【江苏高考】2018年高中数学二轮复习：全套配套练习(含答案)_高中生题库网|高考真题|高考试题-「密云二中」

高中数学经典题型的资料-高中数学圆锥曲线大题题型

2020年9月20日发(作者：吴纯一)

专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语
(对应学生用书第77页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1 ．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合
A
＝{
x
|－1＜
x
＜3}，
B
＝{
x
|
x
＜2} ，则
A
∩
B
＝________.
{
x
|－1＜
x
＜2} [集合
A
＝{
x
|－1＜
x
＜3}，
B
＝{
x
|
x
＜2}，则
A
∩
B
＝{
x
|－1＜
x
＜ 2}，
故答案为：{
x
|－1＜
x
＜2}．]
2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数
y
＝
f
(
x
)，
x
∈R，
“
y
＝|
f
( x
)|的图象关于
y
轴对称”是“
y
＝
f
(
x
)是奇函数”的________条件．(填“充
分不必要”“必要不充分”“充要 ”“既不充分也不必要”)．
必要不充分 [充分性不成立，如
y
＝
x图象关于
y
轴对称，但不是奇函数；必要性成
立，
y
＝
f
(
x
)是奇函数，|
f
(－
x
)|＝|－
f
(
x
)|＝|
f
(
x
)|，所以
y ＝|
f
(
x
)|的图象关于
y
轴对称．]
3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合
A
＝{1,2 ,3,4,5}，
2
B
＝{
x
|
x
(4－
x
)＜0}，则
A
∩(?
R
B
) ＝________.
{1,2,3,4} [集合
A
＝{1,2,3,4,5}，
B
＝ {
x
|
x
(4－
x
)＜0}＝{
x
|x
(
x
－4)＞0}＝{
x
|
x
＜0或
x
＞4}，
∴?
R
B
＝{
x
|0≤
x
≤4}，
∴
A
∩(?
R
B
)＝{1,2,3,4}．
故答案为：{1,2,3,4}．]
4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{
a
n
}，{
b
n
}满足
b
n
＝ a
n
＋
a
n
＋1
，则“数列{
a
n
}
为等差数列”是“数列{
b
n
}为等差数列”的________ 条件．
充分不必要 [若数列{
a
n
}为等差数列，设其公差为
d
1
，则
b
n
＋1
－
b
n
＝(a
n
＋1
＋
a
n
＋2
)－(
a
n
＋
a
n
＋1
)＝
a
n
＋2
－
a
n
＝2
d
1
，所以数列{
b
n
}是等差数列；若数列{
b
n
}为等差数列，设其公差
为
d
2
，则
b
n
＋1
－
b
n
＝(
a n
＋1
＋
a
n
＋2
)－(
a
n＋
a
n
＋1
)＝
a
n
＋2
－
a
n
＝
d
2
，不能推出数列{
a
n
}为等差
数列，所以“数列{
a
n
}为等差数列”是“数列{
b
n
}为等差数列”的充分不必要条件．]
5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合
A
＝{
x
∈Z|－2＜
x
＜2}，
B
＝{
x
|
y
＝log
2
x
}，
则
A
∩
B
＝________.
【导学号：56394004】
{－1,1} [因为
A
＝{
x
∈Z|－2＜
x
＜ 2}＝{－1,0,1}，
B
＝{
x
|
y
＝log
2
x
}＝{
x
|
x
≠0}，
所以
A
∩
B
＝{－1,1}．]
6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一) )设等比数列{
a
n
}的公比为
q
，前
n
项和为 2
2

S
n
，则“|
q
|＝1”是“ S
6
＝3
S
2
”的________条件 .
充要 [由
S
6
＝3
S
2
，得
a
1
(1 ＋
q
＋
q
＋
q
＋
q
＋
q
)＝3
a
1
(1＋
q
)，即
q
＋
q
＋
q
＋
q
－2－
2
q
＝0，(
q
＋1)(
q
－1)(
q
＋2)＝0，解得
q
＝±1，所以 “|
q
|＝1”是“
S
6
＝3
S
2
”的充
要条件．]
7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合
A
＝{－ 1,1}，集合
B
＝{
x
|
ax
＝1，
a
∈R}，
则使得
B
?
A
的
a
的所有取值构成的集合是________．
{－1,0,1} [因为
B
?
A ，所以
B
＝?，{－1}，{1}，因此
a
＝－1,0,1.] 8．已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n＝
aq
＋
b
(
a
≠0，
q
≠0,1) ，则“
a
＋
b
＝0”是数列{
a
n
}为等
比数列的________条件．
充要 [当
a
＋
b
＝0时，a
1
＝
S
1
＝
aq
＋
b
＝ a
(
q
－1)，当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝
aq
－1) ，
当
n
＝1时，也成立，
n
－1
n
22
23455432
(
q
a
n
＋1
aq
n
q
－
于是＝
a
n
aq
n
－1
q
－
＝
q
(
n
∈N)，
*
即数列{
a
n
}为等比数列；
当
n
＝ 1时，
a
1
＝
S
1
＝
aq
＋
b ，
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n－
S
n
－1
＝
aq
∵
q
≠0，
q
≠1，
n
－1
(
q
－1)，
a
n
＋1
aq
n
q
－
∴＝
a
n
aq n
－1
q
－
∵{
a
n
}为等比数列，
＝
q
(
n
∈N)，
*
a
2
a n
＋1
aq
2
－
aq
∴＝＝
q
，＝
q
，
a
1
a
n
aq
＋
b
即
aq
－
a
＝
aq
＋
b
，∴
a
＋
b
＝0，
综上所述，“
a
＋
b
＝0” 是数列{
a
n
}为等比数列的充要条件．]
9．(江苏省南通中学2017 届高三上学期期中考试)命题“?
x
∈R，
x
－
x
＋1≤0 ”的否定是
________．
?
x
∈R，
x
－
x
＋1＞0 [命题“?
x
∈R，
x
－
x
＋1≤0”的否定是“?
x
∈R，
x
－
x
＋1
222
2
＞0”．]
10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：
p
1
：任意
x
∈R,2
x
＞0；
p
2
：存在
x
∈R，
x
2
＋
x
＋1＜0；
p
3
：任意
x
∈R，sin
x
＜2
x
；
p
4
：
存在
x
∈R，cos
x
＞
x
＋
x
＋1.其中的真命题是________．
2
p
1
，
p
4
[对于
x
∈R, 2
x
＞0，
p
1
为真命题；
x
2
＋
x
＋1＝
?
x
＋
?
2
＋＞0，
p
2
为假命题；
2
?
?
1
?
?
3
4

3π1π33
?
3π
?
sin
?
－
?
＝1＞2－，
p
3
为假命题；
x
＝－时，co s
x
＞cos ＝＞＝
x
2
＋
x
＋1，
22624
?
2
?
p
4
为真命题．]
11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题
p
：“?
x
0∈R,2
x
0
－2≤
a
－
3
a
”是假命题，则实数
a
的取值范围是________．
[1,2] [“?
x 0
∈R,2
x
0
－2≤
a
－3
a
” 是假命题等价于?
x
∈R,2－2＞
a
－3
a
，即－
2≥
a
－3
a
，解之得1≤
a
≤2，即实数
a 的取值范围是[1,2]．]
12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合
S
＝{0,1,2,3，…，
n
}，则集
合
S
中任意两个元素的差的绝对值的和为________．
1
3
1
2
1
n
＋
n
＋
n
[设集合中第
k
个元素，则其值为
k
－1.
623
|( k
－1)－
k
|＋|(
k
－1)－(
k
＋1 )|＋…＋|(
k
－1)－
n
|
＝1＋2＋…＋(
n
＋1－
k
)
＝
2
2
2
x
2
n
＋1－
k
2
1
2
3
2
n
＋1－
k
＋
，
3
2
1
2
T
n
＝
n
2
·
n
＋
n
·
n
＋
n
－(1＋2＋…＋
n
)
n
－(1＋2＋…＋
n
)＋·(1
2
＋2
2
＋…＋
n
2
)＝
nn
＋
6
n
＋1
3
1 2
11
3
1
2
1
＝
n
＋
n
＋
n
.故答案是：
n
＋
n
＋
n
. ]
623623
13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数
a
＞1，
b
＞1，则“
a
＜
b
”
是“ln
a
－ln
b
＞
a
－
b
”的_ _______条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充
要”“既不充分也不必要”中之一填空 )
1
充要 [令
f
(
x
)＝ln
x
－
x
(
x
＞1)，则
f
′(
x
)＝－1＜0 ，因此
a
＜
b
?
f
(
a
)＞
f (
b
)?ln
x
a
－
a
＞ln
b
－
b
?ln
a
－ln
b
＞
a
－
b
，即“
a
＜
b
”是“ln
a
－ln
b
＞
a
－
b
”的充要条
件．]
14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论：
①若
x
＞0，则
x
＞sin
x
恒成立；
②命题“若
x
－sin
x
＝0，则
x
＝0”的逆否命题为“若
x
≠0，则
x
－sin
x
≠0”；
③“命题
p
∧
q
为真”是“命题
p
∨
q
为真”的充分不必要条件；
④命题“?
x
∈R，
x
－ln
x
＞0”的否定是“?
x
0
∈R，
x
0
－ln
x
0
≤0 ”．
其中正确结论的个数是________．
4 [对于①，令
y
＝
x
－sin
x
，则
y
′＝1－cos
x
≥0，则函数
y
＝
x
－sin
x
在R上单
调递增，则当
x
＞0时，
x
－sin
x
＞0－0＝0，即
x
＞sin
x
恒成立，故①正确；对于
②，命题“若
x
－sin
x
＝0，则
x
＝0” 的逆否命题为“若
x
≠0，则
x
－sin
x
≠0”
正确；对于③，命题
p
∧
q
为真，则命题
p
，
q
均为真，命题
p
∨
q
为真，反过来，当

命题
p
∨
q
为真时，则
p
，
q
中至少有一个为真，不能推出命题
p
∧
q
为真，所以“命
题
p
∧ q
为真”是“命题
p
∨
q
为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，由全
称命题与特称命题的关系可知，命题“?
x
∈R，
x
－ln
x
＞0 ”的否定是“?
x
0
∈R，
x
0
－ln
x
0
≤0”，所以④正确．]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知
m
∈R，设p
：?
x
∈[－
1
222
1,1]，
x
－2
x
－4
m
＋8
m
－2≥0成立；
q
：?
x
∈[1,2]，log(
x
－
mx
＋1)＜－1成立，如果
2
“
p
∨
q
”为真，“
p
∧
q
”为假，求
m
的取值范围.
【导学号：56394005】
[解] 若
p
为真：对?
x
∈[－1,1]，4
m
－8
m
≤
x
－2
x
－2恒成立，
设
f (
x
)＝
x
－2
x
－2，配方得
f
(
x
)＝(
x
－1)－3，
∴
f
(
x
)在[－1,1]上的最小值为－3，
132
∴4
m
－8
m
≤－3，解得≤
m
≤，2分
22
13
∴
p
为真时：≤
m
≤；
22 若
q
为真：?
x
∈[1,2]，
x
－
mx ＋1＞2成立，
2
22
22
x
2
－1
∴ m
＜成立.4分
x
x
2
－11
设
g
(
x
)＝＝
x
－，
xx
33
易知
g (
x
)在[1,2]上是增函数，∴
g
(
x
)的最大值为
g
(2)＝，∴
m
＜，
22
3
∴
q
为真时，
m
＜，
2
∵“
p
∨
q
”为真，“
p
∧
q
”为假，∴
p
与
q
一真一假，9分
13
≤
m
≤， ?
?
22
当
p
真
q
假时
?
3
m
≥
?
?
2
，
13
m
＜或m
＞，
?
?
22
当
p
假
q
真时
?
3
m
＜
?
?
2
，

3
∴
m
＝，
2
1
∴
m
＜，12分
2
13
综上所述，
m
的取值范围是
m
＜或
m
＝.14分
22

16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考) 设集合
?
?
?
1
－
x
A
＝
?x
?
≤2≤4
?
?
32
?

?
?
?
，
B
＝{
x
|
x
2
＋2 mx
－3
m
2
＜0}(
m
＞0)．
??
(1)若
m
＝2，求
A
∩
B
；
(2)若
A
?
B
，求实数
m
的取值范围．
[解] 集合
A
＝{
x
|－2≤
x
≤5}，因为 m
＞0，所以
B
＝(－3
m
，
m
)，4分
(1)
m
＝2时，
B
＝{
x
|－6＜
x ＜2}，
所以
A
∩
B
＝{
x
|－2≤x
＜2}.8分
(2)
B
＝(－3
m
，
m )，要使
B
?
A
，10分
?
?
－3
m
≥－2
只要
?
?
m
≤5
?

2
?
m
≤
，12分
3
2
所以0＜
m
≤.
3
?
2
?
综上，知
m
的取值范围是
?
0，
?
.14分 ?
3
?
?
?
?
x
＋2
＜0
1 7．(本小题满分14分)已知集合
A
＝{
x
|log
2
x
＜log
2
3}，
B
＝
?
x
?
x
－4
?
?
?

?
?
?
，
C
＝{
x
|
a
＜
x
?
?
＜
a
＋1}．
(1)求集合
A
∩
B
；
(2)若
B
∪
C
＝
B
，求实数
a
的取值范围．
[解] (1)由log
2
x
＜log
2
3，得0＜x
＜3.
由不等式
2分
x
＋2
＜0得(
x
－4)(
x
＋2)＜0，
x
－4
5分
7分
9分
11分
所以－2＜
x
＜4.
所以
A
∩
B
＝{ x
|0＜
x
＜3}.
(2)因为
B
∪
C ＝
B
，所以
C
?
B
，
?
?
a
＋1≤4，
所以
?
?
a
≥－2.
?

解得－2≤
a
≤3.
所以，实数
a
的取值范围是[－2,3]. 14分
2
18．(本小题满分16分)设命题
p
：函数
y
＝
kx
＋1在R上是增函数，命题
q
：?
x
∈R，
x
＋
(2
k －3)
x
＋1＝0，如果
p
∧
q
是假命题，
p
∨
q
是真命题，求
k
的取值范围．
[解] ∵函数
y
＝
kx
＋1在R上是增函数，∴
k
＞0，
22
2分
由?
x
∈R，
x
＋(2
k－3)
x
＋1＝0得方程
x
＋(2
k
－3)
x
＋1＝0有解，4分

15
2
∴Δ＝(2
k
－3)－4≥0，解得
k
≤或
k
≥.
22
∵
p ∧
q
是假命题，
p
∨
q
是真命题，∴命题
p
，
q
一真一假，
6分
10分
k
＞0，
?
?
①若
p
真
q
假，则
?
15
＜
k
＜，
?
2
?
2
k
≤0，
? ?
②若
p
假
q
真，则
?
15
k≤或
k
≥，
?
2
?
2

15
∴＜
k
＜；
22
12分
解得
k
≤0， 14分
?
15
?
综上可得
k
的取值范围为(－∞，0]∪
?
，
?
.
?
22
?
2
16分
19．(本小题满分16分)已知命题
p
：函数
y
＝log
a
(2
x
＋1)在定义域上单调递增；命题
q
：不
等式(
a
－2)
x
＋ 2(
a
－2)
x
－4＜0对任意实数
x
恒成立，若“
p
且﹁
q
”为真命题，求实
数
a
的取值范围．
[解] 因为命题
p
：函数
y
＝log
a
(2x
＋1)在定义域上单调递增，所以
a
＞1.4分
∴又因为命题
q
：不等式(
a
－2)
x
＋2(
a
－2)
x
－4＜0对任意实数
x
恒成立；所以
a
＝2
?
?
a
－2＜0，
或
?
?
Δ＝
a
－
?
2
2
＋
a
－＜0，

综上所述：－2＜
a
≤2，10分
12分
14分
16分因为
p
且﹁
q
为真命题，∴
p
真
q
假，
∴
?
?
a
＞1，
?
?
?
a ≤－2或
a
＞2，

∴
a
∈(2，＋∞).
∴实数
a
的取值范围为(2，＋∞).
20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题
p
：函数
f
(
x
)＝
x
3
＋
ax
2
＋
x
在R 上是增函数；命题
q
：若函数
g
(
x
)＝e
x－
x
＋
a
在区间[0，＋∞)
上没有零点．
(1)如果命题
p
为真命题，求实数
a
的取值范围；
(2 )命题“
p
∨
q
”为真命题，“
p
∧
q
” 为假命题，求实数
a
的取值范围.
【导学号：56394006】
[解] (1)如果命题
p
为真命题，
∵函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
x
在R上是增函数，
∴
f
′(
x
)＝3
x
＋2
ax
＋1≥0 对
x
∈(－∞，＋∞)恒成立，
∴Δ＝4
a
－12≤0?
a
∈[－3，3].
(2)g
′(
x
)＝e－1≥0对任意的
x
∈[0，＋∞)恒成立，
∴
g
(
x
)在区间[0，＋∞)上递增， 9分
x
2
2
32
4分
7分

若命题 q
为真命题，
g
(0)＝
a
＋1＞0?
a
＞－1，
由命题“
p
∨
q
”为真命题，“
p
∧q
”为假命题知
p
，
q
一真一假，
11分
?
－3≤
a
≤3
若
p
真
q
假，则
?
?
a
≤－1
若
p
假
q
真，则
?
?
a
＜－3或
a
＞3
?
a
＞－1

?
a
∈[－3，－1]， 13分
?
a
∈(3，＋∞)， 14分
16分综上所述，
a
∈[－3，－1]∪(3，＋∞).

专题限时集训(二) 函数
(对应学生用书第80页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
?
log
5
x
，
x
＞0，
?
1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)＝
?
x
?
?
2，
x
≤0，

??
1
??
则
f
?
f
???
＝________.
??
25
??
111
?
1
???
1
??
－2
[
f
??
＝log
5
＝－2，∴
f
?
f
???
＝
f
(－2)＝2＝.]
4254
?
25
???
25
??
2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数
f
(
x
)是定义在R上的周期为2的奇函
?
19
?
x
数，当0＜
x
＜1时，
f
(
x
)＝8.则
f
?
－
?
＝________.
?
3
?
－2 [函数
f
(
x
)是定义在 R上的周期为2的奇函数，当0＜
x
＜1时，
f
(
x
)＝8，则
x
f
?
－
?
＝
f
?
－
?
＝－
f
??
＝－8＝－2.]
333
3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数
f
(
x
)＝
[－2,2] [由lg(5－
x
)≥0，得5－
x
≥1，
即
x
≤4，解得－2≤
x
≤2.
∴函数
f (
x
)＝－
x
2
2
22
?
19
?
??
?
1
?
??
?
1
?
??
1
3
－
x
2
的定义域是________．
的定义域是[－2,2]．
故答案为：[－2,2]．]
1
?
1
?
b
1
a
4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设
a
，
b
，
c
均为正数，且2＝log
a
，
??
＝log
b
，
2
?
2
?
2
?
1
?
c
＝log
c
，则
a
，
b ，
c
的大小关系为________．
?
2
?
2 ??
a
＜
b
＜
c
[画图可得0＜
a
＜
b
＜1＜
c
.]

5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋2)＝－
f
(
x
)，
当0≤
x
≤1时，
f
(
x
)＝
x
，则
f
(37.5)等于________．
0.5 [∵
f
(
x
＋2)＝－
f
(
x
)，∴
f
(
x
＋4)＝
f
(
x
)且
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，0≤
x
≤1时，
f
(
x
)＝
x
，
∴
f
(37.5)＝
f
(1.5)＝－
f
(
－0.5
)
＝
f
(
0.5
)
＝0.5.]
11＋
ax
6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数
f
(
x
)＝－log
2
为奇函数，则
x
1－
x
实数
a
＝________.
11－
ax
11＋
ax
±1 [因为函数
f
(
x
)为奇函数，所以
f
(－
x
)＝－log 2
＝－＋log
2
，
－
x
1＋
xx
1－
x
即
1＋
x
1＋
ax
＝，所以
a＝±1.]
1－
ax
1－
x
7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R上的偶函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋2)·
f
(
x
)＝1对于
x
∈R恒成立，且
f
(
x
)＞0，则
f
(2 015)＝________.
1 [因为
f
(
x
＋2)·
f
(
x
)＝1?
f
(
x
＋4)＝
1
fx
＋
＝
f
(
x
)?
T
＝4，
因此
f
(2 015)＝
f
(3)＝
f
(－1)＝
f
(1)；
而
f
(
x
＋2)·
f
(
x
)＝1?
f
(－1＋2)·
f
(－1)＝1?
f
(1)＝1，
f
(
x
)＞0?
f
(1)＝
1，所以
f
(2 015)＝1.]
8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)是R上的单调函数，
且对任意实数
x
，都有
f
?f
2
?
?
x
＋
2
?
1
?＝，则
f
(log
2
3)＝________.
2＋1
?
3
x
1
?
[因为函数
f
(
x
)是R上的单调函数，且
f
?
f
2
?
＋
x
x
＋
2
?
1
＝，所以可设
f
(
x
)
2＋1
?
?
3
x
22 121
＝
t
(
t
为常数)，即
f
(
x
)＝
t
－
x
，又因为
f
(
t
)＝，所以
t
－
t
＝，
2＋12＋132＋13
21
令
g
(
x
)＝
x
－
x
，显然
g
(
x
)在R上单调递增，且
g
(1)＝，所以 t
＝1，
f
(
x
)＝1
2＋13

－
221
，
f
(log3)＝1－＝.]
2
x 2＋12log
2
3＋12
9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数
f
(
x
)＝|ln
x
|－1，
g
(
x
)
＝－
x
＋2
x
＋3，用min {
m
，
n
}表示
m
，
n
中最小值，设h
(
x
)＝min{
f
(
x
)，
g
(
x
)}，则函数
2
h
(
x
)的零点个数为________．
3 [作出函数
f
(
x
)和
g (
x
)的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由
g
(
x )＝－
x
＋
1
2
x
＋3＝0，得
x
＝－1或
x
＝3，由
f
(
x
)＝|ln
x
|－1＝0，得
x
＝e或
x
＝.
e

2

∵
g
(e)＞0，∴当
x
＞0时，函数
h
(
x
)的零点个数为3个．]
10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知
f
(
x
)，
g
(
x
)分别是定义在R上的奇
?
1
?x
?
1
?
函数和偶函数，且
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
??
.若存在
x
0
∈
?
，1
?
，使得等式
af
(
x
0 )＋
g
(2
x
0
)＝0
?
2
?? 2
?
成立，则实数
a
的取值范围是________.
【导学号：56394011】
52
??
?
1
?
x
?
1
?
－
x
?
22，
?
[由
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
?
2
?
得
f
(－
x
)＋
g
(－ x
)＝
?
2
?
，即－
f
(
x)＋
g
(
x
)
????
2
??
1－
xx
1
－
xx
?
1
?
－
x
?
1
?
＝
??
，所以
f
(
x )＝(2－2)，
g
(
x
)＝(2＋2)．存在
x
0
∈
?
，1
?
，使得等式
af
22
?2
??
2
?
?
1
?
a
＝－
g
(
x
0
)＋
g
(2
x
0
)＝0成立，即
x
0
∈
?
，1
?
，
f
? 2
?
1
2
则
h
(
x
)＝－
1
2
－2
x
x
0
gx
??
1
??
，设
h
(
x
)＝－
?
x
∈
?，1
??
，
x
0
fx
??
2
??＋2
－2
2
x
2
x
－2
x
2＋22 ?
1
?
x
－
xx
－
x
＝
x
－
x
＝(2－2)＋
x
－
x
，
x
∈
?
，1
?
时，2－2∈
2－22－2
?
2
?
－
xx
22
?
2
?
23
??
23
??
x
－
x
?
，
?
，设
t ＝2－2，则
t
∈
?
，
?
，而
h
(
x
)＝
t
＋
t
，易知
y
＝
t＋
t
在
?
，2
?
?
22
??
22
??
2
?
3
?
2
?
上递减，在
?
2，
?
上递增，因此
y
min
＝2＋＝22，
2
??
2

y
max
＝
2252
5 2
?
52
???
＋＝，所以
h
(
x
)∈ ?
22，
，即
a
∈
?
22，
??
. ]
22
2
?
2
???
2
2
?
?
2
x
－1，
x
＞0，
11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数
f
(
x
)＝
?
2
?
x
＋
x
，
x
≤0，
?

若函数
g
(
x
)
＝
f
(
x)－
m
有三个零点，则实数
m
的取值范围是________．
?
－
1
，0
?
[由
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
m
＝0得
f
(
x
)＝
m
，
?
4
?
??若函数
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
m
有三个零点，
等价为函数
f
(
x
)与
y
＝
m
有三个不同的交点，
作出函数
f
(
x
)的图象如图：

1
?
1
?
2
1
2
当
x
≤0时，
f
(
x
)＝
x
＋
x
＝
?
x
＋
?
－≥－，
4
?
2
?
4
若函数
f
(
x
)与
y
＝
m
有三个不同的交点，
1
则－＜
m
≤0，
4
?
1
??
1
?
即实数
m
的取值范围是
?
－，0
?
，故答案为：
?
－，0
?
.]
?
4
??
4
?
4
x
－
x
，
x
≥0，
?
?
12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数
f
( x
)＝
?
3
，
x
＜0，
?
?
x
若函数
g
(
x
)＝|
f
(
x
)|－3
x
＋
b
有三个零点，则实数
b
的取值范围为__ ______．
2

?
1
?
(－∞，－6)∪
?
－，0
?
 ?
4
?
4
x
－
x
，
x
≥0 ，
?
?
[函数
f
(
x
)＝
?
3
，
x
＜0，
?
?
x
2

若函数
g
(
x
)＝|
f
(
x
) |
－3
x
＋
b
有三个零点，就是
h
(
x )＝|
f
(
x
)|－3
x
与
y
＝－
b
有3个交点，
?
?
x
－7
x
，x
＞4，
h
(
x
)＝
?
3
－－3x
，
x
＜0，
?
?
x
2
x
－
x
2
，0≤
x
≤4，

画出两个函数的图象如图：

3
当
x
＜0 时，－－3
x
≥6，当且仅当
x
＝－1时取等号，此时－
b
＞6，可得
b
＜－6；
x
11
?
1
?
2
当0≤
x
≤4时，
x
－
x
≤，当
x
＝时取得最大值，满足条件的
b
∈
?
－，0
?
. 42
?
4
?
?
1
?
综上，
b
∈(－∞，－6)∪
?
－，0
?
.
?
4
?
?
1
?
故答案为：(－∞，－6)∪
?
－，0
?
.]
?
4
?
?
－
x
＋
m
，x
＜0，
?
13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数
f
(
x
)＝
?
2
?
?
x
－1，x
≥0，

其中
m
＞0，
若函数
y
＝
f
(
f
(
x
))－1有3个不同的零点，则
m
的取值范围是________．
(0,1) [①当
x
＜0时，
f
(
f
(
x
))＝(－
x
＋
m
) －1，图象为开口向上的抛物线在
y
轴
左侧的部分，顶点为(0，
m
－1)；
②当0≤
x
＜1时，
f
(
f
(x
))＝－
x
＋1＋
m
，图象为开口向下的抛物线在0≤
x
＜1之间
的部分，顶点为(0，
m
＋1)．根据题意
m
＞0，所以
m
＋1＞1；
③当
x
≥1时，
f
(
f
(
x
))＝(
x
－1)－1，图象为开口向上的抛物线在
x
＝1右侧的部
分，顶点为(1，－1)．
根据题意，函数
y
＝
f
(
f
(
x
))－1有3个不同的零点，即
f
(
f
(
x
))的图象与
y
＝1有
3个不同的交点．
根据以上三种分析的情况：第③种情况
x
＝1时，
f
(
f
(
x
))＝－1，右侧为增函数，
所以与
y
＝1有一个交点；第②种情况，当
x
→1时，
f
(
f
(
x))→
m
，所以与
y
＝1有
交点，需
m
＜1；第①种情况，当
x
→0时，
f
(
f
(
x
))→
m
－1，只要
m
－1＜1即可，
又
m
＞0 ，∴0<
m
＜2，
综上
m
的取值范围为(0,1)．]
22
22
2
2
2
?
?
14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数
f
(
x
)＝
?
ln
x
?
?
x
，
x
≥1，
2
1
x－1，
x
＜1，
2

则函数
y
＝

1
|
f
(
x
)|－的零点个数为________．
8
ln
x
11
2
4 [当
x
≥1时，
2
＝，即ln
x
＝
x
，
x
88
1
2
令
g
(
x
)＝ln
x
－
x
，
x
≥1时函数是连续函数，
8
g
(1)＝－＜0，
g
(2)＝ln 2－＝ln
1
8
1
2
2
e
＞0，
1
8
g
(4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知
g
(
x
)＝ln
x
－
x
2
有2个零点．
ln
x
1(结合函数
y
＝
2
与
y
＝可知函数的图象有2个交点． )
x
8
1
?
?
2
－1，
x
＜0 ，
当
x
＜1时，
y
＝
?
1
1－
?
?
2
，
x
∈[0，
x
x
，
1
函数的图象与
y
＝的图象如图，考查两
8
个函数有2个交点，
1
综上函数
y
＝|
f
(
x
)|－的零点个数为4个．
8

故答案为4.]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数
f
(
x
)
＝3＋λ·3(λ∈R)．
(1)若
f
(
x
)为奇函数，求λ的值和此时不等式
f
(
x
)＞1的解集；
(2)若不等式
f
(
x
)≤6对
x
∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.
【导学号：56394012】
[解] (1)函数
f
(
x
)＝3＋λ·3的定义域为R，
∵
f
(
x
)为奇函数，∴
f
(－
x
)＋
f
(
x
)＝0对?
x
∈R恒成立，即3＋λ·3＋3＋λ·3
－
x
－
x
x
－
x
x
－
x
xx
＝(λ＋1)(3＋3)＝0对?
x
∈R恒成立，∴λ＝－1.
x
－
x
x
－
x
3分
此时
f
(
x
)＝3－3＞1，即3－3－1＞0，
1＋51－5
xx
解得3＞或3＜(舍去)，
22
6分
x
－
x

?
?
1＋5
∴解集为
?x
?
x
＞log
3
2
?
?

?
?
.
?
7分
λ
x
－
xx
(2)由
f
(
x
)≤6得3＋λ·3≤6，即3＋
x
≤6，
3
λ
x
2
令
t
＝3∈[1,9]，原问题等价于
t
＋≤6对
t
∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－
t
＋6
t
对 t
t
∈[1,9]恒成立，
令
g
(
t
)＝－
t
＋6
t
，
t
∈[1,9]，
∵
g
(
t
)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减．
∴当
t
＝9时，
g
(
t
)有最小值
g(9)＝－27，
∴λ≤－27.
2
10分
14分
16 ．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数
y
＝
lg(－
x
＋4
x
－3)的定义域为
A
，函数
y
＝
(1)当
m
＝2时，求
A
∩
B
；
(2)若“
x
∈
A
”是“
x
∈
B ”的必要不充分条件，求实数
m
的取值范围．
[解] (1)由－
x
＋4
x
－3＞0，
解得1＜
x
＜3，所以
A
＝(1,3)，
又函数
y
＝
所以
y
∈
?
即
B
＝
?
2
在区间(0，
m
)上单调递减，
x
＋1
2分
2
2
2
，
x
∈(0，
m
)的值域为
B .
x
＋1
?
2
，2
?
，
?
?
m
＋1
?
5分
?
2
，2
?
，
?
?
m
＋1?
?
2
?
当
m
＝2时，
B
＝
?
，2
?
，所以
A
∩
B
＝(1,2).7分
?
3
?
(2)首先要求
m
＞0， 9分
2
≥1，解
m
＋1
而“
x
∈
A
”是“
x ∈
B
”的必要不充分条件，所以
B
是
A
的真子集，从而
得0＜
m
≤1.
所以实数
m
的取值范围为(0,1].
12分
14分
17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规
划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机
场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在
已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站
的费用为6 400万元，铺设距离为
x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400
x
＋20
x
3

万元．设余下工程的总费用为
f
(
x
)万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)．
(1)试将
f
(
x
)表示成
x
的函数；
(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．
[解] (1)设需要修建 k
个停靠站，则
k
个停靠站将28公里的轨道分成相等的
k
＋ 1
段，
28
∴(
k
＋1)
x
＝28?
k
＝－1，
x
3分
3
∴
f
(
x
)＝6 400 k
＋(
k
＋1)(400
x
＋20
x
)＝6 400
?
化简得
f
(
x
)＝28×400
x＋
2
?
28
－1
?
＋
28
(400 x
3
＋20
x
)，
?
x
?
x
?
7分
28×6 400
－5 840，
x
28×3 20028×3 200
2
(2)
f
(
x
)＝28×400
x
＋＋－5 840
xx
3
≥328×400
x
·
2
28×3 20028×3 200
·－5 840＝128 560(万元)，
xx
28×3 20028
2
当且仅当28×400
x
＝，即
x
＝2，k
＝－1＝13时取“＝”.13分
xx
故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分
18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数
f
(
x
)＝|
x
－1|
＋
x
＋
kx
，且定义域为(0,2)．
(1)求关于
x
的方程
f
(
x
)＝
kx
＋3在(0,2)上的解；
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)＝0在(0,2 )上有两个的解
x
1
，
x
2
，求
k
的取值范围．
[解] (1)∵
f
(
x
)＝|
x
－1 |＋
x
＋
kx
，
f
(
x
)＝
k x
＋3，即|
x
－1|＋
x
＝3.当0＜
x
≤1 时，
|
x
－1|＋
x
＝1－
x
＋
x
＝1，此时该方程无解．当1＜
x
＜2时，|
x
－1|＋
x
＝2
x
－1，
原方程等价于：
x
＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程
f
(
x
)＝
kx
＋3在(0,2)
上的解为2.
(2)当0＜
x
≤1时，
kx
＝－1，①
当1＜
x
＜2时，2
x
＋
kx
－1＝0，② 若
k
＝0，则①无解，②的解为
x
＝±
1
解为
x
＝－.
2
?(1,2)，故
k
＝0不合题意．若
k≠0，则①的
2
8分
2
2
2222222
2222
2
2
6分
k
1
2
(ⅰ)当－∈(0,1]时，
k
≤－1时，方程②中Δ＝k
＋8＞0，故方程②中一根在(1,2)
k

?
?g
1
内，一根不在(1,2)内．设
g
(
x
)＝2x
＋
kx
－1，而
x
1
x
2
＝－＜0 ，则
?
2
?
g
?
2
＜0，
＞0，

k
＜－1，
?
?
?
7
k
＞－，
?
2
?
k

x
7
又
k
≤－1，故－＜
k
＜－1.
2
12分
1
(ⅱ)当－?(0,1]时，即－1＜
k
＜0 或
k
＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而
x
1
x
2
＝－＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－＜
k
＜－1.
19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函
－3＋
a
数
f
(
x
)＝
x
＋1
.
3＋
b
(1)当
a
＝
b
＝1时，求满足
f
(
x
)＝3的
x
的值；
(2)若函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数．
①存在
t
∈R，不等式
f
(
t
－2
t
)＜
f
(2
t
－
k
)有解，求
k
的取值范围；
1
－
xx
②若函数
g
(
x
)满足
f (
x
)·[
g
(
x
)＋2]＝(3－3)，若对任意 x
∈R，不等式
3
22
1
2
7
2
x
g
(2
x
)≥
m
·
g
(
x
)－11恒成立，求实数
m
的最大值 .
－3＋1
xx
2
x
[解] (1) 由题意，
x
＋1
＝3，化简得3·(3)＋2·3－1＝0，
3＋1
1
xx
解得3＝－1(舍)或3＝，
3
所以
x
＝－1.
(2) 因为
f
(
x
)是奇函数，所以
f
(－
x
)＋
f
(
x
)＝0，
－3＋
a
－3＋
a
所以 －
x
＋1
＋
x
＋1
＝0，
3＋
b
3＋
b
化简并变形得： (3
a
－
b
)(3＋1)＋(2
ab
－6)·3＝0， 要使上式对任意的
x
成立，则3
a
－
b
＝0且2ab
－6＝0，
?
?
a
＝1，
解得
?
?
b
＝3
?
2
x
－
x
x
2分
4分
x
x

?
?
a
＝－1，
或
?
?
b
＝－3，
?

?
?
a
＝－1
因为
f
(
x
)的定义域是R，所以
?
?
b
＝－3
?
x

(舍去)，
－3＋1
所以
a
＝1，
b
＝3, 所以
f
(
x
)＝
x
＋1
.
3＋3
x
2
?
－3＋11
?
①
f
(
x
)＝
x
＋1
＝
?
－1＋
x
?
，
3＋1
?
3＋33
?
6分
对任意
x
1
，
x
2
∈R，
x
1
＜
x2
有：
－
f
(
x
1
)－
f (
x
2
)＝
??
＝
?
3
?
3
x
1
＋13
x
2
＋1
?
3
?1
?
22
?
2
?
3
x
2
－3
x
1
x
1
＋
x
2
＋
?
，
?
?

因为
x
1
＜
x
2，所以3
x
2
－3
x
1
＞0，所以
f
(
x
1
)＞
f
(
x
2
)，
因此
f
(
x
)在R上递减.
因为
f
(
t
－2
t
)＜
f
(2
t
－ k
)，所以
t
－2
t
＞2
t
－
k ，
即
t
＋2
t
－
k
＜0在
t∈R上有解，
所以Δ＝4＋4
k
＞0，解得
k
＞－1，
所以
k
的取值范围为(－1，＋∞).
1
－
xx
②因为
f
(
x
)·[
g
(
x
)＋2]＝(3－3)，
3
3－3
所以
g
(
x
)＝－2，
3
fx
即
g
(
x
)＝3＋3.
所以g
(2
x
)＝3＋3
2
x
－2
x
－ x
2
2222
8分
10分
x
x
－
x
12分
＝(3＋3)－2.
x
－
x
2
不等式
g
(2
x
)≥
m
·
g
(
x
)－11恒成立，
即(3＋3)－2≥
m
·(3＋3)－11，
9
x
－x
即
m
≤3＋3＋
x
－
x
恒成立.
3＋3
9
x
－
x
令
t
＝3＋3，
t
≥2，则
m
≤
t
＋在
t
≥2时恒成立，
14分
x
－
x
2
x
－
x
t
99
令
h
(
t
)＝
t
＋，
h
′(
t )＝1－
2
，
tt
t
∈(2,3)时，
h
′(
t
)＜0，所以
h
(
t
)在(2,3)上单调递减，
t
∈(3，＋∞)时，
h
′(
t
)＞0，所以
h (
t
)在(3，＋∞)上单调递增，
所以
h
(
t )
min
＝
h
(3)＝6，所以
m
≤6，
所以实数
m
的最大值为6 . 16分
20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定
义在(0，＋∞)上的两个函数f
(
x
)＝
x
－
a
ln
x
，
g
(
x
)＝
x
－
ax
.
(1)若
f
(
x
)在
x
＝1处取最值，求
a
的值；
(2)若函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)在区间(0,1]上单调递减，求实数
a
的取值范围；
(3)在(1)的条件下，试确定函数
m
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)－6的零点个数，并说明理由.
【导学号：56394013】
[解] (1)
f
′(
x
)＝2
x
－，由已知
f
′(1)＝0，即2－
a
＝0，
解得
a
＝2，经检验
a
＝2满足题意，
所以
a
＝2.
(2)
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
x
－
a
ln
x＋
x
－
ax
＝2
x
－
a
(
x
＋ln
x
)，
2222
2
2
a
x
4分

h
′(
x
)＝4
x
－
a
?
1＋
?
，要使得
h
(
x
)＝2
x
2
－
a
(
x
＋ln
x
)在区间(0,1]上单调递减，
?
x ?
?
1
?
?
1
?
则
h
′(
x
)≤0，即4
x
－
a
?
1＋
?
≤0在区间(0,1]上恒成立，
?
x
?
4
x
因为
x
∈(0,1]，所以
a
≥，
x
＋1
4
x设函数
F
(
x
)＝，则
a
≥
F
(x
)
max
，
x
＋1
4
x
4
F
(
x
)＝＝，
x
＋1
?
1
?
2
1
??
＋
2
2
2
6分
8分
?
x
?
x
1
因为
x
∈(0,1]，所以∈[1，＋∞)，
x
??
1
?
2
1
?
所以
?
??
＋
?
min
＝2，
?
?
x
?
x
?
所以F
(
x
)
max
＝2，所以
a
≥2.
(3)函数
m
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)－6有两个零点．
因为
m
(
x
)＝
x
－2ln
x
－
x
＋2
x
－6，
212
x
－2－
x
＋
x
所以
m
′(
x
)＝2
x
－－1＋＝＝
2
2
10分
x
－
x
x
x
xx
＋2
x
＋
x
＋
x
. 当
x
∈(0,1)时，
m
′(
x
)＜0，当
x
∈(1，＋∞)时，
m
′(
x
)＞0，
所以
m
(
x
)
min
＝
m
(1)＝－4＜0， 14分
1＋2e＋e
＜0，
m
(e)＝
8
e
－4
842
m
(e)＝
－2
－
e
＋e＋2e
4
3
－
＞0，
m
(e
4
)＝e
4
(e4
－1)＋2(e
2
－7)＞0，故由零点存在定理可知：
函数
m
(
x
)在(e
－4,
1)上存在一个零点，函数
m(
x
)在(1，e)上存在一个零点，
16分
4
所以函数
m
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)－6有两个零点.

专题限时集训(三) 导数
(对应学生用书第83页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数
f
(
x )＝－
x
＋
x
＋1在区间
32
x
3
a
2
?
1
，3
?
上单调递减，则实数
a
的取值范围是________.
?
2
?
??

xa
2
?
10
，＋∞
?
[因为函数
f
? 1
，3
?
上单调递减，(
x
)＝－
x
＋x
＋1在区间所以
f
′(
x
)
?
3
??
2
?
32
????
3
?
1
??
x
＋1
?
＝
?
x
＋
1
?
，2
＝
x
－
ax
＋1≤0在区间
?
，3
?
上恒成立，所以
x
＋1≤
ax
?
a
≥
? ?
max
?
x
?
max
?
2
??
x
???
2
2
10
?
1
??
10
?
当且仅当
x
＝3时，
?
x
＋
?
max ＝，所以
a
∈
?
，＋∞
?
.]
3
?
x
??
3
?
2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为R，
?
x
∈R，
f
′(
x
)＜
f
(
x
)，且
f
(
x
＋1)为偶函数，
f
(2)＝1，则不等式
f
(
x
)＜e
的解集
x
为________．
(0，＋∞) [令
g
(
x
)＝
fx
e
x
，则
g
′(
x
)＝
fx
－
fx
e
x
＜0，所以
g
(
x
)在定义
域内为减函数，因为
f
(
x
＋1)为偶函数，所以
f
(
x
＋1)＝
f
(－
x
＋1)?
f
(0)＝
f
(2)
＝1?
g
(0)＝1，因此
f
(
x
)＜e
?
g
(
x
)＜1＝
g
(0)?
x
＞0.]
x
3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数
f (
x
)＝log
2
x
在点
A
(1,2)
处切线的斜率为________.
【导学号：56394017】
111
[∵
f
′(
x
)＝，∴
k
＝
f
′(1)＝.]
ln 2
x
ln 2ln 2
4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数
a
，
b
，
c
，
d
满足|
b
＋
a
－4ln
a
|＋|2
c
－
d
＋2|＝0，则(
a
－
c
)＋(
b
－
d
)的最小值为________．
5 [|
b
＋
a
－4ln
a
|＋|2
c
－ d
＋2|＝0?
b
＋
a
－4ln
a
＝0, 2
c
－
d
＋2＝0，所以(
a
－
c
)22
222
222
＋(
b
－
d
)表示直线2 x
－
y
＋2＝0上点
P
到曲线
y
＝4ln
x
－
x
上点
Q
距离的平方．由
y
′
?
|2＋1＋2|
?
2
＝－2
x
＝2?
x
＝1(负舍)得
Q
(1，－1)，所以所求最小值为
??
＝5.]
x
5
??
4
1
3
5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县 2017届高三10月联考)已知函数
f
(
x
)＝
x
＋ mx
＋，
4
g
(
x
)＝－ln
x
，min{
a
，
b
}表示
a
，
b
中的最小值，若函数
h
(
x
)＝min{
f
(
x
)，
g
(
x
)}(
x
＞
0)恰有三个零点，则实数
m
的取值范围是________．
?
－
5
，－
3
?
[
f
2′(
x
)＝3
x
＋
m
，因为
g
(1) ＝0，所以要使
h
(
x
)＝min{
f
(
x)，
g
(
x
)}(
x
?
4
?
4
??
＞0)恰有三个零点，需满足
f
(1)＞0，
f
?
153
＞
?－
＜
m
＜－.]
244
6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数
f
(
x
)＝ln(e＋e)＋
x
，则使得
f
(2
x
)
＞
f
(
x
＋3)成立的
x
的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为
f
(－
x
)＝ln(e＋ e)＋(－
x
)＝ln(e＋e)＋
x
＝
f
－
x
?
?
5
－
m
?
?
＜0，
m
＜0，解得
m
＞－
4
，
3
?－
m
3
x
－
x
2
x
2
x－
x
2

(
x
)，所以函数
f
(
x
)是偶函数，易知函数
y
＝e＋e在
x
∈(0，＋∞) 是增函数，所以
函数
f
(
x
)＝ln(e＋e)＋
x在
x
∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式
f
(2
x
)＞
f
(
x
＋3)等价于|2
x
|＞|
x
＋3|，解得
x
＜－1或
x
＞3.]
7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
c
，g
(
x
)
＝3
x
＋2
ax
＋
b
(
a
，
b
，
c
是常数)，若
f
(
x
)在(0,1)上单调递减，则下列结论中：
①
f
(0)·
f
(1)≤0；②
g
(0)·
g
(1) ≥0；③
a
－3
b
有最小值．
正确结论的个数为________．
2 [由题意，得
f
′(
x
)＝3
x
＋2
ax
＋
b
，若函数
f (
x
)在(0,1)上单调递减，则
?
?
f
?
?
f
?
2
2
2
32
x
－
xx
－
x
2
，
，

?
?
b≤0，
即
?
?
3＋2
a
＋
b
≤0， ?
32

所以
g
(0)·
g
(1)＝
b
·(3＋2
a
＋
b
)≥0，故②
正确；不妨设
f
(
x
)＝
x
－2
x
－3
x
＋ 5，则
f
(0)·
f
(1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故
?
?
b
≤0，
①错；画出不等式组
?
?
3＋2a
＋
b
≤0
?

表示的平面区域，如图所示，令
z
＝
a
－3
b
，则
2
1
zz
1
z
b
＝
a
2
－，①当－＞－3，即
z
＜9 时，抛物线
b
＝
a
2
－与直线2
a
＋
b ＋3＝0有公共
33333
点，联立两个方程消去
b
得
a＋6
a
＋9－
z
＝0，
z
＝(
a
＋3 )≥0，所以0≤
z
＜9；当－
3
≤－3，即
z
≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，
z
≥0，所以
z
＝
a
－
3
b
有最小值，故③正确．]
2
22
z

8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的
a
∈R，曲线y
＝e(
x
＋
ax
＋1－
2
a
)在点
P
(0,1－2
a
)处的切线
l
与圆
C
：
x
＋2
x
＋
y
－12＝0的位置关系是________.
相交 [由题意，得
y
′＝e(
x
＋
ax
＋1－2
a
)＋e(2
x
＋
a
)，所以
y
′|x
＝0
＝1－
a
，所以
直线
l
的方程为
y
－(1－2
a
)＝(1－
a
)
x
，即(1－ a
)
x
－
y
＋1－2
a
＝0.化圆
C
的方程为(
x
＋1)＋
y
＝13，其圆心(－1,0)到直线l
的距离为
＝
a
2
－2
a
＋2
|a
|1
＝
11
??
2
?
2
－
?
＋1
1
22
22
x
2
x
2
x －
a
－0＋1－2
a
|
＝
22
－
a
＋－
－
?
aa
?
?
11
?
21
2
?
－
?
＋
?
a
2
?2
≤2＜13，所以直线
l
与圆相交．]
9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R上的奇函数
y
＝
f
(
x
)满足
f
(3)＝0，

且当
x
＞0时，
f
(
x
)＞－
xf
′(
x
)恒成立，则函数
g
(
x
)＝
xf
(
x
)＋lg|
x
＋1|的零点的个
数为________ .
【导学号：56394018】
3 [因为当
x
＞0时，[
xf
(
x
)]′＝
f
(
x
)＋
xf
′(
x
)＞0，所以
xf
(
x
)在(0，＋∞)
上单调递增，又函数
f
(
x
)为奇函数，所以函数
xf
(
x
)为偶函数，结合
f
(3)＝0，作
出函数
y
＝
xf
(
x
) 与
y
＝－lg|
x
＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数
g(
x
)＝
xf
(
x
)
＋lg|
x
＋1|的零点有3个．]

10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数
f
(
x
)在R上存在导函数
f
′(
x
)，对任意的实数
x
都有
f
(
x
)＝4
x
2
－
f
(－
x
)，当
x
∈(－∞，0)时，
f
′(
x
)＋＜
4
x
.若
f
(
m
＋1)≤
f
(－
m
)＋4
m
＋2，则实数
m
的取值范围是________.
1
2
?
－
1
，＋∞
?
[∵
f
222
(
x
)－2
x
＋
f
(－
x
)－2
x
＝0，设
g
(
x
)＝
f (
x
)－2
x
，则
g
(
x
)＋
g
(－
?
2
?
??
x
)＝0，∴
g(
x
)为奇函数，又
g
′(
x
)＝
f
′(
x
)－4
x
＜－，∴
g
(
x
)在( －∞，0)上是减
函数，从而在R上是减函数，又
f
(
m
＋1)≤
f
(－
m
)＋4
m
＋2等价于
f
(
m
＋1)－2(
m
＋1)≤
f
(－
m
)－2(－
m
)，即
g
(
m
＋1)≤
g (－
m
)，
1
∴
m
＋1≥－
m
，解得
m
≥－.] 2
3
11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数
f
(
x
)＝
ax
sin
x
－(
a
∈
2
π－3
?
π
?
R)，且在
?
0，?
上的最大值为，则实数
a
的值为________．
2
? 2
?
22
1
2
?
π
?
1 [由已知得
f
′(
x
)＝
a
(sin
x
＋
x
cos
x
)，对于任意的
x
∈ ?
0，
?
，有sin
x
＋
x
cos
2
??
x
＞0，当
a
＝0时，
f
(x
)＝－，不合题意；当
a
＜0时，
x
∈
?
0 ，
?
，
f
′(
x
)＜0，
2
3
2
?
?
π
?
?
?
π
??
π
?
从而
f
(
x
)在
?
0，
?
单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在
?
0，
?
上
2 ?
2
???
3
?
π
?
f
的最大值为
f
(0)＝－，不合题意；当
a
＞0时，
x
∈
?
0，
?
，′(
x
)＞0，从而
f (
x
)
2
?
2
?

?
π
??
π
?
在
?
0，
?
单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在
?
0，
?
上的最大值为
2
?
2
???
f
??
＝·
a
－＝
2
?
π
?
π
??
2
3π－3
，解得
a＝1.]
22
ln
x
2
12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数
f
(
x
)＝，关于
x
的方程[
f
(
x
)]
x
＋
mf
(
x
)－1 ＝0有三个不同的实数解，则实数
m
的取值范围是________．
?
e－
1
，＋∞
?
[
f
(
x
)＝
ln
x
?
f
′(
x
)＝
1－ln
x
＝0?
x
＝e，因此当0＜
x
≤e时，
f ?
e
?
xx
2
??
?
1
?
1 1
2
(
x
)≤；当
x
＞e时，0＜
f
(
x
)＜，因此
g
(
t
)＝
t
＋
m t
－1＝0有两个根，其中
t
1
∈
?
0，
?
，
e
?
ee
?
?
1
?
1
?1
?
t
2
∈(－∞，0]∪
??
，因为
g(0)＝－1，所以
g
??
＞0?
m
＞e－.]
? e
?
?
e
?
e
13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数
f
(
x
)＝
x
＋，x
＞0，
?
?
?
1
x
＋1，
x
≤0，
?
?
2

若
m
＜
n
，且
f
(
m
)＝
f
(
n
)，则
n
－ m
的取值范围是________.
[3－2ln 2,2) [如图，作出函数
y
＝
f
(
x
)的图象，不妨设
f
(
m
)＝
f
(
n
)＝
t
，
由
f
(
m
)＝
f
(
n
)可知函数
f
(
x
)的图象与直线
y
＝
t
有两个交点，
而
x
≤0时，函数
y
＝
f
(
x
)单调递增，其图象与
y
轴交于点(0,1)，
所以 0＜
t
≤1.又
m
＜
n
，所以
m
≤0， n
＞0，
由0＜
t
≤1，得0＜ln(
n
＋1)≤ 1，解得0＜
n
≤e－1.
1
由
f
(
m
)＝
t
，即
m
＋1＝
t
，解得
m
＝2 t
－2；
2
由
f
(
n
)＝
t ，即ln(
n
＋1)＝
t
，解得
n
＝e－1；
t

记
g
(
t
)＝
n
－
m
＝e－1－(2
t
－2)＝e－2
t
＋1(0＜
t
≤1)，
g
′(
t
)＝e－2.
所以当0＜
t
＜ln 2时，
g
′(
t
)＜0，函数
g
(
t
)单调递减；
当ln 2＜
t
≤1时，
g
′(
t
)＞0，函数
g
(
t
)单调递增．
所以函数
g
(
t
)的最小值为
g
(ln 2)＝e
0
ln 2
ttt
－2ln 2＋1＝3－2ln 2；
而
g
(0)＝e＋1＝2，
g
(1)＝e－2＋1＝e－1＜2，所以3－2 ln 2≤
g
(
t
)＜2.]
14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R的偶函数
f
(
x
)，其导函数为
f
′(
x
)，对任意
x
∈[0，＋∞)，均满足：
xf
′(
x
)＞－2
f
(
x
)．若
g
(
x
)＝
x
2
f
(
x
)，则

不等式
g
(2
x
)＜
g
(1－
x )的解集是________.
?
－1，
1
?
[
x
∈[0，＋∞)时，
g
′(
x
)＝2
xf
(
x
)＋
x
2
f
′(
x
)＝
x
(2
f
(
x
)＋
xf
′(
x
))
?
3
?
??
＞0，而
g
(
x
)＝
xf
(
x
)也为偶函数，所以
g
(2
x
)＜
g
(1－
x
)?
g
(|2
x
|)＜
g
(| 1－
x
|)?|2
x
|
1
2
＜|1－
x |?3
x
＋2
x
－1＜0?－1＜
x
＜.]
3
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联 网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量
2
h (
x
)(单位：千套)与销售价格(单位：元套)满足关系式
h
(x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)(3＜
x
＜7，
m
为常数)，其中
f
(
x)与(
x
－3)成反比，
g
(
x
)与(
x－7)的平方成正比，已知销售价格为5
元套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元套时，每日可售出套题69千套．
(1)求
h
(
x
)的表达式； (2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，
试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
[解] (1)因为
f
(
x
)与
x
－3成反比，
g
(
x
)与
x
－7的平方成正比，
所以可设：
f
(
x
)＝，
g
(
x
)＝
k
2
(
x
－7)，
k
1
≠0，
k
2
≠0，
x
－3
＋
k
2
(
x
－7).
x
－3
k
1
2
则
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
k
1
2
2分
因为销售价格为5元套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元套时，每
日可售出套题69千套，
k
?
?
2
＋4
k
＝21，
所以，
h
(5)＝21，
h
(3.5)＝69，即
?
49
2
k
＋
?
?
4
k
＝69，
1
2
12

?
?
k
1
＝10，
解得：
?
?
?
k
2
＝4，

6分
所以，
h
(
x
)＝
10
2 ＋4(
x
－7)(3＜
x
＜7).
x
－3
10
2
＋4(
x
－7)，
x
－3
8分
(2)由(1)可知，套题每日的销售量
h
(
x
)＝
设每日销售套题所获得的利润为
F
(
x
)，
则
F
(
x
)＝(
x
－3)
?
2
?
10
＋
?
x
－3
x
－
2
?

?
?
＝10＋4(
x
－7)(
x
－3)

＝4
x
－68
x
＋364
x
－578，
32
10分
?
13
?
2
从而
F
′(
x
)＝12
x
－136
x
＋364＝4(3
x
－13)(
x
－7)，3＜
x
＜7，
x
∈
?
3，
?
时，
F
′(
x
)
3
??
?
13
?
＞0，所以函数
F
(
x
)在?
3，
?
上单调递增，
3
??
????
x ∈
?
，7
?
时，
F
′(
x
)＜0，所以函数
F
(
x
)在
?
，7
?
上单调递减，
33
????
13
所以
x
＝≈4.3时，函数
F
(
x
)取得最大值，
3
即当销售价格为4.3元套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分
16 ．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数
f
(
x
)
＝
x
＋
a
ln
x
(
a
∈R)．
(1)若曲线
y
＝
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处与直线
y
＝3
x
－2相切，求
a
的值；
(2)若函数
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
kx
有两个零点
x
1
，
x
2
，试判断
g
′
?
2
12分
1313
?
x1
＋
x
2
?
的符号，并证明.
?
?
2
?
【导学号：56394019】
[解] (1)
f
′(
x
)＝1＋，又∵
f
′(1)＝3.
所以
a
＝2.3分
(2)函数
g
(
x
)的定义域是(0，＋∞).
若
a
＝0，则
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
kx
＝
x
－
kx
. 令
g
(
x
)＝0，则
x
－
kx
＝0 .
又据题设分析知
k
≠0，
1
∴
x
1
＝0，
x
2
＝.
2
22
a
x
2分
4分
k
又
g
(
x
)有两个零点，且都大于0，
∴
a
＝0，不成立.5分
?
g
?
据题设知
?
?
?
g
x
1
＝
x
1
＋
a
ln
x
1
－
kx
2
1
＝0，
x
2
＝
x
2
＋
a
ln
x
2 －
kx
2
2
＝0，
x
1
x
2

不妨设
x
1
＞
x
2
，＝
t
，
t
＞1.
所以
x
1
－
x
2
＋
a
(ln
x
1
－ln
x
2
)＝
k
(
x 1
－
x
2
)(
x
1
＋
x
2
)．
所以1＋
6分
ax
1
－ln
x
2
＝
k
(
x
1
＋
x
2
)，
x
1
－
x
2
a
x
7分
又
g
′(
x
)＝1＋－2
kx
，

所以
g
′
?
＝
a
?
?
x
1
＋
x
2
?
＝1＋
2
a
－
k(
x
＋
x
)＝1＋
2
a
－1－
a?
12
x
1
＋
x
2
x
1
＋ x
2
?
2
?
x
1
－ln
x
2

x
1
－
x
2
t
－1
－ln
t
?
?
.9分
t
＋1
?
1
2 －＝－
?
2
－
ln
x
1
－ln
x
2
?
＝
a
?
2
－
ln
t
?
＝
a
·
1
?
???
x
1 －
x
2
?
?
x
1
＋
x
2 ?
x
2
?
t
＋1
t
－1
?
x
2
t
－1
?
t
－
t
＋1
4－ln
t
(
t
＞1)，则
h
′(
t
)＝
t
＋
引入
h
(
t
)＝
t
t －
tt
＋
2
2
＜0.
所以
h
(
t
)在(0，＋∞)上单调递减.
而
h
(1)＝0，所以当
t
＞1时，
h
(
t
)＜0.
易知
x
2
＞0，
1
＞0，
t
－1
10分
所以当
a
＞0时，
g
′ ?
?
x
1
＋
x
2
?
＜0；当
a
＜0时，
g
′
?
x
1
＋
x
2
?
＞0.
??
2
?
?
2
???
14分
17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数
f
(
x
)
＝
x
ln
x
，
g
(
x
)＝－
x
＋
ax
－3.
(1)求函数
f
(
x
)在[
t
，
t＋2](
t
＞0)上的最小值；
(2)对一切
x
∈(0，＋∞)，2
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立，求实数
a
的取值范围；
12
(3)探讨函数
F
(
x
)＝ln
x
－
x
＋是否存在零点？若存在，求出函数
F
(
x
)的零点；若
ee
x
不存在，请说明理由．
[解] (1)
f
′(
x
)＝ln
x
＋1，
11
由
f
′(
x
)＜0得，0＜
x
＜，由
f
′(
x
)＞0得
x
＞，
ee
2
?
1
??
1
?
∴函数
f
(
x
)在
?
0，
?
上单调递减，在
?，＋∞
?
上单调递增，1分
?
e
??
e
? 111
?
1
?
当0＜
t
≤时，
t
＋ 2＞，∴
f
(
x
)
min
＝
f
??
＝－；
eee
?
e
?
1
当
t
＞时，
f
(
x
)在[
t
，
t
＋2]上单调递增，
f
(
x
)
min
＝
f
(
t
)＝
t
ln
t
，2分
e
11
－，0＜
t
≤，
?
?
ee
＝
?
1
t
ln
t
，
t
＞.
?
?
e
∴
f
(
x
)
min

x
3分
3
(2)原问题可化为
a
≤2ln
x
＋
x
＋，
3
设
h
(
x
)＝2ln
x
＋
x
＋(
x
＞0 )，
4分
xh
′(
x
)＝
x
＋
x
2
x
－
，当0＜
x
＜1时，
h
′(
x
)＜0，
h
(
x
)在(0,1)上单调递减；

当
x
＞1时，
h
′(
x
)＞0，
h(
x
)在(1，＋∞)上单调递增；6分
∴
h
(
x )
min
＝
h
(1)＝4，故
a
的取值范围为(－∞ ，4].7分
12
x
2
(3)令
F
(
x
)＝0，得ln
x
－
x
＋＝0，即
x
ln
x
＝
x
－(
x
＞0)，
ee
x
ee
11
由(1)知当且仅当
x
＝时，
f
(
x
)＝
x
ln
x
(
x
＞0)的最小值是－，
ee
5分
8分
9分
x
21－
x
设φ(
x
)＝
x
－(
x
＞0)，则φ′(
x
)＝
x
，易知φ(
x
)在(0,1)上单调递增，在(1，
eee
＋∞)上单调递减，
1
∴当且仅当
x
＝1时，φ(
x
)取最大值，且φ(1)＝－，
e
12分
1212
∴对
x
∈(0，＋∞)都有ln
x
＞
x
－，即
F
(
x
)＝ln
x
－
x
＋＞0恒成立，故函数
F
(
x
)
e e
x
ee
x
无零点. 14分
18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数
f
(
x
)
sin
x
＝
x
的定义域为[0, 2π]，
g
(
x
)为
f
(
x
)的导函数．
e
(1)求方程
g
(
x
)＝0的解集；
(2)求函数
g
(
x
)的最大值与最小值；
(3)若函数
F
(
x
)＝
f
(
x
)－
ax
在定义域上恰有2个极值点，求实数
a
的取值范围．
[解] (1)因为
f
′(
x
)＝－
sin
x
cos
x
＋
x
，
x
ee
1分
3分
4分
5分
cos
x
sin
x
π5π
所以
g
(
x
)＝
x
－
x
＝0，解得
x
＝或
x
＝；
ee44
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
x
(2)因为
g
′ (
x
)＝－
x
－
x
＋
x
－
x＝－2
x
，
eeeee
π3π
令
g
′(x
)＝0，解得
x
＝或
x
＝，
22

x
g
′(
x
)

g
(
x
)

0

?
0，
π
?

??
2
??
－

↓

π

2
0

π
－e－

2
?
π
，
3π
?

?
2
?
2
??
＋

↑

3π

2
0

3π
e－

2
?
3π
，2π
?

2π
?
2
?
??
－
↓

7分
e

－2π

1

1
?
π
?
所以
g
(
x
)的最大值为
g
(0) ＝1，所以
g
(
x
)的最小值为
g
??
＝－.
π
?
2
?
e
2

sin
x
cos
x
(3)因为
F
′(
x
)＝－
x
＋
x
－
a
＝
g
(
x
) －
a
，
ee
所以函数
F
(
x
)＝
f
(
x
)－
ax
在定义域上恰有2个极值点，等价于
g
(
x)－
a
＝0在定义
域上恰有2个零点且在零点处异号，即
y
＝ g
(
x
)与
y
＝
a
的图象恰有两个交点，
π
?
π
??
π
?
由(2)知
F
′ (0)＝
g
(0)－
a
＝1－
a
，
F
′ ??
＝
g
??
－
a
＝－e－－
a
，
2
?
2
??
2
?
F
′
?
?
3π
?
＝
g
?
3π
?
－
a＝e－
3π
－
a
，
F
′(2π)＝
g
(2π)－
a
＝e
－2π
－
a
，
???
2
?
2
??
2
?
?
π
??
3π ??
π
?
若
F
′
??
≥0，则
F ′
??
＞
F
′
??
＞0，
?
2 ??
2
??
2
?
所以
F
′(
x)＝0至多只有1个零点，不成立， 10分
11分
?
π
?
所以只有
F
′
??
＜0；
?
2
?
若
F
′
?
?
3π
?＜0，则
F
′(2π)＜0，所以
F
′(
x
)＝0只有 1个零点，不成立，12分
?
?
2
?
?
3π
?
≥0，
?
?
2
?
13分所以
F
′
?
若
F
′
?
?
3π
?
＝0，即
a
＝e －
3π
，在
x
＝
3π
处同号，不成立；
?
22
?
2
?
若
F
′(2π)≤0，则
F
′(
x
)＝0有3个零点，不成立，14分
所以只有
F
′(2π)＞0.
所以满足的条件为：
π
? ?
π
?
π
?
?
F
′
?
?
2
?
＝
g
?
2
?
－
a
＝－e－ 2
－
a
＜0
?
????
－2π
?
π ＝
g
π－
a
＝e－
a
＞0
?
F
π 3π
－2π
解得－e－＜
a
＜e或
a
＝e－，
2 2
π3π
－2π
(注：利用图象直接得出－e－＜
a
＜e或
a
＝e－扣4分．)
22
ln
x
19．(本小题满分16分)(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数
f
(
x
)＝，
g
(
x
)＝

，
16分
x
ax
??
x
?
ln
x
－－1
?
.
?
2
?
(1)求
y
＝
f
(
x
)的最大值；
?
1
?
(2)当
a ∈
?
0，
?
时，函数
y
＝
g
(x
)(
x
∈(0，e])有最小值．记
g
(
x
)的最小值为
h
(
a
)，
?
e
?
求函数 h
(
a
)的值域．

1－ln
x
[解] (1)
f
′(
x
)＝(
x
＞0)，
2
x
当
x
∈(0，e)时，
f
′(
x
)＞0，
f
(
x
)单调递增；
当
x
∈(e，＋∞)时，
f
′(
x
)＜0，
f
(
x
)单调递减，
1
所以当
x
＝e时，
f
(
x
)取得最大值
f
(e)＝.
e
(2)
g
′(
x
)＝ln
x
－
ax
＝
x
?
4分
?
ln
x
－
a
?
，由(1)及
x
∈(0，e]得：
?
?
x
?
1ln
x
①当
a
＝时，－
a
≤0，
g
′(
x
)≤0，
g
(x
)单调递减，
e
x
e
当
x
＝e时，
g
(
x
)取得最小值
g
(e)＝
h
(
a
)＝－.
2
1
?
1
?
②当
a
∈
?
0，
?
，
f
(1)＝0≤
a
，
f
(e)＝＞
a
，
e
?
e
?
所以存在
t
∈[1，e)，
g
′ (
t
)＝0且ln
t
＝
at
，
当
x ∈(0，
t
)时，
g
′(
x
)＜0，
g(
x
)单调递减，当
x
∈(
t
，e]时，
g ′(
x
)＞0，
g
(
x
)单
调递增，所以 g
(
x
)的最小值为
g
(
t
)＝
h
(
a
).
令
h
(
a
)＝
G(
t
)＝
12分
8分
t
ln
t
2
－
t
，
ln
t
－1e
因为
G
′(
t
)＝＜0，所以
G
(
t
)在[ 1，e)单调递减，此时
G
(
t
)∈(－，－1]．
22
e
综上，
h
(
a
)∈[－，－1].
2
16分
e
x
20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2 017届高三摸底考试)已知函数
f
(
x
)＝
x
(为自
e
然对数的底数)．
(1)求
f
(
x
)的单调区间；
(2)是否存在正实数使得
f
(1－
x
)＝
f
(1＋
x
)，若存在请求出，否则说明理由；
(3)若存在不等实数
x
1
，
x
2
，使得
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)，证明：
f
′
?
?
x
1
＋
x
2
?
＜0.
?
?
2
?
【导学号：56394020】
[解] (1)函数
y
＝
f
(
x
)的单调递减区间是(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).
(2)不存在正实数使得
f
(1－
x
)＝
f
(1＋
x
)成立，
事实上，由(1)知函数
y
＝
f
(
x
)在(－∞，1)上递增，
而当
x
∈(0,1)，有
y
∈(0,1)，在(1，＋∞)上递减，有0＜
y
＜1，
因此，若存在正实数使得
f
(1－
x
)＝
f
(1＋
x
)，必有
x
∈(0,1). 6分

令
F
(
x
)＝
f
(1＋
x
)－
f
(1－
x
)＝
x
＋1
e
x
＋(
x
－1)e，
x
?
x 1
?
令
F
′(
x
)＝
x
?
e－
x
?
，因为
x
∈(0,1)，所以
F
′(x
)＞0，所以
F
(
x
)为(0,1)上的增函
e??
数，所以
F
(
x
)＞
F
(0)＝0，即 f
(1＋
x
)＞
f
(1－
x
)，
故不存在正实数使得
f
(1－
x
)＝
f
(1＋
x
)成立. 8分
(3)若存在不等实数
x
1，
x
2
，使得
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)，则 x
1
和
x
2
中，必有一个在(0,1)，
另一个在( 1，＋∞)，不妨设
x
1
∈(0,1)，
x
2
∈(1，＋∞ ).
①若
x
2
≥2，则
所以
f
′
?
10分
x
1
＋
x
2
2∈(1，＋∞)，由(1)知：函数
y
＝
f
(
x
)在 (1，＋∞)上单调递减，
?
x
1
＋
x
2
?
＜0；
?
?
2
?
②若
x
2
∈(1,2 )，由(2)知：当
x
∈(0,1)，则有
f
(1＋
x
)＞
f
(1－
x
)，
而1－
x
1
∈(0,1)，所以
f
(2－
x
1
)＝
f
[1＋(1－
x
1
)]＞
f
[1－(1－
x
1
)]＝
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)，
即
f
(2－
x
1
)＞
f
(
x
2
)，
而2－
x
1
，
x
2
∈(1,2)，由(1)知：函数
y
＝
f
(
x
)在(1，＋∞)上单调递减，13分 ∴2－
x
1
＜
x
2
，即有
x
1＋
x
2
2
∈(1，＋∞)，
由(1)知：函数
y
＝
f
(
x
)在(1，＋∞)上单调递减，所以
f
′
?
?
x
1
＋
x
2
?
＜0；
?
? 2
?
?
x
1
＋
x
2
?
＜0 .
?
?
2
?
16分
综合①②得：若存在不等实数
x
1
，
x
2
，使得
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)，则总有
f
′
?

专题限时集训(四) 平面向量
(对应学生用书第86页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
→
3
?
→
?
13
??
1
1．(广东湛江市2 017届高三上学期期中调研考试)已知向量
BA
＝
?
－，
?
，
BC
＝
?
，
?
，
?
22
??
22
?
则∠
ABC
＝________.
→→
BA
·
BC
60° [cos∠
ABC
＝ →→
|
BA
|·|
BC
|

＝
1133
－×＋×
2222
?
－
1
?
2
＋
?
3
?
2
×
?
2
?
??
??
?
2
?
?
1
?
2
＋
?
3
?
2
?
2
?
??
??
?
2 ?

1
＝，所以∠
ABC
＝60°.]
2
2．已知向量
a
＝(1，－1)，
b
＝(6，－4)．若
a
⊥(
ta
＋
b
)，则实数
t
的值为________．
－5 [∵
a
＝(1，－1)，
b
＝(6，－4)，∴
ta
＋
b
＝(
t
＋6，－
t
－4)．
又a
⊥(
ta
＋
b
)，则
a
·(
ta ＋
b
)＝0，即
t
＋6＋
t
＋4＝0，解得
t
＝－5.]
3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知
a ，
b
均为单位向量，且(2
a
＋
b
)·(
a
－2
b
)＝－
33
，则向量
a
，
b
的夹角为________.
2
【导学号：56394025】
π
[向量
a
，
b
的夹角为θ，因为|
a
|＝|
b
|＝1，所以(2
a ＋
b
)·(
a
－2
b
)＝－3
a
·
b
6
333π
＝－3cos θ＝－，即cos θ＝，θ＝.]
226
4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设向量
a
＝(cos
x
，－sin
x
) ，
b
??
π
??
＝
?
－cos
?
－
x
?
，cos
x
?
，且
a
＝
tb
，
t
≠0，则sin 2
x
的值等于________．
??
2
??
??
π
??
±1 [因为
b ＝
?
－cos
?
－
x
?
，cos
x
?
＝(－sin
x
，cos
x
)，
a
＝
tb
，所以cos
x
cos
x
??
2
??
－(－sin
x
)(－sin x
)＝0，即cos
x
－sin
x
＝0，所以tan
x
＝1，tan
x
＝±1，
x
＝
ππ
＋(
k
∈Z)，2
x
＝
k
π＋(
k
∈Z)，sin 2
x
＝±1.]
42
5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量 a
与
b
的夹角为θ，且
a
＝(－2,1)，
a＋2
b
＝(2,3)，则cos θ＝________.
3
a
·
b
－4＋1
－ [因为(
a
＋2 b
)－
a
＝2
b
＝(4,2)，所以
b
＝( 2,1)，所以cos θ＝＝
5|
a
||
b
|
5×5
3
＝－.]
5
6．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设
x
∈R，向量
a
＝(
x,
1)，
b
＝(1，－2)，且
a
⊥222
k
π
2
b
，则|
a
＋
b
|＝________.
10 [因为
a
⊥
b
?
a·
b
＝0?
x
－2＝0?
x
＝2，所以|
a ＋
b
|＝|(3，－1)|＝10. ]
7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△
ABC
中，已知
AB
＝1，
AC
＝2，∠ A
＝60°，若点

→→→→→
P
满足
AP＝
AB
＋λ
AC
，且
BP
·
CP
＝1 ，则实数λ的值为________．
→→→
1
－或1 [△
ABC
中，
AB
＝1，
AC
＝2，∠
A
＝60°，点
P
满足
AP
＝
AB
＋λ
AC
，
4
→→→→→
∴
AP
－
AB
＝λ
AC
，∴
B P
＝λ
AC
；
→→→→→→→→
又
CP
＝
AP
－
AC
＝(
AB
＋λ
AC
)－
AC
＝
AB
＋(λ－1)
AC
，
→→→→→
∴
BP
·
CP
＝λ
AC
·[
AB
＋(λ－1)AC
]
→→
2
＝λ
AC
·
AB
＋λ (λ－1)
AC

＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×2＝1，
1
2
整理得4λ－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1，
4
1
∴实数λ的值为－或1.]
4
→→
8．(天津六校2 017届高三上学期期中联考)
D
为△
ABC
的边
BC
上一点，
DC
＝－2
DB
，过
D
点
→→→→
2
的直线分别交直线
AB
、
AC
于
E
、
F ，若
AE
＝λ
AB
，
AF
＝μ
AC
，其中λ＞0，μ＞0，则＋
λ
1
＝________.
μ
→
2
→
1
→→→→→
21
3 [因为 AD
＝
AB
＋
AC
＝
mAE
＋
nA F
＝
m
λ
AB
＋
n
μ
AC
(m
＋
n
＝1)，所以
m
λ＝，
n
μ＝
?
3333
21
＋＝3
m
＋3
n
＝3.]
λμ
→→→→
9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量
AC＝(1,2)，
BD
＝(－2,2)，则
AB
·
CD
的
最小值为________．
9
－ [设
A
(
a
，
b
)，
B
(
c
，
d
)，
4 →→
∵
AC
＝(1,2)，
BD
＝(－2,2)，
∴
C
(
a
＋1，
b
＋2)，
D
(
c
－2，
d
＋2)，
→→
则
AB
＝(
c
－
a
，
d
－
b
)，
CD
＝(c
－
a
－3，
d
－
b
)，
→→2
∴
AB
·
CD
＝(
c
－
a
)(
c
－
a
－3)＋(
b
－
d
)
2
→

3
?
2
99
?
222
＝(
c
－
a
)－3(
c
－
a
)＋(b
－
d
)＝
?
c
－
a
－
? －＋(
b
－
d
)≥－.
2
?
44
?
→→
9
∴
AB
·
CD
的最小值为－.]
4
→→→→→→→
10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量 AB
，
AC
，
AD
满足
AC
＝
AB
＋
AD
，|
AB
|
→→→→→
5
＝2，|
AD
|＝1，
E
，
F
分别是线段
BC
， CD
的中点，若
DE
·
BF
＝－，则向量
AB
与
AD
的夹
4
角为________.
→→→→→→
22
→→→→→→
π
ADABABAD
5
AD
·
A B
55
→→
[
DE
＝
AB
－，
BF＝
AD
－，∴
DE
·
BF
＝－－＋＝－＋
AB
·
AD
＝
32222424
5
－.
4
→ →→→→→
1π
∴
AB
·
AD
＝1，cos〈
AB
，
AD
〉＝，∴
AB
与
AD
的夹角为.]
23
11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形
ABCD 中，
O
为
BD
的中点，
→→→→
且
OA＝3，
OC
＝5，若
AB
·
AD
＝－7，则
B C
·
DC
的值是________.
【导学号：56394026】

图4－8
9 [平面四边形
ABCD
中，
O
为
BD
的中点，
→ →
且
OA
＝3，
OC
＝5，∴
OB
＋
OD
＝0；
→→
若
AB
·
AD
＝－7，
→ →→→→→→→→→→
2
则(
AO
＋
OB
)·(
A O
＋
OD
)＝
AO
＋
AO
·
OD
＋
AO
·
OB
＋
OB
·
OD

→ →→→
2
＝
AO
＋
AO
·(
OD
＋
OB
)－
OB

2
→
→
＝3－
OB
＝－7；
→
∴
OB
＝16，
→→
∴|
OB
|＝|
OD
|＝4；
2
2 2

→→→→→→
∴
BC
·
DC
＝(
BO
＋
OC
)·(
DO
＋
OC
)
→→→ →→→→
2
＝
BO
·
DO
＋
BO
·
OC
＋
DO
·
OC
＋
OC

→→→→→
22
＝－
BO
＋
OC
·(
BO
＋
DO
)＋
OC

＝－4＋0＋5＝9.]
12．(广东省佛山市2 017届高三教学质量检测(一))一直线
l
与平行四边形
ABCD
中的两边
→→→→→→
AB
、
AD
分别交于
E
，
F
，且交其对角线
AC
于
K
，若
AB
＝2
AE
，
AD
＝3
AF
，
AC
＝λ
AK(λ∈R)，
则λ＝________.
→→→→
1
→
1
→→
1
→→
5 [由平行四边形法则，知
AC
＝
AB
＋
AD
，所以
AK＝
AC
＝(
AB
＋
AD
)＝(2
AE
＋3
AF
)
λλλ
2
→
3
→
23
＝
AE
＋
AF
，又
E
，
K
，
F 三点共线，所以＋＝1，解得λ＝5.]
λλλλ
→→→
13．(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形
ABCD
中，
BD
＝2，且
AC
·
BD
＝0，(
AB
＋
→→→
DC
)·(
BC
＋
AD
)＝5，则四边形
ABCD
的面积为_____ ___．
→→
3 [∵
AC
·
BD
＝0，∴
AC
⊥
BD
，
→→→→
∵(
AB
＋
DC
)·(
BC
＋ AD
)＝5，
→→→→→→→→→→→→→→
22
∴(
AB
＋
BC
＋
DC
＋
CB
)·(
BC
＋
CD
＋
AD
＋
DC
)＝(
AC
＋
DB
)·(
BD
＋
AC
)＝
AC
－
BD
＝5，
→
2
∴
AC
＝
BD
＋5＝9，∴
AC
＝3.
2
22
→
11
∴四边形
AB CD
的面积
S
＝×
AC
×
BD
＝×3×2＝3.]
22
14．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△
ABC
是边长为3的等边三角形，点
P
是
→
2
→
1
→→
以
A
为圆心的单位圆上一动点，点
Q
满足
AQ
＝
A P
＋
AC
，则|
BQ
|的最小值是________．
33
37－2
33
??
3
[如图建立平面直角坐标系，设
P
(cos θ，sin θ)，则
A
(0, 0)，
B
?
－，－
?
，
3
2
??
2
C
?
，－
?
3
?
2
33
??
；
2
?

→
2
→
1
→
21
?
333
??
2123
?
AQ ＝
AP
＋
AC
＝(cos θ，sin θ)＋
?
，－
＝
?
cos θ＋，sin θ－
?
.
?
3333
?
22
??
323 2
?
→→
22
??
BQ
＝
BA
＋
AQ
＝
?
cos θ＋2，sin θ＋3
?
，
3
?
3
?
→
则|
BQ
|＝
6747
－＝ 93
→
?
2
cos θ＋2
?
2
＋
?
2
sin θ＋3
?
2 ＝
?
3
??
3
?
????
67－12737 －2
＝.]
93
6747
＋
93
θ＋α
≥
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15． (本小题满分14分)已知直线
l
1
与圆
C
：(
x
－1)＋(
y
－2)＝4相交于不同的
A
，
B
两点，
→→→
对平面内任意的点
Q
都有
QC
＝λ
QA
＋ (1－λ)
QB
.设
P
为直线
l
2
：3
x
＋4
y
＋4＝0上的动点，
→→
求
PA
·
PB
的最小值．
→→→
[解] 由
QC
＝λ
QA
＋(1－λ)
QB
可知，
A
，
B
，
C
三点共线，即弦
AB
为圆
C
的直径.
→→→→→→→
2
又因为
P
为直线
l
2
：3
x
＋4
y＋4＝0上的动点，且
PA
·
PB
＝(
PC
＋
CA
)·(
PC
＋
CB
)＝
PC
→→→→
22
－
CB
＝
PC
－4，故
PA
·
PB 的最小值为
PC
－4的最小值.
2
22
→
10分
→
3＋8＋4
又因为圆心
C
(1,2)到直线
l
2
：3
x
＋4
y
＋4＝0的距离为＝3，故|
PC
|
min
＝3，所
5
→→
以
PA
·
PB的最小值为9－4＝5. 14分
16．(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知向量
m
＝(3
cos
x
，－1)，
n
＝(sin
x
，cos
x
)．
π
(1)当
x
＝时，求
m
·
n
的值； 3
31
?
π
?
(2)当
x
∈
?0，
?
，且
m
·
n
＝－，求cos 2
x
的值．
4
?
32
?
π311
?3
??
31
?
[解] (1)当
x
＝时，
m ＝
?
，－1
?
，
n
＝
?
，
?
，∴
m
·
n
＝－＝. 6分
3442
?
2
??
24
?
2

(2)
m
·n
＝3sin
x
cos
x
－cos
x
＝ 若
m
·
n
＝
2
π
?
1311
?
sin 2
x
－cos 2
x
－＝sin
?
2
x
－
?
－，8分 6
?
2222
?
π
?
313
?
－，则sin
?
2
x
－
?
＝，
6
?
332
?
π
?
ππ
??
π
?
∵
x
∈
?
0，
?
，∴2
x
－∈
?
－，
?
，
4
?
6
?
63
??
π?
6
?
∴cos
?
2
x
－
?
＝.
6
?
3
?
ππ
?
π
?
π ?
ππ63
???
∴cos 2
x
＝cos
?
2
x
－＋
?
＝cos
?
2
x
－
?
cos－sin
?
2
x
－
?
sin ＝×－66
?
6
?
6
?
6632
???
31 32－3
×＝.
326
14分
17．(本题满分14分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点
A
(1，
→→→→→→→
－1)，
B
(3,0)，
C
(2,1)，
P
为平面
ABC
上的一点，
AP
＝λ
AB
＋μ
AC
且
AP
·
AB
＝0，
AP
·
AC
＝
3.
→→
(1)求
AB
·
AC
；
(2)求λ＋μ的值.
【导学号：56394027】
→→
[解] (1)因为
AB
＝(2,1)，
AC
＝(1,2)，
→→
所以
AB
·
AC
＝2＋2＝4.4分
→→→ →
(2)因为
AP
·
AB
＝0，所以
AP
⊥
AB
，
→→
因为
AB
＝(2,1)，设
AP
＝ (
a
，－2
a
)， 6分
2分
→→
因为
AP
·
AC
＝3，所以(
a
，－2
a
)·(1, 2)＝3，
a
－4
a
＝3，
a
＝－1，8分
→→
AP
＝(－1,2)，因为
AC
＝(1,2)，所以(－1,2)＝λ(2, 1)＋μ(1,2)，10分
?
－1＝2λ＋μ，
?
所以
?
?
?
2＝λ＋2μ，

1
则λ＋μ＝.
3
14分
18．(本小题满分16分)如图4－9，已知点
O
为△
ABC
的外心，∠
BAC
，∠
ABC
，∠
ACB 的对
→→→
边分别为
a
，
b
，
c
，且2
OA
＋3
OB
＋4
OC
＝0.

图4－9
(1)求cos∠
BOC
的值； (2)若△
ABC
的面积为15，求
b
＋
c
－
a
的值．
→→→→→→
[解] (1)设△
ABC
外接圆的半径为
R
，由2
OA
＋3
OB
＋4
OC
＝0得3
OB
＋4
OC
＝－2
OA
，
两边平方得9
R
＋16
R
＋24
R
cos∠
BOC
＝4
R
，
－21
R
7
所以cos∠
BOC
＝
2
＝－.
24
R
8
2
2222
222
6分
?
π
?
cos∠
BOC
＝cos
2
(2 )由题意可知∠
BOC
＝2∠
BAC
，∠
BAC
∈
?
0，
?
，2∠
BAC
＝2cos∠
BAC
2??
71
－1＝－，从而cos∠
BAC
＝，10分
84所以sin∠
BAC
＝1－cos∠
BAC
＝
2
15 ，
4
115
△
ABC
的面积
S
＝
bc
sin∠
BAC
＝
bc
＝15，故
bc
＝8，从而
b
2
＋
c
2
－
a
2
＝2bc
cos∠
28
BAC
＝2×8×＝4.16分
→→
19．(本小题满分16分)已知两定点
M
(4,0)，
N
(1,0)，动点
P
满足|
PM
|＝2|
PN
|.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程；
(2)若点
G
(
a,
0)是轨迹
C
内部一点，过点
G
的直线l
交轨迹
C
于
A
，
B
两点，令
f (
a
)
→→
＝
GA
·
GB
，求f
(
a
)的取值范围．
→→
[解] (1)设
P 的坐标为(
x
，
y
)，则
PM
＝(4－
x ，－
y
)，
PN
＝(1－
x
，－
y
)．
→→
∵动点
P
满足|
PM
|＝2|
PN|，∴
整理得
x
＋
y
＝4.
22
1
4
－
x
2
＋
y
＝2
2
－
x
2
＋
y
，
6分
2
(2)(a)当直线
l的斜率不存在时，直线的方程为
x
＝
a
，不妨设
A
在 B
的上方，直线方
→→
程与
x
＋
y
＝4联立，可得
A
(
a
，4－
a
)，
B
(
a
，－4－
a
)，∴
f
(
a
)＝
GA ·
GB
＝(0，
2222
4－
a
)·(0，－4－ a
)＝
a
－4；
(b)当直线
l
的斜率存在时，设直线的方程为
y
＝
k
(
x
－
a
)，
222
8分

代入
x
＋
y
＝4，整理可得(1＋
k
)
x
－2
akx
＋(
ka
－4)＝0，设
A
(
x
1
，
y
1
)，B
(
x
2
，
y
2
)，
2
a kka
－4
则
x
1
＋
x
2
＝
2 ，
x
1
x
2
＝
2
，
1＋
k
1＋
k
→→
22
∴
f
(
a
)＝
GA
·
GB
＝(
x
1
－ a
，
y
1
)·(
x
2
－
a
，
y
2
)＝
x
1
x
2
－
a
(
x
1
＋
x
2
)＋
a
＋
k(
x
1
－
a
)(
x
2
－
a )
＝
a
－4.
由(a)(b)得
f
(
a
)＝
a
－4.
∵点
G
(
a,
0)是轨迹
C
内部一点，
∴－2<
a
<2，∴0≤
a
<4，
∴－4≤
a
－4<0，∴
f
(
a
)的取值范围是[－4,0).
2
2
2
2
222
2222222
14分
16分
20．(本小题满分16分)已知
a
＝(sin
x
，3cos
x
)，
b
＝(cos
x
，－cos
x
)，函数
f
(
x
)
＝
a
·
b
＋
3
.
2
(1)求函数
y
＝
f
(
x
)图象的对称轴方程；
1
(2)若方程
f
(
x
)＝在(0，π)上的解为
x
1
，
x
2
，求cos(
x
1
－
x
2
)的值．
3
[解] (1)
f
(
x
)＝
a
·b
＋
33
＝(sin
x
，3cos
x
)·(cos
x
，－cos
x
)＋＝sin
x
·cos
22
6分
x
－3cos
2
x
＋
π
?
313
?
＝sin 2
x
－cos 2
x
＝sin
?
2
x
－
?
.
3
?
222
?
ππ5π
k
π
令2
x
－＝
k
π＋(
k
∈Z)，得
x
＝＋(
k
∈ Z)，
32122
5π
k
π
即函数
y
＝
f
(
x
)图象的对称轴方程为
x
＝＋(
k
∈Z).
122
8分
π
?
π
?
15π2π
?? (2)由条件知sin
?
2
x
1
－
?
＝si n
?
2
x
2
－
?
＝＞0，设
x
1
＜
x
2
，则0＜
x
1
＜＜
x
2 ＜，
3
?
3
?
3123
??
5π5π
易知(
x
1
，
f
(
x
1
))与(
x
2
，
f
( x
2
))关于直线
x
＝对称，则
x
1
＋x
2
＝，∴cos(
x
1
－
x
2
) 126
＝cos
?
x
1
－
?
分

专题限时集训(五) 三角函数与解三角形
(对应学生用书第89页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
?
?
π
π
?
1
π
?
?
5π
－
x
1
??
＝cos
?
2
x
1
－
5π
?
＝cos
??
?
2
x
1
－
?
－
?
＝sin
?
2
x
1
－?
＝. 16
??
????
?
3
?
2
?
6
?
3
?
3
?
6
????
?
?

π
?
4
?
1．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知tan α＝－，则tan
?
α－
?
＝________.
4
? 3
?
4
－－1
3
π
?
tan α－14
?
7 [∵tan α＝－，则tan
?
α－
?
＝＝＝7.]
4
?
1＋tan α34
?
?
?
1＋
? －
?
?
3
?
?
π
?
2．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数
y
＝tan
?
x
－
?
的单调增区
3
??
间为________．
?k
π－
π
，
k
π＋
5π
?
，
k
∈Z [由
k
π－
π
＜
x
－
π
＜
k
π＋
π
，
k
∈Z，得
k
π－
π
＜
x
?
66
?
2326
??
5π
＜
k
π＋，
k
∈Z，
6
π5π
??
即函数的单调递增区间为
?
k
π－，
k
π＋
?
，k
∈Z.]
66
??
3．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知倾斜角为α的直线
l
过
x
轴上一点
A
(非坐标
原点
O
)，直线
l
上有一点
P
(cos 130°，sin 50°)，且∠
APO
＝30°，则α等于________．
100°或160° [因为
P
(cos 130°，sin 50°)＝
P
(cos 130°，sin 130°)，所以
∠
POx
＝130°，因此α＝130°＋30 °或130°－30°，即α＝160°或100°.]
?
π3π
?
tan (α－π)＝－
3
，4．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈
?，
?
，则sin
2
?
4
?
2
α＋cos α的值是________．
133
?
π3π
?
－ [tan(α－π)＝tan α＝－，又α∈
?
，
?
，所以sin α＝，cos α＝－
2
?
545
?
2
41
，所以sin α＋cos α＝－.]
55
5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数
f
(
x
)＝cos ω
x
(ω＞0)，将
y
＝
f
(
x
)π
的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________.
3
【导学号：56394033】
6 [将
y
＝
f (
x
)的图象向右平移
π
?
π
?
个单位长度，得
y
＝cos ω
?
x
－
?
＝
3
?
3
?
ωπ
?
ωπ
?
cos
?
ω
x
－
，又因为所得的图象与原图象重合，所以＝2
k
π，即ω＝6 k
(
k
∈
?
3
?
3
?
Z) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]
6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模) 在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别
为
a
，
b
，
c
，若满足2
b
co s
A
＝2
c
－3
a
，则角
B
的大小为_ _______．

π
[∵2
b
cos
A
＝2
c
－3
a
，
6
2
c－3
ab
＋
c
－
a
222
∴cos
A
＝＝，整理可得：
c
＋
a
－
b
＝3
ac
，
2
b
2
bc
222
c
2
＋ a
2
－
b
2
3
ac
3π
∴cos
B
＝＝＝，∵
B
∈(0，π)，∴
B
＝.]
2 ac
2
ac
26
π
??
7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)将函数
f
(
x
)＝3sin
?
4x
＋
?
图象上所有点的横
6
??
π
坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数
y
＝
g
(
x
)的图象．则
y
＝
g
(
x
)
6
图象一条对称轴是________．
x
＝ [函数
f
(
x
)＝3 sin
?
4
x
＋
?
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得
y
6
π
3
?
?
π
?
?
π
?
π
??
π
?
π
?
?
＝3s in
?
2
x
＋
?
，再向右平移个单位长度，得
y ＝3sin
?
2
?
x
－
?
＋
?＝
6
?
6
?
6
?
6
?
??
π
?
πππ
k
π
?
3sin
?2
x
－
?
，对称轴为2
x
－＝＋
k
π (
k
∈Z)，
x
＝＋(
k
∈Z)．]
6
?
6232
?

图5－7
8．(四川省2016年普通高考适应性测试)函数
f
(
x
)＝ A
sin(ω
x
＋
π
??
φ)
?
A
＞0，ω＞0，|φ|＜
?
的部分图象如图5－7所示，则函数
f
(
x
)的解析式为
2
??
________.
π
?
T
5ππ2π
??
5π
?
f
(
x
)＝2sin
?
2
x
－
?
[
A
＝2，＝－
?
T
＝π，ω＝
＝2,2sin
?
2×＋φ
?
＝
3
?
12
4126
T
???
2?
5πππππ
＋φ＝＋2
k
π(
k
∈ Z)?φ＝－＋2
k
π(
k
∈Z)，∵|φ|＜，∴φ＝－.]
62323
π
?
cos 2θ＋1
?
0＜θ＜
9． (江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数
y
＝tan θ＋，
?
2
?
sin 2θ
??
则函数
y
的最小值为________．
π
?
cos 2θ＋1
?
0＜θ＜
2 [由题意：函数
y
＝tan θ＋，
?
2
?
sin 2θ
??
sin θ2cosθ－1＋1sin θcos θ2
化简：
y
＝＋＝＋＝；
cos θ2sin θcos θcos θsin θsin 2θ
2

π
∵0＜θ＜，
2
∴0＜2θ＜π，
所以：0＜sin 2θ≤1.
2
当sin 2θ＝1时，函数
y
取得最小值，即
y
min
＝＝2.]
1
10．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数
f
(
x
)＝3sin 2ω
x
－cos
2ω
x
(其中ω∈(0,1))，若
f
(
x
)的图象经过点
?
调递增区间为________．
?
π
，0
?
，则
f
(
x
)在区间[0，π]上的单
?
?
6
?
?
0，
2π
?
[函数
f
(
x
)＝3sin 2ω
x
－cos 2ω
x

?
3
?
?? π
??
＝2sin
?
2ω
x
－
?
，
6
??
?
π
?
∵
f
(
x
)的图象经过点
?
，0
?
，
?6
?
∴2sin
?
?
π
ω－
π
?＝0，∴
π
ω－
π
＝
k
π，
k
∈Z，
?
6
?
36
?
3
1
解得ω＝3
k
＋，
2
1
∵ω∈(0,1)，∴ω＝，
2
?
π
?
∴
f
(
x
)＝2sin
?
x
－
?
，
6
??
πππ
∴
f
(
x
)的增区间为：－＋2
k
π≤
x
－≤＋2
k
π，
k
∈Z，
262
π2π
整理，得－＋2
k
π≤
x
≤＋2k
π，
k
∈Z，
33
?
2π
?
∴
f
(
x
)在区间[0，π]上的单调递增区间为
?
0，
?
.]
3
?? π
?
3
??
π
?
11．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若sin
?
α－
?
＝，α∈
?
0，
?
，则cos α的值
6
?
5
2
???
为________．
43－3
?
π
?
[∵α∈
?
0，
?
，
2
?
10
?
π
?
ππ
?
∴α－∈
?
－，
?
， 6
?
63
?
π
?
3
?
∵sin
?
α－
?
＝，
6
?
5
?

π
?
4
?
∴cos
?
α－
?
＝， 6
?
5
?
π
?
π
?
π
?? π
?
π
?
π43
??
??
那么cos α＝ cos
?
?
α－
?
＋
?
＝cos
?
α－
?
cos
??
－sin
?
α－
?
s in＝×
6
?
6
?
6
??
6
?
6
?
652
??
?
?
3143－3
－×＝.] 5210
12．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边
2
?
3π
?
分别是
a
，
b
，
c
，若sin ?
B
＋
?
＝－，且
a
＋
c
＝2，则 △
ABC
周长的取值范围是________.
4
?
2
?
2
232π
?
3π
?
[2＋3，4) [∵sin?
B
＋
?
＝－，且
B
为三角形的内角，∴
B ＝π，∴
B
＝，
4
?
223
?
2
又
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝(
a
＋
c
)－
ac
＝4－
ac
≥4－
?
2222
?
a
＋
c
?
2
＝3，当且仅当
a
＝
c
＝1
?
?
2
?时，取等号，所以
b
≥3，所以
a
＋
c
＋
b ≥2＋3；又
a
＋
c
＝2＞
b
，所以
a＋
c
＋
b
＜4，
所以△
ABC
周长的取值范围是[2＋3，4)．]
13．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△
ABC
中，sin
A
＋2sin
B
cos
C
＝0，则tan
A
的最大值是________．
3
[∵sin
A
＋2sin
B
cos
C
＝0，∴
a
＋2
b
cos
C
＝0.
3
a
2
＋
b
2
－
c
2
2 22
∴
a
＋2
b
＝0，∴2
a
＋
b
－
c
＝0；
2
ab
1
2
由于tan
A
＝
2
－1.
cos
A
b
2
＋
c
2
－
a
2
3
b
2
＋
c
2
23
bc
3
又cos
A
＝＝≥＝，当且仅当3
b
＝
c
时，等号成立．即cos
2
bc
4
bc
4
bc
2
A
的最小值为
313
2
.故tan
A
的最大值为，故tan
A
的最大值为.]
233
14．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数
f
(
x
)＝sin ω
x
＋3cos ω
x
＋1的最小
正周期为π，当
x
∈[
m
，
n
]时，
f
(
x
)至少有12个零点，则
n
－
m
的最小值为_ _______．
π
?
π
?
16π
??
[由题知
f
(
x
)＝2sin
?
2
x
＋
?
＋1，
f
(
x
)＝0,2sin
?
2
x
＋
?
＝－1，∴
3
?
3
?
3 ??
π
?
1
?
sin
?
2
x
＋
?
＝－.
3
?
2
?
由周期性可知
n
－
m
≥5π＋
π16π16π
＝，∴(
n
－
m
)
min
＝.]
333
二、解答题(本大题共6小题，共90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图5－8，在△
ABC
中，
D
为

边
BC
上一点，
AD
＝6，
BD
＝3，
D C
＝2.

① ②
图5－8
(1)若
AD
⊥
BC
，求∠
BAC
的大小；
π
(2)若∠
ABC
＝，求△
ADC
的面积．
4
[解] (1)设∠
BAD
＝α，∠
DAC
＝β. 因为
AD
⊥
BC
，
AD
＝6，
BD
＝ 3，
DC
＝2，
11
所以tan α＝，tan β＝，
23
11
＋
23
tan α＋tan β
所以tan∠
BAC
＝tan(α＋β)＝＝＝1.4分
1－tan αtan β11
1－×
23
又∠
BAC
∈(0，π)，
π
所以∠
BAC
＝.
4
π
(2)设∠
B AD
＝α.在△
ABD
中，∠
ABC
＝，
AD
＝6 ，
BD
＝3.
4
6分
2分
ADBD
2
由正弦定理得＝，解得sin α＝.8分
πsin α4
sin
4
因为
AD
＞
BD
，
所以α为锐角，从而cos α＝1－sinα＝
2
14
.
4π
?
ππ2
?
214
?
?
因此sin∠
ADC
＝sin
?
α＋
?
＝sin αcos ＋cos αsin ＝
?
＋
?
＝
4
?
442
?4
?
4
?
1＋7
.
4
111＋73
△
ADC
的面积
S
＝×
AD
×
DC
·si n∠
ADC
＝×6×2×＝(1＋7).
2242
14分
12分

16．(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为内角
A
，
B
，
C
的对边，且
b
si n 2
C
＝
c
sin
B
.
(1)求角
C
；
?
π
?
3
(2)若si n
?
B
－
?
＝，求sin
A
的值．
3
?
5
?
[解] (1)由
b
sin 2
C
＝
c
sin
B
，根据正弦定理，得2sin
B
sin
C
cos
C
＝sin
C
sin
B
，

1
因为sin
B
＞0，sin
C
＞0，所以cos
C
＝，
2
π
又
C
∈(0，π)，所以
C
＝.
3
ππ
?
ππ
??
2π
?
(2)因为
C＝，所以
B
∈
?
0，
?
，所以
B
－∈
?
－，
?
，
3
?
33
?
33
??
2分
4分
6分
?
π
?
3
?
π
?
又sin
?
B
－
?
＝，所以cos
?
B
－
?
＝
3
?
5
3
???
2π2π
又
A
＋
B
＝，即
A
＝－
B
，
33
所以sin
A
＝sin
?

π
? 2
?
1－sin
?
B
－
?
3
?? 
4
＝.
5
8分
π
??
π
? 2π
－
B
?
＝sin
?
π
－
??
B
－
π
?
－cos
π
B
－
＝sin cos
??
???
?
3
?
3
?
?
3
?
33
?
3
??
??
?
π
?
sin
?
B
－
?

3
??
＝
341343－3
×－×＝.
252510
14分
17．(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图5－9，在平面直
角坐标系
xOy
中，以
x
轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点
A
，
B
.若点
A
的横坐标是
31025
，点
B
的纵坐标是.
105

图5－9
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求α＋β的值.
【导学号：56394034】

310
[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于
A
，且点
A
的横坐标是，
10
310
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝，
10
从而sin α＝1－cosα＝
2
10
.
10
2分
2525
因为钝角β的终边与单位圆交于点
B
，且点
B
的纵坐标是，所以sin β＝，
55
从而cos β＝－1－sinβ＝－
2
5
.
5
4分
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
310
?
10252
5
?
×
?
－
?
＋× ＝－.
10510
?
5
?
10
8分
(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝
10 ?
2
5
?
31025
×
?
－
?＋×＝.
10
?
5
?
1052
11分
因为α为锐角，β为钝角，
3π
?
π3π
?
故α＋β∈ ?
，
?
，所以α＋β＝.
2
?
4
?
2
14分
18．(本小题满分16分) (湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12
1
2
分)已知函数
f
(
x
)＝3sin
x
cos
x
－cos
x
－.
2
(1)求函数
f
(
x
)的对称中心；
(2)求
f
(
x
)在[0，π]上的单调递增区间．
[解] (1)
f
(
x
)＝
π
?
31＋cos 2
x
1
?
sin 2
x
－－＝sin
?
2
x
－
?
－1，
6
?
222
?
4分
π
k
ππ
令 2
x
－＝
k
π，得
x
＝＋，
6212
故所求对称中心为
?
?
k
π
＋
π
，－1
? ，
k
∈Z.
?
?
212
?
8分
πππππ
(2)令2
k
π－≤2
x
－≤2
k
π＋，解得
k
π－≤
x
≤
k
π＋，
k
∈Z 10分
26263
?
π
??
5π
，π
?
，又由于
x
∈[0，π]，所以
x
∈
?
0，
?
∪
??
3
??
6
??
?
π
??
5π
?
故所求单调递增区间为
?
0，
?
∪
?
， π
?
.
3
??
6
??
16分
19．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数
f
(
x
)＝2sin

x
cos
?
x
＋
?
＋
3
?
?
π
?
?
3
.
2
(1)求函数
f
(
x
)的单调递减区间；
?
π
?
(2) 求函数
f
(
x
)在区间
?
0，
?
上的最大值及最小值．
2
??
3
?
π
?
[解] (1)
f
(
x
)＝2sin
x
cos
?
x
＋
?
＋
3
?2
?
3
3
?
1
?
＝2sin
x
?
cos
x
－sin
x
?
＋
2
?
2
?
2
＝sin
x
cos
x
－3sin
x
＋
2
3

2
1333
＝sin 2
x
－＋cos 2
x
＋
2222
π
??
＝sin
?
2
x
＋
?
.
3
??
3分
ππ3ππ7π
由＋2
k π≤2
x
＋≤＋2
k
π，
k
∈Z，得＋
k π≤
x
≤＋
k
π，
k
∈Z.
2321212
7π
?
π
?
即
f
(x
)的单调递减区间为
?
＋
k
π，＋
k
π?
，
k
∈Z.
12
?
12
?
πππ 4π
(2)由0≤
x
≤得≤2
x
＋≤，
2333
所以－
π
?
3
?
≤sin
?
2
x
＋
?
≤1.
3
?
2
?
6分
8分
12分
π3
所以当
x
＝时，
f
(
x
)取得最小值－；
22
π
当
x
＝时，
f
(
x
)取得最大值1.
12
16分
20．(本小题满分 16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△
ABC
中，内角
A，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，c
，向量
m
＝(
a
－
b
，sin
A
＋sin
C
)与向量
n
＝(
a
－c
，sin(
A
＋
C
))
共线．
(1)求角
C
的值；
→→→
(2)若
AC
·CB
＝－27，求|
AB
|的最小值．
[解] (1)∵向量
m
与向量
n
共线，
∴(
a
－
b
)·sin(
A
＋
C
)＝(
a
－
c )(sin
A
＋sin
C
)，
由正弦定理可得：(a
－
b
)
b
＝(
a
－
c
)(
a
＋
c
)，
∴
c
＝
a
＋
b
－
ab
，
222
2分

a
2
＋
b
2
－
c
2
1
∴cos
C
＝＝，
2
ab 2
π
∵0＜
C
＜π，∴
C
＝.
3
→→→→
(2)∵
AC
·
CB
＝－27，∴
CA
·
CB
＝27，
→→→→→
1
→
∴
CA
·
CB
＝|
CA
|·|
CB
|cos
C
＝|
CA
|·|
CB
|＝27，
2
→→
∴|
CA
|·|
CB
|＝54，
→→→→→→→
2222
∵|
AB
|＝|
CB
－
C A
|＝|
CB
|＋|
CA
|－2
CB
·
C A
，
→→→
2
∴|
AB
|≥2|
CB
| ·|
CA
|－2×27
＝2×54－54＝54.
→
∴|
AB
|≥36，
→→
(当且仅当|
CA
|＝|
CB
|＝36时，取“＝”)
→
∴|
AB
|的最小值为36.

专题限时集训(六) 数列
(对应学生用书第92页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
16分
10分
7分
a
2
n
－2
1． (四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{
a
n
}满足
a
1
＝
a
，
a
n
＋1
＝
an
＋1
(
n
∈N)，若数列{
a
n
}是常数列，则
a
＝________.
*
a
2
a
2
－2
1
－2
2
－2 [因为数列{
a
n
}是常数列，所以
a
＝
a
2
＝＝，即
a
(
a
＋1)＝
a
－2，解得
a
1
＋1
a
＋1
a
＝－2.]
2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{
an
}是等差数列，若
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝21，
则
S
9
＝________.
63 [由
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝21得
a
5
＝7，所以
S
9
＝
n
a
1 ＋
a
9
2
＝9
a
5
＝63.]
3 ．数列{
a
n
}满足
a
n
＋1
＋(－1)
a
n
＝2
n
－1，则{
a
n
}的前60项和为__ ______．

1 830 [当
n
＝2
k
时， a
2
k
＋1
＋
a
2
k
＝4
k
－1；
当
n
＝2
k
－1时，
a
2k
－
a
2
k
－1
＝4
k
－3. 所以
a
2
k
＋1
＋
a
2
k
－ 1
＝2，所以
a
2
k
＋1
＋
a
2
k
＋3
＝2，
所以
a
2
k
－1
＝
a
2
k
＋3
，所以
a
1
＝
a
5
＝…＝
a
61
.
所以
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
60

＝( a
2
＋
a
3
)＋(
a
4
＋
a
5
)＋…＋(
a
60
＋
a
61
)
＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)
＝
30×3＋119
＝30×61＝1 830.]
2
4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{
a
n
}的前
n项和
S
n
，若
a
1
＝2，
S
3
＝12，则
a
6
＝________.
12 [∵
S
3
＝12，∴
S
3
＝3
a
1
＋
3×2
d
＝3
a
1
＋3
d
＝12.解得
d
＝2 ，
2
则
a
6
＝
a
1
＋5
d＝2＋2×5＝12.]
5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
53
公比
q
＝3，
S
3
＋
S
4
＝，则
a
3
＝________.
3
53
3 [∵等比数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，公比
q
＝3，
S
3
＋
S
4
＝，
3
∴
a
1
－
3－1
3
＋
a
1
－3－1
4
5311
2
＝，解得
a
1
＝.则a
3
＝×3＝3.]
333
6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
，
S
9
，
S
6
成等 差数列．且
a
2
＋
a
5
＝4，则
a
8
的值为________．
2 [∵等比数列{
a
n
}的前n
项和为
S
n
，若
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列．且
a
2
＋
a
5
＝4，
a
1
－
qa
1
－
q
?
?
2×＝
1－
q
1－
q
∴
?
?
?
a
1
q
＋
a
1
q
4
＝ 4，
93
＋
a
1
－
q
1－
q
6 ，

1
3
解得
a
1
q
＝8，
q
＝－，
2
1
732
∴
a
8
＝
a
1
q
＝(
a
1
q
)(
q
)＝8×＝2.]
4
7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节 的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升，则该竹子最上面一节的容积为________升．
13
[设最上面一节的容积为
a
1
，
22

4×3
4
a
＋
d
＝3，
?
?
2
由题设知
?
?
9
a
＋
9×8
d
?
－
? 6
a
＋
6×5
d
?
＝4，
???
?
?
?
2
??
2
??
1
11

13
解得
a
1
＝.]
22
8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{
a
n
}是公差不为0的等差数列，
S
n
是其前
n
项
和，若
a
2
a
3
＝
a
4
a
5
，
S
9
＝1，则
a1
的值是________.
【导学号：56394041】
5
－ [设等差数列{
a
n
}的公差为
d
(
d
≠0)，
27
∵
a
2
a
3
＝
a
4
a
5
，
S
9
＝1，
a
1
＋
da
1
＋2
d
＝
a
1
＋3
d
?
?
∴
?
9×8
9
ad
＝1，
1
＋
?
2
?
5
解得
a
1
＝－.]
27
a
1
＋4
d
，

9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中，若
log
2
a
2
＋log
2
a
8
＝1，则
a
3
·
a
7
＝________.
2 [由log
2
a
2
＋log
2
a
8
＝1得 log
2
(
a
2
a
8
)＝1，所以
a2
a
8
＝2，由等比数列性质可得
a
3
a
7 ＝
a
2
a
8
＝2.]
10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.若
a
1
＝1，
S
4
－5 S
2
＝0，则
S
5
的值为________．
31 [若等比数列的公比等于1，由
a
1
＝1，则
S
4
＝4,5
S
2
＝10，与题意不符．
设等比数列的公比为
q
(
q
≠1)，
由
a
1
＝1，
S
4
＝5
S
2
，得
解得
q
＝±2.
∵数列{
a
n
}的各项均为正数，∴
q
＝2.
1－2
则
S
5
＝＝31.]
1－2
11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△
ABC
中，
A
1
，
B
1
分别是边
BA
，
5
a
1
－
q
1－
q
4
＝5
a
1
(1＋
q
)，
CB
的中点，
A
2
，
B
2
分别是线段
A
1
A
，
B
1
B
的中点，…，
A
n
，
B
n
分别是线段
A
n
－1
A
，
B
n
－1
B
(
n
∈N
*
，
→
其中假命题是：________.
【导学号：56394042】
①数列{
a
n
}是单调递增数列，数列{
b
n
}是单调递减数列；
→→
n
>1)的中点，设数列{
a
n
}，{
b
n
}满足：向量
B
n
A
n
＝
a
n
CA
＋
b
n
CB
(
n
∈N
*
)，有下列四个命题，

② 数列{
a
n
＋
b
n
}是等比数列；
③数列
??
有最小值，无最大值；
?
b
n
??
a
n
?
1
④若△
ABC
中，
C＝90°，
CA
＝
CB
，则|
B
n
A
n
|最小时，
a
n
＋
b
n
＝.
2
1
?
1
??
1
??
1
?
③ [由
BA
n
＝
?
1－
n
?
BA
＝
?
1－
n
?
(
CA
－
CB
)，
B n
B
＝
n
CB
，
B
n
A
n
＝
B
n
B
＋
BA
n
＝
?
1－
n
?
CA
＋
2
?
2
??
2 ??
2
?
1
11
?
n
?
?
2
－1
－1
?
CB
，所以
a
n
＝1－2
n
，
b
n
＝
2
n
－1
－1 .则数列{
a
n
}是单调递增数列，数列{
b
n
}是单??
?
1
?
1
调递减数列，故①正确；数列{
a
n
＋
b
n
}即为
?
n
?
是首项和公比均为的等比数列，故②
2
?
2
?
→
→→→→→→→→→→→
1
a
n
a
n
2－11
正确；而当
n
＝1时，
a
1
＝，
b
1
＝0，不存在；
n
＞1时，＝
n
＝－1＋
n
在
n
2
b
n
b
n
2－22－2
→
∈N上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△
ABC
中，
C
＝90°，
CA
＝
CB
，则|
B
n
A
n
→→→
13
?
2
1
?
|＝(
a
n
＋
b
n
)
CA
＋2
a
n
b
n
CA
·
CB
＝5 ?
n
－
?
－，当
n
＝1时，取得最小值，即有|B
n
A
n
|最
?
25
?
5
2 222
*
n
→
1
小时，
a
n
＋
b
n
＝，故④正确．]
2
12．(天津六校2017届高三上学期期中联考) 已知数列{
a
n
}满足：
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝
1
(
n
∈N)．若
a
n
＋ 2
a
n
*
??
b
n
＋1
＝(
n －2λ)·
?
＋1
?
(
n
∈N
*
) ，
b
1
＝－λ，且数列{
b
n
}是单调递增数列，则实数λ 的
?
a
n
?
取值范围是________．
?
－∞，
2
?
[因为
a
＝
a
n
?
1
＝
2
＋1?
1
＋1＝2
?
1
＋1
?
?
1
＋1＝
?
1
＋1
? 2
n
－1
??
n
＋1
?
a
n
?
a
?
a
1
?
3
?
a
n
＋2
a
n
＋1
a
n
a
n
＋1
? ??
n
??
＝2，所以
b
n
＋1
＝(
n －2λ)·2，因为数列{
b
n
}是单调递增数列，所以当
n
≥2时
b
n
＋1
>
b
n
?(
n
－ 2λ)·2
>(
n
－1－2λ)·2
nn
－1
nn
3
?
n
>2λ－1?2>2λ－1?λ<
；当
n
＝1时， b
2
>
b
1
2
22
?(1－2λ)·2>－ λ?λ<
，因此λ<.]
33
13. (山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
1
S
2
S
15
S
n
，且满足
S
17
>0，
S
18
<0，则，，…，中最大的项为________．
a
1
a
2
a
15
S
9
[
S
17
>0?
a
9
S
18
<0?
2a
1
＋
a
17
2
<0?
>0?
a9
2
2
>0?
a
9
>0，
<0?
a
10
＋
a
9
<0?
a
10
<0，
a
1
＋
a
18
a
9
＋
a
10

因此>0，>0，…，>0，>0，<0，而
S
1
<
S
2
<…<
S
9
，
a
1
>
a
2
>…>
a
8
>
a
9
，所以<<…<
< .]
S
1
a
1
S
2
a
2
S8
a
8
S
9
a
9
S
10
a 10
S
1
S
2
a
1
a
2
S
8
a
8
S
9
a
9
14．(云南大理201 7届高三第一次统测)若数列{
a
n
}的首项
a
1
＝2，且
a
n
＋1
＝3
a
n
＋2(
n
∈N )；
令
b
n
＝log
3
(
a
n
＋ 1)，则
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋… ＋
b
100
＝________.
5 050 [由
a
n
＋1
＝3
a
n
＋2(
n
∈N)可知
an
＋1
＋1＝3(
a
n
＋1)，∴
n
*
*
a
n
＋1
＋1
＝3，所以数列{
a
n
a
n
＋1
n
＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以
an
＋1＝3，∴
a
n
＝3－1，所以
b
n
＝l og
3
(
a
n
＋1)＝
n
，因此
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋…＋
b
10 0
＝
＋
2
＝5 050.]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{
a
n
}是一个公差大于0
的等差数列，且满足
a
3
a
6
＝55，
a
2
＋
a
7
＝16.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)等比数列{
b
n
}满足：
b
1
＝
a
1
，
b2
＝
a
2
－1，若数列
c
n
＝
an
·
b
n
，求数列{
c
n
}的前
n 项和
S
n
.
[解] (1)设等差数列{
a
n}的公差为
d
，则依题意设
d
>0.由
a
2
＋
a
7
＝16，得2
a
1
＋7
d
＝
16. ①
由
a
3
a
6
＝55，得(
a
1
＋2
d
)(
a
1
＋5
d
)＝55. ②
2
4分
2
由①得2
a
1
＝16－7
d 将其代入②得(16－3
d
)(16＋3
d
)＝220.即256－9
d
＝220，∴
d
＝
4，又
d
>0，∴
d
＝2.代入①得
a
1
＝1，∴
a
n
＝1＋(
n
－1)2＝2
n
－1.6分
(2)∵
b
1
＝ 1，
b
2
＝2，∴
b
n
＝2
n
－1
，∴
c
n
＝
a
n
b
n
＝(2
n
－1)2
n
－1
， 8分
S
n
＝1·2
0
＋3·2
1
＋…＋(2
n
－1)·2
n
－1, 2
S
n
＝1·2
1
＋3·2
2
＋…＋(2 n
－1)·2
n
.两式相
减可得：
－
S
n
＝1·2＋2·2＋2·2＋…＋2·2
1)·2，
∴－
S
n
＝1＋
1)·2，
∴
S
n＝3＋(2
n
－1)·2－2
nn
＋1
n
n
0 12
n
－1
－(2
n
－1)·2＝1＋2×
n
－2
1－2
n
－1
－(2
n
－
10分
－2 1－2
n
－1
－(2
n
－1)·2＝1＋2
nn＋1
－4－(2
n
－1)·2＝2
nn
＋1
－3－(2
n
－
＝3＋(2
n
－3)·2.
n
14分 16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相
等的等差数列{
a
n
}的前五项和
S
5
＝20，且
a
1
，
a
3
，
a
7
成等比数列．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；

(2)若T
n
为数列
?
?
?
a
n
a
n
＋1
?
1
?
?
的前
n
项和，且存在
n
∈N
*
，使得
T
n
－λ
a
n
＋1
≥0成立，求实数
λ的取值范围．
[解] (1)设数列{
a
n
}的公差为
d
，则
5×4
?
?
5
a
1
＋
d
＝20，
2
??
?
a
1
＋2
d
2
＝
a
1 a
1
＋6
d
，
?
?
a
1
＝ 2，
又因为
d
≠0，所以
?
?
d
＝1.
?

?
a
1
＋2
d
＝4，
?即
?
2
?
?
2
d
＝
a
1d
.

2分

4分
5分所以
a
n
＝
n
＋1.
(2)因为
1
a n
a
n
＋1
＝
1
n
＋
n
＋
＝
11
－，
n
＋1
n
＋2
111111 11
所以
T
n
＝－＋－＋…＋－＝－＝
2334
n
＋1
n
＋22
n
＋2
因为存在
n
∈N，使得
T
n
－λ
a
n
＋1
≥0成立，
所以存在
n
∈N，使得
即存在
n
∈N，使λ≤
又
*
**
n
n
＋
. 7分
n
n
＋
n
n
＋
－λ(
n
＋2)≥0成立，
成立. 10分
2
n
n
＋
2
＝
11
≤(当且仅当
n
＝2时取等号)，
?
4
?
16
2
?
n
＋＋4
?
?
n
?
1
所以λ≤.
16
1??
即实数λ的取值范围是
?
－∞，
?
.
16
??
14分
17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{
a
n
}
满足
a
1 ＝1，
a
n
a
n
＋1
＝2，
n
∈N .
(1)若函数
f
(
x
)＝
A
sin(2x
＋φ)(
A
>0,0<φ<π)在
x
＝
ππ
??
－，
?
上的值域；
f
(
x
)在区间
?
?
122
?
(2)求数列{
a
n
}的通项公式．
[解] (1)∵
a
n
a
n
＋1
＝2，则a
n
＋1
a
n
＋2
＝2
∴
nn
＋1
n
*
π
处取得最大值
a
4
＋1，求函数6
，
a
n
＋2
＝2，
a
n
1又
a
1
＝1，故
a
1
a
2
＝2，即 a
2
＝2，

∴
a
3
＝2，
a
4
＝4，
∴
A
＝
a
4
＋1＝5，故
f
(
x
)＝5sin(2
x
＋φ)，4分
π
又
x
＝时，
f
(
x
)＝5，
6
π
?
π
?
∴sin
?
＋φ
?
＝1，且0<φ<π，解得φ＝，
6
?
3
?
π
??
∴
f
(
x
)＝5sin
?
2
x
＋
?
，
6
??
π
?
7π
??
ππ
?
而 x
∈
?
－，
?
，故2
x
＋∈
?0，
?
，
6
?
6
??
122
?π
??
1
??
从而sin
?
2
x
＋ ?
∈
?
－，1
?
，
6
??
2
??
6分
?
5
?
综上知
f
(
x
)∈
?
－，5
?
.
?
2
?
8分

18．(本小题满分16分)(天津六校2 017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{
a
n
}
1
2*
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
＝
a
n
＋
a
n
，
n
∈N.
2
(1) 求数列{
a
n
}的通项公式；
?
1
?
(2) 设数列{
b
n
}满足：
b
1
＝1，
b
n
－
b
n
－1
＝2 a
n
(
n
≥2)，数列
??
的前
n
项和为
T
n
，求证：
?
b
n
?
T
n
<2；
(3)若
T
n
≤λ(
n
＋4)对任意 n
∈N恒成立，求λ的取值范围.
【导学号：56394043】
11
2
[解] (1)
n
＝1时，
a
1
＝
a
1
＋
a
1
，∴
a
1
＝. 22
*

1
S
＝
a
＋
a
?
?
2
?
1
S
＝
a
＋
a
?
?
2
2
n
－1
n
－1
n
－1 2
nnn

11
22
?
a
n
＝a
n
－
a
n
－1
＋
a
n
－ a
n
－1
，
22
1
?
1
?
?(
a
n
＋
a
n
－1
)
?
a n
－
a
n
－1
－
?
＝0，∵
an
>0，∴
a
n
－
a
n
－1
＝， 2
?
2
?
11
∴{
a
n
}是以为首项，为公差的等差数列．
22
1
∴
a
n
＝
n
.
2
(2)证明：
b
n
－
b
n
－1
＝
n，
4分
b
－
b
＝2
?
?
b
－
b
＝3
?
?
?
?
b
－
b＝
n
2
3
1
2
nn
－1

?
b
n
－
b
1
＝
n
＋
2
n
－
?
b
n
＝
nn
＋
2
.
1
b
n
＝
2
nn
＋
1
?
11 ?
1
??
1
?
111
?
＝2
?－
，∴
T
n
＝2
?
1－＋－＋…＋－
＝2?
1－
???
＝
nn
＋1
??
nn
＋ 1
??
223
?
n
＋1
?
12分
2n
＝
22
，当且仅当
n
＝2时，
44
n
＋＋5
n
＋＋5
2
n
，即
T
n
<2.
n
＋1
(3)由
2
n
≤λ(
n
＋4)得λ ≥
n
＋1
n
＋
n
＋
nn
2
有最大值，
9
2
∴λ≥.
9
16分
19．(本小题满分16 分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
S
5
＝
a
5
＋
a
6
＝25.
(1)求{
a
n
}的通项公式；
(2)若不等式2
Sn
＋8
n
＋27>(－1)
k
(
a
n
＋4)对所有的正整数
n
都成立，求实数
k
的取值
范围．
5×4
[解] (1)设公差为
d
，则5
a
1
＋ d
＝
a
1
＋4
d
＋
a
1
＋ 5
d
＝25，∴
a
1
＝－1，
d
＝3.
2
∴{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝3
n －4.
3
n
(2)
S
n
＝－
n
＋
6分
2
n
n
－
2
，2
S
n
＋8
n
＋27＝3
n
＋3
n
＋27，
a
n
＋ 4＝3
n
；8分
9
?
99
?
n
(－1)
k
<
n
＋1＋，当
n
为奇数时，
k
>－ ?
n
＋1＋
?
；当
n
为偶数时，
k
<
n
＋1＋，
n
?
n
?
n

99
∵
n
＋1＋≥7，当且仅当
n
＝3时取等号，∴当
n
为奇数时，
n
＋1＋的最小值为7，
nn
92929
当n
为偶数时，
n
＝4时，
n
＋1＋的最小值为，∴－7<
k
<.16分
n
44
1
x
20．(本小题满分16分) 设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)是函数
f
(
x
)＝＋log
2
的图象上任意两
21－
x
→
1 →→
1
点，且
OM
＝(
OA
＋
OB
)，已知点
M
的横坐标为.
22
(1)求证：
M
点的纵坐标为定值；
?
1
? ?
2
??
n
－1
?
，
n
∈N
* ，且
n
≥2，求
S
； (2)若
S
n
＝
f
??
＋
f
??
＋…＋
f
??
n
?
n
??
n
??
n
?
2
?
?
3
，
n
＝1，
(3)已知
a
＝
?
1
?
?
S＋
S
n
nn
＋1
＋
*
，
n
≥ 2.

其中
n
∈N.
T
n
为数列{
an
}的前
n
项
*
和，若
T
n
<λ( S
n
＋1
＋1)对一切
n
∈N都成立，试求λ的取值范围.
【导学号：56394044】
→
1
→→
[解] (1)证明：∵
OM
＝(
OA
＋
OB
)，∴
M
是
AB
的中点．设
M
点的坐标为(
x
，
y
)， 2
11
由(
x
1
＋
x
2
)＝
x
＝，得
x
1
＋
x
2
＝1，则
x
1
＝1－
x
2
或
x
2
＝1－
x
1
.2分
22
x
1
1
x
2
?
11 1
?
1
＋＋log
2
而
y
＝(
y
1
＋
y
2
)＝[
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)]＝
?
＋log
2

1 －
x
1
21－
x
2
?
222
?
2
?
x
1
x
2
?
1
?
x
1
x
2
?
1
?
＋log
2
·
＝?
1＋log
2
＝
?
1＋log
2

?
1－
x
1
1－
x
2
?
2
?1－
x
1
1－
x
2
?
2
??
x
1
x
2
?
11
?
11
＝
?1＋log
2
?
＝
(
1＋0
)
＝，∴
M
点的纵坐标为定值.
x
1
x
2
?
22
?
22
(2)由(1)，知
x
1
＋
x
2
＝ 1，
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)＝
y
1
＋
y
2
＝1，
5分
?
1
??
n
??
n
－1
?
，
S ＝
f
?
n
－1
?
＋
f
?
n
－2
?
＋…＋
f
?
1
?
，
S
n
＝
f
??
＋
f
??
＋…＋
f
??
n
?
n
??
n
??
n
?
?
n
??
2
??
n
???????
两式相加，得
??
1 ??
n
－1
??
＋
?
f
?
2
?
＋
f
?
n
－2
??
＋…＋
?
f
?
n
－1
?
＋
f
?
1
??＝1＋1＋…＋1，∴2
S
n
＝
?
f
??
＋ f
???????????????
n
－1
??
n
?
2
?
n
????
n
??
n
????
n
??
n
??
n
－1
*
S
n
＝ (
n
≥2，
n
∈N).
(3)当
n
≥2时，a
n
＝
1
＝
4
＝4
?
8分
S
n
＋
S
n
＋1
＋
n
＋
n
＋
?
1
－
1
?
.10分
?
?
n
＋1
n
＋2
?

－
T
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
＝＋4
??
－
?
＋…＋
???
 3
??
34
??
n
＋1
n
＋2
??
1
?
2
n
2
?
1
＝＋4
?
－
.
?
＝
3
?
3
n
＋2
? n
＋2
由
T
n
<λ(
S
n
＋1＋1)，得
2
nn
＋24
n
<λ·.∴λ>
n
＋22
n
＋
2
2
??
11
??
11
??
12分
＝
4
n
＝
n
＋4
n
＋4
2
4
.
4
n
＋＋4
n
4
∵
n
＋≥4，当且仅当
n
＝2时等号成立，∴
n
441≤＝.
44＋42
n
＋＋4
n
1
?
1
?
因此λ>，即λ的取值范围是
?
，＋∞
?
.
2
?
2
?

专题限时集训(七) 不等式
(对应学生用书第95页)
(限时：120分钟)
16分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1 ．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设实数
x
，
y
满足约束条件
x
＋
y
≤10，
?
?
?
x
－
y
≤2，
?
?
x
≥4，

则
z
＝2
x
＋3
y
的最大值为________.
【导学号：56394049】
26 [作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，

2
z
由
z
＝2
x
＋3
y
，得
y
＝－
x
＋，
33
2
z
2
z
平移直线
y
＝－
x
＋，由图象可知当直线
y
＝－
x
＋经过点
A
时，
3333
2
z
直线
y
＝－
x
＋的截距最大，此时
z
最大．
33

?
?
x
＝4，
由
?
?
x
＋
y
＝10，
?

?
?
x
＝4，
解得
?
?
y
＝6，
?

即
A
(4,6)．
此时
z
的最大值为
z
＝2×4＋3×6＝26.]
2．( 无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知正实数
x
，
y
满足＋2
y
－2＝
2
ln
x
＋ln
y
，则
x
＝________.
2 [由题设可得ln
x y
＝＋2
y
－2≥2
xy
－2(当且仅当
x
＝4 y
时取等号)，即ln
2
y
x
x
xy
≥2
xy
－2，也即
?
?
x
＝4
y
?
ln
xy
＝2
xy
－2

x
＝2，
? ?
?
?
1
y
＝，
?
?
2

所以
x
＝2.]
y
3．(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知动点
P
(
x
，
y
)满足：
?
?
x
≥0，
?
x
＋1－
x
2
2
x
＋
y
≤4，
y
2
＋1＋
y
，

则
x
＋
y
－6
x
的最小值为________．
22
40
22
－ [由(
x
＋1－
x
)(
y
＋1＋
y
)≥1，
9
∵
y
＋
y
＋1>
y
＋|
y
|≥0，
∴
x
＋1－
x
≥
2
2
1
y
2
＋1＋
y
2
＝
y
＋1－
y
，
1
是减函数，
2
∵函数
f
(
x
)＝
x
＋1－
x
＝
∴
x
≤
y
，
x
＋1＋
x 2
2
x
＋
y
≤4，
?
?
∴原不等式组化为
?
x
≥0，
?
?
x
≤
y
.

该不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示：

∵
x
＋
y
－6
x
＝(
x
－3)＋
y
－9.
2222

?
44
?
22
由图象可得，
P
(3,0)到阴影区域中
A
?
，
?
的距离最小，所以
x
＋
y
－6
x
的最小值为
?
33
?
40
－.]
9
11
4．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知<<0，给出下列四个结论：
ab
2
①
a
|
b
|；④
ab

ab
.] ab
5．设
x
∈R，[
x
]表示不超过
x
的最大整数，若存在实数
t
，使得[
t
]＝1，[
t
]＝2， …，[
t
]
＝
n
同时成立，则正整数
n
的最大值是 ________．
．．．．
11
23
4 [由[
t
]＝ 1，得1≤
t
＜2；由[
t
]＝2，得2≤
t
＜3；由[ t
]＝3，得3≤
t
＜4；
33
111
45
由[
t
]＝4，得2≤
t
＜5；由[
t
]＝5，得5≤t
＜6.
455
1
155
1
153
因为(3 )＝3＝243，(6)＝6＝216，
35
11
所以3＞6.
35111111
同理可以得到1＜5＜2＜6＜3＜5＜4＜3＜2.以上每一个范围在数轴上的示意
525343
图如图所示，由图可知，当
n
＝1,2,3,4时，[
t
]＝1，[
t
]＝2，…，[
t
]＝
n
能同时成
立；当
n
＝5时，[
t
]＝3与[
t
]＝5不能同时成立，故
n
的最大值为4.]
35
2
2
n
n

6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知
a
，
b
均为正数，且
ab
－
a
－2
b
＝
a
2
2
2
1
0，则－＋
b
－的最小值为________．
4
ab
21
a
2
2
1
a
2
7 [∵
a
，
b
均为正数，且
ab
－
a
－2
b
＝0，∴＋＝1.则－＋
b
－＝＋
b
－1.
ab
4
ab
4 22
?
21
??
a
?
2
ba
＋b
＝
?
＋
??
＋
b
?
＝＋＋2≥2＋ 2＝4，当且仅当
a
＝4，
b
＝2时取等号．
2
?
ab
??
2
?
a
2
b
a
a
2 ??
a
?
a
?
22
∴
?
＋
b
?
(1＋1)≥
?
＋
b
?
≥16，当且仅当a
＝4，
b
＝2时取等号．∴＋
b
≥8，
4
?
4
??
2
?
2
2

a
2 2
2
1
a
2
2
∴－＋
b
－＝＋b
－1≥7.]
4
ab
4
7．某企业生产甲、乙两种产品均需用
A
，
B
两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天
原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则
该企业每天可获得最大利润为________.

Α(吨)

Β(吨)

甲

3

1

乙

2

2

原料限额
12
8
18万元 [设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为
x
、
y
吨，则利润
z
＝3
x
＋4
y
.
3
x
＋2
y
≤12，
?
?
x
＋2
y
≤8，
由题意可列
?
x≥0，
?
?
y
≥0，

其表示如图阴影部分区域：

当直线3
x
＋4
y
－
z
＝0过点
A
(2,3)时，
z
取得最大值，所以
z
max
＝3×2 ＋4×3＝18.]
8．不等式|
x
－1|－|
x
－5|<2的解集是________．
{
x
|
x
<4} [原不等式同解于如下三个不等式解集的并集；
?
?
x
<1
(Ⅰ)
?
?
?
1－
x
＋
x
－5<2，
?
?
x
≥5
(Ⅲ)
?
?
x
－1－
x
＋5<2，
?

?
?
1≤
x
< 5
(Ⅱ)
?
?
?
x
－1＋
x
－5<2， 

解(Ⅰ)得：
x
<1，解(Ⅱ)得：1≤
x <4，解(Ⅲ)得：
x
∈?，
所以，原不等式的解集为{
x
|
x
<4}．]
9．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△
ABC
中，
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
a
2
＋
b
2
＋2
c
2
＝8 ，则△
ABC
面积的最大值为________．
2511
[
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝
ab
522
1
1－cos
C
＝2
2
ab
2
－
a
2
＋
b
2 －
c
2
4
2
＝
1
2
ab
2
－
－3
c
4
22
，

而2
ab
≤
a
＋
b
＝8－2
c
?
ab
≤4－
c
，
2222
1
所以
S
△
ABC
≤
2
－
c
22
－
－3
c
4
22
1
2
＝
c
4
－5
c
2
15
c
＋－5
c
≤×
4
25
22
＝
2 58
2
，当且仅当
a
＝
b
，
c
＝时取等号．]
55
10．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知当－1≤
a
≤1时，
x
＋(
a
－4)
x
＋4－2
a
>0恒成立，则实数
x
的取值范围是________．
(－∞，1)∪(3，＋∞) [设
f
(
a
)＝(
x－2)
a
＋(
x
－4
x
＋4)，则
f
(
a
)>0对?
a
∈[－
?
?
f
1,1 ]成立等价于
?
?
f
?
2
2
－，
，

?
?
x
－5
x
＋6>0，
即
?
2
?
x
－3
x
＋2>0，
?
2

解之得
x
<1或
x
>3，即实数
x
的取值范围是(－∞， 1)∪(3，＋∞)．]
232
11．(江苏省南京市2017届高考三模)已知
a
，
b
，
c
为正实数，且
a
＋2
b
≤8
c
，＋≤，则
abc
3
a
＋8
b
的取值范围为________.
c
【导学号：56394050】
232
[27,30] [∵
a
＋2
b
≤8
c
，＋≤，
abc
a
2
b
?
?
c
＋
c
≤8，
∴
?
2
c
3
c
?
?
a
＋
b
≤2，

x
＋2
y
≤8，
?
?
ab设
x
＝，
y
＝，则有
?
23
cc
＋≤ 2，
?
?
xy

?
?
3
x
∴?
y
≥，
2
x
－2
?
?
1<
x
<8，
y
≤4－
x
，
1
2

作出平面区域如图所示：

3
a
＋8
b
3
z
令
z
＝＝3
x
＋8
y
，则
y
＝－
x
＋，
c
88
3
z
由图象可知当直线
y
＝－
x
＋经过点
A
时，截距最大，则
z
最大；
88
3
z
3
x
当直线
y
＝－
x ＋与曲线
y
＝相切时，截距最小，即
z
最小．
882
x
－2

1
y
＝4－
x
，
?
?
2
解方程组
?
3
x
y
＝
?
?
2
x
－2
，

得
A
(2,3)，∴
z
的最大值为3×2＋8×3＝30，
3
z
3
x
设直线
y
＝－
x
＋与曲线y
＝的切点为(
x
0
，
y
0
)，
8 82
x
－2
则
?
?
3
x
?
′|
x
＝
x
0

＝－
3
，即
?
8
?
2
x
－2
?
－6
x
0
－
3
＝－，解得
x
0
＝3，
2
8
9 ?
9
?
∴切点坐标为
?
3，
?
，∴
z
的最小值为3×3＋8×＝27.
4
?
4
?
∴27≤
z
≤30.]
12．(河北省“五个一名校联盟” 2016届高三教学质量监测(一))已知
p
：
x
≥
k
，
q
：
如果
p
是
q
的充分不必要条件，则实数
k
的取值范围是________．
(2，＋∞) [由
332－
x
<1得，－1＝<0，即(
x
－2)(
x
＋1)>0，解得
x
<－1或
x
>2，
x
＋1
x
＋1
x
＋1
3
<1，
x
＋1
由
p
是
q
的充分不必要条件知，
k
>2.]
13．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)在正项等比数列{
a
n
} 中，若
a
4
＋
a
3
－2
a
2
－2
a
1
＝
6，则
a
5
＋
a
6
的最小值为________．
48 [设
a
2
＋
a
1
＝
x
，等比数列的公比为
q
，则
a
4
＋ a
3
＝
xq
，
a
5
＋
a
6
＝
xq
.
再由
a
4
＋
a
3－2
a
2
－2
a
1
＝6，
得
xq ＝6＋2
x
，∴
x
＝
4
4
2
24 6
>0，
q
>1.
q
－2
2
6
q
∴
a
5
＋
a
6
＝
xq
＝
2

q
－2
＝6·
4
??
2
4
?
2
?
＝6
?
q
＋2＋
2
?
＝6 ?
q
－2＋
2
＋4
?
≥6(4＋4)＝48， q
－2
??
q
－2
?
q
－2
?
2
2
q
4
当且仅当
q
－2＝2时，等号成立，
故
a
5
＋
a
6
的最小值为48.]
14 ．(广东省湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知
x
，
y
满足约束条件
x
＋
y
－2≤0，
?
?
?
x
－2
y
－2≤0，
?
?
2
x
－
y
＋2≥0，

若
z
＝
y
－
ax
取得最大值的最优解不唯一，则实数
a
的值为________．
－1或2 [在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示的三角形
ABC
，
目标函数
z
＝
y
－
ax
可变形为
y
＝
ax
＋
z
，
z
的几何意义为直线
y
＝
ax
＋z
在
y
轴上的截
距，因为
z
＝
y
－ ax
取得最大值的最优解不唯一，所以直线
y
＝
ax
＋
z
与区域三角形的

某一边平行，当直线
y
＝
ax ＋
z
与直线
x
＋
y
－2＝0平行时，
a＝－1符合题意，当直线
y
＝
ax
＋
z
与直线
x
－2
y
－2＝0平行时，
a
＝不符合题意，直线
y
＝
ax
＋
z
与直线2
x
－
y
＋2＝0平行时，
a
＝2符合题意，综上所述，实数
a
的值为－1或2.]
1
2

二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(贵州省遵义模拟)设函数
f
(
x
) ＝|
x
－1|＋|
x
－
a
|.
(1)若
a
＝－1，解不等式
f
(
x
)≥3；
(2)如果?
x
∈R,
f
(
x
)≥2恒成立，求
a
的取值范围．
[解] (1)当
a
＝－1时，
f
(
x
)＝|
x
－1|＋|
x
＋1|，
由
f
(
x
)≥3得|
x
－1|＋|
x
＋1|≥3，2分
①
x
≤－1时，不等式化为
3
1－
x
－1－x
≥3即－2
x
≥3，
x
≤－.
2
②－1＜
x
≤1时，不等式化为1－
x
＋
x
＋1≥3，此不等式不成立，解集为空集．
3
③
x
＞1时，不等式化为
x
－1＋ x
＋1≥3，即2
x
≥3，∴
x
≥，此时不等式解集为
2
?
3
，＋∞
?
.8分
?
2
?
??
3
??
3
??
综上得，
f
(
x )≥3的解集为
?
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
.9分
2
??
2
??
(2)若
a
＝1，
f
(
x
)＝2|
x
－1|，不满足题设条件；
－2
x
＋
a
＋1，
x
≤
a
，
?
?若
a
<1，
f
(
x
)＝
?
1－a
，
a
<
x
<1，
?
?
2
x
－
a
＋，
x
≥1，
－2
x
＋
a ＋1，
x
≤1，
?
?
a
>1，
f
(
x
)＝
?
a
－1，1<
x
<
a
，
?
?
2
x
－
a
＋，
x
≥
a
，

f
(
x
)的最小值为1－
a
.11分
f
(
x
)的最小值为
a
－1，
所以?
x
∈R，
f
(
x
)≥2恒成立的充要条件是|
a
－1|≥2，从而
a
的取值范围为(－∞，
－1]∪[3，＋ ∞).14分

16．(本小题满分14分)(泰州市调研测试)为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径
为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图7－ 3：内接梯形
ABCD
区域为运动休闲区，其中
A
，
B
分别在半径
OP
，
OQ
上，
C
，
D
在圆弧PQ
上，
CD
∥
AB
；△
OAB
区域为文化展示区，
AB
长为503 m；其余空地为绿化区域，且
CD
长不得超过200 m.

图7－3
(1)试确定
A
，
B
的位置，使△
OAB
的周长最大；
(2)当△
OAB
的周长最大时，设∠ DOC
＝2θ，试将运动休闲区
ABCD
的面积
S
表示为θ 的函数，并求出
S
的最大值.
【导学号：56394051】
[解] (1)设
OA
＝
m
，
OB
＝
n ，
m
，
n
∈(0,200]，
2π
222
在△
OAB
中，
AB
＝
OA
＋
OB
－2 OA
·
OB
·cos，
3
即(503)＝
m
＋
n
＋
mn
，所以，(503)＝(
m
＋
n
)－
mn
≥(
m
＋
n
)－
222
222
2分
m
＋
n
4
2
3
2
＝(
m
＋
n
)，
4
4分
所以
m
＋
n
≤100，当且仅当
m
＝
n
＝50时，
m
＋
n
取得最大值，此时△OAB
周长取得最大
值．
所以，当
OA
，
OB
都为50 m时，△
OAB
的周长最大.
(2)当△
AOB
的周长最大时，梯形
ABCD
为等腰梯形．过
O
作
OF
⊥
CD
交
CD
于
F
，交
AB
于
E
，
则
E
、
F 分别为
AB
，
CD
的中点，
6分

? π
?
所以∠
DOE
＝θ，由
CD
≤200，得θ∈ ?
0，
?
.
6
??
在△
ODF
中，
DF
＝200sin θ，
OF
＝200cos θ.
8分

π
又在△ AOE
中，
OE
＝
OA
cos＝25，故
EF
＝200cos θ－25.
3
1
所以，
S
＝(503＋400sin θ)(200cos θ－25)
2
＝625(3＋8sin θ)(8cos θ－1)
9分
?
π
?
＝625(83cos θ－8sin θ＋64sin θcos θ－3)，θ∈
?
0，
?
.
6
??
(一直没有交代范围扣2分)
10分
?
π
?
令
f
(θ)＝83cos θ－8sin θ＋64sin θcos θ－3，θ∈
?
0，
?
，
6
??
π
??
f
′(θ)＝－83sin θ－8cos θ＋64cos 2θ＝－16sin
?
θ＋
?
＋64cos 2θ，θ?
6
?
?
π
?
∈
?
0，
? ，
6
??
π
???
π
?
又
y＝－16sin
?
θ＋
?
及
y
＝cos 2θ在θ∈
?
0，
?
上均为单调递减函数，
6
?
6
???
?
π
?
故
f
′(θ)在θ∈
?
0，
?
上为单调递减函数．
6
??
1
??
3
?
π
??
π
?
因 f
′
??
＝－16
?
－4×
?
＞0，故
f
′(θ)＞0在θ∈
?
0，
?
上恒成立，
6
??
6
??
2
??
2
π
??
0，
于是，
f
(θ)在θ∈
??
上为单调递增函数.
6
??
π
所以当θ＝时，
f
(θ)有最大值，此时
S
有最大值为625(8＋153)．
6
π
2
所以当θ＝时，梯形
ABCD
面积有最大值，且最大值为625(8＋15 3) m.
6

2
12分
14分
17．(本小题满分14分)(南通模拟) 已知函数
f
(
x
)＝
x
＋2
ax
＋1(
a
∈R)，
f
′(
x
)是
f
(
x
)
的导函数．
(1)若
x
∈[－2，－1]，不等式
f
(
x
)≤
f
′(
x
)恒成立，求
a
的取值范围；
(2)解关于
x
的方程
f
(
x
)＝|
f
′(
x
)|；
?
?
f
(3)设函数
g (
x
)＝
?
?
f
?
x
，
f x
x
，
fxf
fx
，
x
，

求
g
(
x
)在
x
∈[2,4]时的最小
值．
[解] (1)因为
f
(
x
)≤
f
′(
x
)，所以
x
－2
x
＋1≤2
a
(1－
x
)，又因为－2≤
x
≤－1，
2
x
2
－2x
＋1
x
2
－2
x
＋11－
x
3所以
a
≥在
x
∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，
－x
－
x
22

所以
a
≥
3
2
. 2分
(2)因为
f
(
x
)＝|
f ′(
x
)|，所以
x
2
＋2
ax
＋1＝2|
x
＋
a
|，
所以(
x
＋
a
) 2
－2|
x
＋
a
|＋1－
a
2
＝0 ，则|
x
＋
a
|＝1＋
a
或|
x
＋
a
|＝1－
a
. 4分
①当
a
<－1时，|
x
＋
a
|＝1－
a
，所以
x
＝－1或
x＝1－2
a
；
②当－1≤
a
≤1时，|
x
＋
a
|＝1－
a
或|
x
＋
a
|＝1＋
a
，
所以
x
＝±1或
x
＝1－2
a
或
x
＝－(1＋2
a
)；
③当
a
>1时，|
x
＋
a
|＝1＋
a
，所以
x
＝1或
x ＝－(1＋2
a
). 6分
(3)因为
f
(
x
)－
f
′(
x
)＝(
x
－ 1)[
x
－(1－2
a
)]，
g
(
x
) ?
?
?
fx
，
fxfx
，
?
?fx
，
fxfx
，

8分
①若
a
≥－
1
2
，则
x
∈[2,4]时，
f
(
x
)≥
f
′(
x
)，所以
g
(
x
)＝
f
′(
x
)＝2
x
＋2
a
，
从而
g
(
x
)的最小值为
g
(2)＝2
a
＋4；
②若 a
<－
3
2
，则
x
∈[2,4]时，
f
(
x
)<
f
′(
x
)，所以
g
(
x
)＝
f
(
x
)＝
x
2
＋2
ax
＋1，
当－2≤
a
<－
3
2
时，
g
(
x
)的最小值为
g
(2)＝4
a
＋5，
当－4<
a
<－2时，
g
(
x
)的最小值为
g
(－
a
)＝1－
a
2
，
当
a
≤－4时，
g
( x
)的最小值为
g
(4)＝8
a
＋17.
③若－ 3
2
≤
a
<－
1
2
，则
x
∈[2,4]时，
?
?
x
2
g
(
x
)＝
?
＋2
ax
＋1，
x
∈[2，1－2
a
，
?
?
2
x
＋2
a
，
x
∈[1－2
a
，4]，

12分
当
x
∈[2,1－2a
)时，
g
(
x
)最小值为
g
(2)＝4a
＋5；
当
x
∈[1－2
a,
4]时，
g (
x
)最小值为
g
(1－2
a
)＝2－2
a
.
因为－
3
2
≤
a
<－
1
2 ，(4
a
＋5)－(2－2
a
)＝6
a
＋3<0，
所以
g
(
x
)最小值为4
a
＋5，
?
8
a
＋17，
a
≤－4，
?
1－
a
2
，－4<
a<－2，
综上所述，[
g
(
x
)]
min
＝ ?
4
a
＋5，－2≤
a
<－
1
?
2
，
?
2
a
＋4，
a
≥－
1
2
.

14分
＝

18．(本小题满分16分)(徐州市质量检测)如图7－4，在
P
地正西方向8 km的
A
处和正东
方向1 km的
B
处各有一条正北方向的公路
AC
和
BD
，现计划在
AC
和
BD
路边各修建一个
物流中心
E
和
F
. 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路
PE
和
PF
.设∠
EPA
＝
π ??
α
?
0<α<
?
.
2
??
( 1)为减少周边区域的影响，试确定
E
，
F
的位置，使△
PAE与△
PFB
的面积之和最小；
(2)为节省建设成本，试确定
E
，
F
的位置，使
PE
＋
PF
的值最小．

图7－4
[解] (1)在Rt△
PAE
中，由题意可知∠
APE
＝α，
AP
＝8，则
AE
＝8tan α.
1
所以
S
△
PAE
＝
PA
×
AE
＝32tan α.
2
1
同理在Rt△
PBF
中，∠
PFB
＝α ，
PB
＝1，则
BF
＝，
tan α
11
所以
S
△
PBF
＝
PB
×
BF
＝.
22tan α
故△
PAE
与△
PFB
的面积之和为32tan α＋
≥2
1
32tan α×＝8,
2tan α
1

2tan α
5分
4分
2分
11
当且仅当32tan α＝，即tan α＝时，取“＝”，
2tan α8
故当
AE
＝1 km,
BF
＝8 km时，△
PAE
与△
PFB
的面积之和最小.6分
8
( 2)在Rt△
PAE
中，由题意可知∠
APE
＝α，则
PE
＝.
cos α
1
同理在Rt△
PBF
中，∠
PFB＝α，则
PF
＝.
sin α
81π
令
f
(α)＝
PE
＋
PF
＝＋，0<α<，
cos αsin α2
8sin αcos α8sin α－cos α
则
f
′(α)＝－＝，
2222
cosαsin αsin αcos α
11π
令
f
′(α)＝0，得tan α＝，记tan α
0
＝，0<α
0
<，
222
33
8分
10分

当α∈(0，α
0
)时，
f
′(α)<0，
f
(α)单调递减；
π
??
当α∈?
α
0
，
?
时，
f
′(α)>0，
f
(α)单调递增．
2
??
1
所以tan α＝时，
f
(α)取得最小值，
2
1
BP
此时
AE
＝
AP
·tan α＝8×＝4，
BF
＝＝2.
2tan α
所以当
AE
＝4 km，且
BF
＝2 km时，
PE
＋
PF
的值最小.
19．(本小题满分16分)(盐城市模拟考试)设函数
f
(
x
)＝ln
x
，
g
(
x
)＝
16分
14分
mx
＋
n
(
m
>0)．
x
＋1
(1)当
m
＝1时，函数
y
＝
f
(
x
)与
y
＝
g
(
x
)在
x
＝1处的切线互相垂直，求
n
的值；
(2)若函数
y
＝
f
(
x
)－
g
(
x
)在定义域内不单调，求
m
－
n
的取值范围； ?
2
a
??
x
?
ax
(3)是否存在实数a
，使得
f
??
·
f
(
e
)＋
f
??
≤0对任意正实数
x
恒成立？若存
?
x
??
2
a
?
在，求出满足条件的实数
a
；若不存在，请说明理由．
[解] (1)当
m
＝1时，g
′(
x
)＝
1－
n
x
＋
1－
n
，∴
y
＝
g
(
x
)在
x
＝1 处的切线斜率
k
＝，
2
4
11－
n
由
f
′(
x
)＝，∴
y
＝
f
(
x
) 在
x
＝1处的切线斜率
k
＝1，∴·1＝－1，∴
n
＝5.
x
4
(2)易知函数
y
＝
f
(
x
)－
g
(
x
)的定义域为(0，＋∞)，
又
y
′＝
f
′(
x
)－
g
′(
x
)＝
1
x
－
m
－
n
x
＋
2
x
2
＋[2－
m
－
nx
＋1
＝＝
xx
＋
2
x
＋2－
m
x
＋
1
－
n
＋
x
，
2
1
2
由题意，得
x
＋2－
m
(1－
n
)＋的最小值为负，∴
m(1－
n
)>4(注：结合函数
y
＝
x
＋[2
x
－
m
(1－
n
)]
x
＋1的图象同样可以得到) ，∴
[
m
＋－
n
4
2
≥
m
(1－
n
)>4，∴
m
＋(1－
8分
n
)>4，∴
m
－
n
>3.
?
2
a
??
x
?
ax
(3)法一：令θ(
x
)＝
f
??
·
f
(
e
)＋
f
??
＝
ax
·ln 2
a
－
ax
·ln
x
＋ln
x
－ln 2
a
，
?
x
??
2
a
?
其中x
>0，
a
>0.
11
则θ′(
x
)＝
a
·ln 2
a
－
a
ln
x
－
a
＋，设δ(
x
)＝
a
·ln 2
a
－
a
ln
x
－
a
＋，
x x
a
1
ax
＋1
δ′(
x
)＝－－
2＝－
2
<0.
xxx
∴δ(
x
)在(0，＋∞)单调递减，δ(
x
)＝0在区间(0，＋∞)必存在实根，不妨设δ(
x
0
)

＝0，
11
即δ(
x
0
)＝
a
·ln 2
a
－
a
ln
x
0
－
a
＋＝0，可得ln
x
0
＝＋ln 2
a
－1，(*)
x
0
ax
0
θ(
x
)在区间(0，
x
0
)上单调递增，在(
x
0
，＋∞)上单调递减，所以θ(
x
)
max
＝θ(
x
0
)，
θ(
x
0
)＝(
ax
0
－1)·ln 2
a
－(
ax
0
－1)·ln
x
0
，代入(*)式得θ(
x
0
)＝
ax
0
＋
根据题意θ(
x
0
)＝
ax
0
＋
1
－2≤0恒成立．
1
≥2，当且仅当
ax
0
＝
1
时，等式成立，
1
ax
0
－2.12分
ax
0
又根据基本不等式，
ax
0
＋
所以
ax
0
＋
分
1
ax
0
ax
0
1112
＝2，
ax
0＝1.∴
x
0
＝.代入(*)式得，ln＝ln 2
a
，即＝2
a
，
a
＝.16
ax
0
aaa
2
(以下解法供参考，请酌情给分)
法二：θ(
x
)＝
ax
·ln 2
a
－
ax
·ln
x
＋ln
x
－ln 2
a
＝(
ax
－1)(ln 2
a
－ln
x
)，其中
x
>0，
a
>0，
?
2
a
??
x
?
ax
根据条件
f
??
·
f
(
e
)＋
f
??
≤0对任意正数
x
恒成立，
x
2
a
????
即(
ax
－1)(ln 2
a
－ln
x
)≤0对任意正数
x
恒成立，
10分
ax
－1≥0，
?
?
∴
?
ln 2
a
－ln
x
≤0，
?
?
a
>0

ax
－1≤0，
?
?
或
?
ln 2
a
－ln
x
≥0，
?
?
a
>0，

11
解得≤
x
≤2
a
或2
a
≤
x
≤，
aa
12
即＝
x
＝2
a
时上述条件成立，此时
a
＝.16分
a
2
法三：θ(
x
)＝
ax
·ln 2
a
－
ax
·ln
x
＋ln
x
－ln 2
a
＝(
ax
－1)(ln 2
a
－ln
x
)，其中
x
>0，
a
>0，
设
y
1
＝
ax
－1，
y
2
＝ln 2
a
－ln
x
，∵
a
>0，∴函数
y
1
单调递增，函数
y
2
单调递减，12
分
要使得(
ax
－1)(ln 2
a
－ln
x
)≤0对任意正数
x
恒成立，
12
只能是函数
y
1
，
y
2
与
x
轴的交点重合，即＝2
a
，所以
a
＝.16分
a
2
1＋2ln
x
20．(本小题满分16分)已知
f
(
x
)＝.
2
x
(1)求
f
(
x
)的单调区间；
(2)令
g
(
x
)＝
ax
－2ln
x ，若
g
(
x
)＝1时有两个不同的根，求
a
的取值范围；
(3)存在
x
1
，
x
2
∈(1，＋∞)且 x
1
≠
x
2
，使|
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)|≥
k
|ln
x
1
－ln
x
2
|成立，求
2

k
的取值范围.
【导学号：56394052】
－4ln
x
[解] (1)
f
′(
x
)＝.令
f
′(
x
)＝0得
x ＝1，
x
∈(0,1)时，
f
′(
x
)>0，
f
(
x
)
3
x
单调递增；
x
∈(1，＋∞)时，
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)单调递减．
综上，
f
(
x
)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).
2(2)
g
′(
x
)＝2
ax
－＝
4分
x
ax
2
－
x
.
①当
a
≤0时，
g
′(
x
)<0，单调递减，故不可能有两个根，舍去．
②当 a
>0时，
x
∈
?
0，
?
?
1?
?
时，
g
′(
x
)<0，
g
(x
)单调递减，
a
?
x
∈
?
?
? a
1
??
，＋∞
?
时，
g
′(
x )>0，
g
(
x
)单调递增．所以
g
?
1 ?
??
a
?
?
<1得0<
a
<1.
8分综上，0<
a
<1.
(3)不妨设
x
1
>
x
2
>1，由(1)知
x
∈(1，＋∞)时，
f
(
x
)单调递减．
|
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)|≥
k
|ln
x
1
－ln
x
2
|，等价于
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)≥
k
(ln
x
1
－ln
x
2
)，
即
f
(
x
2
)＋
k
ln
x
2
≥
f
(
x
1
)＋
k
ln
x
1
， 10分
存在
x
1
，
x
2
∈(1，＋∞)且
x
1
≠
x
2
，使
f
(
x
2
)＋
k
ln
x
2
≥
f
(
x
1
)＋
k
ln
x
1
成立．
令
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
k
ln
x
，
h
(
x
)在(1，＋∞)存在减区间，
kx
2
－4ln
x
4ln
x
?
4ln
x
?
h
′(
x
)＝<0有解，即
k
<2
有解，即
k
<
?
2
?
max
.
3
xx
?
x
?
4ln
x
令
t (
x
)＝
2
，
t
′(
x
)＝
－2ln
x
14分
xx
3
，
x
∈(0，e) 时，
t
′(
x
)>0，
t
(
x
)单调递 增，
x
∈(e，＋∞)时，
t
′(
x
)<0， t
(
x
)单调递减，
?
2
∴
k
<.
e

x
?
2
?
4ln
2
?
max
＝，
e
?
x
?
16分
专题限时集训(八)
概率与统计、算法、推理与证明、复数
(对应学生用书第98页)
(限时：120分钟)
1．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸
出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．

0.17 [∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1－0.48
－0.35＝0.17.]
2．(2017· 江苏省无锡市高考数学一模)某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法
从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，
则该校高二年级学生人数为_____ ___．
300 [∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，
其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，
∴高二年级要抽取45－20－10＝15人，
∵高级中学共有900名学生，
451
∴每个个体被抽到的概率是＝，
90020
∴该校高二年级学生人数为
15
＝300.]
1
20
3．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图8－11是一个求函数值的算法流程图，若输
入的
x
的值为5，则输出的
y
的值为________．

图8－11
?
2
x
－3，
x
＜0
?
－15 [执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y
＝
?
?
?
5－4
x
，
x
≥0

的值，
x
＝5，不满足条件
x
＜0，有
y
＝5－4×5＝－15.
输出
y
的值为－15.]
4．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若复数
z
满足
z
(1－i)＝2i(i是虚数单位)，
z
是 z
的共轭复数，则
z
＝________.
－1－i [∵
z
(1－i)＝2i，
∴
z
＝
2i
＝
1－i
＋
－＋
＝
－2＋2i
＝－1＋i，
2

∴
z
＝－1－i.]
5．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)在矩形
ABCD
中，
AB
＝2
AD
，在
CD
上任取一点
P
，△
ABP
的最大边是
AB
的概率是________．

图8－12
3－1 [设
AD
＝
a
，当
AB
＝
AP
时，(2
a
)＝
a
＋(2
a
－
PC
)
?
PC
＝(2－3)
a
或
PC
＝(2
222
＋3) a
(舍)，所以所求概率为1－
－3
a
＝3－1.]
2a
6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)如下是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ________．

24 [当
i
＝2时，满足循环条件，执行循环，
t
＝1×2＝2，
i
＝3；
当
i
＝3时，满足循环条件，执行循环，
t
＝2×3＝6，
i
＝4；
当
i
＝4时，满足循环条件，执行循环，
t
＝6×4＝24，
i
＝5；
当
i
＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出
t
＝24.] 2＋i
7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若复数
z
满足
z ＋i＝，其中i为虚数单位，则
i
|
z
|＝________.
2＋i2＋i－＋
10 [由
z
＋i＝，得
z
＝－i＝2
ii－i
＝1＋－
2
－i＝1－2i－i＝1－3i，则|
z
|
＝10.]
8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，从中任取
1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.

【导学号：56394058】
4
[在100张卡片上分别写上1 至100这100个数字，从中任取一张共有100种取
25
法，
其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：
6,12,18,24,30,36,42,48 ,54,60,66,72,78,84,90,96共16个，
∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．
164
∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率
P
＝＝.]
1002 5
9．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分) ，
结果如下：
学生

甲

乙

第1次

65

80

第2次

80

70

第3次

70

75

第4次

85

80

第5次
75
70
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为________．
65＋80＋70＋85＋751
2
20 [根据题意，对于甲，其平均数
x
甲
＝＝75，其方差
s
甲
＝[(65
55
－75) ＋(80－75)＋(70－75)＋(85－75)＋(75－75)]＝50；
80＋70＋75 ＋80＋701
22
对于乙，其平均数
x
乙
＝＝75，其方差
s
乙
＝[(80－75)＋(70－
55
75)＋(75－75)＋(80 －75)＋(70－75)]＝20；
比较可得：
s
甲
＞
s
乙
，则乙的成绩较为稳定．]
10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))复数
z
在复平面内的对应点是( 1，－1)，则
z
＝________.
1＋i [
z
＝1－i，∴
z
＝1＋i.]
11．(河北省唐山市2017 届高三年级期末)执行如图8－13所示的程序框图，则输出的
a
＝
________ .
22
2222
22222

图8－13
－4 [第一次循环，得
b
＝－1，
a
＝－1，
i
＝2；
55
第二次循环，得
b
＝－，
a
＝－，
i
＝3；
22
第三次循环，得
b
＝－4，
a
＝－4，
i＝4，…，以此类推，知该程序框图的周期为3，
又知当
i
＝40退出循环，此时共循环了39次，所以输出的
a
＝－4.]
12．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)给出定义：设
f
′(
x
)是函数
y
＝
f
(
x
)
的导函数，
f
″(
x
)是函数
f
′(
x
)的导函数，若方程
f
″(
x
)＝0有实数解
x
0
，则称点(
x
0
，
f
(
x
0
))为函数
y
＝
f
(
x
)的“拐点”．已知函数
f
(
x
)＝3
x
＋4sin
x
－cos
x
的拐点是
M
(
x
0
，
f
(
x
0
))，则点
M
在直线________上．
y
＝3
x
[
f
′(
x
)＝3＋4cos
x
＋sin
x
，
f
″(
x
)＝－4sin
x
＋cos
x
＝0,4sin
x
0
－cos
x
0
＝0，所以
f
(
x
0
)＝3
x
0
，
故
M
(
x
0
，
f
(
x
0
))在直线
y
＝3
x
上．] 13．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))所有真约数(除本身之外的正约数)的和
等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2
＋4 ＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝2＋228＝2＋2＋2，……，按此规律，8 128可表示
为________．
1－2
2＋2＋…＋2 [因为8 128＝2×127，又由＝127，解得
n
＝7.所以8 128＝
1－2
67126
12,234
n
2×(1＋2＋…＋2)＝2＋2＋…＋2.]
14．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)执行如图8－14所示程序框图，
若输出的
S
值为－20，则条件框内应填写________.
【导学号：56394059】
666712

图8－14
i
<5 [第一次循环：
S
＝10－2＝8，
i
＝2；
第二次循环：
S
＝4，
i
＝3；
第三次循环：
S
＝－4，
i
＝4；
第四次循环：
S
＝－20，
i
＝5；
结束循环，所以可填写
i
<5.]

专题限时集训(九) 立体几何
(对应学生用书第99页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1 ．(广西柳州2017届高三上学期10月模拟)已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4，
则该长方体的外接球的表面积等于________．
29π [长方体的外接球的直径等于2＋3＋ 4＝29，所以外接球的表面积等于
4π
R
＝(29)π＝29π.]
2． (江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知一个圆锥的底面面积为2π，侧面
积为4π，则该圆锥的体积为________．
26
π [设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l
，
3
?
?
π
则
?
?
π
?
22
222
r2
＝2π，
rl
＝4π，
2

2
解得
r
＝2，
l
＝22，
所以高
h
＝
l
－
r
＝6，
1
2
126
所以
V
＝π
rh
＝π×2×6＝π.]
3 33

3．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)α，β为两个不同的平面，
m
，
n
为两条不同的直线，
下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．
①若α∥β，
m
?α，则
m
∥β；
②若
m
∥α，
n
?α，则
m
∥
n
； ③若α⊥β，α∩β＝
n
，
m
⊥
n
，则
m⊥β；
④若
n
⊥α，
n
⊥β，
m
⊥α，则 m
⊥β.
①④ [由α，β为两个不同的平面，
m
，
n
为两条不同的直线，知：
在 ①中，若α∥β，
m
?α，则由面面平行的性质定理得
m
∥β，故①正确；在 ②中，
若
m
∥α，
n
?α，则
m
∥
n或
m
与
n
异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝
n，
m
⊥
n
，则
m
与β相交、平行或
m
?β，故③错误；在④中，若
n
⊥α，
n
⊥β，
m
⊥α，则由线面垂直的判定定理得
m
⊥β，故④正确．]
4．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥
实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是
_______ _cm.
【导学号：56394064】
3
9 [设该铁球的半径为
r
，
∵底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥实心铁器，
∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴
h
＝5－3＝4，
1
2
锥体体积
V
＝×π×3×4＝12π，
3
4
3
圆球体积＝锥体体积
V
＝π
r
＝12π，
3
3
解得
r
＝9.]
5．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该
正四棱锥的体积为________．
4
[如图，正四棱锥
P
－
ABCD
中，
AB＝2，
PA
＝3，
3
22

1
设正四棱锥的高为
PO
，连接
AO
，则
AO
＝
AC
＝2 .
2

在直角三角形
POA
中，
PO
＝PA
－
AO
＝3－2＝1.
114
所以
V
P
－
ABCD
＝·
S
ABCD
·
PO
＝×4 ×1＝.]
333
6．(广东汕头2017届高三上学期期末)已知三棱柱
ABC －
A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，各顶点
都在同一球面上，若该棱柱的体积为23，
AB
＝2，
AC
＝1，∠
BAC
＝60°，则此球的表面
积等于________．
20π [由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠
ACB
＝90°，设
D
， D
1
分别是
AB
，
A
1
B
1
的中点，
O
是
DD
1
中点，可证
O
就是三棱柱外接球球心，
S
△
ABC
＝
×2×1×sin 60°＝
22
22
1
2
33
22
，
V
＝
S△
ABC
·
h
＝×
DD
1
＝23，即
DD
1
＝4，
OA
＝
AD
＋
DO
＝
22
22
1＋2＝5，所以
S
＝4π×
OA
＝4π×(5 )＝20π.]
7．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，
侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．
162 [如图所示，

直四棱柱底面
ABCD
是边长为2的菱形，
侧面对角线的长为23，
∴侧棱长为
CC
1
＝3
2
－2＝22，
2
∴该直四棱柱的侧面积为
S
＝4×2×22＝162.]
8．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．
ππ
?
1
?
[由题意得：π
rl
：
? h
·2
r
?
＝2π?
l
＝2
h
?母线与轴的夹角为.]
33
?
2
?
9．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm)，侧面积
为8(单位：cm)，则它的体积为 ________(单位：cm)．
23

43
[设四棱锥为
P
－
ABCD
，底面
ABCD
的中心为
O，取
CD
中点
E
，连接
PE
，
OE
.
3
1
则
PE
⊥
CD
.
OE
＝BC
＝1.
2
1
∵
S
侧面
＝4
S △
PCD
＝4××
CD
×
PE
＝8，∴
PE
＝2.
2
∴
PO
＝3，
1
2
43
∴正四棱锥体积
V
＝×2×3＝.]
33
10．(山东枣庄2017届高三上学期期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中
的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；
阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图9－15，在堑堵
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
AC
⊥
BC，若
A
1
A
＝
AB
＝2，当阳马
B
－
A
1
ACC
1
体积最大时，则堑堵
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的体积为________．

图9－15
121
2
1
2
4
2
2 [由阳马的定义知，
VB
－
A
1
ACC
1
＝×
A
1
A
×
AC
×
BC
＝
AC
× BC
≤(
AC
＋
BC
)＝
AB
＝，
33333
当且仅当
AC
＝
BC
＝2时等号成立，所以当阳马
B
－
A
1
ACC
1
体积最大时，则堑堵
ABC －
A
1
B
1
C
1
的体积为×2×2×2＝2 .]
11．(湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考)圆锥的母线长为
L
，过顶
1
2
r
点的最大截面的面积为
L
，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是________.
2
L
【导学号：56394065】
πθ
r
π22
?
2
?
因为sin＝≥sin＝，所以
?
，1
?
[由题意得轴截面的顶角θ不小于
2
，
2
L
422
?
2
?
≤<1.]
12．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图9－16，在正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1D
1
中，
AB
＝3
cm，
AA
1
＝1 cm，则三棱锥
D
1
－
A
1
BD
的体积为________cm.
3
1
2
r
L

图9－16
3
[∵在正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝3 cm，
AA
1
＝1 cm，
2
∴三棱锥
D
1－
A
1
BD
的体积：
VD
1
－
A 1
BD
＝
VB
－
A
1
D
1
D
＝×
S
△
A
1
D
1
D
×
AB

11
＝××
A
1
D
1
×
DD
1
×
AB

32
13
3
＝×3×1×3＝(cm)．]
62
13．( 安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考)如图9－17，四棱锥
P
－
ABCD 中，△
PAB
为
正三角形，四边形
ABCD
为正方形且边长为 2，平面
PAB
⊥平面
ABCD
，四棱锥
P
－
AB CD
的
五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
1
3

图9－17
28π7
2222
[由题意球的半径满足
R
－1＋
R
－2＝3?
R
＝，所以球的表面积是4π
R
33
＝
28π
.]
3
14．(中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评)在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
M
，
N
分
别为棱
A
1
B
1
，
A
1
C
1
的中点，则平面
BMNC
将三棱柱分成的两部分的体积比为________．
7∶5 [设直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1高为
h
，底面积为4
S
，则
VB
1
C
1
－
BMNC
＝
VC
－
B
1
MNC
1
＋
VM
1111115
－
B
1
BC
＝ ×
h
×3
S
＋
VA
1
－
B
1BC
＝
hS
＋
VA
－
B
1
BC
＝
hS
＋
VB
1
－
ABC
＝
hS
＋×
h
·4
S
＝
3222233
Sh
，
5
?
5
?
所以两部分的体积比为
?
4
Sh
－
Sh
?
∶
Sh
＝7∶5.]
3
?
3
?
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图9－18，四棱锥
P
－
ABCD
中，
AD
⊥平面
PAB
，
A P
⊥
AB
.

图9－18
(1)求证：
CD
⊥
AP
；
(2)若
CD
⊥
PD
，求证：
CD
∥平面
PAB
.
【导学号：56394066】
[证明] (1)因为
AD
⊥平面
PAB
，
AP
?平面
PAB
，所以
AD
⊥
AP
，
又因为
AP
⊥
AB
，
AB
∩AD
＝
A
，
AB
?平面
ABCD
，
A D
?平面
ABCD
，
所以
AP
⊥平面
ABCD
.
因为
CD
? 平面
ABCD
，所以
CD
⊥
AP
.
(2)因为 CD
⊥
AP
，
CD
⊥
PD
，且
PD
∩
AP
＝
P
，
PD
?平面
PAD
，
AP
?平面
PAD
，
所以
CD
⊥平面
PAD
.①
因为
AD
⊥ 平面
PAB
，
AB
?平面
PAB
，所以
AB
⊥
AD
.
又因为
AP
⊥
AB
，
AP ∩
AD
＝
A
，
AP
?平面
PAD
，
AD
?平面
PAD
，
所以
AB
⊥平面
PAD
.②
由①②得
CD
∥
AB
，
因为
CD
?平面
PAB
，
AB
?平面
PAB
，所以
CD
∥ 平面
PAB
.14分
16．(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图9－19，在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1C
1
中，
AC
⊥
BC
，
A
1
B
与
AB
1
交于点
D
，
A
1
C 与
AC
1
交于点
E
.
12分
8分
4分
6分
2分

图9－19
求证：(1)
DE
∥平面
B
1
BCC
1
；
(2)平面
A
1
BC
⊥平面
A
1
ACC 1
.
[证明] (1)由题意，
D
，
E
分别为A
1
B
，
A
1
C
的中点，
∴
DE
∥
BC
，
∵
DE
?平面
B
1
BCC
1
，
BC
?平面
B
1
BCC
1
，
∴
DE
∥平面
B
1
BCC
1
；
(2)∵
AA
1
⊥平面
ABC
，
BC
?平面
ABC
，
6分
2分

∴
AA
1
⊥
BC
，
∵
A C
⊥
BC
，
AC
∩
AA
1
＝
A ，
∴
BC
⊥平面
A
1
ACC
1
，
∵
BC
?平面
A
1
BC
，
∴平面
A
1
BC
⊥平面
A
1
ACC
1
.14分
17．(本小题满分14分) (2017·江苏省无锡市高考数学一模)如图9－20，在斜三棱柱 ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，侧面 AA
1
C
1
C
是菱形，
AC
1
与 A
1
C
交于点
O
，
E
是棱
AB上一点，且
OE
∥平面
BCC
1
B
1
.
10分

图9－20
(1)求证：
E
是
AB
中点；
(2)若
AC
1 ⊥
A
1
B
，求证：
AC
1
⊥
BC .
[证明]
(1)连接
BC
1
，取
AB
中点
E
′，

∵侧面
AA
1
C
1
C
是菱形，
AC
1
与
A
1
C
交于点
O
，
∴
O
为
AC
1
的中点，
∵
E
′是
AB
的中点，
∴
OE
′∥
BC
1
；
∵
OE
′ ?平面
BCC
1
B
1
，
BC
1
?平面BCC
1
B
1
，
∴
OE
′∥平面
BCC
1
B
1
，
∵
OE
∥平面
BCC
1
B
1
，
∴
E
，
E
′重合，
∴
E
是
AB
中点.
(2)∵侧面
AA
1
C
1
C
是菱形，
∴
AC
1
⊥
A
1
C
， 10分
8分
4分
∵
AC
1
⊥
A
1
B
，
A
1
C
∩
A
1
B
＝
A
1
，
A
1
C
?平面
A
1
BC，
A
1
B
?平面
A
1
BC
，∴
AC
1
⊥平面
A
1
BC
，

∵
BC
?平面
A
1
BC
，
∴
AC
1
⊥
BC
. 14分
18．(本小题满分16分) (2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图9－21，在
四面体
ABCD
中，平面
ABC
⊥平面
ACD
，
E
，
F
，
G
分别为
AB
，
AD ，
AC
的中点，
AC
＝
BC
，
∠
A CD
＝90°.

图9－21
(1)求证：
AB
⊥平面
EDC
；
(2)若
P 为
FG
上任一点，证明：
EP
∥平面
BCD
.
[证明] (1)∵平面
ABC
⊥平面
ACD
，∠
ACD
＝90°，

∴
CD
⊥
AC
，
∵平面
ABC
∩平面
ACD
＝
AC
，
CD
?平面
ACD
，
∴
CD
⊥平面
ABC
，
又
AB
?平面
ABC
，
∴
CD
⊥
AB
，
∵
AC
＝
BC
，
E
为
AB
的中点，∴
CE
⊥
AB
，
又
CE
∩
CD
＝
C
，
CD
?平面
EDC
，
CE
?平面
EDC
，
∴
AB
⊥平面
EDC
.8分
(2)连接
EF、
EG
，∵
E
、
F
分别为
AB
、AD
的中点，
∴
EF
∥
BD
，又
BD
?平面
BCD
，
EF
?平面
BCD
，
∴
EF
∥平面
BCD
，
同理可得
EG
∥ 平面
BCD
，且
EF
∩
EG
＝
E
，
EF
、
EG
?平面
EFG
，
∴平面
EFG
∥平面
BCD
，
∵
P
是 FG
上任一点，∴
EP
?平面
EFG
，
10分

∴
EP
∥平面
BCD
. 16分
19．( 本小题满分16分)(河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛)如图9－22，在
直

图9－22
三棱柱
ABC
－
A
1
B 1
C
1
中，
D
是
AB
的中点．
(1)证明：
BC
1
∥平面
A
1
CD
；
(2)若
AC
＝
CB
，求证：
A
1
D⊥
CD
.
[证明] (1)如图，连接
AC
1
，交 A
1
C
于点
O
，连接
OD
.
 据直三棱柱性质知四边形
ACC
1
A
1
为平行四边形，所以 O
为
AC
1
的中点．
又因为
D
是
AB
的中点，所以
BC
1

OD
.
又因为
BC
1
?平面
A
1
CD
，
OD
?平面A
1
CD
，
所以
BC
1
∥平面
A
1
CD
.
(2)因为
AC
＝
BC
，
D
为
AB
的中点，所以
CD
⊥
AB
.
6分
8分
4分
据直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1性质知
AA
1
⊥平面
ABC
，又因为
CD
?平面
ABC
，所以
AA
1
⊥
CD
.
又因为
AA
1
∩
AB
＝
A
，
AA
1，
AB
?平面
ABB
1
A
1
，
所以
CD
⊥平面
ABB
1
A
1
.
又因为
A
1
D
?平面
ABB
1
A
1，所以
CD
⊥
A
1
D
，即
A
1
D
⊥
CD
.16分
20．(本小题满分16分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图9－23，在四棱锥
P
－
ABCD
中，四边形
ABCD
为平行四边形，
AC
，
BD
相交于点
O
，点
E
为
PC
的中点，
OP
＝
OC
，
PA
⊥
PD
.求证：
14分

图9－23
(1)直线
PA
∥平面
BDE
；
(2)平面
BDE
⊥平面
PCD
.
【导学号：56394067】
[证明] (1)连接
OE
，因为
O
为平行四边形
ABCD
对角线的交点，所以
O
为
AC中点．

又因为
E
为
PC
的中点，所以
OE
∥
PA
.
又因为
OE
?平面
BDE
， PA
?平面
BDE
，
所以直线
PA
∥平面
BDE
.
(2)因为
OE ∥
PA
，
PA
⊥
PD
，
所以
OE
⊥
PD
.
因为
OP
＝
OC
，
E
为
PC
的中点，所以
OE
⊥
PC
.
又因为
PD
?平面
PCD
，
PC
?平面
PCD
，
PC
∩
PD
＝
P
，
所以
OE
⊥平面
PCD
.
又因为
OE
? 平面
BDE
，所以平面
BDE
⊥平面
PCD
.

专题限时集训(十) 平面解析几何
(对应学生用书第103页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1 ．(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆
x
＋
y
－2
x－8
y
＋13＝0的圆心到直线
ax
＋
y
－1＝0的距离为1，则
a
＝________.
【导学号：56394076】
4|
a
＋4－1|4
－ [由题意，知圆心为(1,4)，则有＝1，解得
a
＝－.]
2
33
a
＋1
2．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线
x
＋ ay
－2＝0与以
A
(3,1)，
B
(1,2)
为端点的线段没有公共点，则实数
a
的取值范围是________．
1
?1
?
(－∞，－1)∪
?
，＋∞
?
[直线
x
＋
ay
－2＝0过定点
C
(2,0)，所以－∈(
k
CB
，
k
CA
)＝
a
?
2
?
2 2
4分
6分
8分
10分
14分
16分
?
1
?
(－2,1)?
a
∈(－∞，－1)∪
?
，＋∞
?
.]
?
2
?
3．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令

行走”，如图10－13所示，“海宝”从圆心
T
出发，先沿北偏西

图10－13
12
??
θ
?
sin θ＝
?
方向行走13米至点
A
处，再沿正南方向行走14米至点
B
处，最后沿
13
??
正东方向行走至点
C
处，点
B
，
C
都在圆
T
上，则在以线段
BC
中点为坐标原点
O
，正
东方向为x
轴正方向，正北方向为
y
轴正方向的直角坐标系中，圆
T
的标准方程为
________．
x
2
＋(
y
－9)
2
＝225 [
TB 2
＝
TA
2
＋
AB
2
－2
TA·
AB
cos
A
＝169＋196－2×13×14×＝225，OT
＝14－13×cos θ＝9，∴圆
T
方程为
x
2
＋(
y
－9)
2
＝225.]
4．(江苏省南京市2017届高考三模)在平面直角坐标系
xOy
中，圆
O
：
x
＋
y
＝1，圆
M
：(
x
＋
a
＋1)＋(
y －2
a
)＝1(
a
为实数)．若圆
O
和圆
M
上分别存在点
P
，
Q
，使得∠
OQP
＝30°， 则
a
的取值范围为________．
22
22
5
13
?
－1，
3
?
[由题意，
22
圆
M
：(
x
＋
a
＋1)＋ (
y
－2
a
)＝1(
a
为实数)，圆心为
M
(－
a
－1,2
a
)，
??
5
??
从圆
M
上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，
OP＝
1.
∵圆
O
和圆
M
上分别存在点
P
，
Q
，使得∠
OQP
＝30°，
∴|
OM
|≤2，
∴(
a
＋1)＋4
a
≤4，
3
∴－1≤
a
≤.]
5
5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线
l
：
mx
＋
y
－2m
－1＝0，圆
C
：
22
x
2
＋
y 2
－2
x
－4
y
＝0，当直线
l
被圆
C
所截得的弦长最短时，实数
m
＝________.
－1 [由
C
：
x
＋
y
－2
x
－4
y
＝0 得(
x
－1)＋(
y
－2)＝5，
∴圆心坐标是
C
(1,2)，半径是5，
∵直线
l
：mx
＋
y
－2
m
－1＝0过定点
P
(2,1) ，且在圆内，
∴当
l
⊥
PC
时，直线
l
被圆x
＋
y
－2
x
－4
y
＝0截得的弦长最短，
22
2222

2－1
∴－
m
·＝－1，∴ m
＝－1.]
1－2
6．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系
xOy
中，已知
B
，
C
为圆
x
＋
y
＝4上两点，点
A
(1,1)，且
AB
⊥
AC ，则线段
BC
的长的取值范围为________．
[6－2，6＋2] [ 在平面直角坐标系
xOy
中，已知
B
，
C
为圆
x ＋
y
＝4上两点，
点
A
(1,1)，且
AB
⊥
AC
，如图所示，当
BC
⊥
OA
时，|
BC|取得最小值或最大值．
22
22

?
?
y
＝1，
由
?
22
?
x
＋
y
＝4，
?
?
?
x
＝1，
由
?
22
?
x ＋
y
＝1，
?

可得
B
(－3，1)或(3，1)，
可得
C
(1，3)或(1，－3)，
2
解得
BC
min
＝3－
2
＋－3
＋3
2
2
＝6－2.
BC
max
＝－3－＋＝6＋2.]
7．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
：
kx－
y
＋2＝0
与直线
l
2
：
x
＋ky
－2＝0相交于点
P
，则当实数
k
变化时，点
P 到直线
x
－
y
－4＝0的距
离的最大值为________．
?
1
?
32 [∵直线
l
1
：
kx
－
y
＋2＝0与直线
l
2
：
x
＋
ky －2＝0的斜率乘积为
k
×
?
－
?
＝－
? k
?
1(
k
＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：
M
(0,2)，
N
(2,0)．
∴两条直线的交点在以
MN
为直径的圆上．并且
k
MN
＝－1，可得
MN
与直线
x
－
y
－4＝0
垂直．
|0－2－4|
∴点M
到直线
x
－
y
－4＝0的距离
d
＝＝32为最大值．]
2
x
2
y
2
8．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线2
x
－3
y
＝0为双曲线
2－
2
ab
＝1(
a
＞0，
b
＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．
21
xy
[根据题意，双曲线的方程为：
2
－
2
＝1(
a
＞0，
b
＞0)，
3
ab
其渐近线方程为：
y
＝±
x
，
2 2
b
a

又由其一条渐近线的方程为：2
x
－3
y
＝0，即
y
＝
2
b
2
x
，则有＝，
a
33
c
2
a
2
＋
b
2
b
2
721
则其离心率
e
＝
2
＝
2
＝1＋
2
＝，则有
e
＝.]
aaa
33
2x
2
y
2
9．(河北省唐山市2017届高三年级期末)设
F 1
，
F
2
为椭圆
C
：
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)的左、右
ab
焦点，经过 F
1
的直线交椭圆
C
于
A
，
B
两点，若△
F
2
AB
是面积为43的等边三角形，则椭
圆
C的方程为________．

【导学号：56394077】
x
2
y
2
9
＋＝1 [由题意，知|
AF
2
|＝|
BF
2
|＝|
AB
|＝|
AF
1
|＋|
BF
2
|， ①
6
又由椭圆的定义知，|
AF
2
|＋|
AF
1
|＝|
BF
2
|＋|
BF
1
|＝2
a
， ②
421
联立①②，解得|
AF
2
|＝|
BF
2
|＝|
AB
|＝a
，|
AF
1
|＝|
BF
1
|＝
a ，所以
S
△
F
2
AB
＝
332
| AB
||
AF
2
|sin 60°＝43，所以
a
＝ 3，|
F
1
F
2
|＝
＝
a
－
c ＝6，所以椭圆
C
的方程为＋＝1.]
96
22
3
2
|
AB
|＝23，所以
c
＝3，所以
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
10．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线
2
－
2
＝1(
a
＞0，
b
＞
ab
0)的离心率为3，其渐近线与圆
x ＋
y
－6
y
＋
m
＝0相切，则
m
＝ ________.
22
x
2
y
2
8 [∵双曲线
2
－
2
＝1(
a
＞0，
b
＞0)的离心率为3，
ab
∴
c
＝3
a
，∴
b
＝22
a
，取双曲线的渐近线
y
＝22
x
.
x
2
y
2
22
∵双曲线
2
－
2
＝1(
a
＞0，
b
＞0)的渐近线与
x
＋
y
－6
y
＋
m
＝0相切，
ab
∴圆心(0,3)到渐近线的距离
d
＝
r
，
∴＝9－
m
，∴
m
＝8.]
8＋1
22
3
11．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线
x
－ y
＝1，点
F
1
，
F
2
为其两个焦点，点 P
为双曲线上一点，若∠
F
1
PF
2
＝60°，则三角形
F
1
PF
2
的面积为________
1
3 [
S
△
F
1
PF
2
＝＝＝3.]
θtan 30°
tan
2
12．(2017·江苏省盐城市高考数学二模) 在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝6
x
的焦点
为
F
，准线为
l
，
P
为抛物线上一点，
PA⊥
l
，
A
为垂足．若直线
AF
的斜率
k
＝－3，则
2
b
2

线段
PF
的长为___ _____．
6 [∵抛物线方程为
y
＝6
x
，
∴焦点
F
(1.5,0)，准线
l
方程为
x
＝－1.5，
∵直线
AF
的斜率为－3，
直线
AF
的方程为
y
＝－3(
x
－1.5)，
当
x
＝－1.5时，
y
＝33，
由可得
A
点坐标为(－1.5,33)，
∵
PA
⊥
l
，
A
为垂足，
∴
P
点纵坐标为33，代入抛物线方程，得
P
点坐标为(4.5,33)，
∴|
PF
|＝|
PA
|＝4.5－(－1.5)＝6.]
2
x
2
y
2
13．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考 )已知椭圆
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)的左、右焦
ab
点分别为
F
1
，
F
2
，过 F
1
且与
x
轴垂直的直线交椭圆于
A
、
B 两点，直线
AF
2
与椭圆的另一
个交点为
C
，若S
△
ABC
＝3
S
△
BCF
2
，则椭圆的离心率为________．
5
[设椭圆的左、右焦点分别为
F
1 (－
c,
0)，
F
2
(
c,
0)，
5
b
2
?
b
2
?
由
x
＝－c
，代入椭圆方程可得
y
＝±，可设
A
?
－
c
，
?
，
C
(
x
，
y
)，
S
△
ABC
＝3
S
△
BCF
2
，
a
?
a
?
b
?
b
?
可得
AF 2
＝2
F
2
C
，即有
?
2
c
，－
?
＝2(
x
－
c
，
y
)，即2c
＝2
x
－2
c
，－＝2
y
，
a ?
a
?
22
b
2
4
cb
可得
x
＝2
c
，
y
＝－，代入椭圆方程可得，
2
＋ 2
＝1，
2
aa
4
a
2
c
222
1－
e
5
2
由
e
＝，
b
＝
a
－
c
，即有4
e
＋＝1，解得
e
＝.] a
45
→→
2
2
14．(四川省2016年普通高考适应性测试 )如图10－14，
A
1
，
A
2
为椭圆

图10－14
x
2
y
2
9
＋＝1的长轴的左、右端点，
O
为坐标原点，
S
，
Q
，
T
为椭圆上不同于
A
1
，
A
2
的三
5
22
点，直线
QA
1
，
QA
2
，
OS
，
OT
围成一个平行四边形
OPQR
，则|
OS
|＋|
OT
|＝________.
14 [设
Q
(
x
，
y
)，
T
(
x
1
，
y
1
)，
S
(
x
2
，
y
2
)，
QA
1 ，
QA
2
斜率为
k
1
，
k
2
，则
OT
，
OS
斜率为
k
1
，
k
2
，且
k
1
k
2
＝
5
·＝
2 ＝－，
x
＋3
x
－3
x
－99
yyy2

所以
OT
＝
x
＋
y
＝
x
＋
kx
＝
22
1
2
1
2
1 22
11
＋
k
1
2
，同理
OS
＝ 2
5＋9
k
1
＋
k
2
5＋9
k1
2
1
2
＋
k
2
22
，因此|
OT
|＋|
OS
|
2
5＋9
k
2
＋k
1
81
k
1
＋25
＋
22
＝
5＋9
k
1
5＋9
k
1
22
2
＝
＋
k
5＋9
k
2
2
1
2
1
＋ ＋
k
2
5＋9
k
2
2
2
＝
25
??
45
?
1＋
2
?
?
81
k
1
?
＋＝
25
5＋
2
9
k
1 126
k
1
＋70
2
＝14.]
5＋9
k
1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)已知直线
l
：4
x
＋3
y＋10＝0，半径为2的圆
C
与
l
相切，圆心
C
在x
轴上且在直线
l
的右上方．
(1)求圆
C
的方程；
(2)过点
M
(1,0)的直线与圆
C
交于
A
， B
两点(
A
在
x
轴上方)，问在
x
轴正半轴上是否
存在定点
N
，使得
x
轴平分∠
ANB
？若存在，求出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由.
【导学号：56394078】
5
?
|4
a
＋10|
?
[解] (1)设圆心 C
(
a,
0)
?
a
＞－
?
，则＝2 ?
a
＝0或
a
＝－5(舍)．
2
?
5
?

所以圆
C
：
x
＋
y
＝4.
22
6分
(2)存在．当直线
AB
⊥
x
轴时， x
轴平分∠
ANB
.当直线
AB
的斜率存在时，设直线
AB
的
方程为
y
＝
k
(
x
－1)(k
≠0)，
N
(
t,
0)，
A
(
x 1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
?
?
x
＋
y
＝4， 由
?
?
y
＝
kx
－
?
22
，
2

得(
k
＋1)
x
－2
kx
＋
k
－4＝0，
2
2222
8分
2
kk
－4
所以
x
1
＋
x
2
＝
2
， x
1
x
2
＝
2
.
k
＋1
k
＋1
若
x
轴平分∠
ANB
，则
k
AN ＝－
k
BN
?
2
x
1
x
2
－(
t
＋1)(
x
1
＋
x
2
)＋2
t
＝0?
y
1
x
1
－
tx
2
－
t
2
k
－
2
＋
y
2
＝0?
kx
1
－
x
1
－
t
＋
kx
2 －
x
2
－
t
＝0?
k
2
－
k
2
＋1
t
＋
k
＋1
2
＋2
t ＝0?
t
＝4，
14分所以当点
N
为(4,0)时，
x
轴平分∠
ANB
.
16．(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图10－15，

图10－15
x
2
y
2
2在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
2
＋
2
＝1( a
＞
b
＞0)的离心率为，
C
为椭圆上位
ab
3
于第一象限内的一点．
?
5
?
(1)若点
C
的坐标为
?
2，
?
，求
a
，
b
的值； ?
3
?
→
1
→
(2)设
A
为椭圆的左顶点，
B
为椭圆上一点，且
AB
＝
OC
，求直线
AB
的斜率．
2
c
[解] (1)由题意可知：椭圆的离心率
e ＝＝
a
b
2
2
b
2
5
1－
2
＝，则
2
＝，①
a
3
a
9
425?
5
?
由点
C
在椭圆上，将
?
2，
?
代入椭圆方程，
2
＋
2
＝1，②
a
9
b
?
3
?
解得：
a
＝9，
b
＝5，
∴
a
＝3，
b
＝5， 6分
22
b
2 5
222
(2)法一：由(1)可知：
2
＝，则椭圆方程：5
x
＋9
y
＝5
a
，
a
9
设直线
OC
的方程为
x
＝
my
(
m
＞0)，
B (
x
1
，
y
1
)，
C
(
x
2
，
y
2
)，
?
?
x
＝
my
，
?
222
?
5
x
＋9
y
＝5
a
，
?
2
2

消去
x
整理得 5
my
＋9
y
＝5
a
，
2222
5a
5
a
∴
y
＝
2
，由
y
2 ＞0，则
y
2
＝，
2
5
m
＋9
5
m
＋9
→
1
→
由
AB
＝
OC，则
AB
∥
OC
，设直线
AB
的方程为
x＝
my
－
a
，
2
?
?
x
＝
my
－
a
，
由
?
222
?
5x
＋9
y
＝5
a
，
?

整理得(5
m
＋9)
y
－10
amy
＝0， 22
10
am
由
y
1
＞0得
y
1＝
2
，
5
m
＋9
→
1
→
1
??
1
由
AB
＝
OC
，则(
x
1
＋
a
，
y
1
)＝
?
x
2
，
y
2
?
，
2
?
2
?
2
则
y
2
＝2
y
1
，
则
10
am
＝2×(
m
＞0)，
2
2 5
m
＋9
5
m
＋9
5
a
10分

解得
m
＝
3
，
5
14分
222
153
则直线
AB
的斜率＝；
m
3
法二：由(1)可知：椭圆方程5
x
＋9
y
＝5
a
，则 A
(－
a,
0)，
B
(
x
1
，y
1
)，
C
(
x
2
，
y
2 )，
→
1
→
1
??
1
由
AB＝
OC
，则(
x
1
＋
a
，
y
1
)＝
?
x
2
，
y
2
?
，则y
2
＝2
y
1
，
2
?
2
?
2
由
B
，
C
在椭圆上，
10分
?∴
?
?
1
?
2
?
y
2
?22
x
5
2
－
a
?
＋9
??
＝5
a
，
?
?
??
2
?
?
?2
?
5
x
2
＋9
y
2
＝5
a
，
222

a
x
＝，
?
?
4，解得
?
5
a
y
＝
?
?
43
，
2
2

则直线直线
AB
的斜率
k＝＝
53
直线
AB
的斜率为.
3
y
2
53
.
x
2
3
14分
17．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛) 已知点
P
是椭
圆
C
上任一点，点
P
到直线
l
1 ：
x
＝－2的距离为
d
1
，到点
F
(－1, 0)的距离为
d
2
，且＝
2
.直线
l
与椭圆
C
交于不同两点
A
、
B
(
A
，
B
都在
x
轴上方)，且∠
OFA
＋∠
OFB
＝180°.
2

d
2
d
1

图10－16
(1)求椭圆
C
的方程；
(2)当
A
为椭圆与
y
轴正半轴的交点时，求直线
l
方程；
(3)对于动直线
l
，是否存在一个定点，无论∠
OFA
如何变化，直线
l
总经过此定点？
若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设
P
(x
，
y
)，则
d
1
＝|
x
＋2|， d
2
＝
x
＋
2
＋
y
，
2
d
2
∴＝
d
1
x
＋
2
＋
y
2
2
x
2
2
＝，化简，得＋
y
＝1，
|
x
＋2|22
x
2
2
∴椭圆
C
的方程为＋
y
＝1.
2
3分

1－0
(2 )
A
(0,1)，
F
(－1,0)，∴
k
AF
＝ 0－－
＝1，
又∵∠
OFA
＋∠
OFB
＝180° ，∴
k
BF
＝－1，
BF
：
y
＝－1(
x
＋1)＝－
x
－1.
?
?
x
＝0，
代入＋
y
＝1解得
?
2
?
y
＝－1
?
x
2
2

4
x
＝－，
?
?
3
(舍)
?
1
y
＝
?
?
3
，

?
41
?
∴
B
?
－，
?
，
?
33
?
6分
1
1－
3
111
k
AB
＝＝，∴
AB：
y
＝
x
＋1.即直线
l
方程为
y
＝
x
＋1.
4
?
222
?
－
0－
??
?
3
?
(3)∵∠
OFA
＋∠
OFB
＝180°，∴
k
AF
＋
k
BF
＝0.
7分 设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，直线
AB
方程为
y
＝
kx
＋
b
.
?
2
1?
222
代入＋
y
＝1，得
?
k
＋
?
x
＋2
kbx
＋
b
－1＝0.
2
?2
?
2
kbb
－1
∴
x
1
＋
x
2
＝－，
x
1
x
2
＝，
11
22
k
＋
k
＋
22
∴
k
AF
＋ k
BF
＝
＝
2
x
2
9分
y
2
kx
1
＋
bkx
2
＋
b
＋＝＋ x
1
＋1
x
2
＋1
x
1
＋1
x
2
＋1
x
2
＋＋
kx
2
＋
b x
1
＋
x
2
＋
x
1
＋
＝0 ，
y
1
kx
1
＋
b
∴(
kx
1
＋
b
)(
x
2
＋1)＋(
kx
2
＋
b
)(
x
1
＋1)
＝2
kx
1
x
2
＋(
k
＋
b
)(
x
1
＋ x
2
)＋2
b

＝2
k
×
b
2
－12
kb
－(
k
＋
b
)×＋2
b ＝0，
11
22
k
＋
k
＋
22
∴
b
－2
k
＝0，12分
∴直线
AB
方程为
y
＝
k
(
x
＋2)，
∴直线
l
总经过定点
M
(－2,0). 14分
18．( 本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系
x
2
y
2
xOy
中，已知圆
O
：
x
＋
y
＝
b
经过椭圆
E
：＋
2
＝1(0＜
b
＜2)的焦点．
4
b
222
(1)求椭圆
E
的标准方程；
(2) 设直线
l
：
y
＝
kx
＋
m
交椭圆
E
于
P
，
Q
两点，
T
为弦
PQ
的中点，
M
(－1,0)，
N
(1,0)，

记直线TM
，
TN
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，当2
m
－2
k
＝1时，求
k
1
·
k
2
的值．
22

图10－17
[解] (1)因0 ＜
b
＜2，所以椭圆
E
的焦点在
x
轴上，又圆
O ：
x
＋
y
＝
b
经过椭圆
E
的焦点，所以椭圆的半焦距
c
＝
b
，
所以2
b
＝4，即 b
＝2，所以椭圆
E
的方程为＋＝1.
42
(2)法一：设
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y
2
)，
T
(
x
0
，
y
0
)，
22
222
x
2
y
2
6分
xy
?
?
＋＝1，
联立
?
42
?
?
y
＝
kx
＋
m
，
22

消去
y
，得 (1＋2
k
)
x
＋4
kmx
＋2
m
－4＝ 0，
222
10分
4
km
2
k
22
所以
x
1
＋
x
2
＝－，又2
m
－2
k
＝1，所以
x
＋
x
＝－，
12
2
1＋ 2
km
所以
x
0
＝－，
y
0
＝
m
－
k
·＝
1
2
m
1
2
m
k
m
k
1
，
m
2
m
11
＝－.
2
则
k
1
·
k
2
＝
1
· ＝
22
＝
kk
4
k
－4
m
－
－＋ 1－－1
m
－2
k
22
16分
mm
?
?
4
＋
2
＝1，
法二：设
P
(
x
，
y
)，
Q
(
x
，
y
)，
T
(
x
，
y
)，则
?
xy
?
?
4
＋
2
＝1，
112200
2
2
2
2
x
2
y
2
11

两式作差，得
x1
＋
x
2
4
x
1
－
x
2＋
y
1
＋
y
2
2
y
1
－y
2
＝0， 10分
又
x
1
＋
x
2
＝2
x
0
，
y
1
＋
y
2
＝2
y
0
，
∴
x
0
x
1
－x
2
2
＋
y
0
(
y
1
－y
2
)＝0，
∴＋
2
x
0
y
0y
1
－
y
2
＝0，
x
1
－
x
2
又
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y
2
)在直线
y
＝
kx
＋
m
上，
∴
y
1
－
y
2
＝
k
，
x
1
－
x
2

∴
x
0
＋2 ky
0
＝0，①
又
T
(
x
0
， y
0
)在直线
y
＝
kx
＋
m
上，∴
y
0
＝
kx
0
＋
m
，②
2kmm
由①②可得
x
0
＝－
2
，
y
0
＝
2
.16分
1＋2
k
1＋2
k
以下同方法一．
x
2
19．(本小题满分16分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设椭圆
E
：
2
＋
a
y
2
1
2
＝1(
a >
b
>0)的离心率为，
E
上一点
P
到右焦点距离的最小值为1.
b
2
(1)求椭圆
E
的方程；
→→
(2)过点(0,2)的直线交椭圆
E
于不同的两点
A
，
B
，求
OA
·
OB
的取值范围.
【导学号：56394079】
c
1
[解] (1)由题意得＝，且
a
－
c
＝1， ∴
a
＝2，
c
＝1，
a
2
故
b
＝
a
－
c
＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
43
(2)①当
k
不存在时，
A
(0，－3)，
B
(0，3)，
→→
∴
OA
·
OB
＝(0，－3)·(0，3)＝－3；
222
x
2
y
2
4分
6分
y
＝
kx
＋2，
?
?
22
②当
k
存在时，设直线方程为
y
＝
kx
＋2，则有
?
xy
＋＝1， ?
?
43
整理得(3＋4
k
)
x
＋16kx
＋4＝0，
16
k
4
∴
x
1
＋
x
2
＝－
2
，
x
1
x
2
＝
2
，(i)
3＋4
k
3＋4
k
→→
又
OA
·
OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2

＝
x
1
x
2
＋(
kx
1
＋2)(
kx
2
＋2)
＝(1＋ k
)
x
1
x
2
＋2
k
(
x
1
＋
x
2
)＋4
132
k
＋24－24
＝1＋＋4
2
－
2
3＋4
k
3＋4
k
25
＝－3＋
2
，(ⅱ) 3＋4
k
222
1
Δ＝256
k
－16(4
k
＋3)>0，从而
k
>，(ⅲ)
4
2
2
22

10分
14分

→→
2513
(ⅲ)代入(ⅱ)中
OA
·
OB ≤－3＋＝，
3＋14
→→
13
??
∴
OA
·
OB
∈
?
－∞，
?
.
4
??
16分
20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知平面直角坐标
系
xOy
内两个定点
A
(1 ,0)、
B
(4,0)，满足
PB
＝2
PA
的点
P
(
x
，
y
)形成的曲线记为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点
B
的直线
l
与曲线Γ相交于
C
、
D
两点，当△
COD
的面积最大时，求直线
l
的
方程( O
为坐标原点)；
(3)设曲线Γ分别交
x
、
y
轴的正半轴于
M
、
N
两点，点
Q
是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连接
QN
交
x
轴于点
E
、连接QM
交
y
轴于
F
.求证：四边形
MNEF
的面积为定值．
[解] (1)由题设知2
x
－
2
2
＋
y
＝
2
x
－
2
＋
y
，两边化简得
x
＋
y
＝4，
3分
222
∴点
P
的轨迹Γ的方程为
x
＋
y
＝4.
2

(2)由题意知
OS
＝
SD
－
OD
＝3的斜率一定存在，设
l ：
y
＝
k
(
x
－4)，即
kx
－ y
－4
k
＝0，
∵原点到直线
l
的距离
d
＝
1
2
∴
S
△
COD
＝
CD·
d
＝
d
2
2
22
|4
k
|
1＋
k
－
d
2
2
，
CD
＝24－
d
，
2
≤
2
?
d
＋－
d
?
2
?
2
22
?
2
＝2.
?
?
6分
当且仅当
d
＝2时，取得“＝”，
d ＝2＜
r
＝4，
16
k
17
2
∴当
d
＝2时，此时，
2
＝2?
k
＝
?
k
＝ ±
.
k
＋177
2
2
∴直线
l
的方程为
y
＝±
7
(
x
－4)．
7
1
( 3)设
S
MNEF
＝
S
△
MNE
＋
S△
MEF
＝
ME
·
NF
，
2
设Q
(
x
0
，
y
0
)，
E
( e,
0)，
F
(0，
f
)(其中
x
0＜0，
y
0
＜0，
x
0
＋
y
0
＝4)，
则
QM
：
y
＝
－2
y
0(
x
－2)，令
x
＝0得
f
＝，
x
0
－2
x
0
－2
22
8分
y
0
－2
y
0
∴
NF
＝2－＝
x
0
－2
x
0
＋
y
0
－4
.
x0
－2

y
0
－22
x
0
QN ：
y
＝
x
＋2，令
y
＝0得
e
＝，
x
0
2－
y
0
2
x
0
4－
x
0
＋
y
0
∴
ME
＝2－＝.
2－ y
0
2－
y
0
11
∴
S
MNEF ＝
ME
·
NF
＝·
22
12分
x
0
＋
y
0
－4
·
x
0
－2
x0
＋
y
0
－4
＝2·
y
0
－2
x
0
＋
y
0
－
2
x
0
－
y
0
－
16分
＝
x
0
＋
y
0
－
2
2·
x
0
－
y
0
－

8－
＝2·
4－
x
0
＋
y
0 ＋2
x
0
y
0
＝4(定值).
x
0
＋
y
0
＋
x
0
y
0
专题限时集训(十一 ) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时：120分钟)
1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系
xOy
中，直线 3
x
＝1＋
t
?
?
5
l
：
?
4
y
＝
?
?
5
t
段
AB
的长．
[解] 法一：直线
l
的参数方程化为普通方程得4
x
－3
y
＝4，
将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
＝4
x
.
?
4
x
－3
y
＝4，
?
联立方程组
?
2
?
?
y
＝4
x
，
2
?
?
x
＝4
k
(
t
为参数)，与曲线
C
：
?
?
y
＝4
k
?
2

(
k
为参数)交于
A
，
B
两点，求线
4分

?
x
＝4，
?
解得
?
?
?y
＝4，

1
?
?
x
＝，
或
?
4
?
?
y
＝－1.

?
1 ?
所以
A
(4,4)，
B
?
，－1
?
.
?
4
?
25
所以
AB
＝.
4法二：将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
＝4
x
.
2
10分
?
4
?
2
?
3
?2
直线
l
的参数方程代入抛物线
C
的方程得
?
t
?
＝4
?
1＋
t
?
，即4
t
－ 15
t
－25＝0，
?
5
??
5
?
15 25
所以
t
1
＋
t
2
＝，
t
1 t
2
＝－.
44
所以
AB
＝|
t
1
－
t
2
|＝
t
1
＋
t
2
2
25
－4
t
1
t
2
＝.
4
10分
2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆
O
1
和圆
O
2
的极坐标方程

π ??
2
分别为ρ＝2，ρ－22ρcos
?
θ－
?
＝ 2.
4
??
(1)把圆
O
1
和圆
O
2 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
π
??
2222
[解] (1)ρ＝2?ρ＝4，所以
x
＋
y
＝4；因为ρ－22ρcos
?
θ－
?
＝2，2分 4
??
ππ
??
222
所以ρ－22ρ
?
co s θcos＋sin θsin
?
＝2，所以
x
＋
y
－2
x
－2
y
－2＝0.
44
??

(2) 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为
x
＋
y
＝1.

π
?
2
?
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin
?
θ＋
?
＝.10分
4
?
2
?
3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设
n
∈N，
f
(
n
)＝3＋7－2.
(1)求
f
(1)，
f
(2)，
f
(3)的值；
(2)证明：对任意正整数
n
，
f
(
n
)是8的倍数．
[解] (1)代入求出
f
(1)＝8，
f
(2)＝56，
f
(3)＝368.
(2)证明：①当
n
＝1时，
f
(1)＝8是8的倍数，
命题成立．
②假设当
n
＝
k
时命题成立，即
f
(
k
)＝3＋7－2是8的倍数，
那么当
n
＝
k
＋1时，
f
(
k
＋1)＝3

因为7＋1是偶数，所以4(7＋1)是8的倍数，
又由归纳假设知3(3＋7－2)是8的倍数，
所以
f
(
k
＋1)是8的倍数，
所以当
n
＝
k
＋1时，命题也成立．
根据①②知命题对任意
n
∈N成立.
4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当
n
∈N时，3
[解] 3
n
－1
2
n
＋2
*2
n
＋2
* *
6分
8分
nn
2分
kk
k
＋1＋7
k
＋1
－2＝3(3＋7－2)＋4(7＋1)，
6分
kkk
kk
kk
10分
－8
n
－9能被64整除．
＋C
n
＋1
·8＋C
n
＋1
·8
n
－3
n
－1
1
－8
n
－9＝9
n
n
＋1
－8
n
－9＝(8＋ 1)
2
n
＋1
－8
n
－9＝8
1
n
＋1
n
2
n
－1
＋…
＋C
n
＋1
·8＋C
n
＋1
·8＋1－8
n
－9＝8·(8
而8n
－1
2
n
－1
＋C
n
＋1
·8*
n
－2
＋C
n
＋1
·8
2
＋…＋C
n
＋1
)，6分
＋C
n
＋1
·8
1n
－2
＋C
n
＋1
·8
2
n
－3＋…＋C
n
＋1
∈N，所以3
n
－12
n
＋2
－8
n
－9能被64整除.10分
5．(本小题满分10分)(2017· 江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知
a
，
b
，
c
为正
b
2
c
2
a
2
实数，求证：＋＋≥
a
＋
b
＋
c
.
abc

【导学号：56394086】
[证明] ∵
a
，
b
，
c
为正实数，
b
2
c
2
a
2
∴
a
＋≥2
b
，
b＋≥2
c
，
c
＋≥2
a
，
abc
将上面三个式子相加得：
4分
b
2
c
2
a
2
a
＋
b
＋
c
＋＋＋≥2
a ＋2
b
＋2
c
，
abc
b
2
c 2
a
2
∴＋＋≥
a
＋
b
＋
c
.
abc
10分
6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数
f
(
x
)
＝|
x
＋1|－|
x
|＋
a
.
(1)若不等式
f
(
x
)≥0的解集为空集，求实数
a
的取值范围；
(2)若方程
f
(
x
)＝
x
有三个不同的解，求实数
a
的取值范围．
[解] (1)令
g
(
x
) ＝|
x
＋1|－|
x
|，则
f
(
x
)≥ 0的解集为空集?
g
(
x
)≥－
a
的解集为
空集?
g
(
x
)＜－
a
恒成立，
－1，
x＜－1，
?
?
g
(
x
)＝|
x
＋1| －|
x
|＝
?
2
x
＋1，－1≤
x
＜0 ?
?
1，
x
≥0，

，作出函数
g
(
x
)的图象，由图可知，
函数
g
(
x
)的最大值为
g
(
x
)
max
＝1，所以－
a
＞1，即
a
＜－1.
综上，实数
a
的取值范围为(－∞，－1)．
5分
(2)在同一坐标系内作出函数
g
(
x
)＝|
x
＋1|－|
x
|图象和
y
＝
x
的图象如图所示，由题
意可知，把函数
y
＝
g
(
x
)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与
y
＝
x
的图
象始终有3个交点，从而－1＜
a
＜0. 10分

7．(本小题满分10分)(2017· 江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△
ABC
内接于
⊙
O
，连接
AO
并延长交⊙
O
于点
D
，∠
ACB＝∠
ADC
.
求证：
AD
·
BC
＝2
AC
·
CD
.

图11－9

[证明] ∵∠
ACB
＝∠
ADC
，
AD
是⊙
O
的直径，
∴
AD
垂直平分
BC
，设垂足为
E
(图略)， ∵∠
ACB
＝∠
EDC
，∠
ACD
＝∠
CE D
，
∴△
ACD
∽△
CED
， 6分
ADAC
1
∴＝，∴
AD
·
BC
＝
AC
·
CD
，
CDCE
2
∴
AD
·
BC
＝2 AC
·
CD
. 10分
8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直
线
DE
切圆
O于点
D
，直线
EO
交圆
O
于
A
，B
两点，
DC
⊥
OB
于点
C
，且
DE
＝2
BE
，求证：
2
OC
＝3
BC
.

图11－10
[证明] 连接
OD
，设圆的半径为
R ，
BE
＝
x
，则
OD
＝
R
，
DE
＝2
BE
＝2
x
，
Rt△
ODE
中，∵
DC
⊥
OB
，∴
OD
＝
OC
·OE
，∴
R
＝
OC
(
R
＋
x
)，①
4分
22

∵直线
DE
切圆
O
于点
D
，∴
DE
＝
BE
·
AE
， 2
R
2
∴4
x
＝
x
(2
R
＋
x
)，②，∴
x
＝，
3
3
R
代入①，解得
OC
＝，
5
2R
∴
BC
＝
OB
－
OC
＝，∴2
OC
＝3
BC
.
5
9．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)已知向量
?
10分
8分
2
?
1
?
?
是矩阵
A
的属于
?
－1
?
特征值－ 1的一个特征向量．在平面直角坐标系
xOy
中，点
P
(1,1)在矩阵A
对应的变换
作用下变为
P
′(3,3)，求矩阵
A
.

?
a

[解] 设
A
＝
?
?
c

因为向量
?
b
?
d
?
?
，
?
1
?
?
是矩阵
A
的属于特征值－1的一个特征向量，
?
－1
?
?
a

所以
?
?
c

b
??
1
??
1
??
－1
?
???
＝(－1)
? ?
＝
??
.
d
??
－1
??
－1
??
1
?
?
?
a
－
b
＝－1，
所以
?
?
c
－
d
＝1.
?

6分
因为点
P
(1,1)在矩阵
A
对应的变换作用下变为
P
′(3,3)，
?
a

所以
?
?
c

?
b
??
1
??
3
?
?
a
＋
b＝3，
???
＝
??
.所以
?
?
d
? ?
1
??
3
?
?
c
＋
d
＝3， 
8分
2
?
1
?
解得
a
＝1，
b
＝2，
c
＝2，
d
＝1，所以
A
＝?
?
1
?
2
?
. 10分
10．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)
?
2
??
1
已知α＝
??
为矩阵
A ＝
?
?
1
??
－1
?
1
[解] 由条件可知
?
?
－1
?
?
2＋
a
＝2λ，
∴
?
?
－2＋4＝λ，
?
2
?
属于λ的一个特征向量，求实数
a
，λ的值及
A
.
4?
a
?
?
2
?
＝λ
?????
，
4
??
1
??
1
?
6分
a
??
2
?

解得
a
＝λ＝2.
?
1
因此
A
＝
?
?
－1
?
1
所以
A
＝
?
?
－1
2
2
?
?
，
4
?
2
??
1 2
??
－1 10
?
???
＝
??
.
4
??
－1 4
??
－5 14
?
10分
11．(本小题满分10分)(201 7·江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节，准
备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为
a
(
a
为常数)，演唱一首经典歌曲
观众与乐队的互动指数为2
a
，求观众与乐队的互动指数之和
X
的概率分布及数学期望.
【导学号：56394087】
[解] (1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为
A
，则
P
(
A
)＝1－
P
(
A
)＝1
C
5
13
－
4
＝.
C
8
14
(2)由题意可得：
X
＝5
a,
6
a,
7
a,
8
a
.
4
4分
 C
3
C
5
51C
3
C
5
303P
(
X
＝5
a
)＝
4
＝＝，
P
(
X
＝6
a
)＝
4
＝＝，
C
8
7014C
8
707
C
3
C
5
303C
5
51
P
(
X
＝7
a
)＝
4
＝＝，
P
(
X
＝8
a
)＝
4
＝＝.
C
8
707C
8
7014
134
3122
6分
X
P
1
14
3
7
3
7
5
a
1

14
6
a
3

7
113
142
7
a
3

7
8
a

1

14
10分
E (
X
)＝5
a
×＋6
a
×＋7
a
× ＋8
a
×＝
a
.
12．(本小题满分10分)(江苏省苏州市20 17届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有
这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个
黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若
摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
(2)在两次游戏中，记获奖次数为
X
，求
X
的数学期望．
[解] (1)记“在一次游戏中摸出
i
个白球”为事件
A
i
(
i
＝0,1,2,3)．
C
3
C
2
1
则
P
(
A
3
)＝
22
＝.
C
5
C
3
5
1
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分
5
C
3
C
2
＋C
3
C
2
C
2
17
(2)获奖的概率为
P
(
A
2
∪
A
3
)＝
P
(
A
2
)＋
P
(A
3
)＝＋＝.
22
C
5
C
3
51 0
22111
21
X
的所有可能取值为0,1,2.
P
(
X
＝0)＝×＝
33
1010
9
，
100
7749
.
1010100
8分
P
( X
＝1)＝C
1
×＝，
P
(
X
＝2)＝×＝
2
X
的分布列为
X
P
故
X
的数学期望
E
(
X
)＝0×
0

9

100
1

21

50
7321
101050
2
49

100
10分
921497
＋1×＋2×＝.
10050100 5
7
?
77
?
(或：∵
X
～
B
?
2，
?
，∴
E
(
X
)＝2×＝，同样给分) 105
?
10
?
13．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图11－11，在棱长为2的正
方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
为棱C
1
D
1
的中点，
Q
为棱
BB
1上的点，且
BQ
＝λ
BB
1
(λ≠0)．

图11－11
1
(1)若λ＝，求
AP
与
AQ
所成角的余弦值；
2
(2)若直线
AA
1
与平面
APQ
所成的角为45°，求实数λ的值．
→→→
[解] 以{
AB
，
AD
，
AA
1
}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系
A
－
xyz .

→→
(1)因为
AP
＝(1,2,2)，
AQ
＝(2,0,1)，
→→
→→
AP
·
AQ
所以c os〈
AP
，
AQ
〉＝
→→
|
AP
||
AQ
|
＝
1×2＋2×0＋2×145
＝.
15
9×5
4分
45
所以
AP
与
AQ
所成角的余弦值为.
15 →
(2)由题意可知，
AA
1
＝(0,0,2)，
AQ
＝(2,0,2λ)．
设平面
APQ
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，
→
?
则
?→
?
n
·
AQ
＝0，
→
n
·
AP
＝0，

?
?
x
＋2
y
＋2
z
＝0，
即
?
?
2
x
＋2λ
z
＝ 0，
?

令
z
＝－2，则
x
＝2λ，
y
＝2－λ.

所以
n
＝(2λ，2－λ，－2).
又因为直线
AA
1
与平面
APQ
所成角为45°，
→
?
n
·
AA
?
所以|cos〈
n
， AA
〉|＝
?
＝
→
?
2
?
|
n
||
AA
|
?
→
1
1
1
7分
4
λ
2
＋－λ
2
＋－
＝
2
2，
2
4
2
可得5λ－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.
5
10分
14．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2 017届高三上学期期中)如
图11－12，在四棱锥
P
－
ABCD
中，
PA
⊥平面
ABCD
，∠
ABC
＝∠
BAD ＝90°，
AD
＝
AP
＝4，
AB
＝
BC ＝2，
M
为
PC
的中点.

图11－12
(1)求异面直线
AP
，
BM
所成角的余弦值；
4
(2)点
N
在线段
AD
上，且
AN
＝λ，若直线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦值为，求λ
5
的值．
[解] (1)因为
PA
⊥平面
ABCD
，且
AB
，
AD
?平面
ABCD
，
所以
PA
⊥
AB
，
PA
⊥
AD
，
又因为∠
BAD
＝90°，所以
PA
，
AB
，AD
两两互相垂直．
分别以
AB
，
AD
，
A P
为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系(图略)，
则由
AD
＝2
AB
＝2
BC
＝4，
PA ＝4可得
A
(0,0,0)，
B
(2,0,0)，
C
(2,2,0)，
D
(0,4,0)，
P
(0,0,4)，
又因为
M
为
PC
的中点，所以
M
(1,1,2)．
→→
所以
BM
＝(－1,1,2)，
AP
＝(0,0,4) ，
→→
→→
AP
·
BM
所以cos〈
AP
，
BM
〉＝
→→
|
AP
||
BM
| ＝
－＋0×1＋4×26
＝，
3
4×6

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