2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

.
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）
uuuruuur
uuur uuur
1.已知向量
AP?1,3,PB??3,1
，则向量
AP
与
AB
的夹角等于 ．
????
答案：
?

4
2.已知集合
A?
?
x|
?
ax?1
? ?
a?x
?
?0
?
，且
a?A,3?A
，则实数< br>a
的取值范围是 ．
?
11
?
答案：
?
,
?
U
?
2,3
?
.

?
32
?
?
?
2
?
3.已知复数
z?cos
，其中
i
是虚数单位，则
z
3
?z
2
?
．
?isin
33
13
答案：
?i.

22x
2
y
2
4.在平面直角坐标系
xOy
中，设
F
1
,F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1?
a?0,b?0
?
的左，右焦点，
P
ab
是双曲线右 支上一点，
M
是
PF
2
的中点，且
OM?PF
2< br>,3PF
1
?4PF
2
，则双曲线的离心率为
．
答案：5．
5.定义区间
?
x
1
,x
2?
的长度为
x
2
?x
1
．若函数
y?log< br>2
x
的定义域为
?
a,b
?
，值域为
?0,2
?
，则
区间
?
a,b
?
的长度的最大值 与最小值的差为 ．
答案：3.
6.若关于
x
的二次 方程
mx
2
?
?
2m?1
?
x?m?2?0
?
m?0
?
的两个互异的根都小于1，则实数
m
的取值范围是 ．
?
3?7
?
,??
?
.

答案：?
?
4
?
??
7.若
tan4x?
答案：3.

3
sin4xsin2xsinxsinx
，则
????
．
3
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx
8. 棱长为2的正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
在空间坐标系
O
-
xyz
中运动，其中顶点
A
保持在
z
轴
.

.
上，顶点< br>B
1
保持在平面
xOy
上，则
OC
长度的最小值是 ．
答案：
6?2.

9.设数列
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
21
满足：
a
n?1
?a
n
?1
?
n?1,2,3,L,20
?
，
a< br>1
,a
7
,a
21
成等比数列．若
a
1?1,a
21
?9
，则满足条件的不同的数列的个数为 ．
答案：15099．
10.对于某些正整数
n
，分数
答案：
17.

二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
na
n?1
2
,n?N
*
.

11.设数 列
?
a
n
?
满足：①
a
1
?1
， ②
a
n
?0
，③
a
n
?
na
n? 1
?1
n?2
不是既约分数，则
n
的最小值是 ．
3n
2
?7
求证：（1）数列
?
a
n
?< br>是递增数列；
1
（2）对如图任意正整数
n
，
a
n
?1?
?
.

k?1
k
n
n a
n?1
2
a
n?1
?,
且
a
n
?
0
，
证明：（1）因为
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
na
n?1
?1na
n?1
?1< br>所以
a
n?1
?a
n
?0
．所以
a
n?1
?a
n
,n?N
*
.

所以数列
?
a
n
?
是递增数列．
（2）因为a
n?1
?a
n
?
所以当
n?2
时，
a
n
?
?
a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n?1
?a
n?2
?
?
L
?
?
a
2
?a
1
?
?a
1
1111
??
L
???1
n?1n?221
n
1
?1??
.
k?1
k
?
a
n?1
a
1
?
n?1
?,

na
n?1
?1na
n?1
n

1
又a
1
?1?1?1,
所以对任意正整数
n
，
a
n
?1?
?
.

k?1
k
n
x
2
y
2
12.在平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
E:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，直线
l: x?y?3a?0.
若椭圆
ab
.

.
3
，原点
O
到直线
l
的距离为
32.
< br>2
E
的离心率为
（1）求椭圆
E
与直线
l
的 方程；
（2）若椭圆
E
上三点
P,A
?
0,b
?
,B
?
a,0
?
到直线
l
的距离分别为
d
1
,d
2
,d
3
，
求证：
d
1
,d
2
,d
3
可以是某三角形三条边的边长．
?
3a
?32,
?
2
?
?
?
a?2,
3?
c
,
解：（1）由题设条件得
?
?
，从而
?

b?1.
a2
?
?
222
?
b?c?a ,
?
?
?
x
2
故所求的椭圆
E:?y
2< br>?1
．直线
l:x?y?6?0.

4
（2）设
P< br>?
2cos
?
,sin
?
?
，则
d
1
?
所以
2cos
?
?sin
?
?6
2< br>?
6?5sin
?
?
?
?
?
2
,< br>其中
tan
?
?2.

62?1062?10
?d
1
?.

22
又
d
2
?
0?1?6
2
?
2?0?6
52
,d
3
??22.

2
2
故
d
2
?d
1
.

因为
d
2
?d
3
?
d
1
?d
3< br>?
529262?10
?22???d
1
,

222
62?10102?1052
?22???d
1
.

222
所以
d
1
,d
2
,d
3
可 以是某个三角形的三条边的边长．
13.如图，圆
O
是四边形
ABCD的内切圆，切点分别为
P,Q,R,S,
OA
与
PS
交于点A
1
,
OB
与
PQ
交于点
B
1
，
OC
与
QR
交于点
C
1
，
OD
与
SR
交于点
D
1
．
求证：四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是平行四边形．
.

.
D
D
1
S
R
C
1C
Q
O
B
1
A
1
B
P
A证明：连接
PR,QS.



D
D
1
S
R
C
1
C
Q
O
B
1
A
1
B
P
A
因为圆
O
是四边形
ABCD
的 内切圆，所以
OA
是
?SAP
的平分线，且
AP?AS.


.

.
在△
ASP
中，由三线合一，点
A
1
是线段
PS
的中点．
同理点
B
1< br>是线段
PQ
的中点，所以
A
1
B
1
SQ．
同理
A
1
D
1
B
1
C
1
．
所以四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是平行四边形．
14.求满足
x
3
?x?y
7
?y
3
的所有素数
x
和
y.

解：满足题设条件的素数只有
x?5,y?2.

假设
y?5,
则
y
7
?y
3
?5y6
?y
3
?y
6
?20y
5
?y
3< br>?y
6
?6y
5
?70y
4
?y
3
?y
6
?6y
5
?15y
4
?20y
3
? 15y
2
?6y?1

?
?
y?1
?
.< br>6
所以，
x
3
?x
3
?x?y
7
? y
3
?
?
y?1
?
,
即
x?
?< br>y?1
?
.

62
又因为
x|x
3
?x?y
7
?y
3
?y
3
?
y?1
??< br>y?1
?
y
2
?1
，且
x
为素数，
而
y?1?y?y?1?y
2
?1?
?
y?1
?
?x,
从而
x|y
3
?
y?1
??
y?1
?
y
2
?1,

2
??
??
这与
x|y
7
?y
3
矛盾．
所以
y?5.

因为
y
是素数，所以
y?2,
或
y?3.

当
y?2
时，
x
3
?x?120
，即
?
x?5
?
x
2
?5x?24?0,
所以
x?5.

当
y?3
时，
x
3
?x?2160?2
4
?3
3
?5.

所以
x?2,
或
x?3
，或
x?5.

经 检验，
x?2
，或
x?3
，或
x?5
时，
x
3
?x?2
4
?3
3
?5.

所以满足条件的素数只有
x?5,y?2.

??
.