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2019-2020年江苏省高三第一次模拟考试 数学

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 17:52
tags:江苏高中数学

高中数学选修1-1ppt-e在高中数学集上怎么读

2020年9月20日发(作者:魏兆琛)



高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 设集合A={x|x>0},B={x|-22. 设复数z满足(1+i)z=1-3i(其中i是虚数单位),则z的实部为________.
3. 有A,B,C三所学校,学生人数的比例为3∶4∶5,现用分层抽样的方法招募n名志愿者,
若在A学 校恰好选出9名志愿者,那么n=________.
错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载,田忌 欲与齐王赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣
于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马, 劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的
下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,则 田忌的马获胜的概率为________.
5. 执行如图所示的伪代码,则输出x的值为________.
x-y+1≥0,
?
?
6. 已知x,y满足约束条件
?
2 x-y≤0,
则z=x+y的取值范围是________.
?
?
x≥0,
→→→
7. 在四边形ABCD中,已知AB=a+2 b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中a,b是不共线
的向量,则四边形ABCD的形状是 ________.
x
2
y
2
8. 以双曲线-=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________.
54
9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,侧面积为6π,则该圆锥的体积等于________.
10. 设公差不为零的等差数列{a
n
}满足a
3
=7,且a
1
- 1,a
2
-1,a
4
-1成等比数列,则a
10

________.
4
11. 已知θ是第四象限角,则cos θ=,那么的值为________.
5
cos(2θ-6π)
12. 已知直线y=a(x+2)(a>0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3

1
y
3
),D(x
4
,y
4
),其中 x
1
2
3
4
,则x
4
+=________.
tan x
4
13. 已知点P在圆M:(x- a)
2
+(y-a+2)
2
=1上,A,B为圆C:x
2
+ (y-4)
2
=4上两动点,且
→→
AB=23,则PA·PB的最小值是_ _______.
·1·
π
θ+
?
sin
?
?
4
?



14. 在锐角三角形ABC中,已知2sin
2
A+sin
2
B=2sin
2
C,则
_____ ___.
111
++的最小值为
tan Atan Btan C
二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
15. (本小题满分14分)在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知向量m=(a,sin
C-sin B),n=(b+c,sin A+sin B),且m∥n.
(1) 求角C的大小;
(2) 若c=3,求△ABC周长的取值范围.




16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中,锐角三角形PAD所在平面垂直于平 面PAB,AB⊥AD,
AB⊥BC.
(1) 求证:BC∥平面PAD;
(2) 求证:平面PAD⊥平面ABCD.

(第16题)



17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年底全面脱贫.现有扶贫 工
作组到某山区贫困村实施脱贫工作,经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种植,
2017年底该村平均每户年纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良,提< br>高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始,若该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售.经测算,剩下从事水果种植农户
1
x
3-x
?
万元.的年纯收入每户平均比上一年提高,而从事包装 、销售农户的年纯收入每户平均为
?
(参
?
4
?
20
考数据:1.1
3
=1.331,1.15
3
≈1.521,1.2
3
=1.728)
(1) 至2020年底,为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均 纯收入不低于1万6千元),至少
抽出多少户从事包装、销售工作?
(2) 至2018年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元?若能,请求出从事包装、销售的户
·2·



数;若不能,请说明理由.
·3·



x
2
y
2
3
18. (本 小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
2

2
=1(a >b>0)的离心率为,
ab2
1
3,
?
,点P在第四象限,A为左 顶点,B为上顶点,PA交y轴于点C,PB交x轴于点D. 且过点
?
2
??
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 求△PCD面积的最大值.

(第18题)


a
19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e
x
-x
2
-ax(a>0).
2
(1) 当a=1时,求证:对于任意x>0,都有f(x)>0成立;
x
1
+x
2
(2) 若y=f(x)恰好在x=x
1
和x=x
2
两处取得极值,求证:2



20. (本小题满分16分)设等比数列{an
}的公比为q(q>0,q≠1),前n项和为S
n
,且2a
1
a
3
=a
4
,数
列{b
n
}的前n项和T
n
满足2T
n
=n(b
n
-1),n∈N
*
,b
2
=1.
(1) 求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
1
??
(2) 是否存在常数t,使得
?
S
n
+< br>2t
?
为等比数列?请说明理由;
??
(3) 设c
n
1
,对于任意给定的正整数k(k≥2),是否存在正整数l,m(kk
,c
l

b
n
+4
c
m成等差数列?若存在,求出l,m(用k表示);若不存在,请说明理由.

·4·



江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
说明:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21. (本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换
设旋转变换矩阵A=
?



22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程
自极点O作射线与直线ρcos θ=3相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12,若Q为 曲
?
0-1
?
1 0
?
?
a
,若
??
?
1
?
b
??
3
·A=
??
?
c 2
?
d
?
4
?
?
,求ad-bc的值.
?
x=-1+
2
2
t,
线
?
(t为参数)上一点, 求PQ的最小值.
2
y=2+t
?
2



23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到 点F(2,0)的
距离减去M到直线x=-1的距离等于1.
(1) 求曲线C的方程;
(2) 若直线y=k(x+2)与曲线C交于A,B两点,求证:直线FA与直线FB的倾斜角互补.



2-a
n

1
21
24. (本小题满分10分)已知数列{a
n
}满足a
1
=,=(n≥2).
3
a
n
-1a
n

1
-1
(1) 求数列{a
n
}的通项公式;
1
(2 )设数列{a
n
} 的前n项和为S
n
,用数学归纳法证明:S
n
2
·5·



江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
1
1. {x|03
6. [0,3] 7. 梯形 8. y
2
=12x 9. 3π 10. 21
11.
5213
12. -2 13. 19-122 14.
142
15. (1) 由m∥n及m=(a,sin C-sin B),n=(b+c,sin A+sin B),
得a(sin A+sin B)-(b+c)(sin C-sin B)=0,(2分)
abcb

?
-(b+c)
?

?
=0, 由正弦定理,得a
?
?
2R2R
??
2R2R
?
所 以a
2
+ab-(c
2
-b
2
)=0,得c
2=a
2
+b
2
+ab,
由余弦定理,得c
2
=a
2
+b
2
-2abcos C,
所以a
2
+b
2
+ab=a
2
+b
2
-2abcos C,
所以ab=-2abcos C,(5分)
1
因为ab>0,所以cos C=-,
2
又因为C∈(0,π),所以C=

.(7分)
3
(2) 在△ABC中,由余弦定理,得c
2
=a
2
+b
2
-2abcos C,

所以a
2
+b
2< br>-2abcos=9,即(a+b)
2
-ab=9,(9分)
3
3( a+b)
a+b
?
所以ab=(a+b)-9≤
?
,所以≤9, < br>4
?
2
?
2
2
2
即(a+b)
2< br>≤12,所以a+b≤23,(12分)
又因为a+b>c,所以6所以△ABC周长的取值范围是(6,3+23].(14分)
16. (1) 因为AB⊥AD,AB⊥BC,且A,B,C,D共面,
所以AD∥BC.(3分)

(第16题)
·6·



因为BC?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BC∥平面PAD.(5分)
(2) 如图,过点D作DH⊥PA于点H,
因为△PAD是锐角三角形,所以H与A不重合.(7分)
因为平面PAD⊥平面PAB,平面PAD∩平面PAB=PA,DH?平面PAD,
所以DH⊥平面PAD.(9分)
因为AB?平面PAB,所以DH⊥AB.(11分)
因为AB⊥AD,AD∩DH=D,AD,DH?平面PAD,
所以AB⊥平面PAD.
因为AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分)
x
1+
?
≥1.6, 17. (1) 由题意得1×
?
?
20
?
因为5x<100-5x,所以x<10且x∈Z.(2分)
x
1+
?
在x∈[1,9]上单调递增, 因为y=
?
?< br>20
?
由数据知,1.15
3
≈1.521<1.6,1.2
3
=1.728>1.6,
x
所以≥0.2,得x≥4.(5分)
20
又x<10且x∈Z,故x=4,5,6,7,8,9.
答:至少抽取20户从事包装、销售工作.(7分)
(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元,由题意得,不等式
5x)]≥1.35有正整数解,(8分)
化简整理得3x
2
-30x+70≤0,(10分)
所以-
1515
≤x-5≤.(11分)
33
1x
13-x
?

?
1+
?
(100-[5x
?100
?
4
??
20
?
3
3
因为3< 15<4,且x∈Z,所以-1≤x-5≤1,即4≤x≤6. (13分)
答:至2018年底,该 村户均纯收入能达到1万3千5百元,此时从事包装、销售的农户数为20
户,25户,30户.(14 分)
·7·



?
3
18. (1) 由题意得
?
c
得a=4,b=1,(4分)
=,
a2
?< br>a=b+c,
22
222
31
2

2
=1,
a4b
x
2
2
故椭圆C的标准方程为+y=1.(5分)
4
1
(2) 由题意设l
AP
:y=k(x+2),-2
y=k(x+2),
?
?
2
16k
2
-4
222 2

?
x
消去y得(1+4k)x+16kx+16k-4=0,所以xA
x
P
=,由x
A
=-2
2
1+4k
2
+y=1,
?
?
4
2-8k
2
4k
得x
P
=,
2
,故y
P
=k(x
P
+2)=
1+4k1+4k
2
?
2-8k

4k
?
,(8分) 所以P
??
?
1+4k
2
1+4k
2
?
4k
-1
1+4k
2
1
设D(x
0
,0 ),因为B(0,1),P,B,D三点共线,所以k
BD
=k
PB
,故=, 解得x
D
-x
0
2-8k
2
1+4k
2

2(1+2k)

1-2k
得D
?
2
?
2(1+2k)
,0
?
,(10分)
?
?
1-2k
?
11
×AD×|y
P
-y
C
|=
22
所以S

PCD
=S

PAD
-S

CA D

4|k(1+2k)|
,(12分)
1+4k
2
?< br>2(1+2k)
+2
?
?
4k
2
-2k
?< br>=
?
1-2k
?
?
1+4k
?
??
-8k
2
-4k1-2k
1
因为-
PC D
==-2+2×,令t=1-2k,12
1+4k
2
1+4k
2
2t2t22
所以g(t)=-2+=-2+≤-2+ =2-1,(14分)
2
=-2+
2
2
1+(1-t)t-2t+ 2
22-2
t+-2
t
1-2
当且仅当t=2时取等号,此时k=, 所以△PCD面积的最大值为2-1.(16分)
2
1
19. (1) 由f(x) =e
x
-x
2
-x,则f′(x)=e
x
-x-1,
2
令g(x)=f′(x),则g′(x)=e
x
-1,(3分)
当x>0时,g′(x)>0,则f′(x)在(0,+∞)上单调递增,
故f′(x)>f′(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,(5分)
·8·



进而f(x)>f(0)=1>0,即对任意x>0,都有f(x)>0.(6分)
(2) f′(x)=e
x
-ax-a,因为x
1
,x
2
为f(x) 的两个极值点,
?
?
f′(x
1
)=0,
?
?< br>ex
1
-ax
1
-a=0,
所以
?

?

?
f′(x
2
)=0,
?
?
ex< br>2
-ax
2
-a=0.
?
ex
1
-ex2
两式相减,得a=,(8分)
x
1
-x
2
x+x< br>x
1
+x
2
ex
1
-ex
2
ex< br>1
-ex
2
则所证不等式等价于2
<,(10分 )
2
x
1
-x
2
x
1
-x
2< br>12
不妨设x
1
>x
2
,两边同时除以ex
2
可得:e
t
e
t
-1
2
e<
?te
-e
t
+1<0.(14分)
t
t
2
x
1
- x
2
2
ex
1
-x
2
-1
<,(12分)
x
1
-x
2
令t=x
1
-x
2
, t>0,所证不等式只需证明:
?
e
2

?
t
+ 1
?
?
,因为e
x
≥x+1,令x=
t
, 设φ( t)=te-e+1,则φ′(t)=-e·
2
?
2
?
??
t
t
2
t
2
t
t
?
可得e-
?< br>?
2
+1
?
≥0,所以φ′(t)≤0,所以φ(t)在(0,+∞) 上单调递减,φ(t)<φ(0)=0,
x
1
+x
2
所以2
20. (1) 因为2a
1
a
3
=a
4
,所以2a
1
·a
1
q
2
=a
1
q
3

qq

1
所以a
1
= ,所以a
n
=q
n1
=q
n
.(2分)
222< br>因为2T
n
=n(b
n
-1),n∈N
*
,① 所以2T
n

1
=(n+1)(b
n

1-1),n∈N,②
②-①,得2T
n

1
-2T
n
=(n+1)b
n

1
-nb
n
-(n+1)+n ,n∈N
*

所以2b
n

1
=(n+1)b< br>n

1
-nb
n
-(n+1)+n,
所以(n-1 )b
n

1
=nb
n
+1,n∈N
*
,③ (4分)
所以nb
n

2
=(n+1)b
n
+< br>1
+1,n∈N,④
④-③得nb
n

2
-(n- 1)b
n

1
=(n+1)b
n

1
-n b
n
,n∈N
*

所以nb
n

2+nb
n
=2nb
n

1
,n∈N
*
,所以b
n

2
+b
n
=2b
n

1

所以b
n

2
-b
n

1
=b
n

1
-b
n
,所以{b
n
}为等差数列.
因为n=1时b
1
=-1,又b
2
=1,
所以公差为2,所以b
n
=2n-3.(6分)
qq
(1-qn
)(1-q
n


2
q
nt
12
1q1
(2) 由(1)得S
n
=,所以S
n
+=+=++,
2t2t
2 (q-1)2(1-q)
2t
1-q1-q
1
??
要使得
?
S
n

2t
?
为等比数列,则通项必须满足指数型函数,即
??
·9·
t
2
q-1
q1
+=0,解得t=. (9
q
2(1-q)
2t



分)
q
n2
1
S
n

1

2t
2(q- 1)
此时==q,

1
q
n1
S
n
+< br>2t
2(q-1)

q-11
??
所以存在t=,使得
?
S
n

2t
?
为等比数列.(10分)
q
??
11
(3) c
n
==,设对于任意给定的正整数k (k≥2),存在正整数l,m(kk
,c
l

b
n
+42n+1
211
c
m
成等差数列,所以2c
l
=c
k
+c
m
,所以=+.
2l+12k+12m+1
4k-2l+1
121
所以=-=.
2m+12l+12k+1(2l+1)(2k+1)
2kl-k+2l
所以m=
4k-2l+1
(-4k+2l-1)(k+1)+(2k+1)
2

4k-2l+1
(2k+1)
2
=-k-1+.
4k-2l+1
(2k+1)
2
所以m+k+1=.
4k-2l+ 1
因为给定正整数k(k≥2),所以4k-2l+1能整除(2k+1)
2
且4k- 2l+1>0,
所以4k-2l+1=1或2k+1或(2k+1)
2
.(14分)
若4k-2l+1=1,则l=2k,m=4k
2
+3k,此时m-l=4k
2
+k>0,满足(k若4k-2l+1=2k+1,则k=l,矛盾(舍去);
若4k-2l+1=(2k+1)
2
,则l=2k
2
,此时m+k=0(舍去).
综上,任意给定的 正整数k(k≥2),存在正整数l=2k,m=4k
2
+3k,使得c
k
, c
l
,c
m
成等差数列.(16
分)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准

b=3,
?
?
-a=4,
4
?
(6分)
?
,得
?
d
?
2=c,
?
?
-1=d,< br>ab
?
0-1
?
?
21. 因为A=
??
, 所以
?
?
12
?
10
?
?
?
0- 1
?

?
3
????
?
?
10
?
?
c
·10·



即a=-4,b=3,c=2,d=-1,(8分)
所以ad-bc=(-4)×(-1)-2×3=-2.(10分)
22. 以极点O为直角坐标原点,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系,设P(ρ,θ),M(ρ′,θ),
因为OM·OP=12,所以ρρ′=12.
12
因为ρ′cos θ=3,所以cos θ=3,即ρ=4cos θ,
ρ
(3分)
化为直角坐标方程为x
2
+y
2
-4x=0,
即(x-2)
2
+y
2
=4.(5分)
?
x=- 1+
2
2
t,

?
(t为参数)得普通方程为x-y+3= 0,(7分)
2
y=2+t
?
2
所以PQ的最小值为圆上的点到直 线距离的最小值,
|2-0+3|
52
即PQ
min
=d-r=- 2=-2.(10分)
2
2
23. (1) 由题意得(x-2)
2
+y
2
-|x+1|=1,(2分)
即(x-2)
2
+y
2
=|x+1|+1.
因为x>0,所以x+1>0,
所以(x-2)
2
+y
2
=x+2,
两边平方,整理得曲线C的方程为y
2
=8x.(4分)
?
y2
=8x,
?
设A(x
1
,y
1
),B(x< br>2
,y
2
),联立
?

?
y=kx+2,< br>?
得k
2
x
2
+(4k
2
-8)x+4k< br>2
=0,所以x
1
x
2
=4.(6分)
由k
FA
+k
FB

k(x
1
+2)k(x
2
+2)
y
1
y
2
+=+
x
1
-2x< br>2
-2x
1
-2x
2
-2
k(x
1
+2)(x
2
-2)+k(x
1
-2)(x
2
+2)

(x
1
-2)(x
2
-2)

2k(x1
x
2
-4)
.(8分)
(x
1
-2)(x
2
-2)
将x
1
x
2
=4代入,得k
FA
+k
FB
=0,
所以直线FA和直线FB的倾斜角互补.(10分)
·11·



24. (1) 因为n≥2,由

2-a
n

1
1
=,
a
n
-1a
n

1
-1
1-a
n

1
11
=+,
a
n
-1a
n

1
-1a
n

1
-1
11
所以-=-1,(1分 )
a
n
-1a
n

1
-1
?
1
?
所以
?
a-1
?
是首项为-3,公差为-1的等差数列,
?
n
?


n+1
1
=-n-2,所以a
n
=.(3分)
a
n
-1n+2
n+3
?
1
?
2
?

2
. (2) 下面用数学归纳法证明:S
n
?23
①当n=1时,左边=S
1
=a
1
=,右边=-ln 2,
32
3
因为e
3
>16?3ln e>4ln 2?ln 2<,
4
33332
-ln 2>-=>,
22443
所以命题成立;(5分)
②假设当n=k(k≥1,k∈N
*
)时成立,
k+3
1
即S
k
22
k+31
k+2
则当n=k+1,S
k

1
=S
k< br>+a
k

1
22
k+3
(k+1)+3
1
要证S
k

1
<(k+1)-ln+,
22
k+3
1
k+2(k+1)+3
1
只要证k-ln++ <(k+1)-ln+,
22
k+3
22
1
k+4
11< br>只要证ln<,即证ln
?
1+
k+3
?
<
??k+3
.(8分)
k+3k+3
考查函数F(x)=ln(1+x)-x(x>0),
-x
1
因为x>0,所以F′(x)=-1=<0,
1+x1+x
所以函数F(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以F(x)1
1
所以ln?
1+
k+3
?
<
??
k+3
,也就是说,当 n=k+1时命题也成立.
n+3
1
综上所述,S
n
22

·12·




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