高中数学概率c数字0-高中数学华师大实验班怎么样
2018高中数学联赛江苏赛区初赛试题
【题目1】当
x?[?3,3]时，函数
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值是_______.
【解】当
x?(?3,0)?(3,??)
时，
f(x)?|x
3
?3x|?x
3
?3x
；
当<
br>x?(??，?3)?(0,3)
时，
f(x)?|x
3
?3x|??
x
3
?3x
f
max
(x)?f(3)?18.
【题目2】在
?ABC
中，已知
AC?BC?12
，
AC?
BA??4
，则
AC?_______.
a
2
?b
2
?c
2
?12
，
a
2
?b
2
?c
2
?24
， 【解】
AC?BC?abcosC?ab
2ab<
br>b
2
?c
2
?a
2
??4
，
b2
?c
2
?a
2
?8
， 同理，
AC?BA?
?bccosA??bc
2bc
两式相加，
b
2
?16,b?4.
【题目3】从集合
{3,4,5,6,7,8}
中随机选取三个不同的数，这
三个数构成等差数列的概率是
____________.
【解】从
{3,4,5,6,7,8}
中选取三个不同的数构成等差数列：
{3,4,5}
，
{3,5,7}
，
{4,5,6}
，
{4,6,8}
{5,6,7}
{6,7,8}
P?
63
?
2
C
6
10
2)
，【题目4】已知
a
是实数，方程
x?(4?i)x?4?ai?0<
br>的一个实根是
b
(i是虚数单位
则
|a?bi|
的值是___
________.
【解】
b
2
?4b?4?(a?b)i?0,a?2,
b??2,|a?bi|?22
.
x
2
y
2
?1
的右焦点为
F
，一条过原点
O
且【题目5】平面直角坐标系<
br>xOy
中，双曲线
C：?
124
倾斜角为锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点，若
?FAB
的面积为
83
，则直线的斜率
为__________.
x
2
y
2
?1
的右焦点为
F(4,0)
，设直线
l:y?kx(k?0)<
br>， 【解】双曲线
C：?
124
12
y
2
3
123
2
2
y?
?3x?12
，，，.
k?
S?
?4?2?83
?FAB
2
2
2
1?3k
k
32
1?3k
【题目6】已知
a?R
，
k?a
【解】k?a
lga
?lga
的取值范围是___________.
，lgk?lg(a
lga
)?lg
2
a?0,k?[1,??)
【题目7】四面体
ABCD
中，
AB?AC?AD?DB?5
，BC?3,CD?4
，该四面体的
体积是___________.
【解】
V?
【题目8】已知等
差数列
{a
n
}
等比数列
{b
n
}
满足：
a
1
?b
1
?3
，
a
2
?b2
?7
，
a
3
?b
3
?15
，
115
??3?4?3?53
322
a
4
?b<
br>4
?35
，则
a
n
?b
n
?
___
______.
?
a
1
?b
1
?3,
?
a
1
?2,
?
d?bq?b?4,
?
a?d?bq?7,<
br>11
?
b?1,
1
?
?
1
?
1?
d?(bq?b)q?8,
【解】
?
，
a
n
?b
n
?2n?3
n?1
.
?
?
?
11
2
?
d?2,
?
?
a
1
?2d?b
1
q?15,
2
?
d?(b
1
q?b
1
)q?20
?
q?3
?
a?3d?bq
3
?35
?
1
?
1
【题目9】将27，37，47，48，55，71，75这7个数排
成一列，使任意连续4个数的和为
3的倍数，则这样的排列有_______种.
【解】144.
【题目10】三角形的周长为31，三边
a,b,c
均为整
数，且
a?b?c
，则满足条件的三元数
组
(a,b,c)
的个数为
_________.
(1,15,15)
，
(2,14,15)
，
(3,13,15)
，
(4,12,15)
，
(5,11,15)
，
(6,10,15)
，
(7,9,15)
，
(8,8,15)，【解】
(3,14,14)
，
(4,13,14)
，
(5,12,14)
，
(6,11,14)
，
(7,10,14)<
br>，
(8,9,14)
，
(5,13,13)
，
(6,12,
13)
，
(7,11,13)
，
(8,10,13)
，
(9
,9,13)
，
(7,12,12)
，
(8,11,12)
，(9,10,12)
(9,11,11)
，
(10,10,11)
，
共24个. 【题目11】在
?ABC
中，角
A,B,C
对应的边分别为
a,
b,c
.
证明：
（1）
bcosC?ccosB?a
；
（2）
cosA?cosB
?
a?b
2sin
2
c
C
2
.
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
??a
.
【证明】（1）
bcosC?ccosB?
2a2a
（2）
A?BA?B<
br>cos
cosA?cosBcosA?cosB
22
??
a?b2R(
sinA?sinB)
2R2sin
A?B
cos
A?B
22
CC
sin2sin
2
2
?
2
?
CC
C
2Rcos2R2cossin
222
C
2sin
2
2<
br>?
c
a
【题目12】已知：
a,b?R
，
a?2，函数
f(x)?|lnx?|?b(x?0)
.
x
e
若f(1)?
e?1
，
f(2)??ln2?1
.
2
2cos
（1）求实数
a,b
的值；
（2）求函数
f(x)
的单调区间；
（3）若存在实数
c,d满足：
c?d,cd?1
.求证：
f(c)?f(d)
.
【解
】（1）
f(1)?|a|?b
?e?1
，
f(2)?|ln2?
a
e
|?b??ln2?1
，且
a?2
，
22
所以，
a?b?e?1
，
所以，
a?e,b?1
.
ae
?ln2?1??ln2?1
，
22
?
e
?
lnx?1,x?(0,e)
?
e
?
x
（2）
f(x)?|
lnx?|?1?
?
e
x
?
lnx??1,x?(e,?
?)
?
x
?
所以，
x?(0,e)
，
f(x)单调递减；
x?(e,??)
，
f(x)
单调递增.
（3）
c?d,cd?1
，所以
c?1
，
1ee
f(d)?f(c)?|ln?ce|?|lnc?|?|lnc?ce|?|lnc?|
c
cc
e
?
lnc?ce?lnc?,c?e
?
?
c
?
?
?
lnc?ce?lnc?
e
,1?c?e
?
c
?
e
?
ce?,c?e
?
?
c
?
?
?0
?
2lnc?e(c?
1
),1?c?e
?
c
?
所以，
f(c)?f(d)
.
【题目13】如图
，半径为1的圆
O
上有一定点
A
，
M
为圆
O
上的动点，在射线
OM
上有
一动点
B
，
AB?1,OB?
1
.线段
AB
交圆
O
于另一点
C
，
D为线段的
OB
中点.求线段
CD
长的取值范围.
【解】设?AOB??B?
?
，则
?A?
?
?2
?
，
因为
OA?OC
，所以
?ACO?
?
?2
?
，
?COB?
?
?3
?
，
OD?OAcos
?
?cos
?
，
在
?OCD
中，由余弦定理，
CD
2
?OC
2<
br>?OD
2
?2OC?ODcos(
?
?3
?
)
s?2co
?
s?co3s
?
?1?co
?
?1?co
?
s?2co
?
s?(4cos
?
?3co
?
s)
?8cos
?
?5cos
?
?1
?8(cos
?
?
2
2
23
42
5
2<
br>7
)?
1632
?BOC?
?<
br>?3
?
??AOB?
?
，
?OAB?
?
?2
?
??OBA?
?
，
所以，
?
?[
??
12
,]
，
cos
?
?[,]
，
43<
br>22
514141
时，
CD
min
?
，
CD
?[,)
.
4882
故当
cos
?
?
【题目14
】设
a,b,c,d
为正整数，
a,b
是方程
x
2
?(d?c)x?cd?0
的两个根，证明：存
在三边长是整数且面积为
ab
的一个直角三角形.
【证明】这是一道存在性问题，只要构造出满足题意的一个直角三角形即可。
因为
a
,b,c,d
为正整数，所以
a?c,b?c,a?b?Z
?
，
?
a?b?d?c,
a,b
是方程
x
2
?(d?c)x?cd
?0
的两个根，则
?
，
?
ab?cd
所以，
(a
?c)
2
?(b?c)
2
?a?c?2ac?b?c?2bc
?a
2
?b
2
?2c
2
?2(a?b)c
?a?b?2c?2(d?c)c
2
?a?b?2dc?a?b?2ab
?(a?b)
，
2222
22
22
222
所以，以
a?c,b?c
为直角边，以
a?b
为
斜边可构成一个直角三角形.
其面积
S?
?
111<
br>(a?c)(b?c)?(ab?c(a?b)?c
2
)?(ab?c(d?c)?c<
br>2
)
222
1
(ab?cd)?ab
，
2
故命题得证.