高中数学大题怎么才能做好-高中数学培训题目
2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）
uuuruur
u
uuruuur
1．已知向量
AP?1,3
，
PB??3,1
，则<
br>AP
和
AB
的夹角等于 ．
????
2
．已知集合
A?x
?
ax?1
??
a?x
?
?0<
br>，且
2?A
，
3?A
，则实数
a
的取值范围是
．
3．已知复数
z?cos
??
2
?
2
?
32
?isin
，其中
i
为虚数单位，则
z?z?
．
33
x
2
y
2
a?0
，
b?0
）的左、右焦点，
P
是4．在平面直角坐标系
xOy
中，设
F1
，
F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1<
br>（
ab
双曲线右支上一点，
M
是
PF
2
的中
点，且
OM?PF
2
，
3PF
1
?4PF
2
，则双曲线的离心率为 ．
5．定义区间
?
x
1,x
2
?
的长度为
x
2
?x
1
.若函
数
y?log
2
x
的定义域为
?
a,b
?
，值域为
?
0,2
?
，则区间
?
a,b
?
长
度的最大值与最小值的差为 ．
6．若关于
x
的二次
方程
mx?
?
2m?1
?
x?m?2?0
（
m?0
）的两个互异的根都小于1，则实数
m
的取
2
值范围是
．
7．若
tan4x?
sin4xsin2xsinxsinx
3
????
． ，则
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2
xcosxcosx
3
8．棱长为2的正方体
ABCD?A
其中顶点
A
保持在
z
轴上，顶
1
BC
11
D
1在空间直角坐标系
O?xyz
中运动，
点
B
1
保持在平
面
xOy
上，则
OC
长度的最小值是 ．
9．
设数列
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
21<
br>满足：
a
n?1
?a
n
?1
（
n?1,2,
3,L,20
），
a
1
，
a
7
，
a
21
成等比数列.若
a
1
?1
，
a
21
?9
，则满足条件的不同数列的个数为 ．
10．对于某些正整数
n
，分数
n?2
不是既约分数，则
n
的最小值是
．
3n
2
?7
二、解答题
（本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
11．设数列
?
a
n
?
满足：
2
na<
br>n
*
?1
①
a
1
?1
；②
a
n
?0
；③
a
n
?
，
n?N
.
na
n?1
?1
求证：（1）数列
?
a
n
?是递增数列；
（2）对任意正整数
n
，
a
n<
br>?1?
?
k
.
k?1
n
1
x
2<
br>y
2
12．在平面直角坐标系
xOy
中，设椭圆
E
：
2
?
2
?1
（
a?b?0
），直线
l：
x?y?3a?0
.若椭圆
E
ab
的离心率为
3，原点
O
到直线
l
的距离为
32
.
2
（1）求椭圆
E
与直线
l
的方程；
（2）若椭
圆
E
上三点
P
，
A
?
0,b
?
，
B
?
a,0
?
到直线
l
的距离分别为
d<
br>1
，
d
2
，
d
3
.
求证：
d
1
，
d
2
，
d
3
可以是某三角形三条
边的边长.
13．如图，圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆，切点分
别为
P
，
Q
，
R
，
S
，
OA与
PS
交于点
A
1
，
OB
与
PQ交于点
B
1
，
OC
与
QR
交于点
C<
br>1
，
OD
与
SR
交于点
D
1
，求证
：四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是平
行四边形.
14．求满足
x?x?y?y
的所有素数
x
和
y
.
373
2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
参考答案
一、填空题
1．
?
4
2．
?
,
13
?
11
?
3．
?i
U2,3
?
?
?
22
32??
?
3?7
?
4．5 5．3
6．
?
?
4
,??
?
?
??
7．
3
8．
6?2
9．15099 10．17
二、解答题
2
na
n<
br>a
n?1?1
11．证明：（1）因为
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
，且
a
n
?0
，
?
na
n?1
?1na
n?1
?1
所以
a
n?1
?a
n
?0
，所以
a
n?1
?a
n
，
n?N
，
所以数列
?
a
n
?
是递增数列.
（2）因为a
n?1
?a
n
?
所以当
n?2
时，
*
a
n?1
a
1
?
n?1
?
，
na
n?1
?1na
n?1
n
a
n
??
a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n?1
?a
n?2
?
?L?
?
a
2
?a<
br>1
?
?a
1
?
1111
??L???1
n?1n?221
n
1
?1?
?
.
k?1
k
又
a
1
?1?1?1
，
所以对任意正整数
n
，
a
n
?1?
1
.
?
k
k?1
n
?
3a
?
2
?32
,
?
?
c
?
a?2,
3
,
12．解：（1
）由题设条件得
?
?
从而
?
2
?
b?1
.
?
a
?
b
2
?c
2
?a
2,
?
?
x
2
?y
2
?1
，直线
l
：
x?y?6?0
. 故所求的椭圆
E
：
4
（2）设
P
?
2cos
?
,sin
?
?
，则
d
1
?
2cos
?
?sin
??6
2
?
6?5sin
?
?
?
?
?< br>2
，其中
tan
?
?2
，
所以
62?1062?10
.
?d
1
?
22又
d
2
?
0?1?6
2
?
2?0?6
52
，
d
3
??22
，
2
2
故
d
2
?d
3
.
因为d
2
?d
3
?
529262?10
?22???d1
，
222
d
1
?d
3
?
62?1 0102?1052
?22???d
2
.
222
所以
d< br>1
，
d
2
，
d
3
可以是某个三角形的三条边 的边长.
13．证明：连接
PR
，
QS
.
因为圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆，
所以
OA
是
?SAP
的平分线，且
AP?AS
.
在
?ASP
中，由三线合一，点
A
1
是线段
PS< br>的中点.
同理点
B
1
是线段
PQ
的中点，
所以
A
1
B
1
∥SQ
.
同理
DC
11
∥SQ
.
所以
A
1
B
1
∥D
1
C
1
.
同理
A
1
D
1
∥B
1
C
1
.
所以四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
的平行四边形.
14．解：满足题设条件的素数只有
x?5
，
y?2
.
假
设
y?5
，则
y
7
?y
3
?5y
6
?y
3
?y
6
?20y
5
?y
3
?y
6
?6y
5
?70y
4
?y
3
?
y
6
?6y
5
?15y
4
?20y
3
?1
5y
2
?6y?1
?
?
y?1
?
. <
br>5373
所以
x?x?x?y?y
?
y?1
?
，即<
br>x?
?
y?1
?
.
2
又因为
xx
3
?x?y
7
?y
3
?y
3
?
y?1??
y?1
?
y?1
，且
x
为素数，
62<
br>6
??
2
y
3
?
y?1
??
y?1
?
y
2
?1
， 而
y?1?y?y?1?y?1
?
?
y?1
?
?x
，从而
x?
2
??
这与
xy?y
矛盾.
所以
y?5
.
因为
y
是素数，所以
y?2
，或
y?3
.
2
3
当
y?2
时，
x?x?120
，即
?
x?5
?
x?5x?24?0
，所以
x?5
.
73??
当
y?3
时，
x?x?2160?2?3?5
.
因为
xx?x?2?3?5
，且
x
为素数，
所以
x?2
，或
x?3
，或
x?5
.
3
43
经检验，
x?2
，或
x?3
，或
x?5
时，<
br>x?x?2?3?5
，
343
343
所以满足条件的素数只有
x?5
，
y?2
.