江苏省高中数学竞赛预赛试题

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江苏省高中数学竞赛预赛试题
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一． 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在 每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
??
1．函数y=f(x) 的图像按
→
a=(
4
，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+
4
)+2，那么y=f(x)
的解析式为 ( )
A． y=sinx B． y=cosx C．y=sinx+2 D．y=cosx+4
ππ
解: y=sin[(x+
4
)+
4
], 即 y=cos x.故选B．
2．如果二次方程x
2
－px－q=0 (p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有 ( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
解：由?=p
2
+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负．
设f(x)= x
2
－px－q，则f(3)= 3
2
－3p－q＞0，即3p+q＜9.
由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．
故选C．
的最小值是 （ ）
b(a
－
b)
A． 2 B． 3 C．4 D． 5
1
2
1
22
4
解：由a>b>0，可知 04
a．所以，a+≥a+
a
2
≥4．故选C．
b(a
－
b)
4．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去 截此四棱锥，使得截面四边形
是平行四边形，则这样的平面α ( )
A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β 平行
的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．
故选D．
5．设数列{a
n
}：a
0
=2, a
1
=16，a
n+2
=16 a
n+1
－63 a
n
(n∈N)，则a
2005
被64除的余数为
( )
A． 0 B．2 C．16 D．48
解：数列{ a
n
}模64周期地为2，16，2，－16，又2005被4除余1，故选C．
6 ．一条走廊宽2m、长8m，用6种颜色的1?1m
2
的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的 ，
每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有
( )
A．30
8
B．30?25
7
C．30?20
7
D．30?21
7

解：铺第一列(两块地砖)有30种方法；其次铺 第二列，设第一列的两格铺了A、
B两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺A色，若铺B色，则有( 6－1)种铺法；若
A
B
不铺B色，则有(6－2)
2
种方法，于是 第二列上共有21种铺法．同理，若前一列铺
好，则其后一列都有21种铺法. 因此，共有30?21
7
种铺法．
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3．设a>b>0，那么a
2
+
1

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故选D．
二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
?
7． 设向量
→
OA绕点O逆时针旋转得
→
OB，且2
→
OA+< br>→
OB=（7，9），则向量
→
OB= ．
2
解：设
→
OA=（m，n），则
→
OB=（－n，m）， 所以 2
→
OA+
→
OB=（2m－n，2n+m）=（7，9），
23
m=
?
?
5
，
?
2m－n=7，
即
?
得
?
11

?
?
m+ 2n=9．
?
n=
5
．
231111231123
因此，
→
OA=(
5
，
5
），
→
OB=（－5
，
5
)．故填（－
5
，
5
)．
8 ．设无穷数列{a
n
}的各项都是正数，S
n
是它的前n项之和，对于任意正 整数n，a
n
与2的等
差中项等于S
n
与2的等比中项，则该数列的 通项公式为 ．
a
n
+2(a
n< br>+2)
2
解：由题意知
2
=2S
n
， 即S
n
=
8
． ①
a
1
+2
由①式，
2
=2a
1
，得a
1
=2．
(a
n
－
1
+2)
2
又由①式得 S
n
－
1
= (n≥2) ②
8
2
(a< br>n
+2)
2
(a
n
－
1
+2)
则有 a
n
=S
n
－S
n
－
1
=
8－ (n≥2)，
8
整理得 (a
n+a
n
－
1
)(a
n
－a
n
－
1
－4)=0．
又因为a
n
>0，a
n
－
1
>0，所以
a
n
－a
n
－
1
=4(n≥2)，a
1
=2.
因此, 数列{a
n
}是以2为首项，4为公差的等差数列，其通项 公式为a
n
=2+4(n－1)，
故填a
n
=4n－2 (n∈N*)．
9．函数y=|cosx|+|cos2x| (x∈R) 的最小值是 ．
解：令t=|cosx|∈[0，1]，则y=t+|2t
2
－1|．
2192
当
2
≤t≤1时，y=2t
2
+t－1=2(t+
4
)
2
－
8
，得
2
≤y≤2．
219 2922
当0≤t<
2
时，y=－2t
2
+t+1=
－2(t－
4
)
2
+
8
，得
2
≤y≤< br>8
．又y可取到
2
．故填
2
．
10．在长方体中A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=2 ， AA
1
=AD=1，点E、F、G分别是棱AA
1
、
C
1
D
1
与BC的中点，那么四面体B
1
－EFG的体积是 ．
1
解：在D
1
A
1
的延长线上取一点H，使AH=，易 证，HE∥B
1
G，HE∥平面B
1
FG．
4
故 VB
1
－EFG
=V
E－B
1
FG
=V
H－B
1
FG
=V
G－B
1
FH
．
93
而S
?
B
1
EF
=
8
，G到平面B
1
FH的距离为1．故填V
B
1
－EFG
=
8
．
11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有
个．
123
解：在5位数中，若1只出现1次，有C1
5
(C
4
+C
4
+C
4
)=70个 ；
yyyyyy

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12
若1只出现2次，有 C
2
5
(C
3
+C
3
)=60个；
1< br>若1只出现3次，有C
3
5
C
2
=20个．所以这样的五位数 共有150个．故填150．
12．已知平面上两个点集：M={(x，y)| |x+y+1|≥2(x
2
+y
2
)，x，y∈R}，N={(x，y)| |x－a|+|y
－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠?，则a的取值范围为 ．
解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹口内侧的点集，N是以(a，1)为中心的正方形及其内部的点集(如图)．
考察M∩N=?时a的取值范围：
y
令y=1, 代入方程 |x+y+1|=2(x
2
+y
2
) 得
x
2
－4x－2=0，
解得 x=2±6．
-3-2
-1
-1
3
2
1
O
1
2
345
67
x
所以，当a<2－6－1=1－6时M∩N=?．
令y=2，代入方程|x+y+1|=2(x
2
+y
2
)得
x
2
－6x－1=0，解得 x=3±10．
所以，当a>3+10时，M∩M=?．
于是，当1－6≤a≤3+10，即a∈[1－6，3+10]时，M∩N≠?．
故填[1－6，3+10]．
三、解答题：
13． 已知点M是?ABC的中线A D上的一点，直线BM交边AC于点N，且AB是?NBC
BCBM
的外接圆的切线，设
BN
=λ，试求
MN
（用λ表示）．(15分)
证明：在?BCN中，由Menelaus定理得
A
BMNACD
MN
·
AC
·
DB
=1．
因为 BD=DC，所以
BMAC
N
= ．………………………6分
MNAN
M
由∠ABN=∠ACB，知?ABN ∽?ACB，则
B
ABACCB
D
C
AN
=
AB
=
BN
．
ABAC
?
CB
?
2
ACBC
2
所以 ，
AN
·
?
，即
AN
=
BN
2
． …………………………………………………12分
AB
=
?
?
BN
?
BMBC
2
因此，
MN
=
BN
2
．
BCBM
又
BN
=λ，故
MN
=λ
2
．………………………………………………………………15分
yyyyyy

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14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n≥2)：
对于任意实数x
1
，x
2
，…，x
n
，当
∑
x
i
=0时，总有
∑
x
i
xi+1
≤0 (其中x
n+1
=x
1
)．(15分)
i=1i=1
nn
解：当n=2时，由x
1
+x
2
=0， 得x
1
x
2
+x
2
x
1
=－2x
2
1
≤0．故n=2时命题成立；……3分

当n=3时，由x
1
+x
2
+x
3
=0，得 22222
(x
1
+x
2
+x
3
)
2
－(x
2
1
+x
2
+x
3
)－(x1
+x
2
+x
3
)
x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x
1
==≤0 ．故n=3时命题成立．
22
……………………………………………………………………………………6分
当 n=4时，由x
1
+x
2
+x
3
+x
4
= 0，得
x
1
x
2
+x
2
x
3
+ x
3
x
4
+x
4
x
1
=(x
1< br>+x
3
)(x
2
+x
4
)=－(x
2
+x
4
)
2
≤0．
故n=4时，命题成立．………………………………………………………………9分
当n≥5 时，令x
1
=x
2
=1，x
4
=－2，x
3
=x
5
=…=x
n
=0，则
∑
x
i
=0 ，但
∑
x
i
x
i+1
=1>0，故n≥5
i=1i =1
nn
时命题不成立．
综上可知，使命题成立的n=2，3，4．……………………………………………15分
x< br>2
y
2
15．设椭圆的方程
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦，若
在左准线上存在 点R，使△PQR为正三角形，求离心率e的
取值范围，并用e表示直线PQ的斜率．(24分) < br>解：如图，设线段PQ中点M，过点P、M、Q分别作准
线的垂线，垂足分别为点P?，M?，Q ?，则
|MM?|=
1
2
(|PP?|+|QQ?|)=
1
2
(
|PF|
e
P
F
O
R
Q
y
x
|QF||PQ|
+
e
)=
2e
．……………… …………6分
3
假设存在点R，则|RM|=
2
|PQ|，且|MM?|＜|RM| ，
|PQ|3
即
2e
＜
2
|PQ|，
3
所以， e＞
3
．………………………………12分
|MM?| 11
于是，cos∠RMM?=
|RM|
=
2e
?，
3e
1
cot∠RMM?=．
3e
2
－1
在图中，|PF| < |QF|，且有
yyyyyy
y
R
Q
M‘
P’
P
F
M
O
x

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k
PQ
= tan∠QFx = tan∠FMM?
=cot∠RMM?=
1

． ………………………………………………
18分

2
3e－1
31< br>当e>
3
时，过点F作斜率为的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过
2
3e－1
3
程知，|RM|=
2
|PQ|．故?PQR为正三角 形．……………………………………………21分
根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k
PQ
= －
1
．
2
3e－1
x
2
y
2
31
所以，椭圆
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)的离心率e的范围是(
3
，1)，且直线PQ的斜 率为±．
2
3e－1
…………………………………………………………………………………………24分
16．⑴ 若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并
说明理由；( 12分)
⑵ 若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2002
20 05
，求n的最小值，并说
明理由．( 24分)
解：⑴因为 2005=172 8+125+125+27=12
3
+5
3
+5
3
+33
，故n=4存在，n
min
≤4．………6分
10
3
=1000，11
3
=1331，12
3
=1728，13
3=2169，12
3
<2005<13
3
，则n≠1．
若n= 2，因10
3
+10
3
<2005，则最大立方体的棱长只能为11或12，
2005－11
3
=674，2005－12
3
=277，
674与277均不是完全立方数，故n=2不可能；
若n=3，设此三个立方体中最大一 个的棱长为x，由3x
3
≥2005＞3×8
3
，知最大立方体的
棱 长只能为9、10、11或12，而
2005<3?9
3
， 2005
－< br>9
3
－
9
3
=547，2005
－
9
3
－8
3
－8
3
>0，故x≠9．
2005
－
10
3
－10
3
=5，2005－10
3
－93
=276，2005－10
3
－8
3
=493，2005－1 0
3
－7
3
－7
3
>0．故
x≠10；
2005－11
3
－9
3
<0，2005
－
11
3
－8
3
=162，2005－11
3
－7
3
=33 1，2005－11
3
－6
3
－6
3
>0，故x
≠ 11；
2005－12
3
－7
3
<0，2005－12
3
－6
3
=61，2005－12
3
－5
3
－53
>0，故x≠12．
所以n=3不可能．
综上所述，n
min=4．…………………………………………………………………………12分
⑵ 设n个立方体的棱长分别是x
1
，x
2
，…，x
n
，则
yyyyyy

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2005
33
x1
+x
2
+…+x
3
． ①
n
=2002
由2002≡4(mod 9)，4
3
≡1(mod 9)，得
2002
2005
≡4
2005
≡4
668?3+1
≡(4
3
)
668
?4≡4(mod 9)． ②
又当x∈N*时，x
3
≡0，±1(mod 9)，所以
3333
x
1
∕4(mod 9)，x
1
≡+x
3
∕4(mod 9)，x
3
∕4(mod 9)． ③
2
≡
1
+x
2
+x
3
≡
①式模9，并由②、③式可知n≥4．……………… …………………………………18分
而2002=10
3
+10
3
+1
3
+1
3
，则
2002
2005
=200 2
2004
?(10
3
+10
3
+1
3
+ 1
3
)=(2002
668
)
3
?(10
3
+10
3
+1
3
+1
3
)
=(2002
668
?10)
3
+(2002
668
?10)
3
+(2002
668
)
3
+(2002
668
)
3
．
故n=4为所求的最小值．………………………………………………………………24分



yyyyyy