北师大高中数学目录 理科-高中数学资料全解
中学自主招生数学试卷
一、选择题
1.
某车间
2019
年
4
月上旬生产零件的次品数如下
(
单位
:个
):0
,
2
,
0
,
2
,
3
,
0
,
2
,
3
,
1
,
2
,则在这
10
天中该车间生产零件的次品数的
【
】
A.
众数是
4 B.
中位数是
1.5
C.
平均数是
2 D.
方差是
1.25
2.
如图
所示,
A,B,C
均在⊙
O
上,若∠
OAB=40
O
,
ACB
是优弧,则∠
C
的度数
为
【
】
A. 40
O
B.45
O
C. 50
O
D. 55
O
3. 若二次函数y=ax
2
+bx+c,
当x取x
1
,x
2
(x
1
≠x
2
)时,函
数值相等,则x取x
1
+x
2
时,
函
数
值
为
【
】
A. a+c B. a - c
C. - c D. c
4.
已知在锐角
△
ABC中,∠A=55
0
,AB﹥BC。则∠B的取值范围是
【 】
A.35
o
﹤∠B﹤55
o
B.
40
o
﹤∠B﹤55
o
C. 35
o
﹤∠B﹤70
o
D. 70
o
﹤∠B﹤90
o
5.
正比例函数
y
1
=k1
x
(
k
1
>
0
)与反比例函数
y<
br>2
?
k
2
(
k
2
>
0
)部分图象如图所
x
示,
则不等式
k
1
x
>
A.
C.
6. 定义运算符号“*”的意义为
D.
B.
k
2
的解集在数轴上表示正确的是
【
】
x
(a、b均不为0).下面有两个结论:
①运算“*”满足交换律;
②运算“*”满足结合律
其中 【 】
A.只有①正确
B. 只有②正确
C.①和②都正确 D.
①和②都不正确
2
?
2
x?xy?
?
2
3
,那么
?
x?y
?
的值为
【
】
7.
已知
x?0,y?0
且
?
?
y
2
?xy?1
?
A. 2 B. 3
C. 4 D.5
8.
如图,点
A
的坐标为(
0,1
),点
B
是
x
轴正半轴上的一动点,以
AB
为边作
等腰直角
△
ABC
,使
?
BAC=90
O
,设点
B
的横坐标为
x
,点
C
的纵坐标为
y
,
能表示
y
与
x
的函数关系的图象大致是(
)
A
B
C D
9.已知<
br>△
ABC是⊙O的内接正三角形,△ABC的面积为a,DEFG是半圆O的
a
内接正方形,面积等于b,那么
b
的值为 【 】
A. 2
B.
633153
C. D.
2516
6x?3
的图象上整点的个
2x?1
10.
横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点,函数
y?
数是【 】
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
1
1.如图,五边形
ABCDE
是正五边形,若
l
1
l
2,
则
?1??2?
.
12.实数a、b、c满足a
2
-6b= ?17,b
2
+8c=
? 23,c
2
+2a=14,则a+b+c=_______
13.把抛物线y?x
2
?bx?c
的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所
得图象的解析式是
y?x
2
?2x?1
,则b=_______,c=___
_____
14.对于正数x,规定
f(x)?
2x?1122018
,则
f()?f()??(f)_?_____
2x?12
15.如图,在
△
ABC内的三个小三角形的面积分别
是
10、
16
、
20
,若
△
ABC
的面积
S
,则
S=_____
16.工人师
傅在一个长为25cm、宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切
的⊙A后,在剩余部分的废料
上再剪出一个最大的⊙B,则圆B的半径是___cm
三、解答题
17.
(本题满分10分)
甲、乙两船从河中A地同时出发,匀速顺水下行至某一时刻,两船分别到达B<
br>地和C地.已知河中各处水流速度相同,且A地到B地的航程大于A地到C地
的航程.两船在各自
动力不变情况下,分别从B地和C地驶回A地所需的时间为
t
1
和t
2
.试比较t
1
和t
2
的大小关系.
18. (本题满分10分)
关于三角函数有如下的公式:
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
c
os
?
?sin
?
sin
?
①
②
③
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
?<
br>其中1?tan
?
tan
?
?0
?
利用这些公式可以
将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求
值,如:
tan45
o<
br>?tan60
o
1?3
tan105?tan
?
45?60<
br>?
??
1?tan45
o
tan60
o
1?3
ooo
?
?
?
1?3
1?31?3
??
?
2
?
?
4?23
??2?3
?2
??
根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面实际问题:
如图所示,直升机
在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角?
为60
o
,底
端C点的俯角?为75
o
,此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42
米,求建筑物CD的高。
19. (本题满分12分)
某校开设了
“3D”
打
印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程,为了解学
生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行
了随机问卷调查(问卷调查表
如图所示),将调查结果整理后绘制例图
1
、图
2
两幅均不完整的统计图表.
校本课程
频数
频率
A 36 0.45
B 0.25
C 16 b
D 8
合计
a 1
(图
1
)
(图
2
)
请您根据图表中提供的信息回答下列问题:
(
1
)统计表中的
a=
,
b=
;
(
2
)
“D”
对应扇形的圆心角为
度;
(
3
)根据调查结果,请您估计该校
2000
名学生
中最喜欢
“
数学史
”
校本课程的人
数;
(
4
)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从
“A”
、
“B”
、<
br>“C”
三门校本课程中
随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同
一门校本
课程的概率.
20.(本题满分12分)
阅读以下的材料:
(
1
)如果两个正数
a
,
b
,即
a>0<
br>,
b>0
,有下面的不等式:
当且仅当
a=b
时
取到等号,我们把叫做正数的算术平均数,把
叫做正数
a
,
b
的几何
平均数,于是上述不等式可表述为:两个正数的算术
平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。
它在数学中有广泛的应用,
是解决最值问题的有力工具。
(
2
)茎
叶图是一个与直方图相类似的特殊工具,但又与直方图不同,茎叶图保
留原始资料的资讯,直方图则失去
原始资料的讯息。茎叶图的思路是将一组数中
的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位
作为一个主干(茎),
将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每<
br>个主干后面的几个数,每个数具体是多少。例如:将
2
、
10
、
15
、
20
、
23
、
27
这
6
个数据用茎叶图表示如右图。
下面举两个例子:
例
1
:已知
x>0
,求函数的最小值。
解:令<
br>a=x
,,则有,得,当且仅当
即
x=2
时,函数有最小值,最小值为
2
。
例
2
:已知
a>0,b>0,
且<
br>12
??1,则a?b的最小值是_______.
ab
解:因为
a>0,b>0
,所以
b2a
?<
br>12
?
a?b?
?
a?b
?
?
?
?
?3??
ab
?
ab
?
?3?2
b2a
?
3?22
ab
当且仅当
b2a
=
即
a?2?1,b?2?2
时取等号
,
a?b的最小值是3?22
ab
根据上面回答下列问题:
①已知
x>1
,则当
x=______
时,函数
y?x?
4
取到最小值,最小值为
__
____
;
x?1
②为保障中考期间的食品安全,某县城对各考点进行食品
检查,如图所示是某食
品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为
11.5,若
m>0,n>0
且
m+n=a+b
求
41
?
的最小值;
mn
x
取到最大值,
x
2
?2x?4
③已知
x>0
,则自变量
x
取何值时,函数
y?
最大值为多少?
21.(本题满分12分)
如此巧合!
下面是小刘对一道题目的解答.
题目:如图,
Rt△ABC
的内切圆与斜边
AB
相切于点
D
,
AD?3
,
BD?4
,求
△ABC
的面积.
解:设
△ABC
的内切圆分别与
AC
、
BC
相切于点
E
、
F
,
CE
的长为
x
.
根据切线长
定理,得
AE?AD?3
,
BF?BD?4
,
CF?CE?x
.
根据勾股定理,得
?
x?3
?
?
?
x?4<
br>?
?
?
3?4
?
.整理,得
x
2
?
7x?12
.
所以
S
△
ABC
?
1111
AC?BC?
?
x?3
??
x?4
?
?
?
x
2
?7x?12
?
??
?
12?12
?
?12
.
2222
222
小刘发现
12
恰好就是
3?4
,即
△ABC
的面积等于
AD
与
BD
的积
.这仅仅是巧合
吗?
请你帮他完成下面的探索.
已知:
△ABC
的内切圆与
AB
相切于点
D
,
AD?m
,
BD?n
.
可以一般化吗?
(1)若
?C?90
,求证:
△AB
C
的面积等于
mn
.
倒过来思考呢?
(2)若
AC?BC?2mn
,求证
?C?90
.
改变一下条件……
(3)若
?C?60
,用
m
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名:________
___班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共10小题,每题4分)
1.已知:三个数a、b、c的积为负数,
和为正数,且
则ax
3
+bx
2
+cx+1的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.﹣1
,
2.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,A
B=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是( )
A.7cm B.8cm
C.7cm或1cm D.1cm
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知x为实数,化简
A.
B.
的结果为( )
C. D.
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围是( )
A.m< B. C. D.
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα
B.1+sinα+cosα C.0
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如
:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A.
B. C. D.
8.数轴上表示1,
数是( )
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
A.﹣1
B.1﹣ C.2﹣ D.﹣2
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与轴正方向
交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
A. B. C. D.
10.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,a)
,C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四
二.填空题(共10小题,每题4分)
11.若规定两数a,b通过运算得4a
b,即a*b=4ab,若x*x+2*x﹣2*4=0,则x= .
12.设直线kx+(
k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则
S
1+S
2
+…+S
2008
= .
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1
.25]=1),则方程3x﹣2[x]+4=0的解
为 .
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为 .
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣4
2
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2
=25
2
﹣24
2
;9
2
=41<
br>2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表
示出来 .
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界
),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b
发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围为
.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长
BP至P′,
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= .
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).
三.解答题(共6小题,共70分)
21.某市政
府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.销售过程中发
现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣10x+500
.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
22.计算:
23.如图,抛物线y=x
2
+bx﹣2
与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
+()<
br>1
﹣4cos45°﹣2÷×2﹣(2009﹣
﹣
)
0
+|2
﹣|
24.如图:直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90
°,AB=7,BC﹣AD=1.以CD为直
径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F,与BC交于点
G.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:AE=BF;
(3)当AE=1时,在
线段AB上是否存在点P,以点A,P,D为顶点的三角形与以点B,P,
C为顶点的三角形相似?若存
在,在图中描出所有满足条件的点P的位置(不要求计算);
若不存在,请说理由.
(4)当AE为何值时,能满足(3)中条件的点P有且只有两个?
25.如图,
在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0
按逆时针方
向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线段OP
1
;再
将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为OP
1
的2倍,
得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…
,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(6)
参考答案与试题解析
1.已知:三个数a、b、c的积为负数,和为正数
,且
则ax
3
+bx
2
+cx+1的值为( )
A.0
B.1 C.2 D.﹣1
,
【考点】15:绝对值;33:代数式求值.
【分析
】可由已知,三个数a、b、c的积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负数,故可得=1
,=﹣1,故得
=1﹣1=0,即得ax
3
+bx
2
+cx+1=0
+0+0+1=1.
【解答】解:∵三个数a、b、c的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴ax
3
+bx
2
+cx+1=0+0+0+1=1.
故选:B.
【点评
】本题主要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认
真掌握.
2.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(
)
A.7cm B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
=1,
=﹣1,
=1﹣1=0,
【考点】KQ:勾股定理;M2:垂径定理.
【专题】32:分类讨论.
【分析】因为AB、CD位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】解:本题要分类讨论:
(1)AB,CD在圆心的同侧,如图①,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm;
=
=
=4cm,
=3cm,
(2)AB,CD在圆心的异侧,如图②,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm.
AB和CD的距离是7cm或1cm.
故选:C.
【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解;R6:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm,
=3cm,
=
【分析】根据题意可得出点P在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
【解答】解:∵点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,
∴,
由①得,a>﹣,
由②得,a<2,
∴a=1或0.
故选:B.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,以及一
元一次不等式组的整数解,是基础知
识要熟练掌握.
4.已知x为实数,化简
A. B.
的结果为( )
C. D.
【考点】73:二次根式的性质与化简;78:二次根式的加减法.
【专题】11:计算题.
【分析】根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】解:原式=﹣x
=﹣x+
.
﹣x?(﹣)
=﹣x,=﹣,代入后合并同类
=(1﹣x)
故选:C.
【点评】本题考查
了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,关键是根
据二次根式的性质得出
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围
是( )
A.m< B. C. D.
=﹣x,=﹣.
【考点】AA:根的判别式;AB:根与系数的关系;CB:解一元一次不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△=b
2
+4ac>0,同时=>0,通
过解不等式,即可推出m的取值范围.
【解答】解:∵2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,
∴△=b< br>2
﹣4ac=1
2
﹣4×2×(m+)>0,=
∴解不等式得:m∴
故选:B.
.
,m,
>0,
【点评】本题主要考查解 一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式,关键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计 算.
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα B.1+sinα+cosα C.0
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
【考点】73:二次根式的性质与化简;T3:同角三角函数的关系.
【分析】打开根号内的 式子,将sinα+cosα作为一个整体,可得原式=|sinα+cosα﹣1|,再去
绝对值即可 求解.
【解答】解:应该是sinα+cosα﹣1.
原式=
=
=
=|sinα+cosα﹣1|
=|sin(α+)﹣1|
<α+<
)<
,
.
因为α为直角三角形的一个锐角,故
所以<sin(α+)<1,1<s in(α+
所以,原式=sinα+cosα﹣1.
故选:D.
【点评】考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头
的上升数,再除以2位数的总数
即可.
【解答】解:1开头的两位自然数有10,11,12
,13,14,15,16,17,18,19其中有8
个“上升数”;
2开头的两位自然数
有20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,其中有7个“上升数”;
同理以3开头的两位自然数也有10个,其中有6个“上升数”;
一直到8开头的两位自然数也有10个,其中有1个“上升数”;
9开头的两位自然数没有“上升数”;
所以全部两位自然数有90个,“上升数”一共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个),
所以任取一个两位数,是“上升数”的概率是
故选:B.
【点评】用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比;易错点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8.数轴上表示1,
数是( )
A.﹣1 B.1﹣
C.2﹣
.
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
D.﹣2
【考点】29:实数与数轴.
【专题】16:压轴题.
【分析】首先根
据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后
由AB=AC利用两点间的距离
公式便可解答.
【解答】解:∵数轴上表示1,
∴AB=﹣1,
的对应点分别为A,B,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:1﹣(
故选:C.
【点评】本题考查的
知识点为:求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两
点间的距离,求较小的数,就用较
大的数减去两点间的距离.
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与
轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
﹣1)=2﹣.
A. B. C. D.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】首先利用根与系数的关系求得A,B两点横坐标之
间的关系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把A与B两点横坐标用c表示,由此联立方
程即可求得答案.
【解答】解:由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c.
设A,B两点的坐标分别为(x
1
,0),(x
2
,0),
则x
1
,x
2
是方程x
2
+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得:x
1
+x
2
=﹣b,x
1
x
2
=c,
又∵∠CAO=30°,则AC=2c,
∴AB=AC=2c;
c,x
2
=OB=OA+AB=3c. ∴x
1
=OA=ACcos
30°=
由x
1
x
2
=9c
2
=c,得c=.
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以
及直角三
角形的边角关系.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
10.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,
a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四 B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
【考点】F5:一次函数的性质.
【分析】先根据题意设
出一次函数的解析式,再分别把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b
﹣a)代入,求出函数的
解析式即可.
【解答】解:设此一次函数的解析式为y=kx+c,
把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a)三点代入,
得,
解得.
故此一次函数的解析式为y=﹣x,
故直线l经过第二、四象限.
故选:A. <
br>【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简
单.
11.若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*
x+2*x﹣2*4=0,则x= 2或﹣4 .
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】23:新定义.
【分析】根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】解:依题意可以列方程:
4x
2
+8x﹣32=0
x
2
+2x﹣8=0
(x+4)(x﹣2)=0
x+4=0或x﹣2=0
∴x
1
=﹣4,x
2
=2.
故答案为:2或﹣4.
【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,然后
用因式分解法求出方程的根是解题关键.
1
2.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则S1
+S
2
+…+S
2008
=
.
【考点】F5:一次函数的性质.
【专题】16:压轴题;2A:规律型.
【分析】先依次计算出S
1
、S
2
等的面积,再依据规律求解.
【解答】解:∵kx+(k+1)y﹣1=0
∴当x=0时,y=
∴S
k
=××
;当y=0时,x=
=,
[﹣+﹣+…+﹣]=(1﹣)=.
根据公式可知,S
1
+S<
br>2
+…+S
2008
=
【点评】结合题意依次计算出S
1、S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
【考点】65:分式的基本性质;98:解二元一次方程组.
【专题】11:计算题. 【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;分别设2007
n﹣
2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)然后用x、y分别表示出m、
n的值,根据m
的值最小,判断出此时x、y、n的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】解:由题意,得﹣
>0,
∵m,n为正整数,
∴2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;
设2007n﹣2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)
则有:,解得;
>0,﹣>0,即>0,
当m最小时,x=y=1;
即m=4015,n=4013;此时m、n互质,故=
故答案为.
.
【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1),则方程3x﹣2[x]
+4=0的解
为 ﹣4或﹣或﹣ .
【考点】*D:取整函数.
【分析】首先令
[x]=n,可得方程3x﹣2n+4=0,即可求得x的值,然后由[x]≤x<[x]+1,可
得关
于n的不等式组,解不等式组即可求得n的值,则代入方程即可求得x的值,注意要检
验.
【
解答】解:令[x]=n,代入原方程得3x﹣2n+4=0,即x=
又∵[x]≤x<[x]+1,
∴n≤<n+1,
,
整理得:3n≤2n﹣4<3n+3,即﹣7<n≤﹣4,
∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6,
∴当n=﹣4时,x=﹣4,
当n=﹣5时,x=﹣
当n=﹣6时,x=﹣
,
,
或x=﹣
或﹣.
是原方程的解. 经检验,x=﹣4或x=﹣
故答案为:﹣
4或﹣
【点评】此题考查了取整函数的知识.注意[x]≤x<[x]+1性质的应用是解此题的关键.
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为
【考点】6D:分式的化简求值.
.
【专题】11:计算题.
【分析
】由第一个等式表示出b,由第二个等式表示出a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的b与a
2
代入,化简后即可求出值.
【解答】解:∵b﹣a=,∴b=a+,
又2a
2
+a=,∴a
2
=﹣,
则﹣a=
故答案为:
====.
【点评】此题考查了分式的化简求值,分
式的加减运算关键是通分,通分的关键是找出最简
公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找
公因式,同时注意化简求值题要将原
式化为最简后再代值.根据已知的两等式表示出的b与a
2
是解本题的关键.
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
14 .
【考点】T7:解直角三角形.
【专题】11:计算题.
【
分析】延长AB与DC的延长线相交于点E,构造了两个30°的直角三角形,首先在直角三
角形CBE
中求得BE的长,再进一步在直角三角形ADE中,求得AD的长,再在直角三角形
BAD中由勾股定理
求得BD.
【解答】解:如图,延长AB与DC的延长线相交于点E.
在Rt△ADE中,∵∠ADE=60°,
∴∠E=30°.
在Rt△BCE中,sinE=
∴BE==4,
,
∴AE=AB+BE=11+4=15.
在Rt△DAE中,tanE=
∴AD=AE?tanE=15×
在Rt△BAD中,
BD===14,
,
=5,
故答案为:14.
【点评】此题
考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造30°的直角三角形,熟练
运用锐角三角函数求解.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣42
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2<
br>=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来 (2n+
1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2+2n)
2
(n≥
1) .
【考点】37:规律型:数字的变化类.
【分析】仔细观察每一个等式,用含有n的式子表示出等号左边的底数,然后表示出等号右
边的底数即可.
【解答】解:∵3
2
=5
2
﹣4
2
;
5
2
=13
2
﹣12
2
;
7
2
=25
2
﹣24
2
;
9
2
=41
2
﹣40
2
;
…
∴(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n2
+2n)
2
(n≥1).
故答案为:(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2
+2n)
2
(n≥1).
【点评】本题考查了数字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规
律,还要注意
看左右两边之间的联系.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正
方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1
,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使
黑色区域变白的b的取值范围为 3≤b≤6 .
【考点】FI:一次函数综合题. 【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大,哪一点b最小,然后代入求出b
的取
值范围.
【解答】解:由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A(1,1)时b的值最小,即﹣2×1
+b=1,
b=3;
当直线y=﹣2x+b过C(2,2)时,b最大即2=﹣2×2+b,
b=6,故能够使黑色区域变白的b
的取值范围为3≤b≤6.
【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用,解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长BP至P′,<
/p>
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= 2 .
【考点】KW:等腰直角三角形;R2:旋转的性质.
【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.
【解答】解:∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合,
∴AP=AP′=
∴PP′=2.
【点评】本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对
应点到旋转中心的距离相等以及每一对对
应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖
10 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 3n+1 块(用含n的代数式表示).
,∠PAP′=90°,
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】分析几何模型,进行合理的运算,图形的变换作出正确解答.
【解答】解:本题考查
的是规律探究问题.从图形观察每增加一个图形,黑色正方形瓷砖就
增加3块,
第一个黑色瓷砖有3块,
则第3个图形黑色瓷砖有10块,
第N个图形瓷砖有4+3(n﹣1)=3n+1(块).
故答案为:10;3n+1.
【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型.
21.某市政府
大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.
销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣1
0x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】12:应用题.
【分析】(1)由题意
得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,利润=(定
价﹣进价)×销售量,从而列出
关系式;(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出
销售单价;(3)根据抛物线的性质和
图象,求出每月的成本.
【解答】解:(1)由题意,得:w=(x﹣20)?y,
=(x﹣20)?(﹣10x+500)=﹣10x
2
+700x﹣10000,
,
答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:﹣10x
2
+700x﹣10000=2000,
解这个方程得:x
1
=30,x
2
=40,
答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a=﹣10<0,
∴抛物线开口向下,
∴当30≤x≤40时,w≥2000,
∵x≤32,
∴当30≤x≤32时,w≥2000,
设成本为P(元),由题意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000,
∵a=﹣200<0,
∴P随x的增大而减小,
∴当x=32时,P
最小
=3600,
答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
【点评】此题考
查二次函数的性质及其应用,还考查抛物线的基本性质,另外将实际问题转
化为求函数最值问题,从而来
解决实际问题.
22.计算:+()
1
﹣4cos45°﹣2÷×2﹣
(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
【考点】2C:实数的运算;6E
:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】分别根据0指数幂
及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数
值、绝对值的性质分别计算出各数,再根
据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】解:原式=2
=2+2﹣2
.
+2﹣4×
﹣2×2×2﹣1+2﹣
﹣8﹣1+2﹣
=﹣5﹣<
br>【点评】本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法
则及特
殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键.
23.如图,抛物线y
=ax
2
﹣x﹣与x轴正半轴交于点A(3,0),以OA为边在x轴上方作正
方形O
ABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.
(1)求a的值;
(2)求点F的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【专题】153:代数几何综合题.
【分析】(1)由于抛物线过A(3,0)点,可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值;
(2)F的横坐标与A的横坐标相同,纵坐标等于AB+BD,因此求出BD的长是解题的关键,
可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标(D的纵坐标是OA的长),然后根据BD=CD﹣OA
即可得出BF的值,也就求出了AF的长,即可得出F的坐标.
【解答】解:(1)把A(3,0)代入y=ax
2
﹣x﹣中,得a=;
(2)∵A(3,0)
∴OA=3
∵四边形OABC是正方形
∴OC=OA=3
当y=3时,
即x
2
﹣2x﹣9=0
解得x
1
=1+
∴CD=1+
,x
2
=1﹣<0(舍去)
,
在正方形OABC中,AB=CB
同理BD=BF
∴AF=CD=1+
). ∴点F的坐标为(3,1+
【
点评】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点,(2)题中根
据抛物线的解
析式求得D点的坐标是解题的关键.
24.在△ABC中,∠A=90°,AB=4,A
C=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过点M作
MN∥BC交AC于点N,以MN为直径作⊙
O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函
数关系式,并求y的最大值.
【考点】MR:圆的综合题.
【分
析】(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得
出三角形PM
N的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比
的平方等于面积比来得
出三角形AMN的面积;
(2)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可
先得出这两种情
况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形AB
C的中
位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x≤2时,此时重合部分
的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)
中已经求出,即可的x,y的函数关系式.
②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,
那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角
形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合
部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMN
F又是个平行四边形,可得出FN=BM,也
就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照
(1)的方法可求出三角形PEF的
面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关
系式.然后根据两种情况
得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可.
【解答】解:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴=,即=;
∴AN=x;
∴S=S
△
MNP
=S
△
AMN
=?x?x=x
2
.(0<
x<4)
(2)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴==,
∵AM=MB=2,
故以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,y=S
△
PMN
=x
2
,
∴当x=2时,y最大=×4=,
②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x,
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形;
∴FN=BM=4﹣x,
∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴()2=,
∴S
△
PEF
=(x﹣2)
2
;
y=S
△
MNP
﹣S
△
PEF
=x
2
﹣(x﹣2)
2
=﹣x
2
+6x﹣6,
当2<x<4时,y=﹣x
2
+6x﹣6=﹣(x﹣)
2
+2,
∴当x=时,满足2<x<4,y最大=2.
综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2.
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用,要注意(2)中要根<
br>据P点的位置的不同分情况进行讨论,不要漏解.
25.如图,在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0按逆时针方向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线
段OP
1
;再将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为O
P
1
的2倍,得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
【考点】D5:坐标与图形性质;K3:三角形的面积;R2:旋转的性质;S9:相似三角形的
判定
与性质.
【分析】(1)OP
6
旋转了6×45°=270°,得到点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点到原点距离
的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
);
(2)根据两组对应边
的比相等,且它们的夹角也相等,则这两个三角形相似得到△P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.然后求出S
△
P0OP1
=×1×=,再求出,利用相似三
角形面
积的比等于它们的相似比即可得到△P
5
OP
6
的面积;
(3)分
类讨论:令旋转次数为n,①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点P
n
落在x
轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,0);②当n=8k+1
或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时
(其中k为自然数),点P
n
落在各
象限的平分线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,
×2
n
);③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上
,此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【解答】解: (1)根据旋转规律,点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点
到原点距离的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
),即P
6
(0,﹣64);
(2)由已知可得,△
P
0
OP
1
∽△P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.
设P
1
(x
1
,y
1
),则y
1
=2sin45°=
∴=×1×=,
,
又∵,
∴,
∴
;
(3)由题意知,O
P
0
旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点P
n
分别落在坐标象限<
br>的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点P
n
的
坐
标可分三类情况:令旋转次数为n,
①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),
点P
n
落在x轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,<
br>0);
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数)
,点P
n
落在各象限的平分
线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,×2
n
),即(2
n
﹣
1
,2
n
﹣
1
);
③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上,
此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【点评】本题
考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的
夹角等于旋转角,对应点到
旋转中心的距离相等.也考查了三角形相似的判定与性质以及各
象限和坐标轴上的点的坐标特点.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓
名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共10小题,每题4分)
1.已知:三
个数a、b、c的积为负数,和为正数,且
则ax
3
+bx
2
+cx
+1的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.﹣1
,
2.⊙O的半径为5c
m,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是( )
A.7cm
B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知x为实数,化简
A.
B.
的结果为( )
C. D.
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围是( )
A.m< B. C. D.
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα
B.1+sinα+cosα C.0
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如
:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A.
B. C. D.
8.数轴上表示1,
数是( )
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
A.﹣1
B.1﹣ C.2﹣ D.﹣2
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与轴正方向
交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
A. B. C. D.
10.如果一条直线l经过不同的三点A
(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四
二.填空题(共10小题,每题4分)
11.
若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*x+2*x﹣2*4=0,则x= .
12.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则
S
1
+S
2
+…+S
2008
= .
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1
.25]=1),则方程3x﹣2[x]+4=0的解
为 .
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为 .
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣4<
br>2
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2
=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来
.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号
遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围为
.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长
BP至P′,
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= .
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).
三.解答题(共6小题,共70分)
21.某市政府大力扶持大学
生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
22.计算:
+()
1
﹣4cos45
°﹣2÷×2﹣(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
23.如图,抛物
线y=x
2
+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
24.如图:直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,AB=7,B
C﹣AD=1.以CD为直
径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F,与BC交于点G.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:AE=BF;
(3)当AE=1时,在线段A
B上是否存在点P,以点A,P,D为顶点的三角形与以点B,P,
C为顶点的三角形相似?若存在,在
图中描出所有满足条件的点P的位置(不要求计算);
若不存在,请说理由.
(4)当AE为何值时,能满足(3)中条件的点P有且只有两个?
25.如图,
在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0
按逆时针方
向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线段OP
1
;再
将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为OP
1
的2倍,
得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…
,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(6)
参考答案与试题解析
1.已知:三个数a、b、c的积为负数,和为正数
,且
则ax
3
+bx
2
+cx+1的值为( )
A.0
B.1 C.2 D.﹣1
,
【考点】15:绝对值;33:代数式求值.
【分析
】可由已知,三个数a、b、c的积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负数,故可得=1
,=﹣1,故得
=1﹣1=0,即得ax
3
+bx
2
+cx+1=0
+0+0+1=1.
【解答】解:∵三个数a、b、c的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴ax
3
+bx
2
+cx+1=0+0+0+1=1.
故选:B.
【点评
】本题主要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认
真掌握.
2.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(
)
A.7cm B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
=1,
=﹣1,
=1﹣1=0,
【考点】KQ:勾股定理;M2:垂径定理.
【专题】32:分类讨论.
【分析】因为AB、CD位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】解:本题要分类讨论:
(1)AB,CD在圆心的同侧,如图①,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm;
=
=
=4cm,
=3cm,
(2)AB,CD在圆心的异侧,如图②,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm.
AB和CD的距离是7cm或1cm.
故选:C.
【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解;R6:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm,
=3cm,
=
【分析】根据题意可得出点P在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
【解答】解:∵点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,
∴,
由①得,a>﹣,
由②得,a<2,
∴a=1或0.
故选:B.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,以及一
元一次不等式组的整数解,是基础知
识要熟练掌握.
4.已知x为实数,化简
A. B.
的结果为( )
C. D.
【考点】73:二次根式的性质与化简;78:二次根式的加减法.
【专题】11:计算题.
【分析】根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】解:原式=﹣x
=﹣x+
.
﹣x?(﹣)
=﹣x,=﹣,代入后合并同类
=(1﹣x)
故选:C.
【点评】本题考查
了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,关键是根
据二次根式的性质得出
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围
是( )
A.m< B. C. D.
=﹣x,=﹣.
【考点】AA:根的判别式;AB:根与系数的关系;CB:解一元一次不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△=b
2
+4ac>0,同时=>0,通
过解不等式,即可推出m的取值范围.
【解答】解:∵2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,
∴△=b< br>2
﹣4ac=1
2
﹣4×2×(m+)>0,=
∴解不等式得:m∴
故选:B.
.
,m,
>0,
【点评】本题主要考查解 一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式,关键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计 算.
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα B.1+sinα+cosα C.0
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
【考点】73:二次根式的性质与化简;T3:同角三角函数的关系.
【分析】打开根号内的 式子,将sinα+cosα作为一个整体,可得原式=|sinα+cosα﹣1|,再去
绝对值即可 求解.
【解答】解:应该是sinα+cosα﹣1.
原式=
=
=
=|sinα+cosα﹣1|
=|sin(α+)﹣1|
<α+<
)<
,
.
因为α为直角三角形的一个锐角,故
所以<sin(α+)<1,1<s in(α+
所以,原式=sinα+cosα﹣1.
故选:D.
【点评】考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头
的上升数,再除以2位数的总数
即可.
【解答】解:1开头的两位自然数有10,11,12
,13,14,15,16,17,18,19其中有8
个“上升数”;
2开头的两位自然数
有20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,其中有7个“上升数”;
同理以3开头的两位自然数也有10个,其中有6个“上升数”;
一直到8开头的两位自然数也有10个,其中有1个“上升数”;
9开头的两位自然数没有“上升数”;
所以全部两位自然数有90个,“上升数”一共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个),
所以任取一个两位数,是“上升数”的概率是
故选:B.
【点评】用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比;易错点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8.数轴上表示1,
数是( )
A.﹣1 B.1﹣
C.2﹣
.
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
D.﹣2
【考点】29:实数与数轴.
【专题】16:压轴题.
【分析】首先根
据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后
由AB=AC利用两点间的距离
公式便可解答.
【解答】解:∵数轴上表示1,
∴AB=﹣1,
的对应点分别为A,B,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:1﹣(
故选:C.
【点评】本题考查的
知识点为:求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两
点间的距离,求较小的数,就用较
大的数减去两点间的距离.
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与
轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
﹣1)=2﹣.
A. B. C. D.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】首先利用根与系数的关系求得A,B两点横坐标之
间的关系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把A与B两点横坐标用c表示,由此联立方
程即可求得答案.
【解答】解:由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c.
设A,B两点的坐标分别为(x
1
,0),(x
2
,0),
则x
1
,x
2
是方程x
2
+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得:x
1
+x
2
=﹣b,x
1
x
2
=c,
又∵∠CAO=30°,则AC=2c,
∴AB=AC=2c;
c,x
2
=OB=OA+AB=3c. ∴x
1
=OA=ACcos
30°=
由x
1
x
2
=9c
2
=c,得c=.
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以
及直角三
角形的边角关系.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
10.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,
a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四 B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
【考点】F5:一次函数的性质.
【分析】先根据题意设
出一次函数的解析式,再分别把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b
﹣a)代入,求出函数的
解析式即可.
【解答】解:设此一次函数的解析式为y=kx+c,
把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a)三点代入,
得,
解得.
故此一次函数的解析式为y=﹣x,
故直线l经过第二、四象限.
故选:A. <
br>【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简
单.
11.若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*
x+2*x﹣2*4=0,则x= 2或﹣4 .
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】23:新定义.
【分析】根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】解:依题意可以列方程:
4x
2
+8x﹣32=0
x
2
+2x﹣8=0
(x+4)(x﹣2)=0
x+4=0或x﹣2=0
∴x
1
=﹣4,x
2
=2.
故答案为:2或﹣4.
【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,然后
用因式分解法求出方程的根是解题关键.
1
2.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则S1
+S
2
+…+S
2008
=
.
【考点】F5:一次函数的性质.
【专题】16:压轴题;2A:规律型.
【分析】先依次计算出S
1
、S
2
等的面积,再依据规律求解.
【解答】解:∵kx+(k+1)y﹣1=0
∴当x=0时,y=
∴S
k
=××
;当y=0时,x=
=,
[﹣+﹣+…+﹣]=(1﹣)=.
根据公式可知,S
1
+S<
br>2
+…+S
2008
=
【点评】结合题意依次计算出S
1、S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
【考点】65:分式的基本性质;98:解二元一次方程组.
【专题】11:计算题. 【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;分别设2007
n﹣
2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)然后用x、y分别表示出m、
n的值,根据m
的值最小,判断出此时x、y、n的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】解:由题意,得﹣
>0,
∵m,n为正整数,
∴2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;
设2007n﹣2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)
则有:,解得;
>0,﹣>0,即>0,
当m最小时,x=y=1;
即m=4015,n=4013;此时m、n互质,故=
故答案为.
.
【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1),则方程3x﹣2[x]
+4=0的解
为 ﹣4或﹣或﹣ .
【考点】*D:取整函数.
【分析】首先令
[x]=n,可得方程3x﹣2n+4=0,即可求得x的值,然后由[x]≤x<[x]+1,可
得关
于n的不等式组,解不等式组即可求得n的值,则代入方程即可求得x的值,注意要检
验.
【
解答】解:令[x]=n,代入原方程得3x﹣2n+4=0,即x=
又∵[x]≤x<[x]+1,
∴n≤<n+1,
,
整理得:3n≤2n﹣4<3n+3,即﹣7<n≤﹣4,
∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6,
∴当n=﹣4时,x=﹣4,
当n=﹣5时,x=﹣
当n=﹣6时,x=﹣
,
,
或x=﹣
或﹣.
是原方程的解. 经检验,x=﹣4或x=﹣
故答案为:﹣
4或﹣
【点评】此题考查了取整函数的知识.注意[x]≤x<[x]+1性质的应用是解此题的关键.
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为
【考点】6D:分式的化简求值.
.
【专题】11:计算题.
【分析
】由第一个等式表示出b,由第二个等式表示出a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的b与a
2
代入,化简后即可求出值.
【解答】解:∵b﹣a=,∴b=a+,
又2a
2
+a=,∴a
2
=﹣,
则﹣a=
故答案为:
====.
【点评】此题考查了分式的化简求值,分
式的加减运算关键是通分,通分的关键是找出最简
公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找
公因式,同时注意化简求值题要将原
式化为最简后再代值.根据已知的两等式表示出的b与a
2
是解本题的关键.
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
14 .
【考点】T7:解直角三角形.
【专题】11:计算题.
【
分析】延长AB与DC的延长线相交于点E,构造了两个30°的直角三角形,首先在直角三
角形CBE
中求得BE的长,再进一步在直角三角形ADE中,求得AD的长,再在直角三角形
BAD中由勾股定理
求得BD.
【解答】解:如图,延长AB与DC的延长线相交于点E.
在Rt△ADE中,∵∠ADE=60°,
∴∠E=30°.
在Rt△BCE中,sinE=
∴BE==4,
,
∴AE=AB+BE=11+4=15.
在Rt△DAE中,tanE=
∴AD=AE?tanE=15×
在Rt△BAD中,
BD===14,
,
=5,
故答案为:14.
【点评】此题
考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造30°的直角三角形,熟练
运用锐角三角函数求解.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣42
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2<
br>=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来 (2n+
1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2+2n)
2
(n≥
1) .
【考点】37:规律型:数字的变化类.
【分析】仔细观察每一个等式,用含有n的式子表示出等号左边的底数,然后表示出等号右
边的底数即可.
【解答】解:∵3
2
=5
2
﹣4
2
;
5
2
=13
2
﹣12
2
;
7
2
=25
2
﹣24
2
;
9
2
=41
2
﹣40
2
;
…
∴(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n2
+2n)
2
(n≥1).
故答案为:(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2
+2n)
2
(n≥1).
【点评】本题考查了数字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规
律,还要注意
看左右两边之间的联系.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正
方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1
,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使
黑色区域变白的b的取值范围为 3≤b≤6 .
【考点】FI:一次函数综合题. 【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大,哪一点b最小,然后代入求出b
的取
值范围.
【解答】解:由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A(1,1)时b的值最小,即﹣2×1
+b=1,
b=3;
当直线y=﹣2x+b过C(2,2)时,b最大即2=﹣2×2+b,
b=6,故能够使黑色区域变白的b
的取值范围为3≤b≤6.
【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用,解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长BP至P′,<
/p>
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= 2 .
【考点】KW:等腰直角三角形;R2:旋转的性质.
【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.
【解答】解:∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合,
∴AP=AP′=
∴PP′=2.
【点评】本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对
应点到旋转中心的距离相等以及每一对对
应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖
10 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 3n+1 块(用含n的代数式表示).
,∠PAP′=90°,
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】分析几何模型,进行合理的运算,图形的变换作出正确解答.
【解答】解:本题考查
的是规律探究问题.从图形观察每增加一个图形,黑色正方形瓷砖就
增加3块,
第一个黑色瓷砖有3块,
则第3个图形黑色瓷砖有10块,
第N个图形瓷砖有4+3(n﹣1)=3n+1(块).
故答案为:10;3n+1.
【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型.
21.某市政府
大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.
销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣1
0x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】12:应用题.
【分析】(1)由题意
得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,利润=(定
价﹣进价)×销售量,从而列出
关系式;(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出
销售单价;(3)根据抛物线的性质和
图象,求出每月的成本.
【解答】解:(1)由题意,得:w=(x﹣20)?y,
=(x﹣20)?(﹣10x+500)=﹣10x
2
+700x﹣10000,
,
答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:﹣10x
2
+700x﹣10000=2000,
解这个方程得:x
1
=30,x
2
=40,
答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a=﹣10<0,
∴抛物线开口向下,
∴当30≤x≤40时,w≥2000,
∵x≤32,
∴当30≤x≤32时,w≥2000,
设成本为P(元),由题意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000,
∵a=﹣200<0,
∴P随x的增大而减小,
∴当x=32时,P
最小
=3600,
答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
【点评】此题考
查二次函数的性质及其应用,还考查抛物线的基本性质,另外将实际问题转
化为求函数最值问题,从而来
解决实际问题.
22.计算:+()
1
﹣4cos45°﹣2÷×2﹣
(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
【考点】2C:实数的运算;6E
:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】分别根据0指数幂
及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数
值、绝对值的性质分别计算出各数,再根
据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】解:原式=2
=2+2﹣2
.
+2﹣4×
﹣2×2×2﹣1+2﹣
﹣8﹣1+2﹣
=﹣5﹣<
br>【点评】本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法
则及特
殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键.
23.如图,抛物线y
=ax
2
﹣x﹣与x轴正半轴交于点A(3,0),以OA为边在x轴上方作正
方形O
ABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.
(1)求a的值;
(2)求点F的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【专题】153:代数几何综合题.
【分析】(1)由于抛物线过A(3,0)点,可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值;
(2)F的横坐标与A的横坐标相同,纵坐标等于AB+BD,因此求出BD的长是解题的关键,
可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标(D的纵坐标是OA的长),然后根据BD=CD﹣OA
即可得出BF的值,也就求出了AF的长,即可得出F的坐标.
【解答】解:(1)把A(3,0)代入y=ax
2
﹣x﹣中,得a=;
(2)∵A(3,0)
∴OA=3
∵四边形OABC是正方形
∴OC=OA=3
当y=3时,
即x
2
﹣2x﹣9=0
解得x
1
=1+
∴CD=1+
,x
2
=1﹣<0(舍去)
,
在正方形OABC中,AB=CB
同理BD=BF
∴AF=CD=1+
). ∴点F的坐标为(3,1+
【
点评】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点,(2)题中根
据抛物线的解
析式求得D点的坐标是解题的关键.
24.在△ABC中,∠A=90°,AB=4,A
C=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过点M作
MN∥BC交AC于点N,以MN为直径作⊙
O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函
数关系式,并求y的最大值.
【考点】MR:圆的综合题.
【分
析】(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得
出三角形PM
N的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比
的平方等于面积比来得
出三角形AMN的面积;
(2)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可
先得出这两种情
况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形AB
C的中
位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x≤2时,此时重合部分
的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)
中已经求出,即可的x,y的函数关系式.
②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,
那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角
形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合
部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMN
F又是个平行四边形,可得出FN=BM,也
就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照
(1)的方法可求出三角形PEF的
面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关
系式.然后根据两种情况
得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可.
【解答】解:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴=,即=;
∴AN=x;
∴S=S
△
MNP
=S
△
AMN
=?x?x=x
2
.(0<
x<4)
(2)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴==,
∵AM=MB=2,
故以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,y=S
△
PMN
=x
2
,
∴当x=2时,y最大=×4=,
②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x,
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形;
∴FN=BM=4﹣x,
∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴()2=,
∴S
△
PEF
=(x﹣2)
2
;
y=S
△
MNP
﹣S
△
PEF
=x
2
﹣(x﹣2)
2
=﹣x
2
+6x﹣6,
当2<x<4时,y=﹣x
2
+6x﹣6=﹣(x﹣)
2
+2,
∴当x=时,满足2<x<4,y最大=2.
综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2.
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用,要注意(2)中要根<
br>据P点的位置的不同分情况进行讨论,不要漏解.
25.如图,在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0按逆时针方向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线
段OP
1
;再将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为O
P
1
的2倍,得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
【考点】D5:坐标与图形性质;K3:三角形的面积;R2:旋转的性质;S9:相似三角形的
判定
与性质.
【分析】(1)OP
6
旋转了6×45°=270°,得到点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点到原点距离
的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
);
(2)根据两组对应边
的比相等,且它们的夹角也相等,则这两个三角形相似得到△P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.然后求出S
△
P0OP1
=×1×=,再求出,利用相似三
角形面
积的比等于它们的相似比即可得到△P
5
OP
6
的面积;
(3)分
类讨论:令旋转次数为n,①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点P
n
落在x
轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,0);②当n=8k+1
或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时
(其中k为自然数),点P
n
落在各
象限的平分线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,
×2
n
);③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上
,此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【解答】解: (1)根据旋转规律,点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点
到原点距离的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
),即P
6
(0,﹣64);
(2)由已知可得,△
P
0
OP
1
∽△P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.
设P
1
(x
1
,y
1
),则y
1
=2sin45°=
∴=×1×=,
,
又∵,
∴,
∴
;
(3)由题意知,O
P
0
旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点P
n
分别落在坐标象限<
br>的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点P
n
的
坐
标可分三类情况:令旋转次数为n,
①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),
点P
n
落在x轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,<
br>0);
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数)
,点P
n
落在各象限的平分
线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,×2
n
),即(2
n
﹣
1
,2
n
﹣
1
);
③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上,
此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【点评】本题
考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的
夹角等于旋转角,对应点到
旋转中心的距离相等.也考查了三角形相似的判定与性质以及各
象限和坐标轴上的点的坐标特点.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓
名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共10小题,每题4分)
1.已知:三
个数a、b、c的积为负数,和为正数,且
则ax
3
+bx
2
+cx
+1的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.﹣1
,
2.⊙O的半径为5c
m,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是( )
A.7cm
B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知x为实数,化简
A.
B.
的结果为( )
C. D.
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围是( )
A.m< B. C. D.
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα
B.1+sinα+cosα C.0
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如
:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A.
B. C. D.
8.数轴上表示1,
数是( )
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
A.﹣1
B.1﹣ C.2﹣ D.﹣2
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与轴正方向
交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
A. B. C. D.
10.如果一条直线l经过不同的三点A
(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四
二.填空题(共10小题,每题4分)
11.
若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*x+2*x﹣2*4=0,则x= .
12.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则
S
1
+S
2
+…+S
2008
= .
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1
.25]=1),则方程3x﹣2[x]+4=0的解
为 .
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为 .
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣4<
br>2
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2
=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来
.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号
遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围为
.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长
BP至P′,
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= .
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).
三.解答题(共6小题,共70分)
21.某市政府大力扶持大学
生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
22.计算:
+()
1
﹣4cos45
°﹣2÷×2﹣(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
23.如图,抛物
线y=x
2
+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
24.如图:直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,AB=7,B
C﹣AD=1.以CD为直
径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F,与BC交于点G.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:AE=BF;
(3)当AE=1时,在线段A
B上是否存在点P,以点A,P,D为顶点的三角形与以点B,P,
C为顶点的三角形相似?若存在,在
图中描出所有满足条件的点P的位置(不要求计算);
若不存在,请说理由.
(4)当AE为何值时,能满足(3)中条件的点P有且只有两个?
25.如图,
在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0
按逆时针方
向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线段OP
1
;再
将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为OP
1
的2倍,
得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…
,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(6)
参考答案与试题解析
1.已知:三个数a、b、c的积为负数,和为正数
,且
则ax
3
+bx
2
+cx+1的值为( )
A.0
B.1 C.2 D.﹣1
,
【考点】15:绝对值;33:代数式求值.
【分析
】可由已知,三个数a、b、c的积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负数,故可得=1
,=﹣1,故得
=1﹣1=0,即得ax
3
+bx
2
+cx+1=0
+0+0+1=1.
【解答】解:∵三个数a、b、c的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴ax
3
+bx
2
+cx+1=0+0+0+1=1.
故选:B.
【点评
】本题主要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认
真掌握.
2.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(
)
A.7cm B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
=1,
=﹣1,
=1﹣1=0,
【考点】KQ:勾股定理;M2:垂径定理.
【专题】32:分类讨论.
【分析】因为AB、CD位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】解:本题要分类讨论:
(1)AB,CD在圆心的同侧,如图①,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm;
=
=
=4cm,
=3cm,
(2)AB,CD在圆心的异侧,如图②,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm.
AB和CD的距离是7cm或1cm.
故选:C.
【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解;R6:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm,
=3cm,
=
【分析】根据题意可得出点P在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
【解答】解:∵点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,
∴,
由①得,a>﹣,
由②得,a<2,
∴a=1或0.
故选:B.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,以及一
元一次不等式组的整数解,是基础知
识要熟练掌握.
4.已知x为实数,化简
A. B.
的结果为( )
C. D.
【考点】73:二次根式的性质与化简;78:二次根式的加减法.
【专题】11:计算题.
【分析】根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】解:原式=﹣x
=﹣x+
.
﹣x?(﹣)
=﹣x,=﹣,代入后合并同类
=(1﹣x)
故选:C.
【点评】本题考查
了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,关键是根
据二次根式的性质得出
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围
是( )
A.m< B. C. D.
=﹣x,=﹣.
【考点】AA:根的判别式;AB:根与系数的关系;CB:解一元一次不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△=b
2
+4ac>0,同时=>0,通
过解不等式,即可推出m的取值范围.
【解答】解:∵2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,
∴△=b< br>2
﹣4ac=1
2
﹣4×2×(m+)>0,=
∴解不等式得:m∴
故选:B.
.
,m,
>0,
【点评】本题主要考查解 一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式,关键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计 算.
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα B.1+sinα+cosα C.0
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
【考点】73:二次根式的性质与化简;T3:同角三角函数的关系.
【分析】打开根号内的 式子,将sinα+cosα作为一个整体,可得原式=|sinα+cosα﹣1|,再去
绝对值即可 求解.
【解答】解:应该是sinα+cosα﹣1.
原式=
=
=
=|sinα+cosα﹣1|
=|sin(α+)﹣1|
<α+<
)<
,
.
因为α为直角三角形的一个锐角,故
所以<sin(α+)<1,1<s in(α+
所以,原式=sinα+cosα﹣1.
故选:D.
【点评】考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头
的上升数,再除以2位数的总数
即可.
【解答】解:1开头的两位自然数有10,11,12
,13,14,15,16,17,18,19其中有8
个“上升数”;
2开头的两位自然数
有20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,其中有7个“上升数”;
同理以3开头的两位自然数也有10个,其中有6个“上升数”;
一直到8开头的两位自然数也有10个,其中有1个“上升数”;
9开头的两位自然数没有“上升数”;
所以全部两位自然数有90个,“上升数”一共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个),
所以任取一个两位数,是“上升数”的概率是
故选:B.
【点评】用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比;易错点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8.数轴上表示1,
数是( )
A.﹣1 B.1﹣
C.2﹣
.
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
D.﹣2
【考点】29:实数与数轴.
【专题】16:压轴题.
【分析】首先根
据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后
由AB=AC利用两点间的距离
公式便可解答.
【解答】解:∵数轴上表示1,
∴AB=﹣1,
的对应点分别为A,B,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:1﹣(
故选:C.
【点评】本题考查的
知识点为:求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两
点间的距离,求较小的数,就用较
大的数减去两点间的距离.
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与
轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
﹣1)=2﹣.
A. B. C. D.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】首先利用根与系数的关系求得A,B两点横坐标之
间的关系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把A与B两点横坐标用c表示,由此联立方
程即可求得答案.
【解答】解:由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c.
设A,B两点的坐标分别为(x
1
,0),(x
2
,0),
则x
1
,x
2
是方程x
2
+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得:x
1
+x
2
=﹣b,x
1
x
2
=c,
又∵∠CAO=30°,则AC=2c,
∴AB=AC=2c;
c,x
2
=OB=OA+AB=3c. ∴x
1
=OA=ACcos
30°=
由x
1
x
2
=9c
2
=c,得c=.
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以
及直角三
角形的边角关系.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
10.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,
a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四 B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
【考点】F5:一次函数的性质.
【分析】先根据题意设
出一次函数的解析式,再分别把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b
﹣a)代入,求出函数的
解析式即可.
【解答】解:设此一次函数的解析式为y=kx+c,
把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a)三点代入,
得,
解得.
故此一次函数的解析式为y=﹣x,
故直线l经过第二、四象限.
故选:A. <
br>【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简
单.
11.若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*
x+2*x﹣2*4=0,则x= 2或﹣4 .
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】23:新定义.
【分析】根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】解:依题意可以列方程:
4x
2
+8x﹣32=0
x
2
+2x﹣8=0
(x+4)(x﹣2)=0
x+4=0或x﹣2=0
∴x
1
=﹣4,x
2
=2.
故答案为:2或﹣4.
【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,然后
用因式分解法求出方程的根是解题关键.
1
2.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则S1
+S
2
+…+S
2008
=
.
【考点】F5:一次函数的性质.
【专题】16:压轴题;2A:规律型.
【分析】先依次计算出S
1
、S
2
等的面积,再依据规律求解.
【解答】解:∵kx+(k+1)y﹣1=0
∴当x=0时,y=
∴S
k
=××
;当y=0时,x=
=,
[﹣+﹣+…+﹣]=(1﹣)=.
根据公式可知,S
1
+S<
br>2
+…+S
2008
=
【点评】结合题意依次计算出S
1、S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
【考点】65:分式的基本性质;98:解二元一次方程组.
【专题】11:计算题. 【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;分别设2007
n﹣
2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)然后用x、y分别表示出m、
n的值,根据m
的值最小,判断出此时x、y、n的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】解:由题意,得﹣
>0,
∵m,n为正整数,
∴2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;
设2007n﹣2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)
则有:,解得;
>0,﹣>0,即>0,
当m最小时,x=y=1;
即m=4015,n=4013;此时m、n互质,故=
故答案为.
.
【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1),则方程3x﹣2[x]
+4=0的解
为 ﹣4或﹣或﹣ .
【考点】*D:取整函数.
【分析】首先令
[x]=n,可得方程3x﹣2n+4=0,即可求得x的值,然后由[x]≤x<[x]+1,可
得关
于n的不等式组,解不等式组即可求得n的值,则代入方程即可求得x的值,注意要检
验.
【
解答】解:令[x]=n,代入原方程得3x﹣2n+4=0,即x=
又∵[x]≤x<[x]+1,
∴n≤<n+1,
,
整理得:3n≤2n﹣4<3n+3,即﹣7<n≤﹣4,
∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6,
∴当n=﹣4时,x=﹣4,
当n=﹣5时,x=﹣
当n=﹣6时,x=﹣
,
,
或x=﹣
或﹣.
是原方程的解. 经检验,x=﹣4或x=﹣
故答案为:﹣
4或﹣
【点评】此题考查了取整函数的知识.注意[x]≤x<[x]+1性质的应用是解此题的关键.
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为
【考点】6D:分式的化简求值.
.
【专题】11:计算题.
【分析
】由第一个等式表示出b,由第二个等式表示出a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的b与a
2
代入,化简后即可求出值.
【解答】解:∵b﹣a=,∴b=a+,
又2a
2
+a=,∴a
2
=﹣,
则﹣a=
故答案为:
====.
【点评】此题考查了分式的化简求值,分
式的加减运算关键是通分,通分的关键是找出最简
公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找
公因式,同时注意化简求值题要将原
式化为最简后再代值.根据已知的两等式表示出的b与a
2
是解本题的关键.
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
14 .
【考点】T7:解直角三角形.
【专题】11:计算题.
【
分析】延长AB与DC的延长线相交于点E,构造了两个30°的直角三角形,首先在直角三
角形CBE
中求得BE的长,再进一步在直角三角形ADE中,求得AD的长,再在直角三角形
BAD中由勾股定理
求得BD.
【解答】解:如图,延长AB与DC的延长线相交于点E.
在Rt△ADE中,∵∠ADE=60°,
∴∠E=30°.
在Rt△BCE中,sinE=
∴BE==4,
,
∴AE=AB+BE=11+4=15.
在Rt△DAE中,tanE=
∴AD=AE?tanE=15×
在Rt△BAD中,
BD===14,
,
=5,
故答案为:14.
【点评】此题
考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造30°的直角三角形,熟练
运用锐角三角函数求解.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣42
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2<
br>=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来 (2n+
1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2+2n)
2
(n≥
1) .
【考点】37:规律型:数字的变化类.
【分析】仔细观察每一个等式,用含有n的式子表示出等号左边的底数,然后表示出等号右
边的底数即可.
【解答】解:∵3
2
=5
2
﹣4
2
;
5
2
=13
2
﹣12
2
;
7
2
=25
2
﹣24
2
;
9
2
=41
2
﹣40
2
;
…
∴(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n2
+2n)
2
(n≥1).
故答案为:(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2
+2n)
2
(n≥1).
【点评】本题考查了数字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规
律,还要注意
看左右两边之间的联系.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正
方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1
,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使
黑色区域变白的b的取值范围为 3≤b≤6 .
【考点】FI:一次函数综合题. 【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大,哪一点b最小,然后代入求出b
的取
值范围.
【解答】解:由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A(1,1)时b的值最小,即﹣2×1
+b=1,
b=3;
当直线y=﹣2x+b过C(2,2)时,b最大即2=﹣2×2+b,
b=6,故能够使黑色区域变白的b
的取值范围为3≤b≤6.
【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用,解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长BP至P′,<
/p>
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= 2 .
【考点】KW:等腰直角三角形;R2:旋转的性质.
【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.
【解答】解:∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合,
∴AP=AP′=
∴PP′=2.
【点评】本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对
应点到旋转中心的距离相等以及每一对对
应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖
10 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 3n+1 块(用含n的代数式表示).
,∠PAP′=90°,
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】分析几何模型,进行合理的运算,图形的变换作出正确解答.
【解答】解:本题考查
的是规律探究问题.从图形观察每增加一个图形,黑色正方形瓷砖就
增加3块,
第一个黑色瓷砖有3块,
则第3个图形黑色瓷砖有10块,
第N个图形瓷砖有4+3(n﹣1)=3n+1(块).
故答案为:10;3n+1.
【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型.
21.某市政府
大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.
销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣1
0x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】12:应用题.
【分析】(1)由题意
得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,利润=(定
价﹣进价)×销售量,从而列出
关系式;(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出
销售单价;(3)根据抛物线的性质和
图象,求出每月的成本.
【解答】解:(1)由题意,得:w=(x﹣20)?y,
=(x﹣20)?(﹣10x+500)=﹣10x
2
+700x﹣10000,
,
答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:﹣10x
2
+700x﹣10000=2000,
解这个方程得:x
1
=30,x
2
=40,
答:李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a=﹣10<0,
∴抛物线开口向下,
∴当30≤x≤40时,w≥2000,
∵x≤32,
∴当30≤x≤32时,w≥2000,
设成本为P(元),由题意,得:P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000,
∵a=﹣200<0,
∴P随x的增大而减小,
∴当x=32时,P
最小
=3600,
答:想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
【点评】此题考
查二次函数的性质及其应用,还考查抛物线的基本性质,另外将实际问题转
化为求函数最值问题,从而来
解决实际问题.
22.计算:+()
1
﹣4cos45°﹣2÷×2﹣
(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
【考点】2C:实数的运算;6E
:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】分别根据0指数幂
及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数
值、绝对值的性质分别计算出各数,再根
据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】解:原式=2
=2+2﹣2
.
+2﹣4×
﹣2×2×2﹣1+2﹣
﹣8﹣1+2﹣
=﹣5﹣<
br>【点评】本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法
则及特
殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键.
23.如图,抛物线y
=ax
2
﹣x﹣与x轴正半轴交于点A(3,0),以OA为边在x轴上方作正
方形O
ABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.
(1)求a的值;
(2)求点F的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【专题】153:代数几何综合题.
【分析】(1)由于抛物线过A(3,0)点,可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值;
(2)F的横坐标与A的横坐标相同,纵坐标等于AB+BD,因此求出BD的长是解题的关键,
可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标(D的纵坐标是OA的长),然后根据BD=CD﹣OA
即可得出BF的值,也就求出了AF的长,即可得出F的坐标.
【解答】解:(1)把A(3,0)代入y=ax
2
﹣x﹣中,得a=;
(2)∵A(3,0)
∴OA=3
∵四边形OABC是正方形
∴OC=OA=3
当y=3时,
即x
2
﹣2x﹣9=0
解得x
1
=1+
∴CD=1+
,x
2
=1﹣<0(舍去)
,
在正方形OABC中,AB=CB
同理BD=BF
∴AF=CD=1+
). ∴点F的坐标为(3,1+
【
点评】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点,(2)题中根
据抛物线的解
析式求得D点的坐标是解题的关键.
24.在△ABC中,∠A=90°,AB=4,A
C=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过点M作
MN∥BC交AC于点N,以MN为直径作⊙
O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函
数关系式,并求y的最大值.
【考点】MR:圆的综合题.
【分
析】(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得
出三角形PM
N的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比
的平方等于面积比来得
出三角形AMN的面积;
(2)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可
先得出这两种情
况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形AB
C的中
位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x≤2时,此时重合部分
的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)
中已经求出,即可的x,y的函数关系式.
②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,
那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角
形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合
部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMN
F又是个平行四边形,可得出FN=BM,也
就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照
(1)的方法可求出三角形PEF的
面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关
系式.然后根据两种情况
得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可.
【解答】解:(1)∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴=,即=;
∴AN=x;
∴S=S
△
MNP
=S
△
AMN
=?x?x=x
2
.(0<
x<4)
(2)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴==,
∵AM=MB=2,
故以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,y=S
△
PMN
=x
2
,
∴当x=2时,y最大=×4=,
②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x,
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形;
∴FN=BM=4﹣x,
∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴()2=,
∴S
△
PEF
=(x﹣2)
2
;
y=S
△
MNP
﹣S
△
PEF
=x
2
﹣(x﹣2)
2
=﹣x
2
+6x﹣6,
当2<x<4时,y=﹣x
2
+6x﹣6=﹣(x﹣)
2
+2,
∴当x=时,满足2<x<4,y最大=2.
综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2.
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用,要注意(2)中要根<
br>据P点的位置的不同分情况进行讨论,不要漏解.
25.如图,在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0按逆时针方向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线
段OP
1
;再将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为O
P
1
的2倍,得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
【考点】D5:坐标与图形性质;K3:三角形的面积;R2:旋转的性质;S9:相似三角形的
判定
与性质.
【分析】(1)OP
6
旋转了6×45°=270°,得到点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点到原点距离
的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
);
(2)根据两组对应边
的比相等,且它们的夹角也相等,则这两个三角形相似得到△P
0
OP
1
∽△
P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.然后求出S
△
P0OP1
=×1×=,再求出,利用相似三
角形面
积的比等于它们的相似比即可得到△P
5
OP
6
的面积;
(3)分
类讨论:令旋转次数为n,①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点P
n
落在x
轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,0);②当n=8k+1
或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时
(其中k为自然数),点P
n
落在各
象限的平分线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,
×2
n
);③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上
,此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【解答】解: (1)根据旋转规律,点P
6
落在y轴的负半轴,而点P
n
到坐标原点的
距离始终等于前一个点
到原点距离的2倍,故其坐标为P
6
(0,﹣2
6
),即P
6
(0,﹣64);
(2)由已知可得,△
P
0
OP
1
∽△P
1
OP
2
∽△P
n
﹣
1
OP
n
.
设P
1
(x
1
,y
1
),则y
1
=2sin45°=
∴=×1×=,
,
又∵,
∴,
∴
;
(3)由题意知,O
P
0
旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点P
n
分别落在坐标象限<
br>的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点P
n
的
坐
标可分三类情况:令旋转次数为n,
①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),
点P
n
落在x轴上,此时,点P
n
的绝对坐标为(2
n
,<
br>0);
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数)
,点P
n
落在各象限的平分
线上,此时,点P
n
的绝对坐标为(×2
n
,×2
n
),即(2
n
﹣
1
,2
n
﹣
1
);
③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点P
n
落在y轴上,
此时,点P
n
的绝对坐标为(0,2
n
).
【点评】本题
考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的
夹角等于旋转角,对应点到
旋转中心的距离相等.也考查了三角形相似的判定与性质以及各
象限和坐标轴上的点的坐标特点.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓
名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上
一.选择题(共10小题,每题4分)
1.已知:三
个数a、b、c的积为负数,和为正数,且
则ax
3
+bx
2
+cx
+1的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.﹣1
,
2.⊙O的半径为5c
m,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是( )
A.7cm
B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知x为实数,化简
A.
B.
的结果为( )
C. D.
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围是( )
A.m< B. C. D.
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα
B.1+sinα+cosα C.0
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如
:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A.
B. C. D.
8.数轴上表示1,
数是( )
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
A.﹣1
B.1﹣ C.2﹣ D.﹣2
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与轴正方向
交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
A. B. C. D.
10.如果一条直线l经过不同的三点A
(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四
二.填空题(共10小题,每题4分)
11.
若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*x+2*x﹣2*4=0,则x= .
12.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则
S
1
+S
2
+…+S
2008
= .
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1
.25]=1),则方程3x﹣2[x]+4=0的解
为 .
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为 .
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣4<
br>2
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2
=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来
.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号
遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围为
.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长
BP至P′,
将△ABP绕点A旋转后,与△ACP′重合,如果AP=,那么PP′= .
20.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑
色瓷砖 块,第n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含n的代数式表示).
三.解答题(共6小题,共70分)
21.某市政府大力扶持大学
生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的
护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量
y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的
看作一次函数:y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物
价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得
的利润不低于2000元
,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
22.计算:
+()
1
﹣4cos45
°﹣2÷×2﹣(2009﹣
﹣
)
0
+|2﹣|
23.如图,抛物
线y=x
2
+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
24.如图:直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,AB=7,B
C﹣AD=1.以CD为直
径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F,与BC交于点G.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:AE=BF;
(3)当AE=1时,在线段A
B上是否存在点P,以点A,P,D为顶点的三角形与以点B,P,
C为顶点的三角形相似?若存在,在
图中描出所有满足条件的点P的位置(不要求计算);
若不存在,请说理由.
(4)当AE为何值时,能满足(3)中条件的点P有且只有两个?
25.如图,
在直角坐标系中,已知点P
0
的坐标为(1,0),将线段OP
0
按逆时针方
向旋转45°,
将其长度伸长为OP
0
的2倍,得到线段OP
1
;再
将线段OP
1
按逆时针方向旋转45°,长度伸
长为OP
1
的2倍,
得到线段OP
2
;如此下去,得到线段OP
3
,OP
4
,…
,OP
n
(n为正整数)
(1)求点P
6
的坐标;
(2)求△P
5
OP
6
的面积;
(3)我们规定:把点P
n
(x
n
,y
n
)(n=0,1,2,3,…)的横坐标x
n
、纵坐标y
n
都取绝对值
后得到的新坐标(|x
n
|,|y
n
|)称之为点P
n
的“绝对坐标”.根据图中点P
n<
br>的分布规律,请你
猜想点P
n
的“绝对坐标”,并写出来.
重点高中提前招生模拟考试数学试卷(6)
参考答案与试题解析
1.已知:三个数a、b、c的积为负数,和为正数
,且
则ax
3
+bx
2
+cx+1的值为( )
A.0
B.1 C.2 D.﹣1
,
【考点】15:绝对值;33:代数式求值.
【分析
】可由已知,三个数a、b、c的积为负数,和为正数,得三个数中有两个正数,一个
负数,故可得=1
,=﹣1,故得
=1﹣1=0,即得ax
3
+bx
2
+cx+1=0
+0+0+1=1.
【解答】解:∵三个数a、b、c的积为负数,和为正数,
∴得三个数中有两个正数,一个负数,
∴
∴
故得
∴ax
3
+bx
2
+cx+1=0+0+0+1=1.
故选:B.
【点评
】本题主要考查代数式求值问题,利用绝对值的基本性质,以及正数与负数的性质,
便得所求结果,要认
真掌握.
2.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(
)
A.7cm B.8cm C.7cm或1cm D.1cm
=1,
=﹣1,
=1﹣1=0,
【考点】KQ:勾股定理;M2:垂径定理.
【专题】32:分类讨论.
【分析】因为AB、CD位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
【解答】解:本题要分类讨论:
(1)AB,CD在圆心的同侧,如图①,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm;
=
=
=4cm,
=3cm,
(2)AB,CD在圆心的异侧,如图②,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm,FB=AB=×6=3cm,
在Rt△OED中
,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm
,则OF=
AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm.
AB和CD的距离是7cm或1cm.
故选:C.
【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
3.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解;R6:关于原点对称的点的坐标.
=
=4cm,
=3cm,
=
【分析】根据题意可得出点P在第三象限,从而列出不等式组求解即可.
【解答】解:∵点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,
∴,
由①得,a>﹣,
由②得,a<2,
∴a=1或0.
故选:B.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,以及一
元一次不等式组的整数解,是基础知
识要熟练掌握.
4.已知x为实数,化简
A. B.
的结果为( )
C. D.
【考点】73:二次根式的性质与化简;78:二次根式的加减法.
【专题】11:计算题.
【分析】根据二次根式的性质进行化简:
二次根式即可.
【解答】解:原式=﹣x
=﹣x+
.
﹣x?(﹣)
=﹣x,=﹣,代入后合并同类
=(1﹣x)
故选:C.
【点评】本题考查
了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用,关键是根
据二次根式的性质得出
5.已知关于x的方程2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,则m的取值范围
是( )
A.m< B. C. D.
=﹣x,=﹣.
【考点】AA:根的判别式;AB:根与系数的关系;CB:解一元一次不等式组.
【分析】
由方程有两个不相等的负实数根可以推出,△=b
2
+4ac>0,同时=>0,通
过解不等式,即可推出m的取值范围.
【解答】解:∵2x
2
+x+m+=0有两个不相等的负实根,
∴△=b< br>2
﹣4ac=1
2
﹣4×2×(m+)>0,=
∴解不等式得:m∴
故选:B.
.
,m,
>0,
【点评】本题主要考查解 一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式,关键在于根据题
意列出一元一次不等式,认真的进行计 算.
6.若α为直角三角形的一个锐角,则
A.1﹣sinα﹣cosα B.1+sinα+cosα C.0
等于( )
D.sinα+cosα﹣1
【考点】73:二次根式的性质与化简;T3:同角三角函数的关系.
【分析】打开根号内的 式子,将sinα+cosα作为一个整体,可得原式=|sinα+cosα﹣1|,再去
绝对值即可 求解.
【解答】解:应该是sinα+cosα﹣1.
原式=
=
=
=|sinα+cosα﹣1|
=|sin(α+)﹣1|
<α+<
)<
,
.
因为α为直角三角形的一个锐角,故
所以<sin(α+)<1,1<s in(α+
所以,原式=sinα+cosα﹣1.
故选:D.
【点评】考查了同角三角函数的关系,注意整体思想的运用,有一定的难度.
7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469等).任取一
个两位数,是“上升数”的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头
的上升数,再除以2位数的总数
即可.
【解答】解:1开头的两位自然数有10,11,12
,13,14,15,16,17,18,19其中有8
个“上升数”;
2开头的两位自然数
有20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,其中有7个“上升数”;
同理以3开头的两位自然数也有10个,其中有6个“上升数”;
一直到8开头的两位自然数也有10个,其中有1个“上升数”;
9开头的两位自然数没有“上升数”;
所以全部两位自然数有90个,“上升数”一共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个),
所以任取一个两位数,是“上升数”的概率是
故选:B.
【点评】用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比;易错点是得到上升数的个数
与两位数的总个数.
8.数轴上表示1,
数是( )
A.﹣1 B.1﹣
C.2﹣
.
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
D.﹣2
【考点】29:实数与数轴.
【专题】16:压轴题.
【分析】首先根
据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后
由AB=AC利用两点间的距离
公式便可解答.
【解答】解:∵数轴上表示1,
∴AB=﹣1,
的对应点分别为A,B,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:1﹣(
故选:C.
【点评】本题考查的
知识点为:求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两
点间的距离,求较小的数,就用较
大的数减去两点间的距离.
9.二次函数y=x
2
+bx+c的图象与
轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知
,∠CAO=30°,则c=( )
﹣1)=2﹣.
A. B. C. D.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】首先利用根与系数的关系求得A,B两点横坐标之
间的关系,再进一步结合已知,
利用直角三角形的边角关系,把A与B两点横坐标用c表示,由此联立方
程即可求得答案.
【解答】解:由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c.
设A,B两点的坐标分别为(x
1
,0),(x
2
,0),
则x
1
,x
2
是方程x
2
+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得:x
1
+x
2
=﹣b,x
1
x
2
=c,
又∵∠CAO=30°,则AC=2c,
∴AB=AC=2c;
c,x
2
=OB=OA+AB=3c. ∴x
1
=OA=ACcos
30°=
由x
1
x
2
=9c
2
=c,得c=.
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以
及直角三
角形的边角关系.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
10.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,
a),C(a﹣b,b﹣a),那么直线l
经过的象限有( )
A.二、四 B.一、三
C.二、三、四 D.一、三、四
【考点】F5:一次函数的性质.
【分析】先根据题意设
出一次函数的解析式,再分别把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b
﹣a)代入,求出函数的
解析式即可.
【解答】解:设此一次函数的解析式为y=kx+c,
把A(a,b),B(b,a),C(a﹣b,b﹣a)三点代入,
得,
解得.
故此一次函数的解析式为y=﹣x,
故直线l经过第二、四象限.
故选:A. <
br>【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点,
比较简
单.
11.若规定两数a,b通过运算得4ab,即a*b=4ab,若x*
x+2*x﹣2*4=0,则x= 2或﹣4 .
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】23:新定义.
【分析】根据新定义写出一元二次方程,并用因式分解法求出方程的根.
【解答】解:依题意可以列方程:
4x
2
+8x﹣32=0
x
2
+2x﹣8=0
(x+4)(x﹣2)=0
x+4=0或x﹣2=0
∴x
1
=﹣4,x
2
=2.
故答案为:2或﹣4.
【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程,
根据新定义写出一元二次方程,然后
用因式分解法求出方程的根是解题关键.
1
2.设直线kx+(k+1)y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S
k
,则S1
+S
2
+…+S
2008
=
.
【考点】F5:一次函数的性质.
【专题】16:压轴题;2A:规律型.
【分析】先依次计算出S
1
、S
2
等的面积,再依据规律求解.
【解答】解:∵kx+(k+1)y﹣1=0
∴当x=0时,y=
∴S
k
=××
;当y=0时,x=
=,
[﹣+﹣+…+﹣]=(1﹣)=.
根据公式可知,S
1
+S<
br>2
+…+S
2008
=
【点评】结合题意依次计算出S
1、S
2
等的面积,再总结规律,易求解.
13.已知m,n为正整数,若<<,当m最小时分数= .
【考点】65:分式的基本性质;98:解二元一次方程组.
【专题】11:计算题. 【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;分别设2007
n﹣
2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)然后用x、y分别表示出m、
n的值,根据m
的值最小,判断出此时x、y、n的值,进一步得出所求分数的值.
【解答】解:由题意,得﹣
>0,
∵m,n为正整数,
∴2007n﹣2006m>0,2007m﹣2008n>0;
设2007n﹣2006m=x,2007m﹣2008n=y;(x、y是正整数)
则有:,解得;
>0,﹣>0,即>0,
当m最小时,x=y=1;
即m=4015,n=4013;此时m、n互质,故=
故答案为.
.
【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识,是道难度较大的题.
14.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[2]=2,[1.25]=1),则方程3x﹣2[x]
+4=0的解
为 ﹣4或﹣或﹣ .
【考点】*D:取整函数.
【分析】首先令
[x]=n,可得方程3x﹣2n+4=0,即可求得x的值,然后由[x]≤x<[x]+1,可
得关
于n的不等式组,解不等式组即可求得n的值,则代入方程即可求得x的值,注意要检
验.
【
解答】解:令[x]=n,代入原方程得3x﹣2n+4=0,即x=
又∵[x]≤x<[x]+1,
∴n≤<n+1,
,
整理得:3n≤2n﹣4<3n+3,即﹣7<n≤﹣4,
∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6,
∴当n=﹣4时,x=﹣4,
当n=﹣5时,x=﹣
当n=﹣6时,x=﹣
,
,
或x=﹣
或﹣.
是原方程的解. 经检验,x=﹣4或x=﹣
故答案为:﹣
4或﹣
【点评】此题考查了取整函数的知识.注意[x]≤x<[x]+1性质的应用是解此题的关键.
15.已知b﹣a=,2a
2
+a=,那么﹣a的值为
【考点】6D:分式的化简求值.
.
【专题】11:计算题.
【分析
】由第一个等式表示出b,由第二个等式表示出a
2
,然后将所求式子通分后,利用同
分母分式的减法法则计算后,将表示出的b与a
2
代入,化简后即可求出值.
【解答】解:∵b﹣a=,∴b=a+,
又2a
2
+a=,∴a
2
=﹣,
则﹣a=
故答案为:
====.
【点评】此题考查了分式的化简求值,分
式的加减运算关键是通分,通分的关键是找出最简
公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找
公因式,同时注意化简求值题要将原
式化为最简后再代值.根据已知的两等式表示出的b与a
2
是解本题的关键.
16.四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=11,BC=2,则BD=
14 .
【考点】T7:解直角三角形.
【专题】11:计算题.
【
分析】延长AB与DC的延长线相交于点E,构造了两个30°的直角三角形,首先在直角三
角形CBE
中求得BE的长,再进一步在直角三角形ADE中,求得AD的长,再在直角三角形
BAD中由勾股定理
求得BD.
【解答】解:如图,延长AB与DC的延长线相交于点E.
在Rt△ADE中,∵∠ADE=60°,
∴∠E=30°.
在Rt△BCE中,sinE=
∴BE==4,
,
∴AE=AB+BE=11+4=15.
在Rt△DAE中,tanE=
∴AD=AE?tanE=15×
在Rt△BAD中,
BD===14,
,
=5,
故答案为:14.
【点评】此题
考查的知识点是解直角三角形,关键要特别注意构造30°的直角三角形,熟练
运用锐角三角函数求解.
17.观察下列各式:3
2
=5
2
﹣42
;5
2
=13
2
﹣12
2
;7
2<
br>=25
2
﹣24
2
;9
2
=41
2
﹣40
2
;…请你将猜想到的
规律用含正整数n(n≥1)的等式表示出来 (2n+
1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2+2n)
2
(n≥
1) .
【考点】37:规律型:数字的变化类.
【分析】仔细观察每一个等式,用含有n的式子表示出等号左边的底数,然后表示出等号右
边的底数即可.
【解答】解:∵3
2
=5
2
﹣4
2
;
5
2
=13
2
﹣12
2
;
7
2
=25
2
﹣24
2
;
9
2
=41
2
﹣40
2
;
…
∴(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n2
+2n)
2
(n≥1).
故答案为:(2n+1)
2
=(2n
2
+2n+1)
2
﹣(2n
2
+2n)
2
(n≥1).
【点评】本题考查了数字的变化,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规
律,还要注意
看左右两边之间的联系.
18.如图,有一种动画程序,屏幕上正
方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,
1),B(2,1),C(2,2),D(1
,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号遇到黑
色区域时,区域便由黑变白,则能够使
黑色区域变白的b的取值范围为 3≤b≤6 .
【考点】FI:一次函数综合题. 【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大,哪一点b最小,然后代入求出b
的取
值范围.
【解答】解:由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A(1,1)时b的值最小,即﹣2×1
+b=1,
b=3;
当直线y=﹣2x+b过C(2,2)时,b最大即2=﹣2×2+b,
b=6,故能够使黑色区域变白的b
的取值范围为3≤b≤6.
【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用,解答此类题目时一定要注意数形结合的运用.
19.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一定点,延长BP至P′,<
/p>