2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷Word版含答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）
uuuruuur
uuuruur
1．已知向量
AP?1,3
，
PB??3,1
，则< br>AP
和
AB
的夹角等于 ．
????
2 ．已知集合
A?x
?
ax?1
??
a?x
?
?0< br>，且
2?A
，
3?A
，则实数
a
的取值范围
是 ．
3．已知复数
z?cos
??
2
?2
?
，其中
i
为虚数单位，则
z
3
?z
2
?
．
?isin
33
x
2y
2
4．在平面直角坐标系
xOy
中，设
F
1
，
F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1
（
a?0
，
b?0
）的
ab
左、右焦点，
P
是双曲 线右支上一点，
M
是
PF
2
的中点，且
OM?PF
2
，
3PF
1
?4PF
2
，
则双曲线的离心率为 ．
5．定义区间
?
x
1
,x
2
?
的长度 为
x
2
?x
1
.若函数
y?log
2
x< br>的定义域为
?
a,b
?
，值域为
?
0,2
?
，
则区间
?
a,b
?
长度的最大值与最小值的差为 ．
6．若关于
x
的二次方程
mx?
?
2m?1
?
x?m?2?0
（
m?0
）的两个互异的根都小于1，
2
则 实数
m
的取值范围是 ．
tn4
7．若
ax?
3
sni4xsni2xsnixsni
，则
???
3
co s8cosx4cos4xcos2xxcos2cosxcosx
x

?
．
x
8．棱长为2的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
在空间直角坐标系
O?xyz
中运动，其中顶点A
保
持在
z
轴上，顶点
B
1
保持在平面
xOy
上，则
OC
长度的最小值是 ．
9．设数列< br>a
1
,a
2
,a
3
,L,a
21
满 足：
a
n?1
?a
n
?1
（
n?1,2,3,L, 20
），
a
1
，
a
7
，
a
21< br>成等比
数列.若
a
1
?1
，
a
21
?9
，则满足条件的不同数列的个数为 ．
10．对于某些正整数
n
，分数
n?2
不是既约分数，则
n
的最小值是 ．
2
3n?7
二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．）
11．设数列
?
a
n
?
满足：

2
na
n
*
?1
①
a
1
?1
；②< br>a
n
?0
；③
a
n
?
，
n?N.
na
n?1
?1
求证：（1）数列
?
a
n
?
是递增数列；
（2）对任意正整数
n
，
a
n
?1?
1
.
?
k
k?1
n
x
2
y
2
12．在 平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
E
：
2
?
2?1
（
a?b?0
），直线
l
：
x?y?3a?0.
ab
若椭圆
E
的离心率为
3
，原点
O
到直线
l
的距离为
32
.
2
（1）求椭圆
E
与直线
l
的方程；
（2）若椭 圆
E
上三点
P
，
A
?
0,b
?
，
B
?
a,0
?
到直线
l
的距离分别为
d< br>1
，
d
2
，
d
3
.
求证：
d
1
，
d
2
，
d
3
可以是某三角形三条 边的边长.
13．如图，圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆，切点分 别为
P
，
Q
，
R
，
S
，
OA与
PS
交于
点
A
1
，
OB
与
PQ
交于点
B
1
，
OC
与
QR
交于点C
1
，
OD
与
SR
交于点
D
1
，求证：四边形
A
1
B
1
C
1
D
1是平行四边形.

14．求满足
x?x?y?y
的所有素数
x
和
y
.





373

2017年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题
1．
13
?
?
11
?
i
2．
?
,
?
U
?
2,3
?
3．
?
22
4
?
32
?
?
3?7
?
4．5 5．3 6．
?
?
4
,??
?
?

??
7．
3
8．
6?2
9．15099 10．17
二、解答题
2
na
n< br>a
n?1?1
11．证明：（1）因为
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
，且
a
n
?0
，
?
na
n?1
?1na
n?1
?1
*
所以
a
n?1
?a
n
?0
，所以
a
n?1
? a
n
，
n?N
，
所以数列
?
a
n
?
是递增数列.
（2）因为a
n?1
?a
n
?
所以当
n?2
时，
a
n?1
a
1
?
n?1
?
，
n a
n?1
?1na
n?1
n
a
n
?
?a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n?1?a
n?2
?
?L?
?
a
2
?a
1< br>?
?a
1

?
1111
??L???1

n?1n?221
1
.
k?1
k
n
?1?
?
又
a
1
?1?1?1
，
所以对任意正整数
n
，
a
n
?1?
?
k
.
k?1
n
1

?
3a
?
2
?32,
?
?
c
?
a?2,
3
12．解：（1）由题设条件得
?
?
从而
?

,
2
?
b?1.
?
a
?
b
2
?c
2
?a
2
,
??
x
2
?y
2
?1
，直线
l
：
x?y?6?0
. 故所求的椭圆
E
：
4
（2）设
P?
2cos
?
,sin
?
?
，则
d
1
?
2cos
?
?sin
?
?6
2
?
6?5sin
?
?
?
?
?
2
，其中
ta n
?
?2
，
所以
62?1062?10
?d
1
?
.
22又
d
2
?
0?1?6
2
?
2?0?6
52
?22
， ，
d
3
?
2
2
故
d
2
?d
3
.
因为
d
2
?d
3
?
529262?10
?22???d
1
，
222
d
1
?d
3
?
62?10102?1052
?22??? d
2
.
222
所以
d
1
，
d
2
，
d
3
可以是某个三角形的三条边的边长.
13．证明：连接
PR
，
QS
.
因为圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆，
所以
OA
是
?SAP
的平分线，且
AP?AS
.
在
?ASP
中，由三线合一，点
A
1
是线段
PS< br>的中点.
同理点
B
1
是线段
PQ
的中点，
所以
A
1
B
1
∥SQ
.
同理
D
1
C
1
∥SQ
.

所以
A
1
B
1
∥D
1
C
1
. < br>同理
A
1
D
1
∥B
1
C
1
.
所以四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
的平行四边形.

14．解：满足题设条件的素数只有
x?5
，
y?2
.
假设
y?5
，则
y?y?5y?y?y?20y?y

73 63653
?y
6
?6y
5
?70y
4
?y
3
?y
6
?6y
5
?15y
4
?20y
3
?15y
2
?6y?1

?
?
y?1
?
.
所以
x?x?x?y?y
37
5373
6
?
y?1
?
3
6
，即< br>x?
?
y?1
?
.
2
又因为
xx?x?y ?y?y
2
3
?
y?1
??
y?1
?
?< br>y
2
?1
?
，且
x
为素数，
2
而
y?1?y?y?1?y?1
?
?
y?1
?
?x
， 从而
x?y
3
?
y?1
??
y?1
?
y< br>2
?1
，
这与
xy?y
矛盾.
所以
y?5
.
因为
y
是素数，所以
y?2
，或
y?3
.
2
当
y?2
时，
x?x?120
，即
?
x?5< br>?
x?5x?24?0
，所以
x?5
.
3
343< br>??
73
??
当
y?3
时，
x?x?2160?2? 3?5
.
因为
xx?x?2?3?5
，且
x
为素数，
所以
x?2
，或
x?3
，或
x?5
.
经 检验，
x?2
，或
x?3
，或
x?5
时，
x?x? 2?3?5
，
343
343

所以满足条件的素数只有
x?5
，
y?2
.