2017年江苏数学高考考试说明

2015年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学科（江苏卷）的命题，将依据《普通高中数学课程标准（实
验）》 ，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高考课程标准教学要求，按照“有利
于 科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考
查 考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力．试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的
难 度．
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的 考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点．支撑学科知识体系的
重点内容在试卷中要占有较大比例 ．注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面．注重对中学数
学中所蕴涵的数学思想方法的考查 ．
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力．
（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图< br>形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合．
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究，发现研究对象的本质；能够从给定的信息材 料
中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断．
（3）推理论证能力的考查要求是： 能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和
演绎进行推理，论证某一数学命题 的真假性．
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理； 能够根据问题的
条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算． < br>（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问
题．
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用 有关的知识
与方法，解决较为困难的或综合性的问题．
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学 的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单
的实际问题转化为数学问题，并加以解决．
创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题，综合与灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造< br>性地解决问题．
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成．选 修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修
测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两 部分作答．必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修
系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系 列2中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、
4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系 与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其
中两
个专题）．
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．
第1页 共15页

具体考查要求如下：
1．必做题部分
内 容
集合及其表示
1．集合 子集
交集、并集、补集
函数的概念
函数的基本性质
2．函数概念
与基本初
等函数Ⅰ
指数与对数
指数函数的图象与性质
对数函数的图象与性质
幂函数
函数与方程
函数模型及其应用
三角函数的概念
3．基本初等
函数Ⅱ（三
角函数）、
三角恒等
变换
4．解三角形
同角三角函数的基本关系式
正弦函数、余弦函数的诱导公式
要 求
A
√







√





B

√
√
√
√
√
√
√

√
√
√
√
√
√


√
√
√
√
√

√







√
√


√
√
√
√
C
















√





√



√
√
√
√









正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质

√

两角和（差）的正弦、余弦及正切

二倍角的正弦、余弦及正切
正弦定理、余弦定理及其应用
平面向量的概念
平面向量的加法、减法及数乘运算
平面向量的坐标表示
平面向量的数量积
平面向量的平行与垂直
平面向量的应用
数列的概念






√
√




√


√
√




5．平面向量
6．数列 等差数列
等比数列
基本不等式
7．不等式 一元二次不等式
线性规划
复数的概念
8．复数 复数的四则运算
复数的几何意义
导数的概念
导数的几何意义
9．导数及其应用 导数的运算
利用导数研究函数的单调性与极值
导数在实际问题中的应用
第2页 共15页

算法的含义
10．算法初步 流程图
基本算法语句
命题的四种形式
充分条件、必要条件、充分必要条件
11．常用逻辑用语
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
合情推理与演绎推理
12．推理与证明 分析法与综合法
反证法
抽样方法
总体分布的估计
总体特征数的估计
13．概率、统计 随机事件与概率
古典概型
几何概型
互斥事件及其发生的概率
柱、锥、台、球及其简单组合体
14．空间几何体
柱、锥、台、球的表面积和体积
平面及其基本性质
15．点、线、面
直线与平面平行、垂直的判定及性质
之间的位置关系
两平面平行、垂直的判定及性质
直线的斜率和倾斜角
直线方程
直线的平行关系与垂直关系
16．平面解析
两条直线的交点
几何初步
两点间的距离、点到直线的距离
圆的标准方程与一般方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
17．圆锥曲线
与方程

√
√
√
√

√
√

√
√
√
√

√

√

√
√
√













√


√




√

√

√



√
√
√

√
√
√

√
√

























√



√




中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质

中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质
√
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质
√
2．附加题部分
内 容
A
要 求
B

√

√
√
C





√

√


内含
曲线与方程
容
选
1．圆锥曲线
顶点在坐标原点的抛物线的标准
修
选
与方程
方程与几何性质
系
修
列
系
空间向量的概念
列
2．空间向量
1
空间向量共线、共面的充分必要条件
2
中
：
与立体几何
空间向量的加法、减法及数乘运算
的
不




第3页 共15页

空间向量的坐标表示
空间向量的数量积
空间向量的共线与垂直
直线的方向向量与平面的法向量
空间向量的应用
3．导数及其应用 简单的复合函数的导数
4．推理与证明
数学归纳法的原理
数学归纳法的简单应用
加法原理与乘法原理
5．计数原理 排列与组合
二项式定理
离散型随机变量及其分布列
超几何分布
6．概率、统计 条件概率及相互独立事件






√




√
√
√



√




√

√




√









√


√
√
√
√
√
√

√
√
√
√



√
√
√

√
√
√
√

√

√
√
√
√

√
√
√
√
√
√
√
√
√

√
√










































n
次独立重复试验的模型及二项分布
离散型随机变量的均值与方差















相似三角形的判定与性质定理
射影定理
7．几何证明
选讲
圆的切线的判定与性质定理
圆周角定理，弦切角定理
相交弦定理、割线定理、切割线定理
圆内接四边形的判定与性质定理
矩阵的概念
二阶矩阵与平面向量
常见的平面变换
8．矩阵与变换 矩阵的复合与矩阵的乘法
二阶逆矩阵
二阶矩阵的特征值与特征向量
二阶矩阵的简单应用
坐标系的有关概念
简单图形的极坐标方程
9．坐标系与
参数方程
极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程
直线、圆及椭圆的参数方程
参数方程与普通方程的互化
参数方程的简单应用
不等式的基本性质
含有绝对值的不等式的求解
不等式的证明（比较法、综合法、分析法）
10．不等式选讲
算术

-几何平均不等式与柯西不等式
利用不等式求最大（小）值
运用数学归纳法证明不等式
选
修
系
列
中
个
专
题
















































4
4
第4页 共15页

三、考试形式及试卷结构
（一）考试形式
闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分．必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；选考物
理科目的考生要做附加题，满分为40分，考试时间30分钟．
（二）考试题型
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成．其中填空题14小题，约占70分；解答题 6
小题，约占90分．
2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题 2小题，考查选修系列2中的内容；选
做题共4题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4 -5这4个专题的内容，考生从中选2个题作答．
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法 ，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（三）试题难易比例
必做题部分由容易题、中等难度题和难题组成．容易题、中等难度题 和难题在试卷中所占分值的比例
约为4：4：2．
附加题部分由容易题、中等难度题和难 题组成．容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例
约为5：4：1．
四、典型题示例
A．必做题部分
（一）填空题
1．设复数
z< br>满足
(3?4i)z?|4?3i|
（i是虚数单位），则
z
的虚部为 _____．

【解析】本题主要考查复数的基本概念和运算，基本运算．本题属容易题．
【答案】
4
．
5
2
2．设集合
A?{?1,1, 3},B?{a?2,a?4},A?B?{3}
，则实数
a
的值为 ．

【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识．本题属容易题．
【答案】1．
开始
3．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
k←1
【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，
本题属容易题．
【答案】5．
N
2
k－5k+4>0


Y

输出k

k←k +1
ln(x?1)
的定义域为 ． 4．函数
f(x)?
x?1
结束
第5页 共15页

【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识．本题属容易题．
【答案】
(?1,1)(1,??)

5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了
100
根棉花
纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数
据均在区间
[5,40]
中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测
的
100
根中，有_ _根棉花纤维的长度小于
20mm
．
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题．
【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于
20mm
的频率为
0. 04?5?0.01?5?0.01?5?0.3
，故频数为
0.3?100?30
．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛 掷2次，
则出现向上的点数和小于10的概率是______．
【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识．本题属容易题．
【答案】
5
．
6
7．已知函数
y?cosx与y?sin (2x?
?
)(0?x?
?
)
，它们的图像有一个横坐标
为
?
的交点，则
?
的值是________．
3
【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结
合的思想，考察分析问题、解决问题的能力．本题属容易题．
【答案】
8．在各项均为正数的 等比数列
?
a
n
?
中，若
a
2
?1,a< br>8
?a
6
?2a
4
，则
a
6
的值是 ______．
【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力．本题属容易题．
D
1

【答案】4．
C
1

9．如图， 在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
AB?AD?3cm
，
A
1

B
1

AA
1
?2cm
，则四棱锥
A?B B
1
D
1
D
的体积为 cm
3
．
D
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力
C
和运算能力．本题属容易题．
A B
【答案】6．
10．设直线
y?
?
．
6
1
x?b
是曲 线
y?lnx(x?0)
的一条切线，则实数
b
的值是 ．
2
【解析】本题主要考查导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等难度题．
【答案】
ln2?1
．
?
x?a,
?
11．设< br>f(x)
是定义在R上且周期为2的函数，在区间[—1，1）上，
f(x)?
?
2
?
|?x|,
?
5
59
f(?)?f()，则
f(5a)
值是 ．
22
?1?x?0,
0?x?1,
其中
【解析】本题主要考查函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力．本题属中等难度题．
第6页 共15页

【答案】
?
2

5
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y ?kx?2
上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的最大值 是_________．
【解析】本题主要考察圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础 知识，考查灵活运用相关知
识解决问题的能力．本题属中等难度题．
【答案】
4
．
3
A
13．如图，在△
ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
BACA?4,BF?CF??1
，
则
BE?CE
的值是_________．
【解析】本题主要考察平面向量的概念、平面向量的运算以及
平面向量数量积等基础知识，考查数形结合和造价转化思想，
考查运算求解能力．本题属难题．
E
F
BD
7
【答案】．
8

（第13题）
C
14．已知正数
a，b，c
满足：
5c?3a
≤b≤4c?a
，clnb
≥a?clnc
，则
b
的取值范围是 ．
a
【解析】本题主要考查不等式、函 数的导数等基础知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有
关知识解决问题的能力．本题属难 题．
【答案】
[e,7]
．
二、解答题
15．在
?A BC
中，角
A,B,C的对边分别为a,b,c
．已知
a?3，b?26，B ?2A.

（1）求
cosA
值；
（2）求
c
的值．
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】
（1）在
?ABC
中，因为
a?3，b?26，B?2A
，
故由正弦定理得
3262sinAcosA266
??
，于是．所以
cos A?
．
sinAsin2AsinA33
3
6
2
．所以< br>sinA?1?cosA?
．又因为
B?2A
，所以
3
3< br>1
22
2
．从而
sinB?1?cosB?
．
3< br>3
（2）由（1）知
cosA?
cosB?cos2A?2cos
2< br>?1?
A?B?C?
?
，所以
sinC?sin(A?B)?sinA cosB?cosAsinB?
在
?ABC中，因为
第7页 共15页
53
．
9

因此由正弦定理得
c?
asinC
?5
．
sinA
C
1
16．如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
D，E
分别是
AB,BC
的中点，点
F< br>在侧棱
BB
1
上，且
B
1
D?A
1
F
，
AC
11
?A
1
B
1
．
求 证：（1）直线
DE
平面
AC
（2）平面
B
1
DE ?
平面
AC
11
F
；
11
F
．
【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】
（1）在直三棱 柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AC
11
AC
．
A
1
B
1
F
E
C
A
D
B
第16题
在△
ABC
中，因为
D
，
E
分别为
AB
，
BC
的中点，所以
DE

AC
，于是
DE

AC
11
．
又 因为
DE?
平面
AC
11
F
，
AC
11< br>F
，所以直线
DE
平面
AC
11
F
． 11
?
平面
AC
（2）在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
C1
，所以
A
11
?
平面
A
1
A
1
?AC
11
．
1
A
1
?A
1
B
1
C
1
．因为
AC
又因为
AC
11< br>?A
1
B
1
，
A
1
A?
平面
ABB
1
B
1
?
平面
ABB
1
A
1
，
A
1
A
1
，
A
1
AA1
B
1
=
A
1
，
所以
AC
11
?
平面
ABB
11
?
B
1
A
1
．因为
B
1
D?
平面
ABB
1
A
1
，所以
AC
1
D
．
又因为
B
1D?A
1
F
，
AC
11
F
，
A
11
F
，
AC
11
?
平面
AC
1
F?
平面
AC
11
A
1
F
=
A
1
，
?
平面
AC
所以
B
1
D?
平面
AC
11
F
．因为直线
B
1
D?
平面
B
1
DE
，所以平面
B
1
DE
11
F
．
x
2
y
2
17． 如图，在平面直角坐标系
xOy
中，过坐标原点的直线交椭圆
??1

42
于
P,A
两点，其中点
P
在第一象限．过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
C
，连结
AC
，
并延长交椭圆于点
B
．设直线
PA
的斜率为
k
．
（1）当
k?2
时，求点
P
到直线
AB
的距离；（ 2）对任意
k?0
，求证：
PA?PB
．
【解析】本题主要考查椭 圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查
运算求解能力、推理论证 能力．本题属中等难度题．
【参考答案】
x
2
4x
2
2 2424
??1
，（1）直线
PA
的方程为
y?2x
，代入 椭圆方程得解得
x??
，因此
P(,),A(?,?)
，
4233333
4
2
3
?1
，故直线
AB
的方程为
x?y?
2
?0
． 于是
C(,0)
，直线
AC< br>的斜率为
22
33
?
33
0?
第8页 共15页

242
??|
22
因此，点
P
到 直线
AB
的距离为
333
?
．
22
3
1 ?1
|
22
x
2
y
2
（2）解法一：将直线
PA
的方程
y?kx
代人，记
?
?
，
??1< br>，解得
x??
22
42
1?2k1?2k
则
P(?
,
?
k),A(?
?
,?
?
k)
， 于是
C(
?
,0)
，从而直线
AB
的斜率为
0?< br>?
kk
k
?
，其方程为
y?(x?
?
)．
2
?
?
?
2
代入椭圆方程得
(2?k)x ?2
?
kx?
?
(3k?2)?0
，解得
x?
22 222
?
(3k
2
?2)
2?k
2
或
x? ?
?
．
因此
B(
?
(3k
2
?2)?
k
3
2?k
2
k
3
?k(2?k
2
)1
2?k
，于是直线的斜率，
,)
k????
PB1
2
2
22
?
(3k?2)
2?k
3k?2? (2?k)k
?
?
2?k
2
2
?
k
3?
?
k
因此
k
1
k??1
，所以
PA ?PB
．
解法二：设
P(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?
?
x
2
,A(?x
1
,?y
1
),C(x
1
,0),
且
y
1
?k
．
x
1
设直线PB，AB的斜率分别为
k
1
,k
2
.
因为C在直线AB上，所以
k
2
?
0?( ?y
1
)y
k
?
1
?
．
x
1< br>?(?x
1
)
2x
1
2
2
22
y< br>2
?y
1
y
2
?(?y
1
)
2y< br>2
?2y
1
2
(x
2
?2y
2
)? (x
1
2
?2y
1
2
)
.?1
?
2
从而
k
1
k?1?2k
1
k
2
?1?2

?1
?
2
x
2
?x
1
x
2
?(?x
1
)
x
2
?x
1
2
x
2
?x
1
2
?
4?4
?0
．因此
k
1
k??1,
所以
PA?PB
．
2
x
2
?x
1
2
18． 如图：为保护河上古桥< br>OA
，规划建一座新桥
BC
，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥
BC
与
河岸
AB
垂直；保护区的边界为圆心
M
在线段OA
上并与
BC
相切的圆，且古桥两端
O
和
A
到该圆上任一
点的距离均不少于80
m
，经测量，点
A
位于点
O
正北方向60
m
处，点
C
位于点
O
正东方向1 70
m
处，（
OC
为河岸），
tan?BCO?
4
．
3
（1）求新桥
BC
的长；
（2）当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直 线、圆、解三角形等基础知识，
考查抽象概括能力和运算求解能力，考查学生的数学应用意
识． 本题是中等难度题．
【参考答案】
解法一：
(1) 如图，以
O
为坐标原点，
OC
所在直线为x轴，建立
第9页 共15页

平面直角坐标系
xOy
．由条件知
A< br>(0，60)，
C
(170，0)，
43
．又因为
AB⊥
BC
，所以直线
AB
的斜率
k

AB
=．
34
b?04b?603
??
，k
AB
=
?
． 设点
B
的坐标为(
a
，
b
)，则
k
BC
=
a?1703a?04
直线
BC
的斜率
k

BC
=－tan∠
BCO
=－
22
解得
a=80，
b
=120． 所以
BC
=
(170?80)?(0?120)?150
．
因此新桥
BC
的长是150 m．
(2)设保护区的边界圆
M
的半径为
r
m，
OM
=
d
m，(0≤
d
≤60)．
4
(x?170)
，即
4x?3y?680?0
．
3|3d?680|680?3d
?
由于圆
M
与直线
BC
相切，故点
M
(0，
d
)到直线
BC
的距离是
r< br>，即
r?
．
55
因为
O
和
A
到圆
M
上任意一点的距离均不少于80 m，
由条件知，直线
BC
的方 程为
y??
?
680?3d
?d≥80,
?
?
r? d≥80,
?
5
所以
?
即
?
解得
10≤d ≤35
．
?
r?(60?d)≥80,
?
680?3d
? (60?d)≥80.
?
5
?
故当
d
=10时，
r ?
680?3d
最大，即圆面积最大．
5
所以当
OM
= 10 m时，圆形保护区的面积最大．
解法二:
（1）如图，延长
OA
，
CB
交于点
F
．
443
．所以
sin
∠
FCO
=，cos∠
FCO
=．因为
OA
=60，
OC
=170，
5
35
680OC850500
?
所以< br>OF
=
OC
tan∠
FCO
=，
CF
=，从而
AF?OF?OA?
．
3
cos?FCO33
4
因为
OA
⊥
OC
，所以
cos
∠
AFB
=
sin
∠
FCO
=．
5
400
又因为
AB
⊥
BC
，所以
BF
=
AF cos
∠
AFB
=，从而
BC
=CF
－
BF
=150．
3
因此新桥
BC
的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M
与
BC
的切点为
D
，连接
MD
，则
MD
⊥
BC
，且
MD
是圆
M
的半径，并设
MD
=
r
m，
OM
=
d
m(0≤
d
≤60)．
因为
OA
⊥
OC
，所以
sin
∠
AFB
=
cos
∠
FCO
，
680?3d
MDMDr3
故由(1)知，sin∠
CFO
=．
???
，所以
r?
680
5
MFOF?OM
?d< br>5
3
因为
O
和
A
到圆
M
上任意一点 的距离均不少于80 m，
因为
tan
∠
FCO
=
?680?3d
?d≥80,
?
?
r?d≥80
?
5所以
?
即
?
解得
10≤d≤35
．
?
r?(60?d)≥80
?
680?3d
?(60?d)≥80.
?
5
?
第10页 共15页

故当
d
=1 0时，
r?
680?3d
最大，即圆面积最大．所以当
OM
= 10 m时，圆形保护区的面积最大．
5
19． 设函数
f(x)?lnx?ax< br>，
g(x)?e
x
?ax
，其中
a
为实数．
（1）若
f(x)
在（1，
??
）上是单调减函数，且
g(x)< br>在（1，
??
）上有最小值，求
a
的取值范围；
（2）若< br>g(x)
在（—1，
??
）上是单调增函数，试求
f(x)
零 点的个数，并证明你的结论．
【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活 运用数形结合、分类讨论等数学
思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属于难题．
【参考答案】
(1)令
f'(x)?
?1
11?ax
?a ??0
，考虑到
f(x)
的定义域为(0，
??
)，故
a
>0，进而解得x>
a
?1
，即
f(x)
在
xx< br>?1
(
a
，
??
)上是单调减函数．同理，
f(x)
在(0，
a
)上 是单调增函数．由于
f(x)
在(1，
??
)上是单调增
?1?1< br>函数，故(1，+∞)
?
(
a
，
??
)，从而
a
≤
1，即
a
≥
1． < br>令
g'(x)?e
x
?a?0
，得
x?lna
．当< br>x?na
时，
g'(x)?0
；当
x?na
时，
g' (x)?0
．又
g(x)
在（1，
??
）上有最小值，所以
l
n
a
>1，即
a
>
e
．
综上，
a
的取值范围是（
e
，
??
）．
(2)当
a
≤0
时，
g(x)
必为单调增函数；当
a
>0时，令
g'(x)?e
x
?a?0
，解得
a?e
，即
x?lna
，因为
?1?1
g(x)
在（—1，
??
）上是单调增函数，类似(1)有
lna??1
，即
0?a≤e
．结合上述 两种情况，有
a≤e
．
x
(i)当
a?0
时，由
f(1)?0
及
f'(x)?
1
?0
，得
f(x)
存在唯一零点；
x
aaaa
(ii)当
a?0
时，由于
f (e)?a?ae?a(1?e)?0
，
f(1)??a?0
，且函数
f(x )
在[
e,1
]上的图象不间
a
断，所以函数
f(x)在（
e,1
）上存在零点．另外，当
x?0
时，
f'(x)?< br>1
?a?0
，故
f(x)
在（0，
??
）
x
上是单调减函数，所以
f(x)
只有一个零点．
?1
(iii) 当
0?a≤e
时，令
f'(x)?
1
?a?0
，解得
x?a
?1
．当
0?x?a
?1
时，
f'(x)?0；当
x?a
?1
时，
x
f'(x)?0
且，所以
x?a
?1
是
f(x)
的最大值点，且大最大值为
f(a
?1
)??lna?1
．
①当
?lna?1?0
，即
a= e
时，
f(x)
有一个零点
x?e
．
②当
?ln a?1?0
即
0?a?e
时，
f(x)
有两个零点．
?1 ?1?1?1?1
实际上，对于
0?a?e
，由于
f(e)?1?ae?0< br>，
f(a)?0
，且函数
f(x)
在
[e,a]
上的 图象不
?1?1?1
间断，所以
f(x)
在
(e,a)
存在 零点．另外当
x?(0,a)
时
f'(x)?
?1
?1
?1
1
?a?0
，故
f(x)
在
(0,a
?1
)
上是
x
?1
单调增函数，所以
f(x)
在
(0, a)
上只有一个零点．
第11页 共15页

下面考虑< br>f(x)
在
(a
?1
,??)
上的情况．先证
f(e
a
)?a(a
?2
?e
a
)?0
．为些，我们要证 明：当
x?e
时，
?1?1
e
x
?x
2
． 设
h(x)?e
x
?x
2
，则
h('x)?e
x< br>?2x
，再设
l(x)
=
h'(x)?e
x
?2x< br>，则
l('x)?e
x
?2
．当
x?1
时，
l'(x)?e
x
?2?e?2?0
，所以
l(x)
=
h' (x)
在
(1,??)
上是单调增函数．故当
x?2
时，
2
h'(x?)
x
e?2x?h'(2?)e?
，而
h(x)
在
(2,??)
上单调增函数，进而当
x?e
时，
?4
从< br>0
h(x)?e
x
?x
2
?h(e)?e
e
?e
2
?0
．即当
x?e
时，
e
x
?x< br>2
．当
0?a?e
?1
，即
a
?1
?e时，
a
e
a
?ae?(a
?2
a?
?1
?1?1
a
?1
，又
f(a
?1
)?0
，且函数
f(x)
在
[a
?1
,e
a
]
上图象不间 断，所以
f(x)
在
e)?0
?1
(a
?1
,e< br>a
)
上存在零点．又当
x?a
?1
时，
f'(x)?
f(x)
在
(a
?1
,??)
上只有一个零点．
1
?a?0
，故
f(x)
在
(a
?1
,??)上是单调减函数，所以
x
综合(i)， (ii)， (iii)，当
a≤0或
a?e
时，
f(x)
的零点个数为1；当
0?a≤e
时，
f(x)
的零点个数为
2．
20． 设数列
{a
n< br>}
的前
n
项和为
S
n
．若对任意的正整数
n
，总存在正整数
m
，使得
S
n
?a
m
，则 称
{a
n
}
是
“
H
数列”．
（1）若数 列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
? 2(n?N)
，证明：
{a
n
}
是“
H
数列”；
（2）设
{a
n
}
是等差数列，其首项
a
1
?1
，公差
d?0
．若
{a
n
}
是“
H
数列”，求
d
的值；
（3）证明：对任意的等差数列
{a
n
}
，总存在两个“
H
数列”
{b
n
}
和
{c
n
}
，使得
a
n
?b
n
?c
n
(n?N
?
)
成立．
【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力和推理谁能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）由已知，当
n
≥1时，
a
n?1?S
n?1
?S
n
?2
n?1
?2
n
?2
n
．于是对任意的正整数
n
，总存在正整数
n?
?1? 1
m?n?1
，使得
S
n
?2
n
?a
m< br>．所以
{a
n
}
是“
H
数列”．
（2）由 已知，得
S
2
?2a
1
?d?2?d
．因为
{a< br>n
}
是“H数列”，所以存在正整数m，使得
S
2
?a
m
，即
2?d?1?(m?1)d
，于是
(m?2)d?1
． < br>因为
d?0
，所以
m?2?0
，故
m?1
．从而d??1
，当
d??1
时，
a
n
=
2?n，
S
n
=
n(3?n)
是小于2的
2
n?N< br>?
．整数，于是对任意正整数
n
，总存在正整数
m?2?S
n
?2?
是“H数列”．因此d的值为-1．
n(3?n)
，使得
S
n
=2-
m
=
a
m
，所以
{a
n
}
2
?
（3）设等差数列
{a
n
}
的公差 为
d
，则
a
n
=
a
1
+（
n-1）
d
=
n
a
1
+(
n
-1)(< br>d
-
a
1
)(
n?N
)．
第12页 共15页

令
b
n
=n
a
1，
c
n
=(
n
-1)(
d
-
a
1
)，则
a
n
=
b
n
+
c
n< br>．
下证｛
b
n
｝是“
H
数列”．
n(n?1)
．
a
1
（
n?N
?
）2
n(n?1)
于是对任意的正整数
n
，总存在正整数m=，使得
T
n
=
b
m
．所以｛
b
n
｝是“
H
数列”．
2
设｛
b
n
｝的前
n
项和 为
T
n
，则
T
n
=
同理可证｛
b
n
｝是“
H
数列”．
所以，对任意的等差数列
{a
n}
，总存在两个“
H
数列”
{b
n
}
和
{c
n
}
，使得
a
n
?b
n
?c
n
(n?N
?
)
成立．
B．附加题部分
1．选修
4?1
几何证明选讲
如图，
AB
是圆
O
的直径，
D
为圆
O
上一点，过点
D
作圆
O
的切线交
AB
的
延长线于点
C
，若
DA?DC
，求证:
AB?2BC.

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识 ，如三角形的外接圆、圆
的切线性质等，考查推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】连结
OD,BD
．
因为
AB
是圆
O
的直径，所以
?ADB?90?,AB?2OB
．因为
DC
是圆O

的切线，所以
?CDO?90?
．又因为
DA?DC.所以
?A??C
．于是
?ADB
≌
?CDO.
从而< br>AB?CO.
即
2OB?OB?BC.
得
OB?BC.
故
AB?2BC.

2．选修
4?2
矩阵与变换
已知矩阵< br>A?
?
?
?10
??
12
?
?1
， ，求
B?
AB
．
???
?
02
??
06
?
【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】
?
ab
??
?10
??
ab
??
10
??
?a?b
??
10
?
设
A
的逆矩阵为
??
，则
?
02
??
cd
?< br>?
?
01
?
，即
?
2c2d
?
?< br>?
01
?
，故
a??1
，
b?0
，
cd
????????????
?
?10
??
?10
??
12
??
?1?2
?
1
?1
???
AB??
?
c?0
，
d?
，从而
A
的逆矩阵为A
?1
?
?
，所以，．
1
?
1
?< br>???
??
2
00
?
06
??
03
?
?2??2?
3．选修
4?4
坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆
C
经过点
P
方程．
?
2，< br>?
?
?
3
?
，圆心为直线
?
sin
?
?
?
?
??
与极轴的交点，求圆
C
的极坐标3
?
2
4
?
?
第13页 共15页

【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力．本题属容易题．
【参考答案】
?
?
3
?
在
?
sin?
?
?
?
??
中令
?
=0
，得
?
?1
．
3
2
??
所以圆
C
的圆心坐标为（1，0）．
因 为圆
C
经过点
P
?
?
2，
，∴圆
C
的半径为
PC?
4
?
?
2
?
2
?12
?2?1?2cos
?
4
=1
．
∴圆
C< br>经过极点．∴圆
C
的极坐标方程为
?
=2cos
?
．
4．选修
4?5
不等式选讲
已知
a,b
是非负实数，求证 ：
a
3
?b
3
≥ab(a
2
?b
2
)
．
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法． 考查推理论证能力，本题属容易题．
【参考答案】
由
a,b
是非负实数，作差得
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)?a
2
a (a?b)?b
2
b(b?a)?(a?b)((a)
5
?(b)
5
)
．
当
a≥b
时，
a≥b,
从而
(a)
5
≥(b)
5
,
得
(a?b)((a)
5
?(b)
5
)≥0
；
当
a?b
时，
a?b，从而
(a)
5
?(b)
5
,
得
(a?b)( (a)
s
?(b)
5
)?0
．
所以
a
3
?b
3
≥ab(a
2
?b
2
)
．
5．如图，在平面直角坐标
xOy
中，已—经直线
l
:
x
—
y
—2=0，抛物线
C
:
y
=2
px
(
p
>0)．
（1）若直线
l
过抛物线
C
的焦点， 求抛物线
C
的方程；
（2）已知抛物线
C
上存在关于直线
l
对称的相异两点
P
和
Q
．
①求证：线段
PQ< br>的中点坐标为（2-
p
，-
p
）；
②求
p
的取值范围．
【解析】本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛 物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及
推理认证能力．本题属中等难度题．
【参考答案】
（1）抛物线
C
:
y
=2
px(
p
>0)的焦点为
(
所以抛物线
C
的方程显
y
=8
x
．
（2）①设
P(x
1
,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2
)
，
PQ< br>的中点为
M(x
0
,y
0
)
．
第14页 共15页
2
2
2
ppp
,0)
，由点
(,0)< br>在直线
l
:
x
-
y
-2=0上，得
?0?2 ?0
，即
p
=4．
222

因为点
P
和
Q
关于直线
l
对称，所以
l
垂直平分线段< br>PQ
，于是
PQ
的斜率为—1，则可设其方程为
y
=—
x
+
b
．
?
y
2
?2px,
由
?
消去
x
得
y
2
?2py?2pb?0
．（*）
?
y??x?b
因为
P
和
Q
是抛物线
C< br>上的相异两点，所以
y
1
?y
2
，从而
?(2p)< br>2
?4(?2pb)?0
，化简得
p?2b?0
．
方程（* ）的两根为
y
1,2
??p?p
2
?2pb
，从而
y
0
=
y
1
?y
2
=—
p
．因为
M
在直线
l
上，所以
x
0
=2-
p
．
2
因此，线段
PQ
的中点坐标为（2-
p
，-
p
）．
②因为
M
（2—
p
，—
p
）在 直线
y
=—
x
+
b
上，所以—
p
=—(2 —
p
)+
b
，即
b
=2—2
p
．
由①知
p
+2
b
>0，于是
p
+2(2—2
p< br>)>0，所以
p
<
34
6．（1）求
7C
6
的值；
?4C
7
44
．因此，
p
的取值范围是
( 0,)
．
33
（2）设
m
，
n
?N
，< br>n
≥
m
，求证：
mmm
(m?1)C
m
? (m?2)C
m
?(m?3)C
?1m?2
?
mmm?2
? nC
n
?(n?1)C?(m?1)C
?1nn?2
．
*
【解析】本题主要考查组合数及其性质等基础知识，考查运算求解能力和推理认证能力．本题属难题．
【参考答案】
34
（1）
7C
6
=
7?
?4C
7
6?5?47?6?5?4
?4??0
．
3?2?14? 3?2?1
m?2m?2
m
（2）当
n
=
m
时，< br>(m?1)C
m
=m+1=
(m?1)C
m
=
(m? 1)C
?2n?2
，结论成立．
m
当
n>m
时，
(k?1)C
k
=
(k?1)k!(k?1)!
m?1
=
( m?1)
=
(m?1)C
k?1
，
k
=
m
+1，
m
+2，---，
m!(k?m)!(m?1)![(k?1)?(m?1)!
n
．
m
m?1m?2m?2m?1m?2m?2
又因为
C
k
+=，所以==（—
(k?1)C
CC(m?1)CCC
k
?1k?1k?2k?1k?2k?1
），
k
=
m
+1，
m
+2，---，
n
．
mmm
因此，
(m?1)C
m
?(m?2)C
m?1
?(m?3)C
m?2
?
mmm
=
(m?1)C
m
?[(m?2)C
m?1
?(m?3)C
m?2
?
mm?2m?2m?2
mm

?nC
n< br>)C
m?1
?(n?1
mm
?nC
n
)C
m
]

?1
?(n?1
m?2m?2m?2
?(C
n ?2
?C
m?1
)]
=
(m?1)C
m
?(m? 1)[(C
m?3
?C
m?2
)?(C
m?4
?C
m?3
)?
=
(m?1)C
n?2
．
m?2
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