江苏省2017-2018学年高三数学二模试卷 Word版含解析

2017-2018
学年江苏省高考数学二模试卷




一、填空题：本大题共
14
个小题，每小题
5
分，共计
70
分，请把答案直接填写在答题卡相
应的位置上．

1< br>．已知集合
A=
{
x
||
x
|＜
2
}，
B=
{﹣
1
，
0
，
1
，
2< br>，
3
}，则集合
A
∩
B
中元素的个数为 ．

2
．已知复数
z
满足（
2
﹣
3i）
z=3
+
2i
（
i
是虚数单位），则
z的模为 ．

3
．已知一组数据
8
，
10
，
9
，
12
，
11
，那么这组数据的方差为 ．

4
．运行如图所示的伪代码，其输出的结果
S
为 ．


5
．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有
1
只红球，
3
只白球，若从中随机一次摸出
2
只球，则这
2
只球颜色不同的概率为 ．

6
．已知
7
．已知正六棱锥的底面边长为
2
， 侧棱长为
8
．在三角形
ABC
中，
，那么
tan
β
的值为 ．

，则该正六棱锥的表面积为 ．

，则的最小值为 ．

9
．已知数列{
a
n
}的首项为
1
， 等比数列{
b
n
}满足

，且
b
1008
=1
，则
a
2016
的值为 ．
10
．已知正数
a
，
b
满足
2ab
+
b
2
=b
+
1
，则
a
+
5b
的最小值为 ．

11
．已知函数，若方程
f
（
x
）
=
﹣
x有且仅有一解，则实数
a
的取值范
围为 ．

12
． 在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
（
3
，
0
），动点
P
满足
PA=2PO
，动点
Q
（
3a< br>，
4a
+
5
）（
a
∈
R
），则线段
PQ
长度的最小值为 ．

13
．已知椭圆的离心率为，长轴AB
上
2016
个等分点从左到右依
次为点
M
1
，
M
2
，
…
，
M
2015
，过
M
1
点作斜率为
k
（
k
≠
0
）的直线，交 椭圆
C
于
P
1
，
P
2
两点，
P< br>1
点在
x
轴上方；过
M
2
点作斜率为
k（
k
≠
0
）的直线，交椭圆
C
于
P
3
，
P
4
两点，
P
3
点在
x
轴上方 ；以此类推，过
M
2015
点作斜率为
k
（
k
≠< br>0
）的直线，交椭圆
C
于
P
4029
，
P< br>4030
两点，
P
4029
点在
x
轴上方，则
4030
条直线
AP
1
，
AP
2
，
…< br>，
AP
4030
的斜率乘积为 ．

14
．已知函 数
f
（
x
）
=x
|
x
﹣
a
|，若对任意
x
1
∈[
2
，
3
]，
x< br>2
∈[
2
，
3
]，
x
1
≠
x
2
恒有
，则实数
a
的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共
6
小题，共< br>90
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15
．在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
分别是边
a
、
b
、
c
的对角，且
3a=2b
．

（Ⅰ）若
B=60
°
，求
sinC
的值；

（Ⅱ）若，求
sin
（
A
﹣
B
）的值．

16
．如图，平行四边形
ABCD
⊥平面
CDE
，
AD
⊥
DE
．

（
I
）求证：
DE
⊥平面
ABCD
；
< br>（Ⅱ）若
M
为线段
BE
中点，
N
为线段
CE
的一个三等分点，求证：
MN
不可能与平面
ABCD
平行．


17
．已知椭圆
B
点．

y=ex
+< br>a
与
x
，
y
轴分别交于
A
、的离心率为e
，直线
l
：
（Ⅰ）求证：直线
l
与椭圆
C< br>有且仅有一个交点；

（Ⅱ）设
T
为直线
l
与椭圆< br>C
的交点，若
AT=eAB
，求椭圆
C
的离心率；

（Ⅲ）求证：直线
l
：
y=ex
+
a
上的点到椭圆
C
两焦点距离和的最小值为
2a
．

18
．如图， ，点
O
处为一雷达站，测控范围为一个圆形
区域（含边界），雷达开机时测控半径r
随时间
t
变化函数为
r=3tkm
，且半径增大到
8 1km
时不再变化．一架无人侦察机从
C
点处开始沿
CD
方向飞行， 其飞行速度为
15kmmin
．

（Ⅰ）

当无人侦察机在
CD
上飞行
t
分钟至点
E
时，试用
t
和< br>θ
表示无人侦察机到
O
点的距
离
OE
；
< br>（Ⅱ）若无人侦察机在
C
点处雷达就开始开机，且
θ
=
请说明 理由．

，则雷达是否能测控到无人侦察机？

1 9
．已知数列{
a
n
}满足
{
a
n
}前< br>n
项和为
S
n
．

（Ⅰ）

求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若
a
m
a
m
+
1
=a
m
+
2
，求正 整数
m
的值；

（Ⅲ）是否存在正整数
m
，使得
． 数列
恰好为数列{
a
n
}中的一项？若存在，求出所有满足条
件的< br>m
值，若不存在，说明理由．

20
．已知函数
f
（
x
）
=xlnx
﹣
ax
2
+
a
（
a
∈
R
），其导函数为
f
′
（
x
）．

（Ⅰ）求函数
g
（
x
）
=f
′（
x
）+（
2a
﹣
1
）
x
的极值；< br>
（Ⅱ）当
x
＞
1
时，关于
x
的不等式f
（
x
）＜
0
恒成立，求
a
的取值范围．


三
.
附加题部分【选做题】（本题包括
A
、
B
、
C
、
D
四小题，请选定其中两题，并在相应的答< br>题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤． ）
A
．[选修
4-1
几何证明选讲]（本小题满分
10
分）

21
．若
AB
为定圆
O
一条弦（非直径），AB=4
，点
N
在线段
AB
上移动，∠
ONF=90< br>°
，
NF
与
圆
O
相交于点
F
，求< br>NF
的最大值．



B
．[选修
4-2< br>：矩阵与变换]（本小题满分
10
分）

22
．已知矩阵的一个特征向量为
，若矩阵
A
属于特征值
6
的一个特征向量为< br>=
．求
A
的逆矩阵．

=
，属于特征值
1


C.
[选修
4-4
：坐标系与参数方程]（本小题满分
0
分）

23
．过点< br>P
（﹣
3
，
0
）且倾斜角为
30
°
的直线和曲线
ρ
2
cos2
θ
=4
相交于
A
、
B
两点．求线段
AB
的长．



D
．[选修
4-5
：不等式选讲]（本小题满分
0
分）

24
．设
x
，
y
，
z
∈
R+
，且
x
+
y
+
z=1
，求证：．



四
.
[必做题]（第
25
题、第
26
题，每题
10
分，共
20
分
.
解答时应写出文字说 明、证明过程或
演算步骤）

25
．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验 为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率
为
p
，摸出白球概率为
q
，摸出红球加
1
分，摸出白球减
1
分，现记
“
n
次试验总得分为
S
n
”
．

（Ⅰ）当
（Ⅱ）当时，记
ξ
=
|
S
3
|，求
ξ
的分布列 及数学期望；

时，求
S
8
=2
且
S
i< br>≥
0
（
i=1
，
2
，
3
，
4
）的概率．

，且对任意的
n
∈
N
*
，有．
26
．数列{
a
n
}各项均为正数，

（Ⅰ）求证：；

，是否存在
n
∈
N
*
， 使得
a
n
＞
1
，若存在，试求出
n
的最小值，若不 存在，（Ⅱ）若
请说明理由．

2017-2018
学年江苏省高考数学二模试卷

参考答案与试题解析



一、填空题：本大题共
14个小题，每小题
5
分，共计
70
分，请把答案直接填写在答题卡相
应的位置上．

1
．已知集合
A=
{
x
||x
|＜
2
}，
B=
{﹣
1
，
0
，
1
，
2
，
3
}，则集合
A
∩
B
中元素的个数为
3
．

【考点】交集及其运算．
< br>【分析】求出
A
中不等式的解集确定出
A
，找出
A
与
B
的交集，即可作出判断．

【解答】解：由
A
中不等式解 得：﹣
2
＜
x
＜
2
，即
A=
（﹣
2
，
2
），

∵
B=
{﹣
1
，< br>0
，
1
，
2
，
3
}，

∴
A
∩
B=
{﹣
1
，
0
，
1
}，

则集合
A
∩
B
中元素的个数为
3
，

故答案为：
3


2
．已知复数
z
满足 （
2
﹣
3i
）
z=3
+
2i
（
i
是虚数单位），则
z
的模为
1
．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．

【解答】解：（
2﹣
3i
）
z=3
+
2i
，

∴
z====i
，

∴|
z
|
=1
，

故答案为：
1
．



3
．已知一组数据
8
，
10
，
9
，
12
，
11，那么这组数据的方差为
2
．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．

【解答】解：∵一 组数据
8
，
10
，
9
，
12
，
1 1
，

∴这组数据的平均数
=
（
8
+
10
+
9
+
12
+
11
）
=10
，< br>

这组数据的方差为
S
2
=
[（
8﹣
10
）
2
+（
10
﹣
10
）
2
+（
9
﹣
10
）
2
+（
12
﹣
10
）
2
+（
11
﹣
10
）
2
]
=2
．
故答案为：
2
．



4
．运行如图所示的伪代码，其输出的结果
S
为
15
．


【考点】程序框图．

【分析】由 已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S
的值，模
拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案

【解答】解：当
l=1时，满足进行循环的条件，
S=3
，
l=4
；

当< br>l=4
时，满足进行循环的条件，
S=9
，
l=7
；

当
l=7
时，满足进行循环的条件，
S=15
，
l=10< br>；

当
l=10
时，不满足进行循环的条件，

故输出的
S
值为
15
．

故答案为：
15


5
．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有
1
只红 球，
3
只白球，若从中随机一次摸出
2
只球，则这
2
只球颜 色不同的概率为 ．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先 求出基本事件总数，再求出这
2
只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出
这2
只球颜色不同的概率．

【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其 中有
1
只红球，
3
只白球，

从中随机一次摸出
2
只球，

∴基本事件总数
n==6
，

=3
，

这
2
只球颜色不同包含的基本事件个数
m=
∴这
2
只球颜色不 同的概率为
p==
故答案为：．



6
．已知
．

，那么
tan
β
的值为
3
．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】由已 知，利用同角三角函数基本关系式可求
cos
α
，
tan
α
的值，利用两角和的正切函
数公式即可化简求值．

【解答】解：∵
∴
cos
α
=
﹣
∴
tan
（
α
+
β
）
=
=
﹣，
tan
α
=
=
=< br>﹣
2
，

=
，整理可得：
tan
β
=3
．

，

故答案为：
3
．



7
．已知正六棱锥的底面边长为
2
，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +
12
．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高
h
，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算 公
式即可得出．

【解答】解：侧面三角形的斜高
h==2
，

∴该正六棱锥的表面积
S=
故答案为：


+
12
．

+
6
×
=
+
12
，

8
．在三角形
ABC
中，
【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】可根据条件得到
进行数量积的运算便可得到
即可得出的范围，从而得出的范围 ，即得出
，而由
，则的最小值为 ．

可得到，两边平方并
，这样 根据不等式
a
2
+
b
2
≥
2ab
的最小值 ．

=
；

【解答】解：根据条件，
∴
由
∴
∴
=
=
即
∴
∴
；

的最小值为
．

．

时取
“
=
”
；


得，
；


；

；

，当且仅当
故答案为：


9
．已知数列{
an
}的首项为
1
，等比数列{
b
n
}满足
【考 点】等比数列的通项公式．

【分析】由已知结合

，且
b
1008
=1
，则
a
2016
的值为
1
．，得到
a
2016
=b
1
b
2
…
b< br>2015
=
（
b
1
b
2015
）
?
（
b
2
b
2014
）
…
（
b1007
b
1009
）
?
b
1008
，结合< br>b
1008
=1
，以及等比数列的性质求得答案．

【解答】解：，且
a
1
=1
，得
b
1
=
，

b
2
=
，∴
a
3
=a
2
b
2
=b
1
b
2
，< br>
b
3
=
，∴
a
4
=a
3
b
3
=b
1
b
2
b
3
，

…

a
n
=b
1
b
2
…
b
n
﹣
1
．

∴
a
2016
=b
1
b
2
…
b
2015
=
（
b1
b
2015
）
?
（
b
2
b
2014
）
…
（
b
1007
b
1009
）
?
b
1008
，

∵
b
1008
=1
，

∴
b
1< br>b
2015
=b
2
b
2014
=
…
=b
1007
b
1009
=
（
b
1008
）
2
=1
，

∴
a
2016
=1
，

故答案为：
1
．



10
．已知正数< br>a
，
b
满足
2ab
+
b
2
=b+
1
，则
a
+
5b
的最小值为
【考点】基本不等式．

【分析】正数
a
，
b
满足
2ab
+
b
2
=b
+
1
，可得：
a=
＞
0
．则
．

a
+
5b=
+
5b=
+，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：∵正数
a
，
b
满足
2ab
+
b
2
=b
+
1
，

∴
a=
＞
0
．

则
a
+
5b=
号．

故答案为：．



+
5b=
+≥+
=
，当且仅当
b=< br>，
a=2
时取等
11
．已知函数，若方程
f
（
x
）
=
﹣
x
有且仅有一解，则实数
a
的取值范< br>围为
a
≥﹣
1
或
a=
﹣
2
． ．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分 析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当
a
≥﹣
1
时，
2< br>x
+
a
在
x
≤
0
时，与
y=
﹣
x
有一交点，而
x
++
a
在
x
＞0
无交点，符合题意；

再考虑当
a
＜﹣
1
时 的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出
a
的取值．

【解答】解：根据指数函数的图象易知：

当
a
≥﹣
1时，
y=2
x
+
a
在
x
≤
0
时，与
y=
﹣
x
有一交点，
y=x
++
a
在
x
＞
0
与
y=
﹣
x
无交点，符
合题意；

当
a
＜﹣
1
时，只需
x
++< br>a=
﹣
x
有且仅有一根，

△
=a
2
﹣
8=0
，

解得
a=
﹣
2
．

故答案为
a
≥ ﹣
1
或
a=
﹣
2
．



12
．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
（
3
，
0
），动点
P
满足
PA=2PO
，动点
Q
（
3a
，
4a
+
5
）（
a
∈
R< br>），则线段
PQ
长度的最小值为
0
．

【考点】两点间距离公式的应用．

【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求 得点
Q
（
3a
，
4a
+
5
）到圆心（﹣< br>1
，
0
）的距
离
d
的最小值，将
d
的最小值减去圆的半径，即为所求．

【解答】解：∵点
A
（
3，
0
），动点
P
满足
PA=2PO
，

设
P
（
x
，
y
），则有（
x
﹣
3
）
2
+
y
2
=4x
2
+
4y< br>2
，

∴（
x
+
1
）
2
+
y
2
=4
，表示以（﹣
1
，
0
）为圆心、 半径等于
2
的圆．

点
Q
（
3a
，
4a
+
5
）到圆心（﹣
1
，
0
）的距离

d==
≥，

故距离
d
可以是
2
，此时
PQ=0
，

故线段
PQ
长度的最小值为
0
．


< br>13
．已知椭圆的离心率为，长轴
AB
上
2016
个等分点从 左到右依
次为点
M
1
，
M
2
，
…
，
M
2015
，过
M
1
点作斜率为
k
（< br>k
≠
0
）的直线，交椭圆
C
于
P
1
，
P
2
两点，
P
1
点在
x
轴上方；过M
2
点作斜率为
k
（
k
≠
0
）的直线 ，交椭圆
C
于
P
3
，
P
4
两点，
P
3
点在
x
轴上方；以此类推，过
M
2015
点作 斜率为
k
（
k
≠
0
）的直线，交椭圆
C
于
P
4029
，
P
4030
两点，
P
402 9
点在
x
轴上方，则
4030
条直线
AP
1
，
AP
2
，
…
，
AP
4030
的斜率乘 积为 ﹣
2
﹣
2015
．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】运用椭圆的离心率公式，可得
a
2
=2b
2
=2c
2
，设
M
n
的坐标为 （
t
，
0
），直线方程为
y=k
（
x
﹣< br>t
），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得
?
=
，再由等分点，设出
t
的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．

，可得
a
2
=2b
2
=2c
2
，

【解答】解：由题意可得
e==
设
M
n
的坐标为（
t
，
0
），直线方程为
y=k
（
x
﹣
t< br>），

代入椭圆方程
x
2
+
2y
2
=2b
2
，可得（
1
+
2k
2< br>）
x
2
﹣
4tk
2
x
+
2k
2
t
2
﹣
2b
2
=0
，

即有
x
1
+
x
2
=
，
x
1
x
2
=
，

?
=
?
=
==
===
，

可令
t=
﹣，﹣
…
，，﹣，﹣
0
，，
?
（
?
．

，
…
，，
…?
，

，
）即有
AP
1
，
AP
2
，
…
，
AP
4030
的斜率乘积为
??
（
?…?
）
=
﹣
故答案 为：﹣
2
﹣
2015
．



14
．已知函数
f
（
x
）
=x
|
x
﹣
a
|，若对任意
x
1
∈[
2
，
3
]，< br>x
2
∈[
2
，
3
]，
x
1
≠
x
2
恒有
，则实数
a
的取值范围为 [
3
，+
∞
） ．

【考点】分段函数的应用．


【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数
f
（
x
） 的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，

f
（
x
）
=
，作出函数
f
（
x
）的 图象，

由图象知当
x
≤
a
时，函数
f
（
x
）为凸函数，当
x
≥
a
时，函数
f
（< br>x
）为凹函数，

若对任意
x
1
∈[
2，
3
]，
x
2
∈[
2
，
3
] ，
x
1
≠
x
2
恒有
则
a
≥
3
即可，

故实数
a
的取值范围是[
3
，+
∞
），

故答案为：[
3
，+
∞
）

，

二、解答题（本大题共
6
小题，共
90
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
分别 是边
a
、
b
、
c
的对角，且
3a=2b
．

（Ⅰ）若
B=60
°
，求
sinC
的值；

（Ⅱ）若，求
sin
（
A
﹣
B
）的值．

【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定 理化简已知可得
3sinA=2sinB
，由已知可求
sinA
，利用大边对 大角

可得
A
为锐角，可求
cosA
，利用三角形内角和定 理，两角和的正弦函数公式即可求
sinC
的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可求
a=
而可求
sinB=1
，

sinA=
，利用大边对大 角及同角三角函数基本关系式可求
cosA
，利用两角差的正弦函数公式
即可计算得解 ．

【解答】（本题满分为
14
分）

解：（Ⅰ）在△ABC
中，∵
3a=2b
，∴
3sinA=2sinB
又∵< br>B=60
°
，代入得
3sinA=2sin60
°
，解得sinA=
∵
a
：
b=2
：
3
，∴
A
＜
B
，即
cosA=
，

．
…

，

．

，余弦定理可求
c=
，利用余弦定理可得
cosB=0
，从
∴
sinC=sin
（
A
+B
）
=sinAcosB
+
cosAsinB=
（Ⅱ）∵
3a=2b
，可得：
a=
，
∴
==
，解得：
c< br>2
=
，
c=
，

∴
cosB===0
，可得：
sinB=1
，

∵
3sinA=2sinB=2
，可得：
sinA=
，
A
为锐 角，可得
cosA==
．

∴
sin（
A
﹣
B
）
=sinAcosB
﹣
cosAs inB=
﹣
cosA=
﹣．
…



16
．如图，平行四边形
ABCD
⊥平面
CDE
，
AD
⊥
DE
．

（
I
）求证：
DE
⊥平面
ABCD
；
< br>（Ⅱ）若
M
为线段
BE
中点，
N
为线段
CE
的一个三等分点，求证：
MN
不可能与平面
ABCD
平行．


【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．

【分析】（< br>1
）在平面
ABCD
内过
A
作
CD
的垂线< br>AP
，则
AP
⊥平面
CDE
，于是
AP
⊥< br>DE
，结
合
AD
⊥
DE
，得出
DE
⊥平面
ABCD
；


（
2
）使用反证法证明，假 设
MN
∥平面
ABCD
，由线面平行的性质得
MN
∥
BC
，与已知矛盾．
【解答】证明：（
1
）过
A
作
AP
⊥
CD
，垂足为
P
，

∵平面
AB CD
⊥平面
CDE
，平面
ABCD
∩
平面
CDE= CD
，
AP
?平面
ABCD
，
AP
⊥
CD
，

∴
AP
⊥平面
CDE
，∵
DE
?平面
CDE
，

∴
AP
⊥
DE
，又∵
DE
⊥
AD
，
AD
?平面
ABCD
，AP
?平面
ABCD
，
AD
∩
AP=A
，
∴
DE
⊥平面
ABCD
．

（
2
）假设
MN
∥平面
ABCD
，
∵
MN
?平面
BCE
，平面
BCE
∩
平面ABCD=BC
，

∴
MN
∥
BC
，

∴，

与
M
是
BE
的中点，
N
是
CE
的三等分点相矛盾．

∴
MN
不可能与平面
ABCD
平行．

17
．已知椭圆
B
点．
y=ex
+
a
与
x
，
y
轴分别交于
A
、的离心率为
e
，直线
l
：
（Ⅰ）求证：直线
l< br>与椭圆
C
有且仅有一个交点；

（Ⅱ）设
T
为直线< br>l
与椭圆
C
的交点，若
AT=eAB
，求椭圆
C的离心率；

（Ⅲ）求证：直线
l
：
y=ex
+
a
上的点到椭圆
C
两焦点距离和的最小值为
2a
．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）将直线
l
：
y =ex
+
a
代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即
可得证 ；

（Ⅱ）由直线
l
：
y=ex
+
a
，可 得
A
（﹣，
0
），
B
（
0
，
a< br>），运用向量共线的坐标表示，解方程
可得离心率；

（Ⅲ）设
F2
（
c
，
0
）关于直线
y=ex
+
a
的对称点为
F'
（
m
，
n
），运用两直线垂直的条 件：斜率
之积为﹣
1
和中点坐标公式，求得
F'
的坐标，计算|F'F
1
|，即可得到所求最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：直线< br>l
：
y=ex
+
a
代入椭圆
可得（
b
2
+
a
2
e
2
）
x
2
+
2ea
3
+
a
4
﹣
a
2
b
2< br>=0
，

可得判别式为
4a
2
e
6
﹣
4
（
b
2
+
a
2
e
2
）（
a
4
﹣
a
2
b
2
）
=
﹣
4
（
a
4
b
2
﹣
a
2
b
4
﹣
a
4
e
2
b
2
）

=
﹣
4
[
a
2
b
2
（
a
2
﹣
b
2
）﹣
a
2
c
2b
2
]
=0
，

即有直线
l
与椭圆
C
有且仅有一个交点；

（Ⅱ） 由直线
l
：
y=ex
+
a
，可得
A
（﹣，
0
），
B
（
0
，
a
），

，

由（Ⅰ）可得
x
T
=
﹣
=e
=
﹣
=
﹣
ea
，

由，可得﹣
ea
+
=e
（
0
+），

（负的舍去）：

即
e
2
+
e
﹣
1=0
，解得
e=
（Ⅲ）证明：设
F
2
（
c
，
0
）关于直线
y=ex
+
a
的对称点为
F'< br>（
m
，
n
），

即有
=
﹣，
=
+
a
，结合
e=
，
b
2
+
c
2
=a
2
，

解得
m=
﹣
c
，
n=2a
，

即为
F'
（﹣
c
，
2a
），

则|
F'F
1
|
=2a
．

故直线
l
：
y=ex
+
a
上的点到椭圆
C
两焦点距离和 的最小值为
2a
．



18
．如图，，点
O
处为一雷达站，测控范围为一个圆形
区域（含边界），雷达开机时测控半径
r随时间
t
变化函数为
r=3tkm
，且半径增大到
81km时不再变化．一架无人侦察机从
C
点处开始沿
CD
方向飞行，其飞行速度 为
15kmmin
．

（Ⅰ）

当无人侦察机在
CD
上飞行
t
分钟至点
E
时，试用
t
和
θ
表示无人侦察机到
O
点的距
离
OE
；

（Ⅱ）若无人侦察机在
C
点处雷达就开始开机，且
θ
=
请说明理由．

，则雷达是否能测控到无人侦察机？

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】（
I
）在△
OC E
中，
CE=15t
，使用余弦定理表示出
OE
；

（
II
）令
f
（
t
）
=OE
2
﹣
r
2
，通过导数判断
f
（
t
）的单调性计算f
（
t
）的最小值，判断
OE
与测
控半径
r< br>的大小关系．

【解答】解：（
I
）在△
OCE
中，
CE=15t
，
OC=90
，

由余弦定理得
OE
2
=OC
2
+
CE
2
﹣
2OC
?
CEcos
θ
=8100
+
225t
2
﹣
2700tcos
θ
．

∴
OE=
（
II
）令
f
（
t
）
=OE
2
﹣
r
2< br>=225t
2
﹣
1350
令
r=3t=81
，解得< br>t=9
．∴
0
≤
t
≤
9
∴
f′
（
t
）
=
﹣
27t
2
+
4 50t
﹣
1350
．

t
+
8100
﹣
9t
3
，

）< br>2
+
1875
﹣
1350=
﹣
27
（
t
﹣＜
0
．

∴
f
（
t
）在[
0
，
9
]上是减函数．

f
（
9
）
=225
×
9
2
﹣
1350
×
9
+
8100
﹣
9
×
9
3
＞
0
．

∴当
0
≤
t
≤
9
时，
f
（
t
）＞
0
，即
OE
＞
r
．

∴雷达不能测控到无人侦察机．



19
．已知数列{< br>a
n
}满足
{
a
n
}前
n
项和为< br>S
n
．

（Ⅰ）

求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若
a
m
a
m
+
1
=a
m
+
2
，求正 整数
m
的值；

（Ⅲ）是否存在正整数
m
，使得
件 的
m
值，若不存在，说明理由．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（Ⅰ）化简可得数列{
an
}的奇数项构成以
1
为首项，
2
为公差的等差数列，数列{< br>a
n
}
的偶数项构成以
2
为首项，
3
为公比 的等比数列，从而写出通项公式；

恰好为数列{
a
n
}中的一项？ 若存在，求出所有满足条
．数列

（Ⅱ）分类讨论即方程的解；

（Ⅲ）化简
S
2m
=1+
2
+
3
+
6
+
…
+
2m< br>﹣
1
+
2
?
3
m
﹣
1
=3
m
﹣
1
+
m
2
，
S
2m
﹣
1
=3
m
﹣
1
﹣
1
+
m
2
，从而可得
=1
+，从而讨论求值．

【解答】解：（Ⅰ）∵< br>∴数列{
a
n
}的奇数项构成以
1
为首项，
2
为公差的等差数列，

数列{
a
n
}的偶数项构成以
2< br>为首项，
3
为公比的等比数列，

故
a
n
=
；

m
﹣
1
，

（Ⅱ）若
m
为奇数，则
a
m
a
m
+
1
=m
?
2
?无解；

若
m
为偶数，则
a
m
a
m< br>+
1
=
（
m
+
1
）
2
?< br>即
=2
，

=m
+
2
，

mm
﹣
2
=2
?
，

解得，
m=2
；

综上所述，
m=2
；

（Ⅲ）由题意知，
S
2m
=1
+
2
+
3< br>+
6
+
…
+
2m
﹣
1
+
2
?
3
m
﹣
1

=
（
1
+
3
+
5
+
…
+
2m
﹣
1
）+（
2
+
6
+
18
+
…
+
2< br>?
3
m
﹣
1
）

=
?
m
+

=3
m
﹣
1
+
m
2
，

S
2m
﹣
1
=1
+
2
+
3
+6
+
…
+
2m
﹣
1
=
（
1
+
3
+
5
+
…
+
2m
﹣
1
）+（
2
+
6
+
18
+
…
+< br>2
?
3
m
﹣
2
）

=
?< br>m
+﹣
2
?
3
m
﹣
1

= 3
m
﹣
1
﹣
1
+
m
2
，

故
==1
+，

若
m=1
，则
=3=a
3
，

若
=1
时，即
m=2
时，
=2=a
2
，

所有满足条件的
m
值为
1
，
2
．

20
．已知函数
f
（
x
）
=xlnx
﹣
ax
2
+
a
（
a
∈
R
），其导函数为
f
′
（
x
）．< br>
（Ⅰ）求函数
g
（
x
）
=f
′
（
x
）+（
2a
﹣
1
）
x
的极值；

（Ⅱ）当
x
＞
1
时，关于
x
的不等式
f< br>（
x
）＜
0
恒成立，求
a
的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函
数的极值即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论
a
的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件 的
a
的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）

由题知
x
＞
0
，
f'
（
x
）
=lnx
﹣
2ax
+
1
，

则
g
（
x
）
=f'
（
x
）+
2a
（
x
﹣
1
）
=lnx
﹣
x
+
1
，
当
0< br>＜
x
＜
1
时，
，

，
g
，
g
（
x
）为增函数；当
x
＞
1
时，
（
x
）为减函数．

所以当
x=1
时，
g
（
x
）有极大值
g
（
1
）
=0
，
g
（
x
）无极小值．

（Ⅱ）

由题意，
f'
（
x
）
=lnx
﹣
2ax
+
1，

（ⅰ）

当
a
≤
0
时，
f'
（
x
）
=lnx
﹣
2ax
+
1
＞
0
在
x
＞
1
时恒成立，

则
f
（
x
）在（
1
，+
∞
）上单调递增，

所以
f
（
x
）＞
f
（
1
）
=0
在（
1
，+
∞
）上恒成立，与已知矛盾，故
a
≤
0
不符合题意．

（ⅱ）

当
a
＞< br>0
时，令
φ
（
x
）
=f'
（
x）
=lnx
﹣
2ax
+
1
，则
①
当< br>2a
≥
1
，即时，，

，且

．
于 是
φ
（
x
）在
x
∈（
1
，+
∞< br>）上单调递减，

所以
φ
（
x
）＜
φ
（
1
）
=1
﹣
2a
≤
0
，即
f '
（
x
）＜
0
在
x
∈（
1
，+< br>∞
）上成立．

则
f
（
x
）在
x< br>∈（
1
，+
∞
）上单调递减，

所以
f（
x
）＜
f
（
1
）
=0
在
x
∈（
1
，+
∞
）上成立，符合题意．

②
当
0
＜
2a
＜
1
，即时，＞
1
，，

若
若
，则
φ
'
（
x
）＞
0< br>，
φ
（
x
）在
，则
φ
'
（
x
）＜
0
，
φ
（
x
）在
上单调递增；
上单调递减．

上恒成立，即
f'
（
x
）＞
0
在上又
φ
（
1
）
=1
﹣
2a< br>＞
0
，所以
φ
（
x
）＞
0
在
恒成立，

所以
f
（
x
）在
所以
上单调 递增，则
f
（
x
）＞
f
（
1
）
= 0
在
不符合题意．

．

上恒成立，

综上所述，
a
的取值范围

三
.
附加题部分【选做题】（本题包括
A
、
B
、
C< br>、
D
四小题，请选定其中两题，并在相应的答
题区域内作答．若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
A
．[选修
4-1
几何证明选讲]（本小题满分
10
分）

21
．若< br>AB
为定圆
O
一条弦（非直径），
AB=4
，点
N< br>在线段
AB
上移动，∠
ONF=90
°
，
NF
与
圆
O
相交于点
F
，求
NF
的最大值．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】由
NF=
此能求出结果．

【解答】解：∵
ON
⊥
NF
，

∴
NF=
，

，线段
OF
的长为定值，得到需求解 线段
ON
长度的最小值，由
∵线段
OF
的长为定值，即需求解线段< br>ON
长度的最小值，

弦中点到圆心的距离最短，此时
N
为< br>BE
的中点，点
F
与点
B
或
E
重合，

∴|
NF
|
max
=
|
BE
|
=2
．



B
．[选修
4-2
：矩阵 与变换]（本小题满分
10
分）

22
．已知矩阵
的一个特 征向量为
，若矩阵
A
属于特征值
6
的一个特征向量为
=．求
A
的逆矩阵．

=
，属于特征值
1
【考点】特征向量的意义．

【分析】根 据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得
a
、
b
、
c和
d
的值，求得矩阵
A
，丨
A
丨及
A*
，由
A
﹣
1
=
×
A*
，即可求得
A﹣
1
．

=
，

【解答】解：矩阵
A
属于特征值
6
的一个特征向量为
∴
=6
，即
=，

=
．

属于特征值
1
的一个特征向量为
∴
=
，
=
，

∴，解得：，

矩阵
A=
，

丨
A
丨
==6
，
A*=
，

A
﹣
1
=
×
A*=
，

∴
A
﹣
1
=
．



C .
[选修
4-4
：坐标系与参数方程]（本小题满分
0
分）

23
．过点
P
（﹣
3
，
0
）且倾斜角为< br>30
°
的直线和曲线
ρ
2
cos2
θ
=4< br>相交于
A
、
B
两点．求线段
AB
的长．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

0
）【分析】过点
P
（ ﹣
3
，且倾斜角为
30
°
的直线的参数方程为：（
t
为参数）．曲
线
ρ
2
cos2
θ
=4
即
ρ
2
（
cos
2
α
﹣
sin
2
α
）
=4
，把
y=
ρ
sin
θ
，
x =
ρ
cos
θ
代入化为直角坐标方程．把直线
参数方程代入可得：< br>t
2
﹣
6t
+
10=0
，利用|
AB
|
=
|
t
1
﹣
t
2
|
= 即可得出．
【解答】解：过点
P
（﹣
3
，
0
） 且倾斜角为
30
°
的直线的参数方程为：（
t
为参
数），< br>
曲线
ρ
2
cos2
θ
=4
即
ρ< br>2
（
cos
2
α
﹣
sin
2
α）
=4
化为
x
2
﹣
y
2
=4
，

把直线参数方程代入可得：
t
2
﹣
6t
+10=0
，

∴
t
1
+
t
2
=6
，
t
1
t
2
=10
．

∴|
AB
|
=
|
t
1
﹣
t
2
|
===
．



D
．[选修
4-5：不等式选讲]（本小题满分
0
分）

24
．设
x< br>，
y
，
z
∈
R
+
，且
x
+
y
+
z=1
，求证：
【考点】不等式的证明．

y
，
z
∈
R
+
，【分析】由
x
，且
x
+
y
+
z=1
，可得+≥
2=2x
，同理可得+
．

≥
2y
， +≥
2z
，累加即可得证．

【解答】证明：由
x
，
y
，
z
∈
R
+
，且
x
+
y+
z=1
，

可得+≥
2=2x
，

同理可得+≥
2y
，

+≥
2z
，
三式相加，可得+++
x
+
y
+
z
≥
2
（
x
+
y
+
z
），

即为++≥
x
+
y
+
z
，

则++≥
1
成立．



四
.
[ 必做题]（第
25
题、第
26
题，每题
10
分，共
20
分
.
解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）

25
．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率
为
p
，摸出白球概率为
q
，摸出红球加
1
分，摸出白球减1
分，现记
“
n
次试验总得分为
S
n
”
．

（Ⅰ）当
（Ⅱ）当
时，记
ξ
=
|
S
3
|，求
ξ
的分布列及数学期望；

时，求
S8
=2
且
S
i
≥
0
（
i=1
，
2
，
3
，
4
）的概率．

【考点】离散 型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型
随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）当时，
ξ
=
|
S
3
|的可能 取值为
1
，
3
，分别求出相应的概率，由此能求出
ξ
的分布 列和
E
ξ
．

（Ⅱ）由题意前
8
次试验
5
次摸到红球，
3
次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三
次摸到红球 ，其余六次可任意有
3
次摸到红球，另
3
次摸到白球；若第一次和第二次摸到 红
球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出
S
8
=2
且
S
i
≥
0
（
i=1
，
2
，
3
，
4
）的概率．

【解答】解：（ Ⅰ）当
P
（
ξ
=1
）
=
P
（
ξ< br>=3
）
=
∴
ξ
的分布列为：


ξ

+
=
，

时，
ξ
=
|
S
3
|的可能取值为
1
，
3
，

=
，

1 3

P

=
．


E
ξ
=
（Ⅱ）∵，
S< br>8
=2
且
S
i
≥
0
（
i=1
，
2
，
3
，
4
），

∴前
8< br>次试验
5
次摸到红球，
3
次摸到白球，

并且满足下列条件：

若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有
3次摸到红球，另
3
次摸到白球，

若第一次和第二次摸到红球，第二次摸 到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到
白球，

∴
S
8
=2
且
S
i
≥
0
（
i=1
，2
，
3
，
4
）的概率：

p=
（


26
．数列{
a
n
} 各项均为正数，
（Ⅰ）求证：；

，是否存在
n
∈
N
*
，使得
a
n
＞
1
，若存在，试求出
n
的最小值，若不存在，
，且对任意的
n
∈
N
*
，有．

）
?
（）
5
?
（）
3
=
．< br>
（Ⅱ）若
请说明理由．

【考点】数列递推式．

【分析】（
1
）把已知数列递推式取倒数，可得
案；

（< br>2
）把代入已知递推式，得
a
n
+
1
=a
n
+
a
n
2
＞
a
n
，然后利用放缩法得a
1
＜
a
2
＜
…
a
2017
，然后利用累加法证得答
＜
1
＜
a
2018
＜
a< br>2019
＜
…
，从而说明存在
n
∈
N
*，使得
a
n
＞
1
，且
n
的最小值为
2 018
．

【解答】（
1
）证明：由，得

，

即
∴
，

，

，

…

，

累加得：，

即
∵
a
n
＞
0
，

∴；

，

∴数列
a
n
单调递增，

（
2
）解：当
得
由
a
n
+
1
=a
n
+
a
n
2
，得

，

∴
∵
a
i
＞
0
（
i=1
，
2
，…
，
2016
），

∴
则
a
2017
＜
1
；

又
∴×
2017=1
．

，

，

，

时，
a
n
+
1
=a
n
+
，

a
n
2
＞
a
n
，

即
a
2018
＞
1
．

即数列{
a
n
}满足
a
1
＜
a
2
＜
…a
2017
＜
1
＜
a
2018
＜
a< br>2019
＜
…
，

综上所述，存在
n
∈N
*
，使得
a
n
＞
1
，且
n
的最小值为
2018
．

2017-2018
学年
10
月
17
日