2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．．
1．(2013江苏，1)函数
y?3sin
?
2x ?
2
?
?
π
?
?
的最小正周期为________ __．
4
?
2．(2013江苏，2)设
z
＝(2－i)(i为虚 数单位)，则复数
z
的模为__________．
x
2
y
2
?=1
的两条渐近线的方程为__________． 3．(2013江苏，3)双曲线
169
4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的
n
的值是______ ____．
6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，
结果如下：
运动员

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次
甲

87

91

90

89

93
乙

89

90

91

88

92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．
7．(20 13江苏，7)现有某类病毒记作
X
m
Y
n
，其中正整数
m
，
n
(
m
≤7，
n
≤9)可以任意选取，则
m
，
n
都
取到奇数的概率为__________．
8．(20 13江苏，8)如图，在三棱柱
A
1
B
1
C
1
－< br>ABC
中，
D
，
E
，
F
分别是
AB
，
AC
，
AA
1
的中点，设三棱锥
F
－< br>ADE
的体积为
V
1
，三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
的体积为
V
2
，则V
1
∶
V
2
＝__________.

9 ．(2013江苏，9)抛物线
y
＝
x
在
x
＝1处的切线与 两坐标轴围成三角形区域为
D
(包含三角形内部和
边界)．若点
P
(
x
，
y
)是区域
D
内的任意一点，则
x
＋ 2
y
的取值范围是__________．
2
10．(2013江苏，10 )设
D
，
E
分别是△
ABC
的边
AB
，< br>BC
上的点，
AD=
12
AB
，
BE=BC
.若
23
2
DE?
?
1
AB?
?
2
AC
(λ
1
，λ
2
为实数)，则λ
1
＋λ
2
的值为__________．
11．(2013江苏，11)已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，当
x
＞0时，
f
(
x
)＝
x
－4
x
，则不等式
f
(
x
)＞
x
的解集用区间表示为__________．
x
2
y2
12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C< br>的标准方程为
2
?
2
=1
(
a
＞0，
b
＞0)，右
ab
焦点为
F
，右准线为
l
，短轴 的一个端点为
B
.设原点到直线
BF
的距离为
d
1
，
F
到
l
的距离为
d
2
.若
d
2
?6d
1
，
则椭圆
C
的离心率为__________．
13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系
xOy
中，设定点
A
(
a
，
a
)，
P
是函数
y?
1
(
x
＞0)图象上一动
x
点．若点
P
，
A
之间的最短距离为
22
，则满足条件的实数
a
的所有值为_________ _．
14．(2013江苏，14)在正项等比数列{
a
n
}中，
a
5
?
最大正整数
n
的值为__________．

1
1
，
a
6
＋
a
7
＝3.则满 足
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
＞a
1
a
2
…
a
n
的
2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明
．．．．．．．
过程或演算步骤．
15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知
a
＝(cos α，sin α)，
b
＝(cos β，sin β)，0＜β
＜α＜π.
(1)若|< br>a
－
b
|＝
2
，求证：
a⊥b
；
(2)设
c
＝(0,1)，若
a
－
b
＝
c
，求α，β的值．















16．(2013江苏， 16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥
S
－
ABC
中，平面
S AB
⊥平面
SBC
，
AB
⊥
BC
，
AS< br>＝
AB
.过
A
作
AF
⊥
SB
，垂足 为
F
，点
E
，
G
分别是棱
SA
，
SC
的中点．
求证：(1)平面
EFG
∥平面
ABC
；
(2)
BC
⊥
SA
.

2

17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标 系
xOy
中，点
A
(0,3)，直线
l
：
y
＝2
x
－4.
设圆
C
的半径为1，圆心在
l
上.
(1)若圆心
C
也在直线
y
＝
x
－1上，过点A
作圆
C
的切线，求切线的方程；
(2)若圆
C
上存 在点
M
，使
MA
＝2
MO
，求圆心
C
的横 坐标
a
的取值范围.
















18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)
如图，游客从某旅游景区的景点
A
处下山至
C
处有两种路径．一种是从
A
沿直线步行到
C
，另一种是先从
A
沿索道乘缆车到
B
，然后从
B
沿 直线步行到
C
.
现有甲、乙两位游客从
A
处下山，甲沿
AC
匀速步行，速度为50 mmin，在甲出发2 min后，乙从
A
乘缆
车到
B
，在
B
处停留1 min后，再从
B
匀速步行到
C
.假设缆车匀速直线运动的速度为130 mmin，山路
AC
长为1 260 m，经测量，cos
A
＝
3
12
，cos
C
＝.
5
13
(1)求索道
AB
的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在
C
处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

3

19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{
a
n
}是首项为
a
，公差为
d
的等差数列(
d
≠0 )，
S
n
是其前
n
项和．记
b
n
?
nS
n
*
，
n
∈N，其中
c
为实数．
2
n?c
2*
(1)若
c
＝0，且
b
1
，
b
2
，
b
4
成等比数列，证明：
S
nk< br>＝
nS
k
(
k
，
n
∈N)；
(2)若{
b
n
}是等差数列，证明：
c
＝0.



















x
2 0．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数
f
(
x
)＝ln
x
－
ax
，
g
(
x
)＝e－
ax
，其中
a
为实数．
(1)若
f
(
x
)在 (1，＋∞)上是单调减函数，且
g
(
x
)在(1，＋∞)上有最小值，求< br>a
的取值范围；
(2)若
g
(
x
)在(－1，＋∞ )上是单调增函数，试求
f
(
x
)的零点个数，并证明你的结论．

4

数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C、 D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则
．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．
按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如 图，
AB
和
BC
分别与圆
O
相切于点
D
，
C
，
AC
经过圆心
O
，且
BC
＝2
OC
.








?
?1 0
??
1 2
?
－1
B．[选修4－ 2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵
A
＝
?
，
B
＝
?
，求矩阵
AB
.
??
?
0 2
??
0 6
?








C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?
x?2tan
2
?
?
x?t?1,
(
t
为参数)，曲线
C
的参数方程为
?
(θ为参数)．试求直线
l
和曲线
C
的普通 方程，
?
y?2t
y?2tan
?
?
?
并求出它们 的公共点的坐标．






3322
D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知
a
≥
b
＞0， 求证：2
a
－
b
≥2
ab
－
ab
.

5

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
．．．．．．
说明、证明过程或演算步 骤．
22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱
A
1< br>B
1
C
1
－
ABC
中，
AB
⊥AC
，
AB
＝
AC
＝2，
A
1
A＝4，
点
D
是
BC
的中点．
(1)求异面直线
A
1
B
与
C
1
D
所成角的余弦值；
( 2)求平面
ADC
1
与平面
ABA
1
所成二面角的正弦值．


















23．(20 13江苏，23)(本小题满分10分)设数列{
a
n
}：1，－2，－2,3,3, 3，－4，－4，－4，－4，…，
k个
(?1)
k?1
k,
*,(?1)
k?1
k
，…，即当
*
?k?1?kk?k?1?< br>*
?n?
(
k
∈N)时，
a
n
＝(－1)< br>k
－1
k
.记
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
(
n
22
*< br>∈N)．对于
l
∈N，定义集合
P
l
＝{
n
|
S
n
是
a
n
的整数倍，
n
∈N，且1≤
n
≤
l
}．
(1)求集合
P
11
中元素的个数；
(2)求集合
P
2 000
中元素的个数．


6