∪(3,+∞) [因为
f
(-
x
)=ln(e+ e)+(-
x
)=ln(e+e)+
x

f

x
?
?
5

m
?
?
<0,
m
<0,解得
m
>-
4

3
?
m
3
x

x
2
x
2
x
x
2


(
x
),所以函数
f
(
x
)是偶函数,易知函数
y
=e+e在
x
∈(0,+∞) 是增函数,所以
函数
f
(
x
)=ln(e+e)+
x
x
∈(0,+∞)也是增函数,所以不等式
f
(2
x
)>
f
(
x
+3)等价于|2
x
|>|
x
+3|,解得
x
<-1或
x
>3.]
7.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数
f
(
x
)=
x

ax

bx

c
g
(
x
)
=3
x
+2
ax

b
(
a

b

c
是常数),若
f
(
x
)在(0,1)上单调递减,则下列结论中:

f
(0)·
f
(1)≤0;②
g
(0)·
g
(1) ≥0;③
a
-3
b
有最小值.
正确结论的个数为________.
2 [由题意,得
f
′(
x
)=3
x
+2
ax

b
,若函数
f < br>(
x
)在(0,1)上单调递减,则
?
?
f
?
?
f
?
2
2
2
32
x

xx

x
2



?
?
b≤0,

?
?
3+2
a

b
≤0,< br>?
32

所以
g
(0)·
g
(1)=
b
·(3+2
a

b
)≥0,故②
正确;不妨设
f
(
x
)=
x
-2
x
-3
x
+ 5,则
f
(0)·
f
(1)=5·(1-2-3+5)>0,故
?
?
b
≤0,
①错;画出不等式组
?
?
3+2a

b
≤0
?

表示的平面区域,如图所示,令
z

a
-3
b
,则
2
1
zz
1
z
b

a
2
-,①当->-3,即
z
<9 时,抛物线
b

a
2
-与直线2
a

b< br>+3=0有公共
33333
点,联立两个方程消去
b

a+6
a
+9-
z
=0,
z
=(
a
+3 )≥0,所以0≤
z
<9;当-
3
≤-3,即
z
≥9时,抛 物线与平面区域必有公共点,综上所述,
z
≥0,所以
z

a

3
b
有最小值 ,故③正确.]
2
22
z

8.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的
a
∈R,曲线y
=e(
x

ax
+1-
2
a
)在点
P
(0,1-2
a
)处的切线
l
与圆
C

x
+2
x

y
-12=0的位置关系是________.
相交 [由题意,得
y
′=e(
x

ax
+1-2
a
)+e(2
x

a
),所以
y
′|x
=0
=1-
a
,所以
直线
l
的方程为
y
-(1-2
a
)=(1-
a
)
x
,即(1-< br>a
)
x

y
+1-2
a
=0.化圆
C
的方程为(
x
+1)+
y
=13,其圆心(-1,0)到直线l
的距离为

a
2
-2
a
+2
|a
|1

11
??
2
?
2

?
+1
1
22
22
x
2
x
2
x< br>-
a
-0+1-2
a
|

22

a
+-

?
aa
?
?
11
?
21
2
?

?

?
a
2
?2
≤2<13,所以直线
l
与圆相交.]
9.(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R上的奇函数
y

f
(
x
)满足
f
(3)=0,


且当
x
>0时,
f
(
x
)>-
xf
′(
x
)恒成立,则函数
g
(
x
)=
xf
(
x
)+lg|
x
+1|的零点的个
数为________ .
【导学号:56394018】
3 [因为当
x
>0时,[
xf
(
x
)]′=
f
(
x
)+
xf
′(
x
)>0,所以
xf
(
x
)在(0,+∞)
上单调递增,又函数
f
(
x
)为奇函数,所以函数
xf
(
x
)为偶函数,结合
f
(3)=0,作
出函数
y

xf
(
x
) 与
y
=-lg|
x
+1|的图象,如图所示,由图象知,函数
g(
x
)=
xf
(
x
)
+lg|
x
+1|的零点有3个.]

10.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数
f
(
x
)在R上存在导函数
f
′(
x
),对任意的实数
x
都有
f
(
x
)=4
x
2

f
(-
x
),当
x
∈(-∞,0)时,
f
′(
x
)+<
4
x
.若
f
(
m
+1)≤
f
(-
m
)+4
m
+2,则实数
m
的取值范围是________.
1
2
?

1
,+∞
?
[∵
f
222
(
x
)-2
x

f
(-
x
)-2
x
=0,设
g
(
x
)=
f (
x
)-2
x
,则
g
(
x
)+
g
(-
?
2
?
??
x
)=0,∴
g(
x
)为奇函数,又
g
′(
x
)=
f
′(
x
)-4
x
<-,∴
g
(
x
)在( -∞,0)上是减
函数,从而在R上是减函数,又
f
(
m
+1)≤
f
(-
m
)+4
m
+2等价于
f
(
m
+1)-2(
m
+1)≤
f
(-
m
)-2(-
m
),即
g
(
m
+1)≤
g< br>(-
m
),
1

m
+1≥-
m
,解得
m
≥-.] < br>2
3
11.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数
f
(
x
)=
ax
sin
x
-(
a

2
π-3
?
π
?
R),且在
?
0,?
上的最大值为,则实数
a
的值为________.
2
?< br>2
?
22
1
2
?
π
?
1 [由已知得
f
′(
x
)=
a
(sin
x

x
cos
x
),对于任意的
x
∈< br>?
0,
?
,有sin
x

x
cos
2
??
x
>0,当
a
=0时,
f
(x
)=-,不合题意;当
a
<0时,
x

?
0 ,
?

f
′(
x
)<0,
2
3
2
?
?
π
?
?
?
π
??
π
?
从而
f
(
x
)在
?
0,
?
单调递减,又函数在图象上是连续不断的,故函数在
?
0,
?

2< br>?
2
???
3
?
π
?
f
的最大值为
f
(0)=-,不合题意;当
a
>0时,
x

?
0,
?
,′(
x
)>0,从而
f < br>(
x
)
2
?
2
?


?
π
??
π
?

?
0,
?
单调递增,又函数 在图象上是连续不断的,故函数在
?
0,
?
上的最大值为
2
?
2
???
f
??
=·
a
-=
2
?
π
?
π
??
2
3π-3
,解得
a=1.]
22
ln
x
2
12.(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数
f
(
x
)=,关于
x
的方程[
f
(
x
)]
x

mf
(
x
)-1 =0有三个不同的实数解,则实数
m
的取值范围是________.
?
e-
1
,+∞
?
[
f
(
x
)=
ln
x
?
f
′(
x
)=
1-ln
x
=0?
x
=e,因此当0<
x
≤e时,
f ?
e
?
xx
2
??
?
1
?
1 1
2
(
x
)≤;当
x
>e时,0<
f
(
x
)<,因此
g
(
t
)=
t

m t
-1=0有两个根,其中
t
1

?
0,
?

e
?
ee
?
?
1
?
1
?1
?
t
2
∈(-∞,0]∪
??
,因为
g(0)=-1,所以
g
??
>0?
m
>e-.]
?< br>e
?
?
e
?
e
13.(山西大学附属中学2017级 上学期11月模块诊断)已知函数
f
(
x
)=
x
+,x
>0,
?
?
?
1
x
+1,
x
≤0,
?
?
2


m

n
,且
f
(
m
)=
f
(
n
),则
n
-< br>m
的取值范围是________.
[3-2ln 2,2) [如图,作出函数
y

f
(
x
)的图象,不妨设
f
(
m
)=
f
(
n
)=
t


f
(
m
)=
f
(
n
)可知函数
f
(
x
)的图象与直线
y

t
有两个交点,

x
≤0时,函数
y

f
(
x
)单调递增,其图象与
y
轴交于点(0,1),
所以 0<
t
≤1.又
m

n
,所以
m
≤0,< br>n
>0,
由0<
t
≤1,得0<ln(
n
+1)≤ 1,解得0<
n
≤e-1.
1

f
(
m
)=
t
,即
m
+1=
t
,解得
m
=2< br>t
-2;
2

f
(
n
)=
t< br>,即ln(
n
+1)=
t
,解得
n
=e-1;
t


g
(
t
)=
n

m
=e-1-(2
t
-2)=e-2
t
+1(0<
t
≤1),
g
′(
t
)=e-2.
所以当0<
t
<ln 2时,
g
′(
t
)<0,函 数
g
(
t
)单调递减;
当ln 2<
t
≤1时,
g
′(
t
)>0,函数
g
(
t
)单调递增 .
所以函数
g
(
t
)的最小值为
g
(ln 2)=e
0
ln 2
ttt
-2ln 2+1=3-2ln 2;

g
(0)=e+1=2,
g
(1)=e-2+1=e-1<2,所以3-2 ln 2≤
g
(
t
)<2.]
14.(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R的偶函数
f
(
x
),其导函数为
f
′(
x
),对任意
x
∈[0,+∞),均满足:
xf
′(
x
)>-2
f
(
x
).若
g
(
x
)=
x
2
f
(
x
),则


不等式
g
(2
x
)<
g
(1-
x< br>)的解集是________.
?
-1,
1
?
[
x
∈[0,+∞)时,
g
′(
x
)=2
xf
(
x
)+
x
2
f
′(
x
)=
x
(2
f
(
x
)+
xf
′(
x
))
?
3
?
??
>0,而
g
(
x
)=
xf
(
x
)也为偶函数,所以
g
(2
x
)<
g
(1-
x
)?
g
(|2
x
|)<
g
(| 1-
x
|)?|2
x
|
1
2
<|1-
x< br>|?3
x
+2
x
-1<0?-1<
x
<.]
3
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联< br>网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量
2
h< br>(
x
)(单位:千套)与销售价格(单位:元套)满足关系式
h
(x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
)(3<
x
<7,
m
为常数),其中
f
(
x)与(
x
-3)成反比,
g
(
x
)与(
x-7)的平方成正比,已知销售价格为5
元套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元套 时,每日可售出套题69千套.
(1)求
h
(
x
)的表达式; < br>(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数),
试确定 销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
[解] (1)因为
f
(
x
)与
x
-3成反比,
g
(
x
)与
x
-7的平方成正比,
所以可设:
f
(
x
)=,
g
(
x
)=
k
2
(
x
-7),
k
1
≠0,
k
2
≠0,
x
-3

k
2
(
x
-7).
x
-3
k
1
2

h
(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
)=
k
1
2
2分
因为销售价格为5元套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元套 时,每
日可售出套题69千套,
k
?
?
2
+4
k
=21,
所以,
h
(5)=21,
h
(3.5)=69,即
?
49
2
k

?
?
4
k
=69,
1
2
12


?
?
k
1
=10,
解得:
?
?
?
k
2
=4,

6分
所以,
h
(
x
)=
10
2< br>+4(
x
-7)(3<
x
<7).
x
-3
10
2
+4(
x
-7),
x
-3
8分
(2)由(1)可知,套题每日的销售量
h
(
x
)=
设每日销售套题所获得的利润为
F
(
x
),

F
(
x
)=(
x
-3)
?
2
?
10

?
x
-3
x

2
?

?
?
=10+4(
x
-7)(
x
-3)


=4
x
-68
x
+364
x
-578,
32
10分
?
13
?
2
从而
F
′(
x
)=12
x
-136
x
+364=4(3
x
-13)(
x
-7),3<
x
<7,
x

?
3,
?
时,
F
′(
x
)
3
??
?
13
?
>0,所以函数
F
(
x
)在?
3,
?
上单调递增,
3
??
????
x< br>∈
?
,7
?
时,
F
′(
x
)<0, 所以函数
F
(
x
)在
?
,7
?
上单调递减 ,
33
????
13
所以
x
=≈4.3时,函数
F
(
x
)取得最大值,
3
即当销售价格为4.3元套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.14分
16 .(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)

x

a
ln
x
(
a
∈R).
(1)若曲线
y

f
(
x
)在点(1,
f
(1))处与直线
y
=3
x
-2相切,求
a
的值;
(2)若函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
kx
有两个零点
x
1

x
2
,试判 断
g

?
2
12分
1313
?
x1

x
2
?
的符号,并证明.
?
?
2
?
【导学号:56394019】
[解] (1)
f
′(
x
)=1+,又∵
f
′(1)=3.
所以
a
=2.3分
(2)函数
g
(
x
)的定义域是(0,+∞).

a
=0,则
g
(
x
)=
f
(
x
)-
kx

x

kx
. < br>令
g
(
x
)=0,则
x

kx
=0 .
又据题设分析知
k
≠0,
1

x
1
=0,
x
2
=.
2
22
a
x
2分
4分
k

g
(
x
)有两个零点,且都大于0,

a
=0,不成立.5分
?
g
?
据题设知
?
?
?
g
x
1

x
1

a
ln
x
1

kx
2
1
=0,
x
2

x
2

a
ln
x
2< br>-
kx
2
2
=0,
x
1
x
2


不妨设
x
1

x
2
,=
t

t
>1.
所以
x
1

x
2

a
(ln
x
1
-ln
x
2
)=
k
(
x< br>1

x
2
)(
x
1

x
2
).
所以1+
6分
ax
1
-ln
x
2

k
(
x
1

x
2
),
x
1

x
2
a
x
7分

g
′(
x
)=1+-2
kx


所以
g

?

a
?
?
x
1

x
2
?
=1+
2
a

k(
x

x
)=1+
2
a
-1-
a?
12
x
1

x
2
x
1
+< br>x
2
?
2
?
x
1
-ln
x
2

x
1

x
2
t
-1
-ln
t
?
?
.9分
t
+1
?
1
2< br>-=-
?
2

ln
x
1
-ln
x
2
?

a
?
2

ln
t
?

a
·
1
?
???
x
1< br>-
x
2
?
?
x
1

x
2< br>?
x
2
?
t
+1
t
-1
?
x
2
t
-1
?
t

t
+1
4-ln
t
(
t
>1),则
h
′(
t
)=
t

引入
h
(
t
)=
t
t< br>-
tt

2
2
<0.
所以
h
(
t
)在(0,+∞)上单调递减.

h
(1)=0,所以当
t
>1时,
h
(
t
)<0.
易知
x
2
>0,
1
>0,
t
-1
10分
所以当
a
>0时,
g
′< br>?
?
x
1

x
2
?
<0;当
a
<0时,
g

?
x
1

x
2
?
>0.
??
2
?
?
2
???
14分
17.(本 小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数
f
(
x
)

x
ln
x

g
(
x
)=-
x

ax
-3.
(1)求函数
f
(
x
)在[
t

t+2](
t
>0)上的最小值;
(2)对一切
x
∈(0,+∞),2
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,求实数
a
的取值范围;
12
(3)探讨函数
F
(
x
)=ln
x

x
+是否存在零点?若存在,求出函数
F
(
x
)的零点; 若
ee
x
不存在,请说明理由.
[解] (1)
f
′(
x
)=ln
x
+1,
11

f
′(
x
)<0得,0<
x
<,由
f
′(
x
)>0得
x
>,
ee
2
?
1
??
1
?
∴函数
f
(
x
)在
?
0,
?
上单调递减,在
?,+∞
?
上单调递增,1分
?
e
??
e
?< br>111
?
1
?
当0<
t
≤时,
t
+ 2>,∴
f
(
x
)
min

f
??
=-;
eee
?
e
?
1

t
>时,
f
(
x
)在[
t

t
+2]上单调递增,
f
(
x
)
min

f
(
t
)=
t
ln
t
,2分
e
11
-,0<
t
≤,
?
?
ee

?
1
t
ln
t

t
>.
?
?
e

f
(
x
)
min

x
3分
3
(2)原问题可化为
a
≤2ln
x

x
+,
3

h
(
x
)=2ln
x

x
+(
x
>0 ),
4分
xh
′(
x
)=
x

x
2
x

,当0<
x
<1时,
h
′(
x
)<0,
h
(
x
)在(0,1)上单调递减;




x
>1时,
h
′(
x
)>0,
h(
x
)在(1,+∞)上单调递增;6分

h
(
x< br>)
min

h
(1)=4,故
a
的取值范围为(-∞ ,4].7分
12
x
2
(3)令
F
(
x
)=0,得ln
x

x
+=0,即
x
ln
x

x
-(
x
>0),
ee
x
ee
11
由(1)知当且仅当
x
=时,
f
(
x
)=
x
ln
x
(
x
>0)的最小值是-,
ee
5分
8分
9分
x
21-
x
设φ(
x
)=
x
-(
x
>0),则φ′(
x
)=
x
,易知φ(
x
)在(0,1)上单调递增,在(1,
eee
+∞)上单调递减,
1
∴当且仅当
x
=1时,φ(
x
)取最大值,且φ(1)=-,
e
12分
1212
∴对
x
∈(0,+∞)都有ln
x

x
-,即
F
(
x
)=ln
x

x
+>0恒成立,故函数
F
(
x
)
e e
x
ee
x
无零点. 14分
18.(本小题满分16分)(无锡 市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数
f
(
x
)
sin
x

x
的定义域为[0, 2π],
g
(
x
)为
f
(
x
)的导函数.
e
(1)求方程
g
(
x
)=0的解集;
(2)求函数
g
(
x
)的最大值与最小值;
(3)若函数
F
(
x
)=
f
(
x
)-
ax
在定义域上恰有2个极值点,求实数
a
的取值范围.
[解] (1)因为
f
′(
x
)=-
sin
x
cos
x

x

x
ee
1分
3分
4分
5分
cos
x
sin
x
π5π
所以
g
(
x
)=
x

x
=0,解得
x
=或
x
=;
ee44
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
x
(2)因为
g
′ (
x
)=-
x

x

x

x=-2
x

eeeee
π3π

g
′(x
)=0,解得
x
=或
x
=,
22

x
g
′(
x
)

g
(
x
)

0

?
0,
π
?

??
2
??




π

2
0

π
-e-

2
?
π


?

?
2
?
2
??






2
0


e-

2
?

,2π
?


?
2
?
??



7分
e

-2π

1


1
?
π
?
所以
g
(
x
)的最大值为
g
(0) =1,所以
g
(
x
)的最小值为
g
??
=-.
π
?
2
?
e
2


sin
x
cos
x
(3)因为
F
′(
x
)=-
x

x

a

g
(
x
) -
a

ee
所以函数
F
(
x
)=
f
(
x
)-
ax
在定义域上恰有2个极值点,等价于
g
(
x)-
a
=0在定义
域上恰有2个零点且在零点处异号,即
y
=< br>g
(
x
)与
y

a
的图象恰有两个交点,
π
?
π
??
π
?
由(2)知
F
′ (0)=
g
(0)-
a
=1-
a

F
′< br>??

g
??

a
=-e--
a

2
?
2
??
2
?
F

?
?

?

g
?

?

a=e-


a

F
′(2π)=
g
(2π)-
a
=e
-2π

a

???
2
?
2
??
2
?
?
π
??
3π< br>??
π
?

F

??
≥0,则
F< br>′
??

F

??
>0,
?
2< br>??
2
??
2
?
所以
F
′(
x)=0至多只有1个零点,不成立, 10分
11分
?
π
?
所以只有
F

??
<0;
?
2
?

F

?
?

?<0,则
F
′(2π)<0,所以
F
′(
x
)=0只有 1个零点,不成立,12分
?
?
2
?
?

?
≥0,
?
?
2
?
13分 所以
F

?

F

?
?

?
=0,即
a
=e -

,在
x


处同号,不成立;
?
22
?
2
?

F
′(2π)≤0,则
F
′(
x
)=0有3个零点,不成立,14分
所以只有
F
′(2π)>0.
所以满足的条件为:
π
? ?
π
?
π
?
?
F

?
?
2
?

g
?
2
?

a
=-e-< br>2

a
<0
?
????
-2π
?
π =
g
π-
a
=e-
a
>0
?
F
π 3π
-2π
解得-e-<
a
<e或
a
=e-,
2 2
π3π
-2π
(注:利用图象直接得出-e-<
a
<e或
a
=e-扣4分.)
22
ln
x
19.(本小题满分16分)(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数
f
(
x
)=,
g
(
x
)=


16分
x
ax
??
x
?
ln
x
--1
?
.
?
2
?
(1)求
y

f
(
x
)的最大值;
?
1
?
(2)当
a< br>∈
?
0,
?
时,函数
y

g
(x
)(
x
∈(0,e])有最小值.记
g
(
x
)的最小值为
h
(
a
),
?
e
?
求函数< br>h
(
a
)的值域.


1-ln
x
[解] (1)
f
′(
x
)=(
x
>0),
2
x

x
∈(0,e)时,
f
′(
x
)>0,
f
(
x
)单调递增;

x
∈(e,+∞)时,
f
′(
x
)<0,
f
(
x
)单调递减,
1
所以当
x
=e时,
f
(
x
)取得最大值
f
(e)=.
e
(2)
g
′(
x
)=ln
x

ax

x
?
4分
?
ln
x

a
?
,由(1)及
x
∈(0,e]得:
?
?
x
?
1ln
x
①当
a
=时 ,-
a
≤0,
g
′(
x
)≤0,
g
(x
)单调递减,
e
x
e

x
=e时,
g
(
x
)取得最小值
g
(e)=
h
(
a
)=-.
2
1
?
1
?
②当
a

?
0,
?

f
(1)=0≤
a

f
(e)=>
a

e
?
e
?
所以存在
t
∈[1,e),
g
′ (
t
)=0且ln
t

at


x< br>∈(0,
t
)时,
g
′(
x
)<0,
g(
x
)单调递减,当
x
∈(
t
,e]时,
g< br>′(
x
)>0,
g
(
x
)单
调递增,所以< br>g
(
x
)的最小值为
g
(
t
)=
h
(
a
).

h
(
a
)=
G(
t
)=
12分
8分
t
ln
t
2

t

ln
t
-1e
因 为
G
′(
t
)=<0,所以
G
(
t
)在[ 1,e)单调递减,此时
G
(
t
)∈(-,-1].
22
e
综上,
h
(
a
)∈[-,-1].
2
16分
e
x
20.(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2 017届高三摸底考试)已知函数
f
(
x
)=
x
(为自
e
然对数的底数).
(1)求
f
(
x
)的单调区间;
(2)是否存在正实数使得
f
(1-
x
)=
f
(1+
x
),若存在请求出,否则说明理由;
(3)若存在不等实数
x
1

x
2
,使得
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
),证明:
f

?
?
x
1

x
2
?
<0.
?
?
2
?
【导学号:56394020】
[解] (1)函数
y

f
(
x
)的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
(2)不存在正实数使得
f
(1-
x
)=
f
(1+
x
)成立,
事实上,由(1)知函数
y

f
(
x
)在(-∞,1)上递增,
而当
x
∈(0,1),有
y
∈(0,1),在(1,+∞)上递减,有0<
y
<1,
因此,若存在正实数使得
f
(1-
x
)=
f
(1+
x
),必有
x
∈(0,1). 6分



F
(
x
)=
f
(1+
x
)-
f
(1-
x
)=
x
+1
e
x
+(
x
-1)e,
x
?
x< br>1
?

F
′(
x
)=
x
?
e-
x
?
,因为
x
∈(0,1),所以
F
′(x
)>0,所以
F
(
x
)为(0,1)上的增函
e??
数,所以
F
(
x
)>
F
(0)=0,即< br>f
(1+
x
)>
f
(1-
x
),
故不存在正实数使得
f
(1-
x
)=
f
(1+
x
)成立. 8分
(3)若存在不等实数
x
1
x
2
,使得
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
),则< br>x
1

x
2
中,必有一个在(0,1),
另一个在( 1,+∞),不妨设
x
1
∈(0,1),
x
2
∈(1,+∞ ).
①若
x
2
≥2,则
所以
f

?
10分
x
1

x
2
2∈(1,+∞),由(1)知:函数
y

f
(
x
)在 (1,+∞)上单调递减,
?
x
1

x
2
?
<0;
?
?
2
?
②若
x
2
∈(1,2 ),由(2)知:当
x
∈(0,1),则有
f
(1+
x
)>
f
(1-
x
),
而1-
x
1
∈(0,1),所以
f
(2-
x
1
)=
f
[1+(1-
x
1
)]>
f
[1-(1-
x
1
)]=
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
),

f
(2-
x
1
)>
f
(
x
2
),
而2-
x
1

x
2
∈(1,2),由(1)知:函 数
y

f
(
x
)在(1,+∞)上单调递减,13分 < br>∴2-
x
1

x
2
,即有
x
1
x
2
2
∈(1,+∞),
由(1)知:函数
y

f
(
x
)在(1,+∞)上单调递减,所以
f

?
?
x
1

x
2
?
<0;
?
?< br>2
?
?
x
1

x
2
?
<0 .
?
?
2
?
16分
综合①②得:若存在不等实数
x
1

x
2
,使得
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
),则总有
f

?


专题限时集训(四) 平面向量
(对应学生用书第86页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)

3
?

?
13
??
1
1.(广东湛江市2 017届高三上学期期中调研考试)已知向量
BA

?
-,
?

BC

?

?

?
22
??
22
?
则∠
ABC
=________.
→→
BA
·
BC
60° [cos∠
ABC
= < br>→→
|
BA
|·|
BC
|



1133
-×+×
2222
?

1
?
2

?
3
?
2
×
?
2
?
??
??
?
2
?
?
1
?
2

?
3
?
2
?
2
?
??
??
?
2< br>?

1
=,所以∠
ABC
=60°.]
2
2.已知向量
a
=(1,-1),
b
=(6,-4).若
a
⊥(
ta

b
),则实数
t
的值为________.
-5 [∵
a
=(1,-1),
b
=(6,-4),∴
ta

b
=(
t
+6,-
t
-4).
a
⊥(
ta

b
),则
a
·(
ta< br>+
b
)=0,即
t
+6+
t
+4=0,解得
t
=-5.]
3.(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知
a< br>,
b
均为单位向量,且(2
a

b
)·(
a
-2
b
)=-
33
, 则向量
a

b
的夹角为________.
2
【导学号:56394025】
π
[向量
a

b
的夹角为θ,因为|
a
|=|
b
|=1,所以(2
a< br>+
b
)·(
a
-2
b
)=-3
a
·
b
6
333π
=-3cos θ=-,即cos θ=,θ=.]
226
4.(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量
a
=(cos
x
,-sin
x
) ,
b
??
π
??

?
-cos
?

x
?
,cos
x
?
,且
a

tb

t
≠0,则sin 2
x
的值等于________.
??
2
??
??
π
??
±1 [因为
b< br>=
?
-cos
?

x
?
,cos
x
?
=(-sin
x
,cos
x
),
a

tb
,所以cos
x
cos
x
??
2
??
-(-sin
x
)(-sin < br>x
)=0,即cos
x
-sin
x
=0,所以tan
x
=1,tan
x
=±1,
x

ππ
+(
k
∈Z),2
x

k
π+(
k
∈Z),sin 2
x
=±1.]
42
5.(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量< br>a

b
的夹角为θ,且
a
=(-2,1),
a+2
b
=(2,3),则cos θ=________.
3
a
·
b
-4+1
- [因为(
a
+2< br>b
)-
a
=2
b
=(4,2),所以
b
=( 2,1),所以cos θ==
5|
a
||
b
|
5×5
3
=-.]
5
6.(天津六校2017届高三上学期期中联考)设
x
∈R,向量
a
=(
x,
1),
b
=(1,-2),且
a
222
k
π
2
b
,则|
a

b
|=________.
10 [因为
a

b
?
a·
b
=0?
x
-2=0?
x
=2,所以|
a< br>+
b
|=|(3,-1)|=10. ]
7.(2017·江苏省无锡市高考 数学一模)在△
ABC
中,已知
AB
=1,
AC
=2,∠< br>A
=60°,若点


→→→→→
P
满足
AP
AB
+λ
AC
,且
BP
·
CP
=1 ,则实数λ的值为________.
→→→
1
-或1 [△
ABC
中,
AB
=1,
AC
=2,∠
A
=60°,点
P
满足
AP

AB
+λ
AC

4
→→→→→

AP

AB
=λ
AC
,∴
B P
=λ
AC

→→→→→→→→

CP

AP

AC
=(
AB
+λ
AC
)-
AC

AB
+(λ-1)
AC

→→→→→

BP
·
CP
=λ
AC
·[
AB
+(λ-1)AC
]
→→
2
=λ
AC
·
AB
+λ (λ-1)
AC

=λ×2×1×cos 60°+λ(λ-1)×2=1,
1
2
整理得4λ-3λ-1=0,解得λ=-或λ=1,
4
1
∴实数λ的值为-或1.]
4
→→
8.(天津六校2 017届高三上学期期中联考)
D
为△
ABC
的边
BC
上一 点,
DC
=-2
DB
,过
D

→→→→
2
的直线分别交直线
AB

AC

E

F< br>,若
AE
=λ
AB

AF
=μ
AC
,其中λ>0,μ>0,则+
λ
1
=________.
μ

2

1
→→→→→
21
3 [因为< br>AD

AB

AC

mAE

nA F

m
λ
AB

n
μ
AC
(m

n
=1),所以
m
λ=,
n
μ=
?
3333
21
+=3
m
+3
n
=3.]
λμ
→→→→
9.(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量
AC=(1,2),
BD
=(-2,2),则
AB
·
CD

最小值为________.
9
- [设
A
(
a

b
),
B
(
c

d
),
4< br>→→

AC
=(1,2),
BD
=(-2,2),

C
(
a
+1,
b
+2),
D
(
c
-2,
d
+2),
→→

AB
=(
c

a

d

b
),
CD
=(c

a
-3,
d

b
),
→→2

AB
·
CD
=(
c

a
)(
c

a
-3)+(
b

d
)
2


3
?
2
99
?
222
=(
c

a
)-3(
c

a
)+(b

d
)=
?
c

a

?< br>-+(
b

d
)≥-.
2
?
44
?
→→
9

AB
·
CD
的最小值为-.]
4
→→→→→→→
10.(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量< br>AB

AC

AD
满足
AC

AB

AD
,|
AB
|
→→→→→
5
=2,|
AD
|=1,
E

F
分别是线段
BC
,< br>CD
的中点,若
DE
·
BF
=-,则向量
AB

AD
的夹
4
角为________.
→→→→→→
22
→→→→→→
π
ADABABAD
5
AD
·
A B
55
→→
[
DE

AB
-,
BF
AD
-,∴
DE
·
BF
=--+=-+
AB
·
AD

32222424
5
-.
4
→ →→→→→


AB
·
AD
=1,cos〈
AB

AD
〉=,∴
AB

AD
的夹角为.]
23
11.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4-8,在平面四边形
ABCD< br>中,
O

BD
的中点,
→→→→

OA=3,
OC
=5,若
AB
·
AD
=-7,则
B C
·
DC
的值是________.
【导学号:56394026】

图4-8
9 [平面四边形
ABCD
中,
O

BD
的中点,
→ →

OA
=3,
OC
=5,∴
OB

OD
=0;
→→

AB
·
AD
=-7,
→ →→→→→→→→→→
2
则(
AO

OB
)·(
A O

OD
)=
AO

AO
·
OD

AO
·
OB

OB
·
OD

→ →→→
2

AO

AO
·(
OD

OB
)-
OB

2


=3-
OB
=-7;


OB
=16,
→→
∴|
OB
|=|
OD
|=4;
2
2 2


→→→→→→

BC
·
DC
=(
BO

OC
)·(
DO

OC
)
→→→ →→→→
2

BO
·
DO

BO
·
OC

DO
·
OC

OC

→→→→→
22
=-
BO

OC
·(
BO

DO
)+
OC

=-4+0+5=9.]
12.(广东省佛山市2 017届高三教学质量检测(一))一直线
l
与平行四边形
ABCD
中的两边
→→→→→→
AB

AD
分别交于
E

F
,且交其对角线
AC

K
,若
AB
=2
AE

AD
=3
AF

AC
=λ
AK(λ∈R),
则λ=________.
→→→→
1

1
→→
1
→→
5 [由平行 四边形法则,知
AC

AB

AD
,所以
AK
AC
=(
AB

AD
)=(2
AE
+3
AF
)
λλλ
2

3

23

AE

AF
,又
E

K

F< br>三点共线,所以+=1,解得λ=5.]
λλλλ
→→→
13.(江苏省南京 市2017届高考三模)在凸四边形
ABCD
中,
BD
=2,且
AC
·
BD
=0,(
AB

→→→
DC
)·(
BC

AD
)=5,则四边形
ABCD
的面积为_____ ___.
→→
3 [∵
AC
·
BD
=0,∴
AC

BD

→→→→
∵(
AB

DC
)·(
BC
+< br>AD
)=5,
→→→→→→→→→→→→→→
22
∴(
AB

BC

DC

CB
)·(
BC

CD

AD

DC
)=(
AC

DB
)·(
BD

AC
)=
AC

BD
=5,

2

AC

BD
+5=9,∴
AC
=3.
2
22

11
∴四边形
AB CD
的面积
S
=×
AC
×
BD
=×3×2=3.]
22
14.(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△
ABC
是边长 为3的等边三角形,点
P


2

1
→→

A
为圆心的单位圆上一动点,点
Q
满足
AQ

A P

AC
,则|
BQ
|的最小值是________.
33
37-2
33
??
3
[如图建立平面直角坐标系,设
P
(cos θ,sin θ),则
A
(0, 0),
B
?
-,-
?

3
2
??
2
C
?
,-
?
3
?
2
33
??

2
?




2

1

21
?
333
??
2123
?
AQ< br>=
AP

AC
=(cos θ,sin θ)+
?
,-

?
cos θ+,sin θ-
?
.
?
3333
?
22
??
323 2
?
→→
22
??
BQ

BA

AQ

?
cos θ+2,sin θ+3
?

3
?
3
?

则|
BQ
|=
6747
-=< br>93

?
2
cos θ+2
?
2

?
2
sin θ+3
?
2< br>=
?
3
??
3
?
????
67-12737 -2
=.]
93
6747

93
θ+α

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分14分)已知直线
l
1
与圆
C
:(
x
-1)+(
y
-2)=4相交于不同的
A

B
两点,
→→→
对平面内任意的点
Q
都有
QC
=λ
QA
+ (1-λ)
QB
.设
P
为直线
l
2
:3
x
+4
y
+4=0上的动点,
→→

PA
·
PB
的最小值.
→→→
[解] 由
QC
=λ
QA
+(1-λ)
QB
可知,
A

B

C
三点 共线,即弦
AB
为圆
C
的直径.
→→→→→→→
2
又因为
P
为直线
l
2
:3
x
+4
y+4=0上的动点,且
PA
·
PB
=(
PC

CA
)·(
PC

CB
)=
PC
→→→→
22

CB

PC
-4,故
PA
·
PB< br>的最小值为
PC
-4的最小值.
2
22

10分

3+8+4
又因为圆心
C
(1,2)到直线
l
2
:3
x
+4
y
+4=0的距离为=3,故|
PC
|
min
=3,所
5
→→

PA
·
PB的最小值为9-4=5. 14分
16.(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、 镇四市高考数学二模)已知向量
m
=(3
cos
x
,-1),
n
=(sin
x
,cos
x
).
π
(1)当
x
=时,求
m
·
n
的值; < br>3
31
?
π
?
(2)当
x

?0,
?
,且
m
·
n
=-,求cos 2
x
的值.
4
?
32
?
π311
?3
??
31
?
[解] (1)当
x
=时,
m< br>=
?
,-1
?

n

?

?
,∴
m
·
n
=-=. 6分
3442
?
2
??
24
?
2


(2)
m
·n
=3sin
x
cos
x
-cos
x
=< br>若
m
·
n

2
π
?
1311
?
sin 2
x
-cos 2
x
-=sin
?
2
x

?
-,8分 < br>6
?
2222
?
π
?
313
?
-, 则sin
?
2
x

?
=,
6
?
332
?
π
?
ππ
??
π
?

x

?
0,
?
,∴2
x
-∈
?
-,
?

4
?
6
?
63
??
π?
6
?
∴cos
?
2
x

?
=.
6
?
3
?
ππ
?
π
?
π< br>?
ππ63
???
∴cos 2
x
=cos
?
2
x
-+
?
=cos
?
2
x

?
cos-sin
?
2
x

?
sin =×-66
?
6
?
6
?
6632
???
31 32-3
×=.
326
14分
17.(本题满分14分)(无锡市普通高 中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点
A
(1,
→→→→→→→
-1),
B
(3,0),
C
(2,1),
P
为平面
ABC
上的一点,
AP
=λ
AB
+μ
AC

AP
·
AB
=0,
AP
·
AC

3.
→→
(1)求
AB
·
AC

(2)求λ+μ的值.
【导学号:56394027】
→→
[解] (1)因为
AB
=(2,1),
AC
=(1,2),
→→
所以
AB
·
AC
=2+2=4.4分
→→→ →
(2)因为
AP
·
AB
=0,所以
AP

AB

→→
因为
AB
=(2,1),设
AP
= (
a
,-2
a
), 6分
2分
→→
因为
AP
·
AC
=3,所以(
a
,-2
a
)·(1, 2)=3,
a
-4
a
=3,
a
=-1,8分
→→
AP
=(-1,2),因为
AC
=(1,2),所以(-1,2)=λ(2, 1)+μ(1,2),10分
?
-1=2λ+μ,
?
所以
?
?
?
2=λ+2μ,

1
则λ+μ=.
3
14分
18.(本小题满分16分)如图4-9,已知点
O
为△
ABC
的外心,∠
BAC
,∠
ABC
,∠
ACB< br>的对
→→→
边分别为
a

b

c
, 且2
OA
+3
OB
+4
OC
=0.



图4-9
(1)求cos∠
BOC
的值; (2)若△
ABC
的面积为15,求
b

c

a
的值.
→→→→→→
[解] (1)设△
ABC
外接圆的半径为
R
,由2
OA
+3
OB
+4
OC
=0得3
OB
+4
OC
=-2
OA

两边平方得9
R
+16
R
+24
R
cos∠
BOC
=4
R

-21
R
7
所以cos∠
BOC

2
=-.
24
R
8
2
2222
222
6分
?
π
?
cos∠
BOC
=cos
2
(2 )由题意可知∠
BOC
=2∠
BAC
,∠
BAC

?
0,
?
,2∠
BAC
=2cos∠
BAC
2??
71
-1=-,从而cos∠
BAC
=,10分
84所以sin∠
BAC
=1-cos∠
BAC

2
15< br>,
4
115

ABC
的面积
S

bc
sin∠
BAC

bc
=15,故
bc
=8, 从而
b
2

c
2

a
2
=2bc
cos∠
28
BAC
=2×8×=4.16分
→→
19.(本小题满分16分)已知两定点
M
(4,0),
N
(1,0),动 点
P
满足|
PM
|=2|
PN
|.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程;
(2)若点
G
(
a,
0)是轨迹
C
内部一点,过点
G
的直线l
交轨迹
C

A

B
两点,令
f < br>(
a
)
→→

GA
·
GB
,求f
(
a
)的取值范围.
→→
[解] (1)设
P< br>的坐标为(
x

y
),则
PM
=(4-
x< br>,-
y
),
PN
=(1-
x
,-
y
).
→→
∵动点
P
满足|
PM
|=2|
PN|,∴
整理得
x

y
=4.
22
1
4

x
2

y
=2
2

x
2

y

6分
2
(2)(a)当直线
l的斜率不存在时,直线的方程为
x

a
,不妨设
A
在< br>B
的上方,直线方
→→
程与
x

y
=4联立 ,可得
A
(
a
,4-
a
),
B
(
a
,-4-
a
),∴
f
(
a
)=
GA< br>·
GB
=(0,
2222
4-
a
)·(0,-4-< br>a
)=
a
-4;
(b)当直线
l
的斜率存在时,设 直线的方程为
y

k
(
x

a
),
222
8分


代入
x

y
=4,整 理可得(1+
k
)
x
-2
akx
+(
ka
-4)=0,设
A
(
x
1

y
1
),B
(
x
2

y
2
),
2
a kka
-4

x
1

x
2

2< br>,
x
1
x
2

2

1+
k
1+
k
→→
22

f
(
a
)=
GA
·
GB
=(
x
1
-< br>a

y
1
)·(
x
2

a

y
2
)=
x
1
x
2

a
(
x
1

x
2
)+
a

k(
x
1

a
)(
x
2

a< br>)

a
-4.
由(a)(b)得
f
(
a
)=
a
-4.
∵点
G
(
a,
0)是轨迹
C
内部一点,
∴-2<
a
<2,∴0≤
a
<4,
∴-4≤
a
-4<0,∴
f
(
a
)的取值范围是[-4,0).
2
2
2
2
222
2222222
14分
16分
20.(本小题满分16分)已知
a
=(sin
x
,3cos
x
),
b
=(cos
x
,-cos
x
),函数
f
(
x
)

a
·
b

3
.
2
(1)求函数
y

f
(
x
)图象的对称轴方程;
1
(2)若方程
f
(
x
)=在(0,π)上的解为
x
1

x
2
,求cos(
x
1

x
2
)的值.
3
[解] (1)
f
(
x
)=
a
·b

33
=(sin
x
,3cos
x
)·(cos
x
,-cos
x
)+=sin
x
·cos
22
6分
x
-3cos
2
x

π
?
313
?
=sin 2
x
-cos 2
x
=sin
?
2
x

?
.
3
?
222
?
ππ5π
k
π
令2
x
-=
k
π+(
k
∈Z),得
x
=+(
k
∈ Z),
32122

k
π
即函数
y

f
(
x
)图象的对称轴方程为
x
=+(
k
∈Z).
122
8分
π
?
π
?
15π2π
??< br>(2)由条件知sin
?
2
x
1

?
=si n
?
2
x
2

?
=>0,设
x
1

x
2
,则0<
x
1
<<
x
2< br><,
3
?
3
?
3123
??
5π5π
易知(
x
1

f
(
x
1
))与(
x
2

f
(< br>x
2
))关于直线
x
=对称,则
x
1
x
2
=,∴cos(
x
1

x
2
)< br>126
=cos
?
x
1

?


专题限时集训(五) 三角函数与解三角形
(对应学生用书第89页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
?
?
π
π
?
1
π
?
?


x
1
??
=cos
?
2
x
1


?
=cos
??
?
2
x
1

?

?
=sin
?
2
x
1
?
=. 16
??
????
?
3
?
2
?
6
?
3
?
3
?
6
????
?
?


π
?
4
?
1.(江苏省苏州市2017届 高三上学期期中)已知tan α=-,则tan
?
α-
?
=________.
4
?< br>3
?
4
--1
3
π
?
tan α-14
?
7 [∵tan α=-,则tan
?
α-
?
===7.]
4
?
1+tan α34
?
?
?
1+
?< br>-
?
?
3
?
?
π
?
2.(江苏省南 通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数
y
=tan
?
x

?
的单调增区
3
??
间为________.
?k
π-
π

k
π+

?

k
∈Z [由
k
π-
π

x

π

k
π+
π

k
∈Z,得
k
π-
π

x
?
66
?
2326
??


k
π+,
k
∈Z,
6
π5π
??
即 函数的单调递增区间为
?
k
π-,
k
π+
?
k
∈Z.]
66
??
3.(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已 知倾斜角为α的直线
l

x
轴上一点
A
(非坐标
原 点
O
),直线
l
上有一点
P
(cos 130°,sin 50°),且∠
APO
=30°,则α等于________.
100°或160° [因为
P
(cos 130°,sin 50°)=
P
(cos 130°,sin 130°),所以

POx
=130°,因此α=130°+30 °或130°-30°,即α=160°或100°.]
?
π3π
?
tan (α-π)=-
3
,4.(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈
?
?
,则sin
2
?
4
?
2
α+cos α的值是________.
133
?
π3π
?
- [tan(α-π)=tan α=-,又α∈
?

?
,所以sin α=,cos α=-
2
?
545
?
2
41
,所以sin α+cos α=-.]
55
5.(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数
f
(
x
)=cos ω
x
(ω>0),将
y

f
(
x
)π
的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值为________.
3
【导学号:56394033】
6 [将
y

f (
x
)的图象向右平移
π
?
π
?
个单位长度, 得
y
=cos ω
?
x

?

3
?
3
?
ωπ
?
ωπ
?
cos
?
ω
x

,又因为所得的图象与原图象重合,所以=2
k
π,即ω=6< br>k
(
k

?
3
?
3
?
Z) ,因为ω>0,所以ω的最小值为6.]
6.(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模) 在△
ABC
中,角
A

B

C
的对边分别

a

b

c
,若满足2
b
co s
A
=2
c
-3
a
,则角
B
的大小为_ _______.


π
[∵2
b
cos
A
=2
c
-3
a

6
2
c-3
ab

c

a
222
∴cos
A
==,整理可得:
c

a

b
=3
ac

2
b
2
bc
222
c
2
+< br>a
2

b
2
3
ac

∴cos
B
===,∵
B
∈(0,π),∴
B
=.]
2< br>ac
2
ac
26
π
??
7.(天津六校2017届高 三上学期期中联考)将函数
f
(
x
)=3sin
?
4x

?
图象上所有点的横
6
??
π
坐标伸长到 原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数
y

g
(
x
)的图象.则
y

g
(
x
)
6
图象一条对 称轴是________.
x
= [函数
f
(
x
)=3 sin
?
4
x

?
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ,得
y
6
π
3
?
?
π
?
?
π
?
π
??
π
?
π
?
?
=3s in
?
2
x

?
,再向右平移个单位长度,得
y< br>=3sin
?
2
?
x

?

?
6
?
6
?
6
?
6
?
??
π
?
πππ
k
π
?
3sin
?2
x

?
,对称轴为2
x
-=+
k
π (
k
∈Z),
x
=+(
k
∈Z).]
6
?
6232
?

图5-7
8.(四川省2016年普通高考适应性测试)函数
f
(
x
)=< br>A
sin(ω
x

π
??
φ)
?
A
>0,ω>0,|φ|<
?
的部分图象如图5-7所示,则函数
f
(
x
)的解析式为
2
??
________.
π
?
T
5ππ2π
??

?
f
(
x
)=2sin
?
2
x

?
[
A
=2,=-
?
T
=π,ω=
=2,2sin
?
2×+φ
?

3
?
12
4126
T
???
2?
5πππππ
+φ=+2
k
π(
k
∈ Z)?φ=-+2
k
π(
k
∈Z),∵|φ|<,∴φ=-.]
62323
π
?
cos 2θ+1
?
0<θ<
9. (江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数
y
=tan θ+,
?
2
?
sin 2θ
??
则函数
y
的最小值为________.
π
?
cos 2θ+1
?
0<θ<
2 [由题意:函数
y
=tan θ+,
?
2
?
sin 2θ
??
sin θ2cosθ-1+1sin θcos θ2
化简:
y
=+=+=;
cos θ2sin θcos θcos θsin θsin 2θ
2


π
∵0<θ<,
2
∴0<2θ<π,
所以:0<sin 2θ≤1.
2
当sin 2θ=1时,函数
y
取得最小值,即
y
min
==2.]
1
10.(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数
f
(
x
)=3sin 2ω
x
-cos

x
(其中ω∈(0,1)),若
f
(
x
)的图象经过点
?
调递增区间为________.
?
π
,0
?
,则
f
(
x
)在区 间[0,π]上的单
?
?
6
?
?
0,

?
[函数
f
(
x
)=3sin 2ω
x
-cos 2ω
x

?
3
?
??< br>π
??
=2sin
?

x

?

6
??
?
π
?

f
(
x
)的图象经过点
?
,0
?

?6
?
∴2sin
?
?
π
ω-
π
?=0,∴
π
ω-
π

k
π,
k
∈Z,
?
6
?
36
?
3
1
解得ω=3
k
+,
2
1
∵ω∈(0,1),∴ω=,
2
?
π
?

f
(
x
)=2sin
?
x

?

6
??
πππ

f
(
x
)的增区间为: -+2
k
π≤
x
-≤+2
k
π,
k
∈Z,
262
π2π
整理,得-+2
k
π≤
x
≤+2k
π,
k
∈Z,
33
?

?

f
(
x
)在区 间[0,π]上的单调递增区间为
?
0,
?
.]
3
??< br>π
?
3
??
π
?
11.(2017·江苏省盐城市高 考数学二模)若sin
?
α-
?
=,α∈
?
0,
?
,则cos α的值
6
?
5
2
???
为________.
43-3
?
π
?
[∵α∈
?
0,
?

2
?
10
?
π
?
ππ
?
∴α-∈
?
-,
?
6
?
63
?
π
?
3
?
∵sin
?
α-
?
=,
6
?
5
?


π
?
4
?
∴cos
?
α-
?
=, 6
?
5
?
π
?
π
?
π
??< br>π
?
π
?
π43
??
??
那么cos α= cos
?
?
α-
?

?
=cos
?
α-
?
cos
??
-sin
?
α-
?
s in=×
6
?
6
?
6
??
6
?
6
?
652
??
?
?
3143-3
-×=.] 5210
12.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△
ABC
中,内角
A

B

C
的对边
2
?

?
分别是
a

b

c
,若sin< br>?
B

?
=-,且
a

c
=2,则 △
ABC
周长的取值范围是________.
4
?
2
?
2
232π
?

?
[2+3,4) [∵sin?
B

?
=-,且
B
为三角形的内角,∴
B< br>=π,∴
B
=,
4
?
223
?
2

b

a

c
-2
ac
cos
B
=(
a

c
)-
ac
=4-
ac
≥4-
?
2222
?
a

c
?
2
=3,当且仅当
a

c
=1
?
?
2
?时,取等号,所以
b
≥3,所以
a

c

b< br>≥2+3;又
a

c
=2>
b
,所以
a
c

b
<4,
所以△
ABC
周长的取值范围 是[2+3,4).]
13.(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△
ABC
中,sin
A
+2sin
B
cos
C
=0,则tan
A
的最大值是________.
3
[∵sin
A
+2sin
B
cos
C
=0,∴
a
+2
b
cos
C
=0.
3
a
2

b
2

c
2
2 22

a
+2
b
=0,∴2
a

b

c
=0;
2
ab
1
2
由于tan
A

2
-1.
cos
A
b
2

c
2

a
2
3
b
2

c
2
23
bc
3
又cos
A
==≥=,当且仅当3
b

c
时,等号成立.即cos
2
bc
4
bc
4
bc
2
A
的最小 值为
313
2
.故tan
A
的最大值为,故tan
A
的最大值为.]
233
14.(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数
f
(
x
)=sin ω
x
+3cos ω
x
+1的最 小
正周期为π,当
x
∈[
m

n
]时,
f
(
x
)至少有12个零点,则
n

m
的最小值为_ _______.
π
?
π
?
16π
??
[由题知
f
(
x
)=2sin
?
2
x

?
+1,
f
(
x
)=0,2sin
?
2
x

?
=-1,∴
3
?
3
?
3< br>??
π
?
1
?
sin
?
2
x

?
=-.
3
?
2
?
由周期性可知
n

m
≥5π+
π16π16π
=,∴(
n

m
)
min
=.]
333
二、解答题(本大题共6小题,共90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(2017·江苏 省盐城市高考数学二模)如图5-8,在△
ABC
中 ,
D



BC
上一点,
AD
=6,
BD
=3,
D C
=2.

① ②
图5-8
(1)若
AD

BC
,求∠
BAC
的大小;
π
(2)若∠
ABC
=,求△
ADC
的面积.
4
[解] (1)设∠
BAD
=α,∠
DAC
=β. 因为
AD

BC

AD
=6,
BD
= 3,
DC
=2,
11
所以tan α=,tan β=,
23
11

23
tan α+tan β
所以tan∠
BAC
=tan(α+β)===1.4分
1-tan αtan β11
1-×
23
又∠
BAC
∈(0,π),
π
所以∠
BAC
=.
4
π
(2)设∠
B AD
=α.在△
ABD
中,∠
ABC
=,
AD
=6 ,
BD
=3.
4
6分
2分
ADBD
2
由正弦定理得=,解得sin α=.8分
πsin α4
sin
4
因为
AD

BD

所以α为锐角,从而cos α=1-sinα=
2
14
.
4π
?
ππ2
?
214
?
?
因此sin∠
ADC
=sin
?
α+
?
=sin αcos +cos αsin =
?

?

4
?
442
?4
?
4
?
1+7
.
4
111+73

ADC
的面积
S
=×
AD
×
DC
·si n∠
ADC
=×6×2×=(1+7).
2242
14分
12分


16.(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三 第一次模拟)在△
ABC
中,
a

b

c
分别为内角
A

B

C
的对边,且
b
si n 2
C

c
sin
B
.
(1)求角
C

?
π
?
3
(2)若si n
?
B

?
=,求sin
A
的值.
3
?
5
?
[解] (1)由
b
sin 2
C

c
sin
B
,根据正弦定理,得2sin
B
sin
C
cos
C
=sin
C
sin
B


1
因为sin
B
>0,sin
C
>0,所以cos
C
=,
2
π

C
∈(0,π),所以
C
=.
3
ππ
?
ππ
??

?
(2)因为
C=,所以
B

?
0,
?
,所以
B
-∈
?
-,
?

3
?
33
?
33
??
2分
4分
6分
?
π
?
3
?
π
?
又sin
?
B

?
=,所以cos
?
B

?

3
?
5
3
???
2π2π

A

B
=,即
A
=-
B

33
所以sin
A
=sin
?

π
?< br>2
?
1-sin
?
B

?
3
??< br>
4
=.
5
8分
π
??
π
?< br>2π

B
?
=sin
?
π

??
B

π
?
-cos
π
B

=sin cos
??
???
?
3
?
3
?
?
3
?
33
?
3
??
??
?
π
?
sin
?
B

?

3
??

341343-3
×-×=.
252510
14分
17.(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上 学期学情调研)如图5-9,在平面直
角坐标系
xOy
中,以
x
轴正 半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点
A

B
.若点
A
的横坐标是
31025
,点
B
的纵坐标是.
105

图5-9
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
【导学号:56394034】


310
[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于
A
,且点
A
的横坐标是,
10
310
所以,由任意角的三角函数的定义可知,cos α=,
10
从而sin α=1-cosα=
2
10
.
10
2分
2525
因为钝角β的终边与单位圆交于点
B
, 且点
B
的纵坐标是,所以sin β=,
55
从而cos β=-1-sinβ=-
2
5
.
5
4分
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

310
?
10252
5
?
×
?

?
+× =-.
10510
?
5
?
10
8分
(2)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

10< br>?
2
5
?
31025
×
?

?+×=.
10
?
5
?
1052
11分
因为α为锐角,β为钝角,

?
π3π
?
故α+β∈< br>?

?
,所以α+β=.
2
?
4
?
2
14分
18.(本小题满分16分) (湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12
1
2
分)已 知函数
f
(
x
)=3sin
x
cos
x
-cos
x
-.
2
(1)求函数
f
(
x
)的对称中心 ;
(2)求
f
(
x
)在[0,π]上的单调递增区间.
[解] (1)
f
(
x
)=
π
?
31+cos 2
x
1
?
sin 2
x
--=sin
?
2
x

?
-1,
6
?
222
?
4分
π
k
ππ
令 2
x
-=
k
π,得
x
=+,
6212
故 所求对称中心为
?
?
k
π

π
,-1
?< br>,
k
∈Z.
?
?
212
?
8分
πππππ
(2)令2
k
π-≤2
x
-≤2
k
π+ ,解得
k
π-≤
x

k
π+,
k
∈Z 10分
26263
?
π
??

,π
?
, 又由 于
x
∈[0,π],所以
x

?
0,
?

??
3
??
6
??
?
π
??

?
故所求单调递增区间为
?
0,
?

?
, π
?
.
3
??
6
??
16分
19.(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数
f
(
x
)=2sin


x
cos
?
x

?

3
?
?
π
?
?
3
.
2
(1)求函数
f
(
x
)的单调递减区间;
?
π
?
(2) 求函数
f
(
x
)在区间
?
0,
?
上的最大值及最小值.
2
??
3
?
π
?
[解] (1)
f
(
x
)=2sin
x
cos
?
x

?

3
?2
?
3
3
?
1
?
=2sin
x
?
cos
x
-sin
x
?

2
?
2
?
2
=sin
x
cos
x
-3sin
x

2
3

2
1333
=sin 2
x
-+cos 2
x

2222
π
??
=sin
?
2
x

?
.
3
??
3分
ππ3ππ7π
由+2
k< br>π≤2
x
+≤+2
k
π,
k
∈Z,得+
k< br>π≤
x
≤+
k
π,
k
∈Z.
2321212

?
π
?

f
(x
)的单调递减区间为
?

k
π,+
k
π?

k
∈Z.
12
?
12
?
πππ 4π
(2)由0≤
x
≤得≤2
x
+≤,
2333
所以-
π
?
3
?
≤sin
?
2
x

?
≤1.
3
?
2
?
6分
8分
12分
π3
所以当
x
=时,
f
(
x
)取得最小值-;
22
π

x
=时,
f
(
x
)取得最大值1.
12
16分
20.(本小题满分 16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△
ABC
中,内角
A
B

C
的对边分别为
a

b
c
,向量
m
=(
a

b
,sin
A
+sin
C
)与向量
n
=(
a
c
,sin(
A

C
))
共线.
(1)求角
C
的值;
→→→
(2)若
AC
·CB
=-27,求|
AB
|的最小值.
[解] (1)∵向量
m
与向量
n
共线,
∴(
a

b
)·sin(
A

C
)=(
a

c< br>)(sin
A
+sin
C
),
由正弦定理可得:(a

b
)
b
=(
a

c
)(
a

c
),

c

a

b

ab

222
2分


a
2

b
2

c
2
1
∴cos
C
==,
2
ab< br>2
π
∵0<
C
<π,∴
C
=.
3
→→→→
(2)∵
AC
·
CB
=-27,∴
CA
·
CB
=27,
→→→→→
1


CA
·
CB
=|
CA
|·|
CB
|cos
C
=|
CA
|·|
CB
|=27,
2
→→
∴|
CA
|·|
CB
|=54,
→→→→→→→
2222
∵|
AB
|=|
CB

C A
|=|
CB
|+|
CA
|-2
CB
·
C A

→→→
2
∴|
AB
|≥2|
CB
| ·|
CA
|-2×27
=2×54-54=54.

∴|
AB
|≥36,
→→
(当且仅当|
CA
|=|
CB
|=36时,取“=”)

∴|
AB
|的最小值为36.


专题限时集训(六) 数列
(对应学生用书第92页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
16分
10分
7分
a
2
n
-2
1. (四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{
a
n
}满足
a
1

a

a
n
+1

an
+1
(
n
∈N),若数列{
a
n
}是常数列 ,则
a
=________.
*
a
2
a
2
-2
1
-2
2
-2 [因为数列{
a
n
}是常数 列,所以
a

a
2
==,即
a
(
a
+1)=
a
-2,解得
a
1
+1
a
+1
a
=-2.]
2.(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{
an
}是等差数列,若
a
4

a
5

a
6
=21,

S
9
=________.
63 [由
a
4

a
5

a
6
=21得
a
5
=7,所以
S
9

n
a
1< br>+
a
9
2
=9
a
5
=63.]
3 .数列{
a
n
}满足
a
n
+1
+(-1)
a
n
=2
n
-1,则{
a
n
}的前60项和为__ ______.


1 830 [当
n
=2
k
时,< br>a
2
k
+1

a
2
k
=4
k
-1;

n
=2
k
-1时,
a
2k

a
2
k
-1
=4
k
-3. 所以
a
2
k
+1

a
2
k
- 1
=2,所以
a
2
k
+1

a
2
k
+3
=2,
所以
a
2
k
-1

a
2
k
+3
,所以
a
1

a
5
=…=
a
61
.
所以
a
1

a
2

a
3
+…+
a
60

=(< br>a
2

a
3
)+(
a
4

a
5
)+…+(
a
60

a
61
)
=3+7+11+…+(2×60-1)

30×3+119
=30×61=1 830.]
2
4.(江苏 省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{
a
n
}的前
n项和
S
n
,若
a
1
=2,
S
3
=12,则
a
6
=________.
12 [∵
S
3
=12,∴
S
3
=3
a
1

3×2
d
=3
a
1
+3
d
=12.解得
d
=2 ,
2

a
6

a
1
+5
d=2+2×5=12.]
5.(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数 列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n

53
公比
q
=3,
S
3

S
4
= ,则
a
3
=________.
3
53
3 [∵等比数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,公比
q
=3,
S
3

S
4
=,
3

a
1

3-1
3

a
1
3-1
4
5311
2
=,解得
a
1
=.则a
3
=×3=3.]
333
6.(2017·江苏省无锡市高考数学一 模)设等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
S
3

S
9

S
6
成等< br>差数列.且
a
2

a
5
=4,则
a
8
的值为________.
2 [∵等比数列{
a
n
}的前n
项和为
S
n
,若
S
3

S
9

S
6
成等差数列.且
a
2

a
5
=4,
a
1

qa
1

q
?
?
2×=
1-
q
1-
q

?
?
?
a
1
q

a
1
q
4
= 4,
93

a
1

q
1-
q
6< br>,

1
3
解得
a
1
q
=8,
q
=-,
2
1
732

a
8

a
1
q
=(
a
1
q
)(
q
)=8×=2.]
4
7.(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节< br>的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4
升,则该 竹子最上面一节的容积为________升.
13
[设最上面一节的容积为
a
1

22


4×3
4
a

d
=3,
?
?
2
由题设知
?
?
9
a

9×8
d
?

?< br>6
a

6×5
d
?
=4,
???
?
?
?
2
??
2
??
1
11

13
解得
a
1
=.]
22
8.(2017·江苏 省淮安市高考数学二模)已知{
a
n
}是公差不为0的等差数列,
S
n
是其前
n

和,若
a
2
a
3

a
4
a
5

S
9
=1,则
a1
的值是________.
【导学号:56394041】
5
- [设等差数列{
a
n
}的公差为
d
(
d
≠0),
27

a
2
a
3

a
4
a
5

S
9
=1,
a
1

da
1
+2
d

a
1
+3
d
?
?

?
9×8
9
ad
=1,
1

?
2
?
5
解得
a
1
=-.]
27
a
1
+4
d



9.(广 东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中 ,若
log
2
a
2
+log
2
a
8
=1,则
a
3
·
a
7
=________.
2 [由log
2
a
2
+log
2
a
8
=1得 log
2
(
a
2
a
8
)=1,所以
a2
a
8
=2,由等比数列性质可得
a
3
a
7< br>=
a
2
a
8
=2.]
10.(2017·江苏省盐 城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.若
a
1
=1,
S
4
-5< br>S
2
=0,则
S
5
的值为________.
31 [若等比数列的公比等于1,由
a
1
=1,则
S
4
=4,5
S
2
=10,与题意不符.
设等比数列的公比为
q
(
q
≠1),

a
1
=1,
S
4
=5
S
2
,得
解得
q
=±2.
∵数列{
a
n
}的各项均为正数,∴
q
=2.
1-2

S
5
==31.]
1-2
11.(广东 郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△
ABC
中,
A
1

B
1
分别是边
BA

5
a
1

q
1-
q
4
=5
a
1
(1+
q
),
CB
的中点,
A
2

B
2
分别是线段
A
1
A

B
1
B
的中点,…,
A
n

B
n
分别是线段
A
n
-1
A

B
n
-1
B
(
n
∈N
*


其中假命题是:________.
【导学号:56394042】
①数列{
a
n
}是单调递增数列, 数列{
b
n
}是单调递减数列;
→→
n
>1)的中点, 设数列{
a
n
},{
b
n
}满足:向量
B
n
A
n

a
n
CA

b
n
CB
(
n
∈N
*
),有下列四个命题,


② 数列{
a
n

b
n
}是等比数列;
③数列
??
有最小值,无最大值;
?
b
n
??
a
n
?
1
④若△
ABC
中,
C=90°,
CA

CB
,则|
B
n
A
n
|最小时,
a
n

b
n
=.
2
1
?
1
??
1
??
1
?
③ [由
BA
n

?
1-
n
?
BA

?
1-
n
?
(
CA

CB
),
B< br>n
B

n
CB

B
n
A
n

B
n
B

BA
n

?
1-
n
?
CA

2
?
2
??
2< br>??
2
?
1
11
?
n
?
?
2
-1
-1
?
CB
,所以
a
n
=1-2
n

b
n

2
n
-1
-1 .则数列{
a
n
}是单调递增数列,数列{
b
n
}是单??
?
1
?
1
调递减数列,故①正确;数列{
a
n

b
n
}即为
?
n
?
是首项和公比均 为的等比数列,故②
2
?
2
?

→→→→→→→→→→
1
a
n
a
n
2-11
正确;而当
n
=1时,
a
1
=,
b
1
=0,不存在;
n
>1时,=
n
=-1+
n

n
2
b
n
b
n
2-22-2

∈N上递增,无最小值和最大值,故③错误 ;在△
ABC
中,
C
=90°,
CA

CB
,则|
B
n
A
n
→→→
13
?
2
1
?
|=(
a
n

b
n
)
CA
+2
a
n
b
n
CA
·
CB
=5< br>?
n

?
-,当
n
=1时,取得最小值,即有|B
n
A
n
|最
?
25
?
5
2 222
*
n

1
小时,
a
n

b
n
=,故④正确.]
2
12.(天津六校2017届高三上学期期中联考) 已知数列{
a
n
}满足:
a
1
=1,
a
n
+1

1
(
n
∈N).若
a
n
+ 2
a
n
*
??
b
n
+1
=(
n< br>-2λ)·
?
+1
?
(
n
∈N
*
) ,
b
1
=-λ,且数列{
b
n
}是单调递增数列,则实数λ 的
?
a
n
?
取值范围是________.
?
-∞,
2
?
[因为
a

a
n
?
1

2
+1?
1
+1=2
?
1
+1
?
?
1
+1=
?
1
+1
?< br>2
n
-1
??
n
+1
?
a
n
?
a
?
a
1
?
3
?
a
n
+2
a
n
+1
a
n
a
n
+1
? ??
n
??
=2,所以
b
n
+1
=(
n< br>-2λ)·2,因为数列{
b
n
}是单调递增数列,所以当
n
≥2时
b
n
+1
>
b
n
?(
n
- 2λ)·2
>(
n
-1-2λ)·2
nn
-1
nn
3
?
n
>2λ-1?2>2λ-1?λ<
;当
n
=1时,< br>b
2
>
b
1
2
22
?(1-2λ)·2>- λ?λ<
,因此λ<.]
33
13. (山西大学附属中学2017级上学期11月 模块诊断)设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
1
S
2
S
15
S
n
,且满足
S
17
>0,
S
18
<0,则,,…,中最大的项为________.
a
1
a
2
a
15
S
9
[
S
17
>0?
a
9
S
18
<0?
2a
1

a
17
2
<0?
>0?
a9
2
2
>0?
a
9
>0,
<0?
a
10

a
9
<0?
a
10
<0,
a
1

a
18
a
9

a
10< /p>


因此>0,>0,…,>0,>0,<0,而
S
1
<
S
2
<…<
S
9

a
1
>
a
2
>…>
a
8
>
a
9
,所以<<…<
< .]
S
1
a
1
S
2
a
2
S8
a
8
S
9
a
9
S
10
a< br>10
S
1
S
2
a
1
a
2
S
8
a
8
S
9
a
9
14.(云南大理201 7届高三第一次统测)若数列{
a
n
}的首项
a
1
=2,且
a
n
+1
=3
a
n
+2(
n
∈N );

b
n
=log
3
(
a
n
+ 1),则
b
1

b
2

b
3
+… +
b
100
=________.
5 050 [由
a
n
+1
=3
a
n
+2(
n
∈N)可知
an
+1
+1=3(
a
n
+1),∴
n
*
*
a
n
+1
+1
=3,所以数列{
a
n
a
n
+1
n
+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以
an
+1=3,∴
a
n
=3-1,所以
b
n
=l og
3
(
a
n
+1)=
n
,因此
b
1

b
2

b
3
+…+
b
10 0


2
=5 050.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{
a
n
}是一个公差大于0
的等差数列,且满足
a
3
a
6
=55,
a
2

a
7
=16.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)等比数列{
b
n
}满足:
b
1

a
1

b2

a
2
-1,若数列
c
n

an
·
b
n
,求数列{
c
n
}的前
n< br>项和
S
n
.
[解] (1)设等差数列{
a
n}的公差为
d
,则依题意设
d
>0.由
a
2

a
7
=16,得2
a
1
+7
d

16. ①

a
3
a
6
=55,得(
a
1
+2
d
)(
a
1
+5
d
)=55. ②
2
4分
2
由①得2
a
1
=16-7
d< br>将其代入②得(16-3
d
)(16+3
d
)=220.即256-9
d
=220,∴
d

4,又
d
>0,∴
d
=2.代入①得
a
1
=1,∴
a
n
=1+(
n
-1)2=2
n
-1.6分
(2)∵
b
1
= 1,
b
2
=2,∴
b
n
=2
n
-1
,∴
c
n

a
n
b
n
=(2
n
-1)2
n
-1
, 8分
S
n
=1·2
0
+3·2
1
+…+(2
n
-1)·2
n
-1,< br>2
S
n
=1·2
1
+3·2
2
+…+(2< br>n
-1)·2
n
.两式相
减可得:

S
n
=1·2+2·2+2·2+…+2·2
1)·2,
∴-
S
n
=1+
1)·2,

S
n=3+(2
n
-1)·2-2
nn
+1
n
n
0 12
n
-1
-(2
n
-1)·2=1+2×
n
-2
1-2
n
-1
-(2
n

10分
-2< br>1-2
n
-1
-(2
n
-1)·2=1+2
nn+1
-4-(2
n
-1)·2=2
nn
+1
-3-(2
n

=3+(2
n
-3)·2.
n
14分 16.(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相
等的等差数列{
a
n
}的前五项和
S
5
=20,且
a
1

a
3

a
7
成等比数列.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;


(2)若T
n
为数列
?
?
?
a
n
a
n
+1
?
1
?
?
的前
n
项和,且存在
n
∈N
*
,使得
T
n
-λ
a
n
+1
≥0成立,求实数
λ的取值范围.
[解] (1)设数列{
a
n
}的公差为
d
,则
5×4
?
?
5
a
1

d
=20,
2
??
?
a
1
+2
d
2

a
1< br>a
1
+6
d

?
?
a
1
= 2,
又因为
d
≠0,所以
?
?
d
=1.
?


?
a
1
+2
d
=4,
?
?
2
?
?
2
d

a
1d
.

2分

4分
5分 所以
a
n

n
+1.
(2)因为
1
a< br>n
a
n
+1

1
n

n


11
-,
n
+1
n
+2
111111 11
所以
T
n
=-+-+…+-=-=
2334
n
+1
n
+22
n
+2
因为存在
n
∈N,使得
T
n
-λ
a
n
+1
≥0成立,
所以存在
n
∈N,使得
即存在
n
∈N,使λ≤

*
**
n
n

. 7分
n
n

n
n

-λ(
n
+2)≥0成立,
成立. 10分
2
n
n

2

11
≤(当且仅当
n
=2时取等号),
?
4
?
16
2
?
n
+ +4
?
?
n
?
1
所以λ≤.
16
1??
即实数λ的取值范围是
?
-∞,
?
.
16
??
14分
17.(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高 中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{
a
n
}
满足
a
1< br>=1,
a
n
a
n
+1
=2,
n
∈N .
(1)若函数
f
(
x
)=
A
sin(2x
+φ)(
A
>0,0<φ<π)在
x

ππ
??
-,
?
上的值域;
f
(
x
)在区间
?
?
122
?
(2)求数列{
a
n
}的通项公式 .
[解] (1)∵
a
n
a
n
+1
=2,则a
n
+1
a
n
+2
=2

nn
+1
n
*
π
处取得最大值
a
4
+1,求函数6

a
n
+2
=2,
a
n
1
a
1
=1,故
a
1
a
2
=2,即< br>a
2
=2,



a
3
=2,
a
4
=4,

A

a
4
+1=5,故
f
(
x
)=5sin(2
x
+φ),4分
π

x
=时,
f
(
x
)=5,
6
π
?
π
?
∴sin
?
+φ
?
=1,且0<φ<π,解得φ=,
6
?
3
?
π
??

f
(
x
)=5sin
?
2
x

?

6
??
π
?

??
ππ
?
而< br>x

?
-,
?
,故2
x
+∈
?0,
?

6
?
6
??
122
?π
??
1
??
从而sin
?
2
x
+< br>?

?
-,1
?

6
??
2
??
6分
?
5
?
综上知
f
(
x
)∈
?
-,5
?
.
?
2
?
8分

18.(本小题满分16分)(天津六校2 017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{
a
n
}
1
2*
的前
n
项和为
S
n

S
n

a
n

a
n

n
∈N.
2
(1) 求数列{
a
n
}的通项公式;
?
1
?
(2) 设数列{
b
n
}满足:
b
1
=1,
b
n

b
n
-1
=2< br>a
n
(
n
≥2),数列
??
的前
n
项和为
T
n
,求证:
?
b
n
?
T
n
<2;
(3)若
T
n
≤λ(
n
+4)对任意< br>n
∈N恒成立,求λ的取值范围.
【导学号:56394043】
11
2
[解] (1)
n
=1时,
a
1

a
1

a
1
,∴
a
1
=. 22
*


1
S

a

a
?
?
2
?
1
S

a

a
?
?
2
2
n
-1
n
-1
n
-1< br>2
nnn

11
22
?
a
n
a
n

a
n
-1

a
n
-< br>a
n
-1

22
1
?
1
?
?(
a
n

a
n
-1
)
?
a< br>n

a
n
-1

?
=0,∵
an
>0,∴
a
n

a
n
-1
=, < br>2
?
2
?
11
∴{
a
n
}是以为首 项,为公差的等差数列.
22
1

a
n

n
.
2
(2)证明:
b
n

b
n
-1

n
4分
b

b
=2
?
?
b

b
=3
?
?
?
?
b

b
n
2
3
1
2
nn
-1

?
b
n

b
1

n

2
n

?
b
n

nn

2
.
1
b
n

2
nn

1
?
11< br>?
1
??
1
?
111
?
=2
?
,∴
T
n
=2
?
1-+-+…+-
=2?
1-
???

nn
+1
??
nn
+ 1
??
223
?
n
+1
?
12分
2n

22
,当且仅当
n
=2时,
44
n
++5
n
++5
2
n
,即
T
n
<2.
n
+1
(3)由
2
n
≤λ(
n
+4)得λ ≥
n
+1
n

n

nn
2
有最大 值,
9
2
∴λ≥.
9
16分
19.(本小题满分16 分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
S
5

a
5

a
6
=25.
(1)求{
a
n
}的通项公式;
(2)若不等式2
Sn
+8
n
+27>(-1)
k
(
a
n
+4)对所有的正整数
n
都成立,求实数
k
的取值
范围.
5×4
[解] (1)设公差为
d
,则5
a
1
+< br>d

a
1
+4
d

a
1
+ 5
d
=25,∴
a
1
=-1,
d
=3.
2
∴{
a
n
}的通项公式为
a
n
=3
n< br>-4.
3
n
(2)
S
n
=-
n

6分
2
n
n

2
,2
S
n
+8
n
+27=3
n
+3
n
+27,
a
n
+ 4=3
n
;8分
9
?
99
?
n
(-1)
k
<
n
+1+,当
n
为奇数时,
k
>-< br>?
n
+1+
?
;当
n
为偶数时,
k
<
n
+1+,
n
?
n
?
n


99

n
+1+≥7,当且仅当
n
=3时取等号,∴当
n
为奇数时,
n
+1+的最小值为7,
nn
92929
n
为偶数时,
n
=4时,
n
+1+的最小值为,∴-7<
k
<.16分
n
44
1
x
20.(本小题满分16分) 设
A
(
x
1

y
1
),
B
(
x
2

y
2
)是函数
f
(
x
)=+log
2
的图象上任意两
21-
x

1< br>→→
1
点,且
OM
=(
OA

OB
),已知点
M
的横坐标为.
22
(1)求证:
M
点的纵坐标为定值;
?
1
? ?
2
??
n
-1
?

n
∈N
*< br>,且
n
≥2,求
S
; (2)若
S
n

f
??

f
??
+…+
f
??
n
?
n
??
n
??
n
?
2
?
?
3

n
=1,
(3)已知
a

?
1
?
?
S
S
n
nn
+1

*

n
≥ 2.

其中
n
∈N.
T
n
为数列{
an
}的前
n

*
和,若
T
n
<λ(< br>S
n
+1
+1)对一切
n
∈N都成立,试求λ的取值范围.
【导学号:56394044】

1
→→
[解] (1)证明:∵
OM
=(
OA

OB
),∴
M

AB
的中点.设
M
点的坐标为(
x

y
), 2
11
由(
x
1

x
2
)=
x
=,得
x
1

x
2
=1,则
x
1
=1-
x
2

x
2
=1-
x
1
.2分
22
x
1
1
x
2
?
11 1
?
1
++log
2

y
=(
y
1

y
2
)=[
f
(
x
1
)+
f
(
x
2
)]=
?
+log
2

1 -
x
1
21-
x
2
?
222
?
2
?
x
1
x
2
?
1
?
x
1
x
2
?
1
?
+log
2
·
?
1+log
2

?
1+log
2

?
1-
x
1
1-
x
2
?
2
?1-
x
1
1-
x
2
?
2
??
x
1
x
2
?
11
?
11

?1+log
2
?

(
1+0
)
=,∴
M
点的纵坐标为定值.
x
1
x
2
?
22
?
22
(2)由(1),知
x
1

x
2
= 1,
f
(
x
1
)+
f
(
x
2
)=
y
1

y
2
=1,
5分
?
1
??
n
??
n
-1
?

S< br>=
f
?
n
-1
?

f
?
n
-2
?
+…+
f
?
1
?

S
n

f
??

f
??
+…+
f
??
n
?
n
??
n
??
n
?
?
n
??
2
??
n
???????
两式相加,得
??
1< br>??
n
-1
??

?
f
?
2
?

f
?
n
-2
??
+…+
?
f
?
n
-1
?

f
?
1
??=1+1+…+1,∴2
S
n

?
f
??
+< br>f
???????????????
n
-1
??
n
?
2
?
n
????
n
??
n
????
n
??
n
??
n
-1
*
S
n
= (
n
≥2,
n
∈N).
(3)当
n
≥2时,a
n

1

4
=4
?
8分
S
n

S
n
+1

n

n

?
1

1
?
.10分
?
?
n
+1
n
+2
?



T
n

a
1

a
2

a
3
+…+
a
n
=+4
??

?
+…+
???
< br>3
??
34
??
n
+1
n
+2
??
1
?
2
n
2
?
1
=+4
?

.
?

3
?
3
n
+2
?< br>n
+2

T
n
<λ(
S
n
+1+1),得
2
nn
+24
n
<λ·.∴λ>
n
+22
n

2
2
??
11
??
11
??
12分

4
n

n
+4
n
+4
2
4
.
4
n
++4
n
4

n
+≥4,当且仅当
n
=2时等号成立,∴
n
441≤=.
44+42
n
++4
n
1
?
1
?
因此λ>,即λ的取值范围是
?
,+∞
?
.
2
?
2
?


专题限时集训(七) 不等式
(对应学生用书第95页)
(限时:120分钟)
16分
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
1 .(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设实数
x

y
满足约 束条件
x

y
≤10,
?
?
?
x

y
≤2,
?
?
x
≥4,


z
=2
x
+3
y
的最大值为________.
【导学号:56394049】
26 [作出不等式对应的平面区域(阴影部分),

2
z

z
=2
x
+3
y
,得
y
=-
x
+,
33
2
z
2
z
平移直线
y
=-
x
+,由图象可知当直线
y
= -
x
+经过点
A
时,
3333
2
z
直线
y
=-
x
+的截距最大,此时
z
最大.
33


?
?
x
=4,

?
?
x

y
=10,
?

?
?
x
=4,
解得
?
?
y
=6,
?


A
(4,6).
此时
z
的最大值为
z
=2×4+3×6=26.]
2.( 无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知正实数
x

y
满 足+2
y
-2=
2
ln
x
+ln
y
,则
x
=________.
2 [由题设可得ln
x y
=+2
y
-2≥2
xy
-2(当且仅当
x
=4< br>y
时取等号),即ln
2
y
x
x
xy
≥2
xy
-2,也即
?
?
x
=4
y
?
ln
xy
=2
xy
-2

x
=2,
?< br>?
?
?
1
y
=,
?
?
2

所以
x
=2.]
y
3.(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下 学期期中)已知动点
P
(
x

y
)满足:
?
?
x
≥0,
?
x
+1-
x
2
2
x

y
≤4,
y
2
+1+
y



x

y
-6
x
的最小值为________.
22
40
22
- [由(
x
+1-
x
)(
y
+1+
y
)≥1,
9

y

y
+1>
y
+|
y
|≥0,

x
+1-
x

2
2
1
y
2
+1+
y
2

y
+1-
y

1
是减函数,
2
∵函数
f
(
x
)=
x
+1-
x


x

y

x
+1+
x< br>2
2
x

y
≤4,
?
?
∴原不等式 组化为
?
x
≥0,
?
?
x

y
.


该不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示:


x

y
-6
x
=(
x
-3)+
y
-9.
2222


?
44
?
22
由图象可 得,
P
(3,0)到阴影区域中
A
?

?
的距离最 小,所以
x

y
-6
x
的最小值为
?
33
?
40
-.]
9
11
4.(贵州遵义市2017届高三第 一次联考)已知<<0,给出下列四个结论:
ab
2

a
<
b
;②
a

b
<
ab
;③|
a
|>|
b
|;④
ab
<
b
.
其中正确结论的序号是________.
11
2
②④ [<<0?
b
<
a
<0?|
a
|<|
b
|,
a
b
<0<
ab

b
>
ab
.] < br>ab
5.设
x
∈R,[
x
]表示不超过
x
的 最大整数,若存在实数
t
,使得[
t
]=1,[
t
]=2, …,[
t
]

n
同时成立,则正整数
n
的最大值是 ________.
....
11
23
4 [由[
t
]= 1,得1≤
t
<2;由[
t
]=2,得2≤
t
<3;由[< br>t
]=3,得3≤
t
<4;
33
111
45
由[
t
]=4,得2≤
t
<5;由[
t
]=5,得5≤t
<6.
455
1
155
1
153
因为(3 )=3=243,(6)=6=216,
35
11
所以3>6.
35111111
同理可以得到1<5<2<6<3<5<4<3<2.以上每一个范围在数轴上的示意
525343
图如图所示,由图可知,当
n
=1,2,3,4时,[
t
]=1,[
t
]=2,…,[
t
]=
n
能同时成
立;当
n
=5时,[
t
]=3与[
t
]=5不能同 时成立,故
n
的最大值为4.]
35
2
2
n
n

6.(2017·江苏省苏、锡、 常、镇四市高考数学二模)已知
a

b
均为正数,且
ab

a
-2
b

a
2
2
2
1
0,则-+
b
-的最小值为________.
4
ab
21
a
2
2
1
a
2
7 [∵
a

b
均为正数,且
ab

a
-2
b
=0,∴+=1.则 -+
b
-=+
b
-1.
ab
4
ab
4< br>22
?
21
??
a
?
2
ba
b

?

??

b
?
=++2≥2+ 2=4,当且仅当
a
=4,
b
=2时取等号.
2
?
ab
??
2
?
a
2
b
a
a
2< br>??
a
?
a
?
22

?

b
?
(1+1)≥
?

b
?
≥16,当且仅当a
=4,
b
=2时取等号.∴+
b
≥8,
4
?
4
??
2
?
2
2


a
2< br>2
2
1
a
2
2
∴-+
b
-=+b
-1≥7.]
4
ab
4
7.某企业生产甲、乙两种产品均需 用
A

B
两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天
原料的可用 限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则
该企业每天可获得最大利润 为________.

Α(吨)

Β(吨)



3

1



2

2

原料限额
12
8
18万元 [设该企业每天生产 甲、乙两种产品分别为
x

y
吨,则利润
z
=3
x
+4
y
.
3
x
+2
y
≤12,
?
?
x
+2
y
≤8,
由题意可列
?
x≥0,
?
?
y
≥0,

其表示如图阴影部分区域:

当直线3
x
+4
y

z
=0过点
A
(2,3)时,
z
取得最大值,所以
z
max
=3×2 +4×3=18.]
8.不等式|
x
-1|-|
x
-5|<2的解 集是________.
{
x
|
x
<4} [原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;
?
?
x
<1
(Ⅰ)
?
?
?
1-
x

x
-5<2,
?
?
x
≥5
(Ⅲ)
?
?
x
-1-
x
+5<2,
?


?
?
1≤
x
< 5
(Ⅱ)
?
?
?
x
-1+
x
-5<2,< br>


解(Ⅰ)得:
x
<1,解(Ⅱ)得:1≤
x< br><4,解(Ⅲ)得:
x
∈?,
所以,原不等式的解集为{
x
|
x
<4}.]
9.(江苏 省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△
ABC
中,
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c
,若
a
2

b
2
+2
c
2
=8 ,则△
ABC
面积的最大值为________.
2511
[
S

ABC

ab
sin
C

ab
522
1
1-cos
C
2
2
ab
2

a
2

b
2< br>-
c
2
4
2

1
2
ab
2

-3
c
4
22


而2
ab

a

b
=8-2
c
?
ab
≤4-
c

2222
1
所以
S

ABC

2

c
22

-3
c
4
22
1
2

c
4
-5
c
2
15
c
+-5
c
≤×
4
25
22

2 58
2
,当且仅当
a

b

c
=时取等号 .]
55
10.(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知当-1≤
a
≤1时,
x
+(
a
-4)
x
+4-2
a
>0恒成立,则实数
x
的取值范围是________.
(-∞,1)∪(3,+∞) [设
f
(
a
)=(
x-2)
a
+(
x
-4
x
+4),则
f
(
a
)>0对?
a
∈[-
?
?
f
1,1 ]成立等价于
?
?
f
?
2
2
-,


?
?
x
-5
x
+6>0,

?
2
?
x
-3
x
+2>0,
?
2

解之得
x
<1或
x
>3,即实数
x
的取值范围是(-∞, 1)∪(3,+∞).]
232
11.(江苏省南京市2017届高考三模)已知
a

b

c
为正实数,且
a
+2
b
≤8
c
,+≤,则
abc
3
a
+8
b
的取 值范围为________.
c
【导学号:56394050】
232
[27,30] [∵
a
+2
b
≤8
c
,+≤,
abc
a
2
b
?
?
c

c
≤8,

?
2
c
3
c
?
?
a

b
≤2,

x
+2
y
≤8,
?
?
ab
x
=,
y
=,则有
?
23
cc
+≤ 2,
?
?
xy

?
?
3
x
?
y
≥,
2
x
-2
?
?
1<
x
<8,
y
≤4-
x

1
2


作出平面区域如图所示:

3
a
+8
b
3
z

z
==3
x
+8
y
,则
y
=-
x
+,
c
88
3
z
由图象可知当直线
y
=-
x
+经过点
A
时,截距最大,则
z
最大;
88
3
z
3
x
当直线
y
=-
x< br>+与曲线
y
=相切时,截距最小,即
z
最小.
882
x
-2


1
y
=4-
x

?
?
2
解方程组
?
3
x
y

?
?
2
x
-2



A
(2,3),∴
z
的最大值为3×2+8×3=30,
3
z
3
x
设直线
y
=-
x
+与曲线y
=的切点为(
x
0

y
0
),
8 82
x
-2

?
?
3
x
?
|
x

x
0

=-
3
,即
?
8
?
2
x
-2
?
-6
x
0

3
=-,解得
x
0
=3,
2
8
9< br>?
9
?
∴切点坐标为
?
3,
?
,∴
z
的最小值为3×3+8×=27.
4
?
4
?
∴27≤
z
≤30.]
12.(河北省“五个一名校联盟” 2016届高三教学质量监测(一))已知
p

x

k

q

如果
p

q
的充分不必要条件,则实数
k
的取值范围是________.
(2,+∞) [由
332-
x
<1得,-1=<0,即(
x
-2)(
x
+1)>0,解得
x
<-1或
x
>2,
x
+1
x
+1
x
+1
3
<1,
x
+1

p

q
的充分不必要条件知,
k
>2.]
13.(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)在正项等比数列{
a
n
} 中,若
a
4

a
3
-2
a
2
-2
a
1

6,则
a
5

a
6
的最小值为________.
48 [设
a
2

a
1

x
,等比数列的公比为
q
,则
a
4
+< br>a
3

xq

a
5

a
6

xq
.
再由
a
4

a
3-2
a
2
-2
a
1
=6,

xq< br>=6+2
x
,∴
x

4
4
2
24< br>6
>0,
q
>1.
q
-2
2
6
q

a
5

a
6

xq

2

q
-2
=6·
4
??
2
4
?
2
?
=6
?
q
+2+
2
?
=6< br>?
q
-2+
2
+4
?
≥6(4+4)=48, q
-2
??
q
-2
?
q
-2
?
2
2
q
4
当且仅当
q
-2=2时,等号成立,

a
5

a
6
的最小值为48.]
14 .(广东省湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知
x

y
满足约束 条件
x

y
-2≤0,
?
?
?
x
-2
y
-2≤0,
?
?
2
x

y
+2≥0,


z

y

ax
取得最大 值的最优解不唯一,则实数
a
的值为________.
-1或2 [在直角坐标系 内作出不等式组所表示的平面区域,如下图所示的三角形
ABC

目标函数
z

y

ax
可变形为
y

ax

z

z
的几何意义为直线
y

ax
z

y
轴上的截
距,因为
z

y
-< br>ax
取得最大值的最优解不唯一,所以直线
y

ax

z
与区域三角形的


某一边平行,当直线
y

ax< br>+
z
与直线
x

y
-2=0平行时,
a=-1符合题意,当直线
y

ax

z
与直线
x
-2
y
-2=0平行时,
a
=不符合题意,直线
y

ax

z
与直线2
x

y
+2=0平 行时,
a
=2符合题意,综上所述,实数
a
的值为-1或2.]
1
2

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(贵州省遵义模拟)设函数
f
(
x
) =|
x
-1|+|
x

a
|.
(1)若
a
=-1,解不等式
f
(
x
)≥3;
(2)如果?
x
∈R,
f
(
x
)≥2恒成立,求
a
的取值范围.
[解] (1)当
a
=-1时,
f
(
x
)=|
x
-1|+|
x
+1|,

f
(
x
)≥3得|
x
-1|+|
x
+1|≥3,2分

x
≤-1时,不等式化为
3
1-
x
-1-x
≥3即-2
x
≥3,
x
≤-.
2
②-1<
x
≤1时,不等式化为1-
x

x
+1≥3,此不等式不成 立,解集为空集.
3

x
>1时,不等式化为
x
-1+< br>x
+1≥3,即2
x
≥3,∴
x
≥,此时不等式解集为
2
?
3
,+∞
?
.8分
?
2
?
??
3
??
3
??
综上得,
f
(
x< br>)≥3的解集为
?
-∞,-
?

?
,+∞
?
.9分
2
??
2
??
(2)若
a
=1,
f
(
x
)=2|
x
-1|,不满足题设条件;
-2
x

a
+1,
x

a

?
?
a
<1,
f
(
x
)=
?
1-a

a
<
x
<1,
?
?
2
x

a
+,
x
≥1,
-2
x

a< br>+1,
x
≤1,
?
?
a
>1,
f
(
x
)=
?
a
-1,1<
x
<
a

?
?
2
x

a
+,
x

a



f
(
x
)的最小值为1-
a
.11分
f
(
x
)的最小值为
a
-1,
所以?
x
∈R,
f
(
x
)≥2恒成立的充要条件 是|
a
-1|≥2,从而
a
的取值范围为(-∞,
-1]∪[3,+ ∞).14分


16.(本小题满分14分)(泰州市调研测试)为丰富市民的文化生活 ,市政府计划在一块半径
为200 m,圆心角为120°的扇形地上建造市民广场.规划设计如图7- 3:内接梯形
ABCD
区域为运动休闲区,其中
A

B
分别 在半径
OP

OQ
上,
C

D
在圆弧PQ
上,
CD

AB
;△
OAB
区域为文化展 示区,
AB
长为503 m;其余空地为绿化区域,且
CD
长不得超过200 m.

图7-3
(1)试确定
A

B
的位置, 使△
OAB
的周长最大;
(2)当△
OAB
的周长最大时,设∠< br>DOC
=2θ,试将运动休闲区
ABCD
的面积
S
表示为θ< br>的函数,并求出
S
的最大值.
【导学号:56394051】
[解] (1)设
OA

m

OB

n< br>,
m

n
∈(0,200],

222
在△
OAB
中,
AB

OA

OB
-2< br>OA
·
OB
·cos,
3
即(503)=
m

n

mn
所以,(503)=(
m

n
)-
mn
≥(
m

n
)-
222
222
2分
m

n
4
2
3
2
=(
m

n
),
4
4分
所以
m

n
≤100,当且仅当
m

n
=50时,
m

n
取得最大值,此时△OAB
周长取得最大
值.
所以,当
OA

OB
都为50 m时,△
OAB
的周长最大.
(2)当△
AOB
的周长最大时,梯形
ABCD
为等腰梯形.
O

OF

CD

CD

F
,交
AB

E


E

F< br>分别为
AB

CD
的中点,
6分

?< br>π
?
所以∠
DOE
=θ,由
CD
≤200,得θ∈< br>?
0,
?
.
6
??
在△
ODF
中,
DF
=200sin θ,
OF
=200cos θ.
8分


π
又在△< br>AOE
中,
OE

OA
cos=25,故
EF
=200cos θ-25.
3
1
所以,
S
=(503+400sin θ)(200cos θ-25)
2
=625(3+8sin θ)(8cos θ-1)
9分
?
π
?
=625(83cos θ-8sin θ+64sin θcos θ-3),θ∈
?
0,
?
.
6
??
(一直没有交代范围扣2分)
10分
?
π
?

f
(θ)=83cos θ-8sin θ+64sin θcos θ-3,θ∈
?
0,
?

6
??
π
??
f
′(θ)=-83sin θ-8cos θ+64cos 2θ=-16sin
?
θ+
?
+64cos 2θ,θ?
6
?
?
π
?

?
0,
?< br>,
6
??
π
???
π
?

y=-16sin
?
θ+
?

y
=cos 2θ在θ∈
?
0,
?
上均为单调递减函数,
6
?
6
???
?
π
?

f
′(θ)在θ∈
?
0,
?
上为单调递减函数.
6
??
1
??
3
?
π
??
π
?
因< br>f

??
=-16
?
-4×
?
>0,故
f
′(θ)>0在θ∈
?
0,
?
上恒成立,
6
??
6
??
2
??
2
π
??
0,
于是 ,
f
(θ)在θ∈
??
上为单调递增函数.
6
??
π
所以当θ=时,
f
(θ)有最大值,此时
S
有最大值为625(8+153).
6
π
2
所以当θ=时,梯形
ABCD
面积有最大值,且最大值为625(8+15 3) m.
6

2
12分
14分
17.(本小题满分14分)(南通模拟) 已知函数
f
(
x
)=
x
+2
ax
+1(
a
∈R),
f
′(
x
)是
f
(
x
)
的导函数.
(1)若
x
∈[-2,-1],不等式
f
(
x
)≤
f
′(
x
)恒成立,求
a
的取值范围;
(2)解关于
x
的方程
f
(
x
)=|
f
′(
x
)|;
?
?
f
(3)设函数
g< br>(
x
)=
?
?
f
?
x

f x
x

fxf
fx

x



g
(
x
)在
x
∈[2,4]时的最小
值.
[解] (1)因为
f
(
x
)≤
f
′(
x
),所以
x
-2
x
+1≤2
a
(1-
x
),又因为-2≤
x
≤-1,
2
x
2
-2x
+1
x
2
-2
x
+11-
x
3所以
a
≥在
x
∈[-2,-1]时恒成立,因为=≤,
x

x
22


所以
a

3
2
. 2分
(2)因为
f
(
x
)=|
f < br>′(
x
)|,所以
x
2
+2
ax
+1=2|
x

a
|,
所以(
x

a
)< br>2
-2|
x

a
|+1-
a
2
=0 ,则|
x

a
|=1+
a
或|
x

a
|=1-
a
. 4分
①当
a
<-1时,|
x

a
|=1-
a
,所以
x
=-1或
x=1-2
a

②当-1≤
a
≤1时,|
x

a
|=1-
a
或|
x

a
|=1+
a

所以
x
=±1或
x
=1-2
a

x
=-(1+2
a
);
③当
a
>1时,|
x

a
|=1+
a
,所以
x
=1或
x< br>=-(1+2
a
). 6分
(3)因为
f
(
x
)-
f
′(
x
)=(
x
- 1)[
x
-(1-2
a
)],
g
(
x
)< br>?
?
?
fx

fxfx

?
?fx

fxfx



8分
①若
a
≥-
1
2
,则
x
∈[2,4]时,
f
(
x
)≥
f
′(
x
),所以
g
(
x
)=
f
′(
x
)=2
x
+2
a

从而
g
(
x
)的最小值为
g
(2)=2
a
+4;
②若< br>a
<-
3
2
,则
x
∈[2,4]时,
f
(
x
)<
f
′(
x
),所以
g
(
x
)=
f
(
x
)=
x
2
+2
ax
+1,
当-2≤
a
<-
3
2
时,
g
(
x
)的最小值为
g
(2)=4
a
+5,
当-4<
a
<-2时,
g
(
x
)的最小值为
g
(-
a
)=1-
a
2


a
≤-4时,
g
(< br>x
)的最小值为
g
(4)=8
a
+17.
③若-< br>3
2

a
<-
1
2
,则
x
∈[2,4]时,
?
?
x
2
g
(
x
)=
?
+2
ax
+1,
x
∈[2,1-2
a

?
?
2
x
+2
a

x
∈[1-2
a
,4],

12分

x
∈[2,1-2a
)时,
g
(
x
)最小值为
g
(2)=4a
+5;

x
∈[1-2
a,
4]时,
g< br>(
x
)最小值为
g
(1-2
a
)=2-2
a
.
因为-
3
2

a
<-
1
2< br>,(4
a
+5)-(2-2
a
)=6
a
+3<0,
所以
g
(
x
)最小值为4
a
+5,
?
8
a
+17,
a
≤-4,
?
1-
a
2
, -4<
a<-2,
综上所述,[
g
(
x
)]
min
=< br>?
4
a
+5, -2≤
a
<-
1
?
2

?
2
a
+4,
a
≥-
1
2
.

14分


18.(本小题满分16分)(徐州市质量检测)如图7-4,在
P
地 正西方向8 km的
A
处和正东
方向1 km的
B
处各有一条正北方 向的公路
AC

BD
,现计划在
AC

BD
路边各修建一个
物流中心
E

F
. 为缓解交通压力,决定修建两 条互相垂直的公路
PE

PF
.设∠
EPA

π< br>??
α
?
0<α<
?
.
2
??
( 1)为减少周边区域的影响,试确定
E

F
的位置,使△
PAE与△
PFB
的面积之和最小;
(2)为节省建设成本,试确定
E

F
的位置,使
PE

PF
的值最小.

图7-4
[解] (1)在Rt△
PAE
中,由题意可知∠
APE
=α,
AP
=8,则
AE
=8tan α.
1
所 以
S

PAE

PA
×
AE
=32tan α.
2
1
同理在Rt△
PBF
中,∠
PFB
=α ,
PB
=1,则
BF
=,
tan α
11
所以
S

PBF

PB
×
BF
=.
22tan α
故△
PAE
与△
PFB
的面积之和为32tan α+
≥2
1
32tan α×=8,
2tan α
1

2tan α
5分
4分
2分
11
当且仅当32tan α=,即tan α=时,取“=”,
2tan α8
故当
AE
=1 km,
BF
=8 km时,△
PAE
与△
PFB
的面积之和最小.6分
8
( 2)在Rt△
PAE
中,由题意可知∠
APE
=α,则
PE
=.
cos α
1
同理在Rt△
PBF
中,∠
PFB=α,则
PF
=.
sin α
81π

f
(α)=
PE

PF
=+,0<α<,
cos αsin α2
8sin αcos α8sin α-cos α

f
′(α)=-=,
2222
cosαsin αsin αcos α
11π

f
′(α)=0,得tan α=,记tan α
0
=,0<α
0
<,
222
33
8分
10分


当α∈(0,α
0
)时,
f
′(α)<0,
f
(α)单调递减;
π
??
当α∈?
α
0

?
时,
f
′(α)>0,
f
(α)单调递增.
2
??
1
所以tan α=时,
f
(α)取得最小值,
2
1
BP
此时
AE

AP
·tan α=8×=4,
BF
==2.
2tan α
所以当
AE
=4 km,且
BF
=2 km时,
PE

PF
的值最小.
19.(本小题满分16分)(盐城市模拟考试)设函数
f
(
x
)=ln
x

g
(
x
)=
16分
14分
mx

n
(
m
>0).
x
+1
(1)当
m
=1时,函数
y

f
(
x
)与
y

g
(
x
)在
x
=1处的切线互相垂直,求
n
的值;
(2)若函数
y

f
(
x
)-
g
(
x
)在定义域内不单调,求
m

n
的取值范围; ?
2
a
??
x
?
ax
(3)是否存在实数a
,使得
f
??
·
f
(
e
)+
f
??
≤0对任意正实数
x
恒 成立?若存
?
x
??
2
a
?
在,求出满足条件的实 数
a
;若不存在,请说明理由.
[解] (1)当
m
=1时,g
′(
x
)=
1-
n
x

1-
n
,∴
y

g
(
x
)在
x
=1 处的切线斜率
k
=,
2
4
11-
n

f
′(
x
)=,∴
y

f
(
x
) 在
x
=1处的切线斜率
k
=1,∴·1=-1,∴
n
=5.
x
4
(2)易知函数
y

f
(
x
)-
g
(
x
)的定义域为(0,+∞),

y
′=
f
′(
x
)-
g
′(
x
)=
1
x

m

n
x

2
x
2
+[2-
m

nx
+1
==
xx

2
x
+2-
m
x

1

n

x

2
1
2
由题意,得
x
+2-
m
(1-
n
)+的最小值为负,∴
m(1-
n
)>4(注:结合函数
y

x
+[2
x

m
(1-
n
)]
x
+1的图象同样可以得到) ,∴
[
m
+-
n
4
2

m
(1-
n
)>4,∴
m
+(1-
8分
n
)>4,∴
m

n
>3.
?
2
a
??
x
?
ax
(3)法一: 令θ(
x
)=
f
??
·
f
(
e
)+
f
??

ax
·ln 2
a

ax
·ln
x
+ln
x
-ln 2
a

?
x
??
2
a
?
其中x
>0,
a
>0.
11
则θ′(
x
)=
a
·ln 2
a

a
ln
x

a
+,设δ(
x
)=
a
·ln 2
a

a
ln
x

a
+,
x x
a
1
ax
+1
δ′(
x
)=--
2=-
2
<0.
xxx
∴δ(
x
)在(0,+∞)单调 递减,δ(
x
)=0在区间(0,+∞)必存在实根,不妨设δ(
x
0
)


=0,
11
即δ(
x
0
)=
a
·ln 2
a

a
ln
x
0

a
+=0,可得ln
x
0
=+ln 2
a
-1,(*)
x
0
ax
0
θ(
x
)在区间(0,
x
0
)上单调递增, 在(
x
0
,+∞)上单调递减,所以θ(
x
)
max
=θ(
x
0
),
θ(
x
0
)=(
ax
0
-1)·ln 2
a
-(
ax
0
-1)·ln
x
0
,代 入(*)式得θ(
x
0
)=
ax
0

根据题意θ(
x
0
)=
ax
0

1
-2≤0恒成立.
1
≥2,当且仅当
ax
0

1
时,等式成立,
1
ax
0
-2.12分
ax
0
又根据基本不等式 ,
ax
0

所以
ax
0


1
ax
0
ax
0
1112
=2,
ax
0=1.∴
x
0
=.代入(*)式得,ln=ln 2
a
,即=2
a

a
=.16
ax
0
aaa
2
(以下解法供参考,请酌情给分)
法二:θ(
x
)=
ax
·ln 2
a

ax
·ln
x
+ln
x
-ln 2
a
=(
ax
-1)(ln 2
a
-ln
x
),其中
x
>0,
a
>0,
?
2
a
??
x
?
ax
根据条件
f
??
·
f
(
e
)+
f
??
≤0对任意正数
x
恒成立,
x
2
a
????
即(
ax
-1)(ln 2
a
-ln
x
)≤0对任意正数
x
恒成立,
10分
ax
-1≥0,
?
?

?
ln 2
a
-ln
x
≤0,
?
?
a
>0

ax
-1≤0,
?
?

?
ln 2
a
-ln
x
≥0,
?
?
a
>0,

11
解得≤
x
≤2
a
或2
a

x
≤,
aa
12
即=
x
=2
a
时上述条件成立,此时
a
=.16分
a
2
法三:θ(
x
)=
ax
·ln 2
a

ax
·ln
x
+ln
x
-ln 2
a
=(
ax
-1)(ln 2
a
-ln
x
),其中
x
>0,
a
>0,

y
1

ax
-1,
y
2
=ln 2
a
-ln
x
,∵
a
>0,∴函数
y
1
单调递增,函数
y
2
单调递减,12

要使得(
ax
-1)(ln 2
a
-ln
x
)≤0对任意正数
x
恒成立,
12
只能是函数
y
1

y
2

x
轴的交点重合,即=2
a
,所以
a
=.16分
a
2
1+2ln
x
20.(本小题满分16分)已知
f
(
x
)=.
2
x
(1)求
f
(
x
)的单调区间;
(2)令
g
(
x
)=
ax
-2ln
x< br>,若
g
(
x
)=1时有两个不同的根,求
a
的取值范 围;
(3)存在
x
1

x
2
∈(1,+∞)且< br>x
1

x
2
,使|
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)|≥
k
|ln
x
1
-ln
x
2
|成立,求
2


k
的取值范围.
【导学号:56394052】
-4ln
x
[解] (1)
f
′(
x
)=.令
f
′(
x
)=0得
x< br>=1,
x
∈(0,1)时,
f
′(
x
)>0,
f
(
x
)
3
x
单调递增;
x
∈(1,+∞)时,
f
′(
x
)<0,
f
(
x
)单调递减.
综上,
f
(
x
)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
2(2)
g
′(
x
)=2
ax
-=
4分
x
ax
2

x
.
①当
a
≤0时 ,
g
′(
x
)<0,单调递减,故不可能有两个根,舍去.
②当< br>a
>0时,
x

?
0,
?
?
1?
?
时,
g
′(
x
)<0,
g
(x
)单调递减,
a
?
x

?
?
?< br>a
1
??
,+∞
?
时,
g
′(
x< br>)>0,
g
(
x
)单调递增.所以
g
?
1< br>?
??
a
?
?
<1得0<
a
<1.
8分 综上,0<
a
<1.
(3)不妨设
x
1
>
x
2
>1,由(1)知
x
∈(1,+∞)时,
f
(
x
)单调递减.
|
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)|≥
k
|ln
x
1
-ln
x
2
|,等价于
f
(
x
2
)-
f
(
x
1
)≥
k
(ln
x
1
-ln
x
2
),

f
(
x
2
)+
k
ln
x
2

f
(
x
1
)+
k
ln
x
1
, 10分
存在
x
1

x
2
∈(1,+∞)且
x
1

x
2
,使
f
(
x
2
)+
k
ln
x
2

f
(
x
1
)+
k
ln
x
1
成立.

h
(
x
)=
f
(
x
)+
k
ln
x

h
(
x
)在(1,+∞)存在减区间,
kx
2
-4ln
x
4ln
x
?
4ln
x
?
h
′(
x
)=<0有解,即
k
<2
有解,即
k
<
?
2
?
max
.
3
xx
?
x
?
4ln
x

t< br>(
x
)=
2

t
′(
x
)=
-2ln
x
14分
xx
3

x
∈(0,e) 时,
t
′(
x
)>0,
t
(
x
)单调递< br>增,
x
∈(e,+∞)时,
t
′(
x
)<0,< br>t
(
x
)单调递减,
?
2

k
<.
e


x
?
2
?
4ln
2
?
max
=,
e
?
x
?
16分
专题限时集训(八)
概率与统计、算法、推理与证明、复数
(对应学生用书第98页)
(限时:120分钟)
1.(2017·江苏省泰州市高考数学一模)口袋中有若干红球、黄 球和蓝球,从中摸出一只球.摸
出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概 率为________.


0.17 [∵摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率 为0.35,∴摸出蓝球的概率为1-0.48
-0.35=0.17.]
2.(2017· 江苏省无锡市高考数学一模)某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法
从该校学生中抽取1个 容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,
则该校高二年级学生人数为_____ ___.
300 [∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,
其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,
∴高二年级要抽取45-20-10=15人,
∵高级中学共有900名学生,
451
∴每个个体被抽到的概率是=,
90020
∴该校高二年级学生人数为
15
=300.]
1
20
3.(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图8-11是一个求函数值的算法流程图,若 输
入的
x
的值为5,则输出的
y
的值为________.

图8-11
?
2
x
-3,
x
<0
?
-15 [执行算法流程图,可得该程序的作用是计算分段函数y

?
?
?
5-4
x

x
≥0

的值,
x
=5,不满足条件
x
<0,有
y
=5-4×5=-15.
输出
y
的值为-15.]
4.(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若 复数
z
满足
z
(1-i)=2i(i是虚数单位),
z
是< br>z
的共轭复数,则
z
=________.
-1-i [∵
z
(1-i)=2i,

z

2i

1-i

-+

-2+2i
=-1+i,
2



z
=-1-i.]
5.(湖南省五市十校教研 教改共同体2017届高三12月联考)在矩形
ABCD
中,
AB
=2
AD
,在
CD
上任取一点
P
,△
ABP
的最大边 是
AB
的概率是________.

图8-12
3-1 [设
AD

a
,当
AB

AP
时,(2
a
)=
a
+(2
a

PC
)
?
PC
=(2-3)
a

PC
=(2
222
+3)< br>a
(舍),所以所求概率为1-
-3
a
=3-1.]
2a
6.(2017·江苏省无锡市高考数学一模)如下是给出的一种算法,则该算法输出的结果是< br>________.

24 [当
i
=2时,满足循环条件,执行循环,
t
=1×2=2,
i
=3;

i
=3时,满足循环条件,执行循环,
t
=2×3=6,
i
=4;

i
=4时,满足循环条件,执行循环,
t
=6×4=24,
i
=5;

i
=5时,不满足循环条件,退出循环,输出
t
=24.] 2+i
7.(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若复数
z
满足
z< br>+i=,其中i为虚数单位,则
i
|
z
|=________.
2+i2+i-+
10 [由
z
+i=,得
z
=-i=2
ii-i
=1+-
2
-i=1-2i-i=1-3i,则|
z
|
=10.]
8.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)100张卡片上分别写 有1,2,3,…,100,从中任取
1张,则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.


【导学号:56394058】
4
[在100张卡片上分别写上1 至100这100个数字,从中任取一张共有100种取
25
法,
其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是:
6,12,18,24,30,36,42,48 ,54,60,66,72,78,84,90,96共16个,
∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个.
164
∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率
P
==.]
1002 5
9.(2017·江苏省泰州市高考数学一模)抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分) ,
结果如下:
学生





第1次

65

80

第2次

80

70

第3次

70

75

第4次

85

80

第5次
75
70
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为________.
65+80+70+85+751
2
20 [根据题意,对于甲,其平均数
x

==75,其方差
s

=[(65
55
-75) +(80-75)+(70-75)+(85-75)+(75-75)]=50;
80+70+75 +80+701
22
对于乙,其平均数
x

==75,其方差
s

=[(80-75)+(70-
55
75)+(75-75)+(80 -75)+(70-75)]=20;
比较可得:
s


s

,则乙的成绩较为稳定.]
10.(广东2017届高三上学期阶段测评(一))复数
z
在复平面内的对应点是( 1,-1),则
z
=________.
1+i [
z
=1-i,∴
z
=1+i.]
11.(河北省唐山市2017 届高三年级期末)执行如图8-13所示的程序框图,则输出的
a

________ .
22
2222
22222



图8-13
-4 [第一次循环,得
b
=-1,
a
=-1,
i
=2;
55
第二次循环,得
b
=-,
a
=-,
i
=3;
22
第三次循环,得
b
=-4,
a
=-4,
i=4,…,以此类推,知该程序框图的周期为3,
又知当
i
=40退出循环,此时 共循环了39次,所以输出的
a
=-4.]
12.(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)给出定义:设
f
′(
x
)是函数
y

f
(
x
)
的导函数,
f
″(
x
)是函数
f
′(
x
)的导函数,若方程
f
″(
x
)=0有实 数解
x
0
,则称点(
x
0

f
(
x
0
))为函数
y

f
(
x
)的“拐点”.已知函数
f
(
x
)=3
x
+4sin
x
-cos
x
的拐点是
M
(
x
0

f
(
x
0
)),则点
M
在直线________上.
y
=3
x
[
f
′(
x
)=3+4cos
x
+sin
x

f
″(
x
)=-4sin
x
+cos
x
=0,4sin
x
0
-cos
x
0
=0,所以
f
(
x
0
)=3
x
0


M
(
x
0

f
(
x
0
))在直线
y
=3
x
上.] 13.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))所有真约数(除本身之外的正约数)的和
等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如:6=1+2+3;28=1+2
+4 +7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6=2+228=2+2+2,……,按此规律,8 128可表示
为________.
1-2
2+2+…+2 [因为8 128=2×127,又由=127,解得
n
=7.所以8 128=
1-2
67126
12,234
n
2×(1+2+…+2)=2+2+…+2.]
14.(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)执行如图8-14所示程序框图,
若输出的
S
值为-20,则条件框内应填写________.
【导学号:56394059】
666712



图8-14
i
<5 [第一次循环:
S
=10-2=8,
i
=2;
第二次循环:
S
=4,
i
=3;
第三次循环:
S
=-4,
i
=4;
第四次循环:
S
=-20,
i
=5;
结束循环,所以可填写
i
<5.]


专题限时集训(九) 立体几何
(对应学生用书第99页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
1 .(广西柳州2017届高三上学期10月模拟)已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4,
则该长方体的外接球的表面积等于________.
29π [长方体的外接球的直径等于2+3+ 4=29,所以外接球的表面积等于

R
=(29)π=29π.]
2. (江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知一个圆锥的底面面积为2π,侧面
积为4π, 则该圆锥的体积为________.
26
π [设圆锥的底面半径为
r
,母线长为
l

3
?
?
π

?
?
π
?
22
222
r2
=2π,
rl
=4π,
2

2
解得
r
=2,
l
=22,
所以高
h

l

r
=6,
1
2
126
所以
V
=π
rh
=π×2×6=π.]
3 33


3.(2017·江苏省盐城市高考数学二模)α,β为两个不同的平面,
m

n
为两条不同的直线,
下列命题中正确的是________(填上所有 正确命题的序号).
①若α∥β,
m
?α,则
m
∥β;
②若
m
∥α,
n
?α,则
m

n
③若α⊥β,α∩β=
n

m

n
,则
m⊥β;
④若
n
⊥α,
n
⊥β,
m
⊥α,则< br>m
⊥β.
①④ [由α,β为两个不同的平面,
m

n
为两条不同的直线,知:
在 ①中,若α∥β,
m
?α,则由面面平行的性质定理得
m
∥β,故①正确;在 ②中,

m
∥α,
n
?α,则
m

n
m

n
异面,故②错误;在③中,若α⊥β,α∩β=
n
m

n
,则
m
与β相交、平行或
m
?β,故③错误;在④中,若
n
⊥α,
n
⊥β,
m
⊥α,则 由线面垂直的判定定理得
m
⊥β,故④正确.]
4.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)现有一个底面半径为3 cm,母线长为5 cm的圆锥
实心铁器,将其高温融化后铸成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是
_______ _cm.
【导学号:56394064】
3
9 [设该铁球的半径为
r

∵底面半径为3 cm,母线长为5 cm的圆锥实心铁器,
∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形,∴
h
=5-3=4,
1
2
锥体体积
V
=×π×3×4=12π,
3
4
3
圆球体积=锥体体积
V
=π
r
=12π,
3
3
解得
r
=9.]
5.(2017·江苏省无锡市高考 数学一模)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是3,则该
正四棱锥的体积为________.
4
[如图,正四棱锥
P

ABCD
中,
AB=2,
PA
=3,
3
22

1
设正四棱锥的 高为
PO
,连接
AO
,则
AO

AC
=2 .
2


在直角三角形
POA
中,
PO
PA

AO
=3-2=1.
114
所以
V
P

ABCD
=·
S
ABCD
·
PO
=×4 ×1=.]
333
6.(广东汕头2017届高三上学期期末)已知三棱柱
ABC< br>-
A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底面,各顶点
都在同一球面上,若该棱柱的体积为23,
AB
=2,
AC
=1,∠
BAC
=60°,则此球的表面
积等于________.
20π [由题 意知三棱柱是直三棱柱,且底面是直角三角形,∠
ACB
=90°,设
D
,< br>D
1
分别是
AB

A
1
B
1
的中点,
O

DD
1
中点,可证
O
就是三棱柱外 接球球心,
S

ABC

×2×1×sin 60°=
22
22
1
2
33
22

V

S
ABC
·
h
=×
DD
1
=23,即
DD
1
=4,
OA

AD

DO

22
22
1+2=5,所以
S
=4π×
OA
=4π×(5 )=20π.]
7.(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直四棱柱底面是边长 为2的菱形,
侧面对角线的长为23,则该直四棱柱的侧面积为________.
162 [如图所示,

直四棱柱底面
ABCD
是边长为2的菱形,
侧面对角线的长为23,
∴侧棱长为
CC
1
=3
2
-2=22,
2
∴该直四棱柱的侧面积为
S
=4×2×22=162.]
8.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为________.
ππ
?
1
?
[由题意得:π
rl

?< br>h
·2
r
?
=2π?
l
=2
h
?母 线与轴的夹角为.]
33
?
2
?
9.(江苏省扬州市2017届高 三上学期期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位:cm),侧面积
为8(单位:cm),则它的体积为 ________(单位:cm).
23


43
[设四棱 锥为
P

ABCD
,底面
ABCD
的中心为
O,取
CD
中点
E
,连接
PE

OE
.
3
1

PE

CD
.
OE
BC
=1.
2
1

S
侧面
=4
S< br>△
PCD
=4××
CD
×
PE
=8,∴
PE
=2.
2

PO
=3,
1
2
43
∴正四棱锥体积
V
=×2×3=.]
33
10.(山东枣庄2017届高三上学期期末)《 九章算术》是我国古代数学名著,它在 几何学中
的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;
阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图9-15,在堑堵
ABC

A
1
B
1
C
1
中,
AC

BC,若
A
1
A

AB
=2,当阳马
B

A
1
ACC
1
体积最大时,则堑堵
ABC

A
1
B
1
C
1
的体积为________.

图9-15
121
2
1
2
4
2
2 [由 阳马的定义知,
VB

A
1
ACC
1
=×
A
1
A
×
AC
×
BC

AC
×< br>BC
≤(
AC

BC
)=
AB
=,
33333
当且仅当
AC

BC
=2时等号成立,所以当阳马
B

A
1
ACC
1
体积最大时,则堑堵
ABC< br>-
A
1
B
1
C
1
的体积为×2×2×2=2 .]
11.(湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考)圆锥的母线长为
L
,过顶
1
2
r
点的最大截面的面积为
L
,则圆 锥底面半径与母线长的比的取值范围是________.
2
L
【导学号:56394065】
πθ
r
π22
?
2
?
因为sin=≥sin=,所以
?
,1
?
[由题意得轴截面的顶角θ不小于
2

2
L
422
?
2
?
≤<1.]
12.(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图9-16, 在正四棱柱
ABCD

A
1
B
1
C
1D
1
中,
AB
=3
cm,
AA
1
=1 cm,则三棱锥
D
1

A
1
BD
的体积为________cm.
3
1
2
r
L



图9-16
3
[∵在正四棱柱
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB
=3 cm,
AA
1
=1 cm,
2
∴三棱锥
D
1
A
1
BD
的体积:
VD
1

A< br>1
BD

VB

A
1
D
1
D
=×
S

A
1
D
1
D
×
AB

11
=××
A
1
D
1
×
DD
1
×
AB

32
13
3
=×3×1×3=(cm).]
62
13.( 安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考)如图9-17,四棱锥
P

ABCD< br>中,△
PAB

正三角形,四边形
ABCD
为正方形且边长为 2,平面
PAB
⊥平面
ABCD
,四棱锥
P

AB CD

五个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是________.
1
3

图9-17
28π7
2222
[由题意 球的半径满足
R
-1+
R
-2=3?
R
=,所以球的表面积 是4π
R
33

28π
.]
3
14.(中原名校 豫南九校2017届上学期第四次质量考评)在直三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
中,
M

N

别为棱
A
1
B
1

A
1
C
1
的 中点,则平面
BMNC
将三棱柱分成的两部分的体积比为________.
7∶5 [设直三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1高为
h
,底面积为4
S
,则
VB
1
C
1

BMNC

VC

B
1
MNC
1

VM
1111115

B
1
BC
= ×
h
×3
S

VA
1

B
1BC

hS

VA

B
1
BC

hS

VB
1

ABC

hS
+×
h
·4
S

3222233
Sh

5
?
5
?
所以两部分的体积比为
?
4
Sh

Sh
?

Sh
=7∶5.]
3
?
3
?
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图9-18,四棱锥
P

ABCD
中,
AD
⊥平面
PAB

A P

AB
.



图9-18
(1)求证:
CD

AP

(2)若
CD

PD
,求证:
CD
∥平面
PAB
.
【导学号:56394066】
[证明] (1)因为
AD
⊥平面
PAB

AP
?平面
PAB
,所以
AD

AP

又因为
AP

AB

AB
AD

A

AB
?平面
ABCD

A D
?平面
ABCD

所以
AP
⊥平面
ABCD
.
因为
CD
? 平面
ABCD
,所以
CD

AP
.
(2)因为< br>CD

AP

CD

PD
,且
PD

AP

P

PD
?平面
PAD

AP
?平面
PAD

所以
CD
⊥平面
PAD
.①
因为
AD
⊥ 平面
PAB

AB
?平面
PAB
,所以
AB

AD
.
又因为
AP

AB

AP< br>∩
AD

A

AP
?平面
PAD

AD
?平面
PAD

所以
AB
⊥平面
PAD
.②
由①②得
CD

AB

因为
CD
?平面
PAB

AB
?平面
PAB
,所以
CD
∥ 平面
PAB
.14分
16.(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数 学二模)如图9-19,在直三棱柱
ABC

A
1
B
1C
1
中,
AC

BC

A
1
B

AB
1
交于点
D

A
1
C< br>与
AC
1
交于点
E
.
12分
8分
4分
6分
2分

图9-19
求证:(1)
DE
∥平面
B
1
BCC
1

(2)平面
A
1
BC
⊥平面
A
1
ACC< br>1
.
[证明] (1)由题意,
D

E
分别为A
1
B

A
1
C
的中点,

DE

BC


DE
?平面
B
1
BCC
1

BC
?平面
B
1
BCC
1


DE
∥平面
B
1
BCC
1

(2)∵
AA
1
⊥平面
ABC

BC
?平面
ABC

6分
2分



AA
1

BC


A C

BC

AC

AA
1

A< br>,

BC
⊥平面
A
1
ACC
1


BC
?平面
A
1
BC

∴平面
A
1
BC
⊥平面
A
1
ACC
1
.14分
17.(本小题满分14分) (2017·江苏省无锡市高考数学一模)如图9-20,在斜三棱柱< br>ABC

A
1
B
1
C
1
中,侧面< br>AA
1
C
1
C
是菱形,
AC
1
与< br>A
1
C
交于点
O

E
是棱
AB上一点,且
OE
∥平面
BCC
1
B
1
.
10分

图9-20
(1)求证:
E

AB
中点;
(2)若
AC
1< br>⊥
A
1
B
,求证:
AC
1

BC< br>.
[证明]
(1)连接
BC
1
,取
AB
中点
E
′,

∵侧面
AA
1
C
1
C
是菱形,
AC
1

A
1
C
交于点
O


O

AC
1
的中点,

E
′是
AB
的中点,

OE
′∥
BC
1


OE
′ ?平面
BCC
1
B
1

BC
1
?平面BCC
1
B
1


OE
′∥平面
BCC
1
B
1


OE
∥平面
BCC
1
B
1


E

E
′重合,

E

AB
中点.
(2)∵侧面
AA
1
C
1
C
是菱形,

AC
1

A
1
C
, 10分
8分
4分

AC
1

A
1
B

A
1
C

A
1
B

A
1

A
1
C
?平面
A
1
BC
A
1
B
?平面
A
1
BC
,∴
AC
1
⊥平面
A
1
BC



BC
?平面
A
1
BC


AC
1

BC
. 14分
18.(本小题满分16分) (2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图9-21, 在
四面体
ABCD
中,平面
ABC
⊥平面
ACD

E

F

G
分别为
AB

AD< br>,
AC
的中点,
AC

BC


A CD
=90°.

图9-21
(1)求证:
AB
⊥平面
EDC

(2)若
P< br>为
FG
上任一点,证明:
EP
∥平面
BCD
.
[证明] (1)∵平面
ABC
⊥平面
ACD
,∠
ACD
=90°,


CD

AC

∵平面
ABC
∩平面
ACD

AC

CD
?平面
ACD


CD
⊥平面
ABC


AB
?平面
ABC


CD

AB


AC

BC

E

AB
的中点,∴
CE

AB


CE

CD

C

CD
?平面
EDC

CE
?平面
EDC


AB
⊥平面
EDC
.8分
(2)连接
EF
EG
,∵
E

F
分别为
AB
AD
的中点,

EF

BD
,又
BD
?平面
BCD

EF
?平面
BCD


EF
∥平面
BCD

同理可得
EG
∥ 平面
BCD
,且
EF

EG

E

EF

EG
?平面
EFG

∴平面
EFG
∥平面
BCD


P
是< br>FG
上任一点,∴
EP
?平面
EFG

10分



EP
∥平面
BCD
. 16分
19.( 本小题满分16分)(河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛)如图9-22,在


图9-22
三棱柱
ABC

A
1
B< br>1
C
1
中,
D

AB
的中点.
(1)证明:
BC
1
∥平面
A
1
CD

(2)若
AC

CB
,求证:
A
1
D
CD
.
[证明] (1)如图,连接
AC
1
,交< br>A
1
C
于点
O
,连接
OD
.
< br>据直三棱柱性质知四边形
ACC
1
A
1
为平行四边形,所以< br>O

AC
1
的中点.
又因为
D

AB
的中点,所以
BC
1

OD
.
又因为
BC
1
?平面
A
1
CD

OD
?平面A
1
CD

所以
BC
1
∥平面
A
1
CD
.
(2)因为
AC

BC

D

AB
的中点 ,所以
CD

AB
.
6分
8分
4分
据直三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1性质知
AA
1
⊥平面
ABC
,又因为
CD
?平 面
ABC
,所以
AA
1

CD
.
又因为
AA
1

AB

A

AA
1
AB
?平面
ABB
1
A
1

所以
CD
⊥平面
ABB
1
A
1
.
又因为
A
1
D
?平面
ABB
1
A
1,所以
CD

A
1
D
,即
A
1
D

CD
.16分
20.(本小题满分16分)(2017·江苏省泰州 市高考数学一模)如图9-23,在四棱锥
P

ABCD
中,四边形
ABCD
为平行四边形,
AC

BD
相交于点
O
, 点
E

PC
的中点,
OP

OC

PA

PD
.求证:
14分


图9-23
(1)直线
PA
∥平面
BDE

(2)平面
BDE
⊥平面
PCD
.
【导学号:56394067】
[证明] (1)连接
OE
,因为
O
为平行四边形
ABCD
对角线的交点,所以
O

AC中点.

又因为
E

PC
的中点,所以
OE

PA
.
又因为
OE
?平面
BDE
,< br>PA
?平面
BDE

所以直线
PA
∥平面
BDE
.
(2)因为
OE< br>∥
PA

PA

PD

所以
OE

PD
.
因为
OP

OC

E

PC
的中点,所以
OE

PC
.
又因为
PD
?平面
PCD

PC
?平 面
PCD

PC

PD

P

所以
OE
⊥平面
PCD
.
又因为
OE
? 平面
BDE
,所以平面
BDE
⊥平面
PCD
.


专题限时集训(十) 平面解析几何
(对应学生用书第103页)
(限时:120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)
1 .(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆
x

y
-2
x-8
y
+13=0的圆心到直线
ax

y
-1=0的距 离为1,则
a
=________.
【导学号:56394076】
4|
a
+4-1|4
- [由题意,知圆心为(1,4),则有=1,解得
a
=-.]
2
33
a
+1
2.(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线
x
+< br>ay
-2=0与以
A
(3,1),
B
(1,2)
为端 点的线段没有公共点,则实数
a
的取值范围是________.
1
?1
?
(-∞,-1)∪
?
,+∞
?
[直线
x

ay
-2=0过定点
C
(2,0),所以-∈(
k
CB

k
CA
)=
a
?
2
?
2 2
4分
6分
8分
10分
14分
16分
?
1
?
(-2,1)?
a
∈(-∞,-1)∪
?
, +∞
?
.]
?
2
?
3.(中原名校豫南九校2017届第 四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令


行走”,如图10-13所示 ,“海宝”从圆心
T
出发,先沿北偏西

图10-13
12
??
θ
?
sin θ=
?
方向行走13米至点
A
处,再沿正南方向行走14米至点
B
处,最后沿
13
??
正东方向行走至点
C
处,点
B

C
都在圆
T
上,则在以线段
BC
中点为坐标原点
O
,正
东方向为x
轴正方向,正北方向为
y
轴正方向的直角坐标系中,圆
T
的标 准方程为
________.
x
2
+(
y
-9)
2
=225 [
TB< br>2

TA
2

AB
2
-2
TA·
AB
cos
A
=169+196-2×13×14×=225,OT
=14-13×cos θ=9,∴圆
T
方程为
x
2
+(
y
-9)
2
=225.]
4.(江苏省南京市2017届高 考三模)在平面直角坐标系
xOy
中,圆
O

x

y
=1,圆
M
:(
x

a
+1)+(
y< br>-2
a
)=1(
a
为实数).若圆
O
和圆
M
上分别存在点
P

Q
,使得∠
OQP
=30°,< br>则
a
的取值范围为________.
22
22
5
13
?
-1,
3
?
[由题意,
22

M
:(
x

a
+1)+ (
y
-2
a
)=1(
a
为实数),圆心为
M
(-
a
-1,2
a
),
??
5
??
从 圆
M
上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,
OP
1.
∵圆
O
和圆
M
上分别存在点
P

Q
,使得∠
OQP
=30°,
∴|
OM
|≤2,
∴(
a
+1)+4
a
≤4,
3
∴-1≤
a
≤.]
5
5.(2017·江苏省苏、锡、 常、镇四市高考数学二模)已知直线
l

mx

y
-2m
-1=0,圆
C

22
x
2

y< br>2
-2
x
-4
y
=0,当直线
l
被圆
C
所截得的弦长最短时,实数
m
=________.
-1 [由
C

x

y
-2
x
-4
y
=0 得(
x
-1)+(
y
-2)=5,
∴圆心坐标是
C
(1,2),半径是5,
∵直线
l
mx

y
-2
m
-1=0过定点
P
(2,1) ,且在圆内,
∴当
l

PC
时,直线
l
被圆x

y
-2
x
-4
y
=0截得的弦长最短,
22
2222


2-1
∴-
m
·=-1,∴< br>m
=-1.]
1-2
6.(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直 角坐标系
xOy
中,已知
B

C
为圆
x

y
=4上两点,点
A
(1,1),且
AB

AC< br>,则线段
BC
的长的取值范围为________.
[6-2,6+2] [ 在平面直角坐标系
xOy
中,已知
B

C
为圆
x< br>+
y
=4上两点,

A
(1,1),且
AB

AC
,如图所示,当
BC

OA
时,|
BC|取得最小值或最大值.
22
22

?
?
y
=1,

?
22
?
x

y
=4,
?
?
?
x
=1,

?
22
?
x< br>+
y
=1,
?


可得
B
(-3,1)或(3,1),
可得
C
(1,3)或(1,-3),
2
解得
BC
min
=3-
2
+-3
+3
2
2
=6-2.
BC
max
=-3-+=6+2.]
7.(2017·江苏省盐城市高考数 学二模)在平面直角坐标系
xOy
中,直线
l
1

kx
y
+2=0
与直线
l
2

x
ky
-2=0相交于点
P
,则当实数
k
变化时,点
P< br>到直线
x

y
-4=0的距
离的最大值为________.
?
1
?
32 [∵直线
l
1

kx

y
+2=0与直线
l
2

x

ky< br>-2=0的斜率乘积为
k
×
?

?
=-
?< br>k
?
1(
k
=0时,两条直线也相互垂直),并且两条直线分别经过定 点:
M
(0,2),
N
(2,0).
∴两条直线的交点在以
MN
为直径的圆上.并且
k
MN
=-1,可得
MN
与直线
x

y
-4=0
垂直.
|0-2-4|
∴点M
到直线
x

y
-4=0的距离
d
==32为 最大值.]
2
x
2
y
2
8.(2017·江苏省苏、锡、 常、镇四市高考数学二模)已知直线2
x
-3
y
=0为双曲线
2
2
ab
=1(
a
>0,
b
>0)的一条渐近 线,则该双曲线的离心率为________.
21
xy
[根据题意,双曲线的方 程为:
2

2
=1(
a
>0,
b
>0),
3
ab
其渐近线方程为:
y
=±
x

2 2
b
a


又由其一条渐近线的方程为:2
x
-3
y
=0,即
y

2
b
2
x
,则有=,
a
33
c
2
a
2

b
2
b
2
721
则其离心率
e

2

2
=1+
2
=,则有
e
=.]
aaa
33
2x
2
y
2
9.(河北省唐山市2017届高三年级期末)设
F< br>1

F
2
为椭圆
C

2

2
=1(
a

b
>0)的左、右
ab
焦点,经过< br>F
1
的直线交椭圆
C

A

B
两点 ,若△
F
2
AB
是面积为43的等边三角形,则椭

C的方程为________.

【导学号:56394077】
x
2
y
2
9
+=1 [由题意,知|
AF
2
|=|
BF
2
|=|
AB
|=|
AF
1
|+|
BF
2
|, ①
6
又由椭圆的定义知,|
AF
2
|+|
AF
1
|=|
BF
2
|+|
BF
1
|=2
a
, ②
421
联立①②,解得|
AF
2
|=|
BF
2
|=|
AB
|=a
,|
AF
1
|=|
BF
1
|=
a< br>,所以
S

F
2
AB

332
|< br>AB
||
AF
2
|sin 60°=43,所以
a
= 3,|
F
1
F
2
|=

a

c< br>=6,所以椭圆
C
的方程为+=1.]
96
22
3
2
|
AB
|=23,所以
c
=3,所以
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
10.(江苏省南通 市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线
2

2
=1(
a
>0,
b

ab
0)的离心率为3,其渐近线与圆
x< br>+
y
-6
y

m
=0相切,则
m
= ________.
22
x
2
y
2
8 [∵双曲线
2

2
=1(
a
>0,
b
>0)的离心率为3,
ab

c
=3
a
,∴
b
=22
a
,取双曲线的渐近线
y
=22
x
.
x
2
y
2
22
∵双曲线
2

2
=1(
a
>0,
b
>0)的渐近线与
x

y
-6
y

m
=0相切,
ab
∴圆心(0,3)到渐近线的距离
d

r

∴=9-
m
,∴
m
=8.]
8+1
22
3
11.(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线
x
-< br>y
=1,点
F
1

F
2
为其两个焦点,点< br>P
为双曲线上一点,若∠
F
1
PF
2
=60°,则三 角形
F
1
PF
2
的面积为________
1
3 [
S

F
1
PF
2
===3.]
θtan 30°
tan
2
12.(2017·江苏省盐城市高考数学二模) 在平面直角坐标系
xOy
中,抛物线
y
=6
x
的焦点

F
,准线为
l

P
为抛物线上一点,
PA
l

A
为垂足.若直线
AF
的斜率
k
=-3,则
2
b
2


线段
PF
的长为___ _____.
6 [∵抛物线方程为
y
=6
x

∴焦点
F
(1.5,0),准线
l
方程为
x
=-1.5,
∵直线
AF
的斜率为-3,
直线
AF
的方程为
y
=-3(
x
-1.5),

x
=-1.5时,
y
=33,
由可得
A
点坐标为(-1.5,33),

PA

l

A
为垂足,

P
点纵坐标为33,代入抛物线方程,得
P
点坐标为(4.5,33),
∴|
PF
|=|
PA
|=4.5-(-1.5)=6.]
2
x
2
y
2
13.(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考 )已知椭圆
2

2
=1(
a

b
>0)的 左、右焦
ab
点分别为
F
1

F
2
,过< br>F
1
且与
x
轴垂直的直线交椭圆于
A

B< br>两点,直线
AF
2
与椭圆的另一
个交点为
C
,若S

ABC
=3
S

BCF
2
,则椭 圆的离心率为________.
5
[设椭圆的左、右焦点分别为
F
1< br>(-
c,
0),
F
2
(
c,
0),
5
b
2
?
b
2
?

x
=-c
,代入椭圆方程可得
y
=±,可设
A
?

c

?

C
(
x

y
),
S

ABC
=3
S

BCF
2

a
?
a
?
b
?
b
?
可得
AF< br>2
=2
F
2
C
,即有
?
2
c
,-
?
=2(
x

c

y
),即2c
=2
x
-2
c
,-=2
y

a< br>?
a
?
22
b
2
4
cb
可得
x
=2
c

y
=-,代入椭圆方程可得,
2
+< br>2
=1,
2
aa
4
a
2
c
222
1-
e
5
2

e
=,
b

a

c
,即有4
e
+=1,解得
e
=.] a
45
→→
2
2
14.(四川省2016年普通高考适应性测试 )如图10-14,
A
1

A
2
为椭圆

图10-14
x
2
y
2
9
+=1的长轴的左、右 端点,
O
为坐标原点,
S

Q

T
为椭圆 上不同于
A
1

A
2
的三
5
22
点,直线
QA
1

QA
2

OS

OT
围成一个平行四边形
OPQR
,则|
OS
|+|
OT
|=________.
14 [设
Q
(
x

y
),
T
(
x
1

y
1
),
S
(
x
2

y
2
),
QA
1< br>,
QA
2
斜率为
k
1

k
2
,则
OT

OS
斜率为
k
1

k
2
,且
k
1
k
2

5
·=
2< br>=-,
x
+3
x
-3
x
-99
yyy2


所以
OT

x

y

x

kx

22
1
2
1
2
1< br>22
11

k
1
2
,同理
OS
=< br>2
5+9
k
1

k
2
5+9
k1
2
1
2

k
2
22
,因此|
OT
|+|
OS
|
2
5+9
k
2
k
1
81
k
1
+25

22

5+9
k
1
5+9
k
1
22
2


k
5+9
k
2
2
1
2
1
+< br>+
k
2
5+9
k
2
2
2

25
??
45
?
1+
2
?
?
81
k
1
?
+=
25
5+
2
9
k
1< br>126
k
1
+70
2
=14.]
5+9
k
1
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)已知直线
l
:4
x
+3
y+10=0,半径为2的圆
C

l
相切,圆心
C
x
轴上且在直线
l
的右上方.
(1)求圆
C
的方程;
(2)过点
M
(1,0)的直线与圆
C
交于
A
,< br>B
两点(
A

x
轴上方),问在
x
轴正半轴 上是否
存在定点
N
,使得
x
轴平分∠
ANB
?若存 在,求出点
N
的坐标;若不存在,请说明理由.
【导学号:56394078】
5
?
|4
a
+10|
?
[解] (1)设圆心< br>C
(
a,
0)
?
a
>-
?
,则=2 ?
a
=0或
a
=-5(舍).
2
?
5
?

所以圆
C

x

y
=4.
22
6分
(2)存在.当直线
AB

x
轴时,< br>x
轴平分∠
ANB
.当直线
AB
的斜率存在时,设直线
AB

方程为
y

k
(
x
-1)(k
≠0),
N
(
t,
0),
A
(
x< br>1

y
1
),
B
(
x
2

y
2
),
?
?
x

y
=4,< br>由
?
?
y

kx

?
22

2

得(
k
+1)
x
-2
kx

k
-4=0,
2
2222
8分
2
kk
-4
所以
x
1

x
2

2
,< br>x
1
x
2

2
.
k
+1
k
+1

x
轴平分∠
ANB
,则
k
AN< br>=-
k
BN
?
2
x
1
x
2
-(
t
+1)(
x
1

x
2
)+2
t
=0?
y
1
x
1

tx
2

t
2
k

2

y
2
=0?
kx
1

x
1

t

kx
2< br>-
x
2

t
=0?
k
2

k
2
+1
t

k
+1
2
+2
t< br>=0?
t
=4,
14分 所以当点
N
为(4,0)时,
x
轴平分∠
ANB
.
16.(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图10-15,



图10-15
x
2
y
2
2在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
2

2
=1(< br>a

b
>0)的离心率为,
C
为椭圆上位
ab
3
于第一象限内的一点.
?
5
?
(1)若点
C
的坐标为
?
2,
?
,求
a

b
的值; < br>?
3
?

1

(2)设
A
为椭圆的 左顶点,
B
为椭圆上一点,且
AB

OC
,求直线
AB
的斜率.
2
c
[解] (1)由题意可知:椭圆的离心率
e< br>==
a
b
2
2
b
2
5
1-
2
=,则
2
=,①
a
3
a
9
425?
5
?
由点
C
在椭圆上,将
?
2,
?
代入椭圆方程,
2

2
=1,②
a
9
b
?
3
?
解得:
a
=9,
b
=5,

a
=3,
b
=5, 6分
22
b
2< br>5
222
(2)法一:由(1)可知:
2
=,则椭圆方程:5
x
+9
y
=5
a

a
9
设直线
OC
的方程为
x

my
(
m
>0),
B< br>(
x
1

y
1
),
C
(
x
2

y
2
),
?
?
x

my

?
222
?
5
x
+9
y
=5
a

?
2
2

消去
x
整理得 5
my
+9
y
=5
a

2222
5a
5
a

y

2
,由
y
2< br>>0,则
y
2
=,
2
5
m
+9
5
m
+9

1


AB

OC,则
AB

OC
,设直线
AB
的方程为
x
my

a

2
?
?
x

my

a


?
222
?
5x
+9
y
=5
a

?

整理得(5
m
+9)
y
-10
amy
=0, 22
10
am

y
1
>0得
y
1
2

5
m
+9

1

1
??
1

AB

OC
,则(
x
1

a

y
1
)=
?
x
2

y
2
?

2
?
2
?
2

y
2
=2
y
1


10
am
=2×(
m
>0),
2
2< br>5
m
+9
5
m
+9
5
a
10分


解得
m

3

5
14分
222
153
则直线
AB
的斜率=;
m
3
法二:由(1)可知:椭圆方程5
x
+9
y
=5
a
,则< br>A
(-
a,
0),
B
(
x
1
y
1
),
C
(
x
2

y
2< br>),

1

1
??
1

AB
OC
,则(
x
1

a

y
1
)=
?
x
2

y
2
?
,则y
2
=2
y
1

2
?
2
?
2

B

C
在椭圆上,
10分
?
?
?
1
?
2
?
y
2
?22
x
5
2

a
?
+9
??
=5
a

?
?
??
2
?
?
?2
?
5
x
2
+9
y
2
=5
a

222

a
x
=,
?
?
4,解得
?
5
a
y

?
?
43

2
2


则直线直线
AB
的斜率
k==
53
直线
AB
的斜率为.
3
y
2
53
.
x
2
3
14分
17.(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛) 已知点
P
是椭

C
上任一点,点
P
到直线
l
1< br>:
x
=-2的距离为
d
1
,到点
F
(-1, 0)的距离为
d
2
,且=
2
.直线
l
与椭圆
C
交于不同两点
A

B
(
A

B
都在
x
轴上方),且∠
OFA
+∠
OFB
=180°.
2

d
2
d
1

图10-16
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)当
A
为椭圆与
y
轴正半轴的交点时,求直线
l
方程;
(3)对于动直线
l
,是否存在一个定点,无论∠
OFA
如何变化,直线
l
总经过此定点?
若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)设
P
(x

y
),则
d
1
=|
x
+2|,< br>d
2

x

2

y

2
d
2
∴=
d
1
x

2

y
2
2
x
2
2
=,化简,得+
y
=1,
|
x
+2|22
x
2
2
∴椭圆
C
的方程为+
y
=1.
2
3分


1-0
(2 )
A
(0,1),
F
(-1,0),∴
k
AF
=< br>0--
=1,
又∵∠
OFA
+∠
OFB
=180° ,∴
k
BF
=-1,
BF

y
=-1(
x
+1)=-
x
-1.
?
?
x
=0,
代入 +
y
=1解得
?
2
?
y
=-1
?
x
2
2

4
x
=-,
?
?
3
(舍)
?
1
y

?
?
3



?
41
?

B
?
-,
?

?
33
?
6分
1
1-
3
111
k
AB
==,∴
AB
y

x
+1.即直线
l
方程为
y

x
+1.
4
?
222
?

0-
??
?
3
?
(3)∵∠
OFA
+∠
OFB
=180°,∴
k
AF

k
BF
=0.
7分 < br>设
A
(
x
1

y
1
),
B
(
x
2

y
2
),直线
AB
方程 为
y

kx

b
.
?
2
1?
222
代入+
y
=1,得
?
k

?
x
+2
kbx

b
-1=0.
2
?2
?
2
kbb
-1

x
1

x
2
=-,
x
1
x
2
=,
11
22
k

k

22

k
AF
+< br>k
BF


2
x
2
9分
y
2
kx
1

bkx
2

b
+=+ x
1
+1
x
2
+1
x
1
+1
x
2
+1
x
2
++
kx
2

b< br>x
1

x
2

x
1

=0 ,
y
1
kx
1

b
∴(
kx
1

b
)(
x
2
+1)+(
kx
2

b
)(
x
1
+1)
=2
kx
1
x
2
+(
k

b
)(
x
1
+< br>x
2
)+2
b

=2
k
×
b
2
-12
kb
-(
k

b
)×+2
b< br>=0,
11
22
k

k

22

b
-2
k
=0,12分
∴直线
AB
方程为
y

k
(
x
+2),
∴直线
l
总经过定点
M
(-2,0). 14分
18.( 本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系
x
2
y
2
xOy
中,已知圆
O

x

y

b
经过椭圆
E
:+
2
=1(0<
b
<2)的焦点.
4
b
222
(1)求椭圆
E
的标准方程;
(2) 设直线
l

y

kx

m
交椭圆
E

P

Q
两点,
T
为弦
PQ
的 中点,
M
(-1,0),
N
(1,0),


记直线TM

TN
的斜率分别为
k
1

k
2
,当2
m
-2
k
=1时,求
k
1
·
k
2
的值.
22

图10-17
[解] (1)因0 <
b
<2,所以椭圆
E
的焦点在
x
轴上,又圆
O< br>:
x

y

b
经过椭圆
E
的焦点, 所以椭圆的半焦距
c

b

所以2
b
=4,即< br>b
=2,所以椭圆
E
的方程为+=1.
42
(2)法一:设
P
(
x
1

y
1
),
Q
(
x
2

y
2
),
T
(
x
0

y
0
),
22
222
x
2
y
2
6分
xy
?
?
+=1,
联立
?
42
?
?
y

kx

m

22

消去
y
,得 (1+2
k
)
x
+4
kmx
+2
m
-4= 0,
222
10分
4
km
2
k
22
所 以
x
1

x
2
=-,又2
m
-2
k
=1,所以
x

x
=-,
12
2
1+ 2
km
所以
x
0
=-,
y
0

m

k
·=
1
2
m
1
2
m
k
m
k
1

m
2
m
11
=-.
2

k
1
·
k
2

1
· =
22

kk
4
k
-4
m

-+ 1--1
m
-2
k
22
16分
mm
?
?
4

2
=1,
法二:设
P
(
x

y
),
Q
(
x

y
),
T
(
x

y
),则
?
xy
?
?
4

2
=1,
112200
2
2
2
2
x
2
y
2
11


两式作差,得
x1

x
2
4
x
1

x
2
y
1

y
2
2
y
1
y
2
=0, 10分

x
1

x
2
=2
x
0

y
1

y
2
=2
y
0


x
0
x
1
x
2
2

y
0
(
y
1
y
2
)=0,
∴+
2
x
0
y
0y
1

y
2
=0,
x
1

x
2

P
(
x
1

y
1
),
Q
(
x
2

y
2
)在直线
y

kx

m
上,

y
1

y
2

k

x
1

x
2



x
0
+2< br>ky
0
=0,①

T
(
x
0
,< br>y
0
)在直线
y

kx

m
上,∴
y
0

kx
0

m
,②
2kmm
由①②可得
x
0
=-
2

y
0

2
.16分
1+2
k
1+2
k
以下同方法一.
x
2
19.(本小题满分16分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设椭圆
E

2

a
y
2
1
2
=1(
a< br>>
b
>0)的离心率为,
E
上一点
P
到右焦点距离的 最小值为1.
b
2
(1)求椭圆
E
的方程;
→→
(2)过点(0,2)的直线交椭圆
E
于不同的两点
A

B
,求
OA
·
OB
的取值范围.
【导学号:56394079】
c
1
[解] (1)由题意得=,且
a

c
=1, ∴
a
=2,
c
=1,
a
2

b

a

c
=3,
∴椭圆的方程为+=1.
43
(2)①当
k
不存在时,
A
(0,-3),
B
(0,3),
→→

OA
·
OB
=(0,-3)·(0,3)=-3;
222
x
2
y
2
4分
6分
y

kx
+2,
?
?
22
②当
k
存在时,设 直线方程为
y

kx
+2,则有
?
xy
+=1,< br>?
?
43
整理得(3+4
k
)
x
+16kx
+4=0,
16
k
4

x
1

x
2
=-
2

x
1
x
2

2
,(i)
3+4
k
3+4
k
→→

OA
·
OB

x
1
x
2

y
1
y
2


x
1
x
2
+(
kx
1
+2)(
kx
2
+2)
=(1+< br>k
)
x
1
x
2
+2
k
(
x
1

x
2
)+4
132
k
+24-24
=1++4
2

2
3+4
k
3+4
k
25
=-3+
2
,(ⅱ) < br>3+4
k
222
1
Δ=256
k
-16(4
k
+3)>0,从而
k
>,(ⅲ)
4
2
2
22


10分
14分


→→
2513
(ⅲ)代入(ⅱ)中
OA
·
OB< br>≤-3+=,
3+14
→→
13
??

OA
·
OB

?
-∞,
?
.
4
??
16分
20.(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高 三上学期第二次月考)已知平面直角坐标

xOy
内两个定点
A
(1 ,0)、
B
(4,0),满足
PB
=2
PA
的点
P
(
x

y
)形成的曲线记为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)过点
B
的直线
l
与曲线Γ相交于
C

D
两点,当△
COD
的面积最大时,求直线
l

方程(< br>O
为坐标原点);
(3)设曲线Γ分别交
x

y
轴 的正半轴于
M

N
两点,点
Q
是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连接
QN

x
轴于点
E
、连接QM

y
轴于
F
.求证:四边形
MNEF
的面 积为定值.
[解] (1)由题设知2
x

2
2

y

2
x

2

y
,两边化简得
x

y
=4,
3分
222
∴点
P
的 轨迹Γ的方程为
x

y
=4.
2

(2)由题意 知
OS

SD

OD
=3的斜率一定存在,设
l< br>:
y

k
(
x
-4),即
kx
-< br>y
-4
k
=0,
∵原点到直线
l
的距离
d

1
2

S

COD

CD·
d

d
2
2
22
|4
k
|
1+
k

d
2
2

CD
=24-
d

2

2
?
d
+-
d
?
2
?
2
22
?
2
=2.
?
?
6分
当且仅当
d
=2时,取得“=”,
d< br>=2<
r
=4,
16
k
17
2
∴当
d
=2时,此时,
2
=2?
k

?
k
= ±
.
k
+177
2
2
∴直线
l
的方程为
y
=±
7
(
x
-4).
7
1
( 3)设
S
MNEF

S

MNE

S
MEF

ME
·
NF

2
Q
(
x
0

y
0
),
E
(< br>e,
0),
F
(0,
f
)(其中
x
0<0,
y
0
<0,
x
0

y
0
=4),

QM

y

-2
y
0(
x
-2),令
x
=0得
f
=,
x
0
-2
x
0
-2
22
8分
y
0
-2
y
0

NF
=2-=
x
0
-2
x
0

y
0
-4
.
x0
-2


y
0
-22
x
0
QN< br>:
y

x
+2,令
y
=0得
e
=,
x
0
2-
y
0
2
x
0
4-
x
0

y
0

ME
=2-=.
2-< br>y
0
2-
y
0
11

S
MNEF< br>=
ME
·
NF
=·
22
12分
x
0

y
0
-4
·
x
0
-2
x0

y
0
-4
=2·
y
0
-2
x
0

y
0

2
x
0

y
0

16分

x
0

y
0

2

x
0

y
0



8-
=2·
4-
x
0

y
0< br>+2
x
0
y
0
=4(定值).
x
0

y
0

x
0
y
0
专题限时集训(十一 ) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时:120分钟)
1.(本小 题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系
xOy
中,直线< br>3
x
=1+
t
?
?
5
l

?
4
y

?
?
5
t

AB
的长.
[解] 法一:直线
l
的参数方程化为普通方程得4
x
-3
y
=4,
将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
=4
x
.
?
4
x
-3
y
=4,
?
联立方程组
?
2
?
?
y
=4
x

2
?
?
x
=4
k
(
t
为参数),与曲线
C

?
?
y
=4
k
?
2

(
k
为参数)交于
A

B
两点,求线
4分

?
x
=4,
?
解得
?
?
?y
=4,

1
?
?
x
=,

?
4
?
?
y
=-1.


?
1< br>?
所以
A
(4,4),
B
?
,-1
?
.
?
4
?
25
所以
AB
=.
4法二:将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
=4
x
.
2
10分
?
4
?
2
?
3
?2
直线
l
的参数方程代入抛物线
C
的方程得
?
t
?
=4
?
1+
t
?
,即4
t
- 15
t
-25=0,
?
5
??
5
?
15 25
所以
t
1

t
2
=,
t
1< br>t
2
=-.
44
所以
AB
=|
t
1

t
2
|=
t
1

t
2
2
25
-4
t
1
t
2
=.
4
10分
2.(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知 圆
O
1
和圆
O
2
的极坐标方程


π< br>??
2
分别为ρ=2,ρ-22ρcos
?
θ-
?
= 2.
4
??
(1)把圆
O
1
和圆
O
2< br>的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
π
??
2222
[解] (1)ρ=2?ρ=4,所以
x

y
=4;因为ρ-22ρcos
?
θ-
?
=2,2分 4
??
ππ
??
222
所以ρ-22ρ
?
co s θcos+sin θsin
?
=2,所以
x

y
-2
x
-2
y
-2=0.
44
??

(2) 将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为
x

y
=1.

π
?
2
?
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin
?
θ+
?
=.10分
4
?
2
?
3.(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期 期中)设
n
∈N,
f
(
n
)=3+7-2.
(1)求
f
(1),
f
(2),
f
(3)的值;
(2)证明:对任意正整数
n

f
(
n
)是8的倍数.
[解] (1)代入求出
f
(1)=8,
f
(2)=56,
f
(3)=368.
(2)证明:①当
n
=1时,
f
(1)=8是8的倍数,
命题成立.
②假设当
n

k
时命题成立,即
f
(
k
)=3+7-2是8的倍数,
那么当
n

k
+1时,
f
(
k
+1)=3

因为7+1是偶数,所以4(7+1)是8的倍数,
又由归纳假设知3(3+7-2)是8的倍数,
所以
f
(
k
+1)是8的倍数,
所以当
n

k
+1时,命题也成立.
根据①②知命题对任意
n
∈N成立.
4.(本小题满分10分)利用二项式定理证明:当
n
∈N时,3
[解] 3
n
-1
2
n
+2
*2
n
+2
*< br>*
6分
8分
nn
2分
kk
k
+1+7
k
+1
-2=3(3+7-2)+4(7+1),
6分
kkk
kk
kk
10分
-8
n
-9能被64整除.
+C
n
+1
·8+C
n
+1
·8
n
-3
n
-1
1
-8
n
-9=9
n
n
+1
-8
n
-9=(8+ 1)
2
n
+1
-8
n
-9=8
1
n
+1
n
2
n
-1
+…
+C
n
+1
·8+C
n
+1
·8+1-8
n
-9=8·(8
而8n
-1
2
n
-1
+C
n
+1
·8*
n
-2
+C
n
+1
·8
2
+…+C
n
+1
),6分
+C
n
+1
·8
1n
-2
+C
n
+1
·8
2
n
-3+…+C
n
+1
∈N,所以3
n
-12
n
+2
-8
n
-9能被64整除.10分
5.(本小题满分10分)(2017· 江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知
a

b

c
为正
b
2
c
2
a
2
实数,求证:++≥
a

b

c
.
abc


【导学号:56394086】
[证明] ∵
a

b

c
为正实数,
b
2
c
2
a
2

a
+≥2
b

b+≥2
c

c
+≥2
a

abc
将上面三个式子相加得:
4分
b
2
c
2
a
2
a

b

c
+++≥2
a< br>+2
b
+2
c

abc
b
2
c< br>2
a
2
∴++≥
a

b

c
.
abc
10分
6.(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业 班第一次诊断性检测)已知函数
f
(
x
)
=|
x
+1|-|
x
|+
a
.
(1)若不等式
f
(
x
)≥0的解集为空集,求实数
a
的取值范围;
(2)若方程
f
(
x
)=
x
有三个不同的解,求 实数
a
的取值范围.
[解] (1)令
g
(
x
) =|
x
+1|-|
x
|,则
f
(
x
)≥ 0的解集为空集?
g
(
x
)≥-
a
的解集为
空集?
g
(
x
)<-
a
恒成立,
-1,
x<-1,
?
?
g
(
x
)=|
x
+1| -|
x
|=
?
2
x
+1,-1≤
x
<0< br>?
?
1,
x
≥0,

,作出函数
g
(
x
)的图象,由图可知,
函数
g
(
x
)的最大值 为
g
(
x
)
max
=1,所以-
a
>1, 即
a
<-1.
综上,实数
a
的取值范围为(-∞,-1).
5分
(2)在同一坐标系内作出函数
g
(
x
)=|
x
+1|-|
x
|图象和
y

x
的图象如图所示 ,由题
意可知,把函数
y

g
(
x
)的图象向下平 移1个单位以内(不包括1个单位)与
y

x
的图
象始终有3个交点 ,从而-1<
a
<0. 10分

7.(本小题满分10分)(2017· 江苏省淮安市高考数学二模)如图11-9,已知△
ABC
内接于

O
,连接
AO
并延长交⊙
O
于点
D
,∠
ACB=∠
ADC
.
求证:
AD
·
BC
=2
AC
·
CD
.

图11-9


[证明] ∵∠
ACB
=∠
ADC

AD
是⊙
O
的直 径,

AD
垂直平分
BC
,设垂足为
E
(图略), < br>∵∠
ACB
=∠
EDC
,∠
ACD
=∠
CE D

∴△
ACD
∽△
CED
, 6分
ADAC
1
∴=,∴
AD
·
BC

AC
·
CD

CDCE
2

AD
·
BC
=2< br>AC
·
CD
. 10分
8.(本小题满分10分)(2017·江苏 省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11-10,直
线
DE
切圆
O于点
D
,直线
EO
交圆
O

A
B
两点,
DC

OB
于点
C
,且
DE
=2
BE
,求证:
2
OC
=3
BC
.

图11-10
[证明] 连接
OD
,设圆的半径为
R< br>,
BE

x
,则
OD

R

DE
=2
BE
=2
x

Rt△
ODE
中,∵
DC

OB
,∴
OD

OC
·OE
,∴
R

OC
(
R

x
),①
4分
22

∵直线
DE
切圆
O
于点
D
,∴
DE

BE
·
AE
2
R
2
∴4
x

x
(2
R

x
),②,∴
x
=,
3
3
R
代入①,解得
OC
=,
5
2R

BC

OB

OC
=,∴2
OC
=3
BC
.
5
9.(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州 市高考数学一模)已知向量
?
10分
8分
2
?
1
?
?
是矩阵
A
的属于
?
-1
?
特征值- 1的一个特征向量.在平面直角坐标系
xOy
中,点
P
(1,1)在矩阵A
对应的变换
作用下变为
P
′(3,3),求矩阵
A
.


?
a

[解] 设
A

?
?
c

因为向量
?
b
?
d
?
?

?
1
?
?
是矩阵
A
的属于特征值-1的一个特征向量,
?
-1
?
?
a

所以
?
?
c

b
??
1
??
1
??
-1
?
???
=(-1)
? ?

??
.
d
??
-1
??
-1
??
1
?
?
?
a

b
=-1,
所以
?
?
c

d
=1.
?

6分
因为点
P
(1,1)在矩阵
A
对应的变换作用下变为
P
′(3,3),
?
a

所以
?
?
c

?
b
??
1
??
3
?
?
a

b=3,
???

??
.所以
?
?
d
? ?
1
??
3
?
?
c

d
=3,< br>
8分
2
?
1
?
解得
a
=1,
b
=2,
c
=2,
d
=1,所以
A
?
?
1
?
2
?
. 10分
10.(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)
?
2
??
1
已知α=
??
为矩阵
A< br>=
?
?
1
??
-1
?
1
[解] 由条件可知
?
?
-1
?
?
2+
a
=2λ,

?
?
-2+4=λ,
?
2
?
属于λ的一个特征向量,求实数
a
,λ的值及
A
.
4?
a
?
?
2
?
=λ
?????

4
??
1
??
1
?
6分
a
??
2
?

解得
a
=λ=2.
?
1
因此
A

?
?
-1
?
1
所以
A

?
?
-1
2
2
?
?

4
?
2
??
1 2
??
-1 10
?
???

??
.
4
??
-1 4
??
-5 14
?
10分
11.(本小题满分10分)(201 7·江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节,准
备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机 选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2)假定演唱一首原 创新曲观众与乐队的互动指数为
a
(
a
为常数),演唱一首经典歌曲
观众与乐队的互动指数为2
a
,求观众与乐队的互动指数之和
X
的概率分布及 数学期望.
【导学号:56394087】
[解] (1)设“该乐队至少演唱1首原创 新曲”的事件为
A
,则
P
(
A
)=1-
P
(
A
)=1
C
5
13

4
=.
C
8
14
(2)由题意可得:
X
=5
a,
6
a,
7
a,
8
a
.
4
4分

< br>C
3
C
5
51C
3
C
5
303P
(
X
=5
a
)=
4
==,
P
(
X
=6
a
)=
4
==,
C
8
7014C
8
707
C
3
C
5
303C
5
51
P
(
X
=7
a
)=
4
== ,
P
(
X
=8
a
)=
4
==.
C
8
707C
8
7014
134
3122
6分
X
P
1
14
3
7
3
7
5
a
1

14
6
a
3

7
113
142
7
a
3

7
8
a

1

14
10分
E< br>(
X
)=5
a
×+6
a
×+7
a
× +8
a
×=
a
.
12.(本小题满分10分)(江苏省苏州市20 17届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有
这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑 球,乙箱子里装有1个白球和2个
黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里各随机地 摸出2个球,若
摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率;
(2)在两次游戏中,记获奖次数为
X
,求
X
的数学期望.
[解] (1)记“在一次游戏中摸出
i
个白球”为事件
A
i
(
i
=0,1,2,3).
C
3
C
2
1

P
(
A
3
)=
22
=.
C
5
C
3
5
1
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分
5
C
3
C
2
+C
3
C
2
C
2
17
(2)获奖的概率为
P
(
A
2

A
3
)=
P
(
A
2
)+
P
(A
3
)=+=.
22
C
5
C
3
51 0
22111
21
X
的所有可能取值为0,1,2.
P
(
X
=0)=×=
33
1010
9

100
7749
.
1010100
8分
P
(< br>X
=1)=C
1
×=,
P
(
X
=2)=×=
2
X
的分布列为
X
P

X
的数学期 望
E
(
X
)=0×
0

9

100
1

21

50
7321
101050
2
49

100
10分
921497
+1×+2×=.
10050100 5
7
?
77
?
(或:∵
X

B
?
2,
?
,∴
E
(
X
)=2×=,同样给分) 105
?
10
?
13.(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市 高考数学一模)如图11-11,在棱长为2的正
方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,
P
为棱C
1
D
1
的中点,
Q
为棱
BB
1上的点,且
BQ
=λ
BB
1
(λ≠0).



图11-11
1
(1)若λ=,求
AP

AQ
所成角的余弦值;
2
(2)若直线
AA
1
与平面
APQ
所成的角为45°, 求实数λ的值.
→→→
[解] 以{
AB

AD

AA
1
}为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系
A

xyz< br>.

→→
(1)因为
AP
=(1,2,2),
AQ
=(2,0,1),
→→
→→
AP
·
AQ
所以c os〈
AP

AQ
〉=
→→
|
AP
||
AQ
|

1×2+2×0+2×145
=.
15
9×5
4分
45
所以
AP

AQ
所成角的余弦值为.
15< br>→
(2)由题意可知,
AA
1
=(0,0,2),
AQ
=(2,0,2λ).
设平面
APQ
的法向量为
n
=(
x

y

z
),

?

?
?
n
·
AQ
=0,

n
·
AP
=0,

?
?
x
+2
y
+2
z
=0,

?
?
2
x
+2λ
z
= 0,
?



z
=-2,则
x
=2λ,
y
=2-λ.


所以
n
=(2λ,2-λ,-2).
又因为直线
AA
1
与平面
APQ
所成角为45°,

?
n
·
AA
?
所以|cos〈
n
,< br>AA
〉|=
?


?
2
?
|
n
||
AA
|
?

1
1
1
7分
4
λ
2
+-λ
2
+-

2
2
2
4
2
可得5λ-4λ=0,又因为λ≠0,所以λ=.
5
10分
14.(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2 017届高三上学期期中)如
图11-12,在四棱锥
P

ABCD
中,
PA
⊥平面
ABCD
,∠
ABC
=∠
BAD< br>=90°,
AD

AP
=4,
AB

BC< br>=2,
M

PC
的中点.

图11-12
(1)求异面直线
AP

BM
所成角的余弦值;
4
(2)点
N
在线段
AD
上,且
AN
=λ,若直线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦值为,求λ
5
的值.
[解] (1)因为
PA
⊥平面
ABCD
,且
AB

AD
?平面
ABCD

所以
PA

AB

PA

AD

又因为∠
BAD
=90°,所以
PA

AB
AD
两两互相垂直.
分别以
AB

AD

A P

x

y

z
轴建立空间直角坐标系(图略),
则由
AD
=2
AB
=2
BC
=4,
PA< br>=4可得
A
(0,0,0),
B
(2,0,0),
C
(2,2,0),
D
(0,4,0),
P
(0,0,4),
又因为
M

PC
的中点,所以
M
(1,1,2).
→→
所以
BM
=(-1,1,2),
AP
=(0,0,4) ,
→→
→→
AP
·
BM
所以cos〈
AP

BM
〉=
→→
|
AP
||
BM
|< br>=
-+0×1+4×26
=,
3
4×6

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