山西高中数学名师-高中数学辅导机构教材
[课下梯度提能]
一、基本能力达标
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3 D．－4
解析：选B ∵z＋(3－4i)＝1，
∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
2．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i
B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解析：选D
(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i
2
＝3＋i.
3．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )
A.3
B.5
C．3 D．5
解析：选D 法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，
∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.
法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|
2
＝5.
4．已知i是虚数单位，
a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)
2
＝2i”的(
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A
当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)
2
＝(1＋i)
2
＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)
2
＝2i”的充分条件；
当“(a＋b
i)
2
＝a
2
－b
2
＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)
2
＝2i”的不必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)
2
＝2i”的充分不必要条件．
5．若实数x，y满足z
1
＝y＋xi，z
2
＝yi－x，且z
1
－z
2
＝2，则xy的值是(
A．1 B．2
C．－2
D．－1
)
)
解析：选A
∵z
1
－z
2
＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
?
x＋y＝2，
∴
?
∴x＝y＝1.∴xy＝1.
?x－y＝0，
6．若复数z满足z＋2z＝3＋2i，其中i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，则复数z的实部为_______．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＝x－yi，
因为z＋2z＝3＋2i，所以z＋
2z＝(x＋yi)＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋2i，所
以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i，所
以复数z的实部为1.
答案：1
7．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.
解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)
∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)
＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i
＝5＋5i.
答案：5＋5i
8．若复数z
1
＝3＋4i，z<
br>2
＝a＋i，且z
1
·z
2
是实数(其中z
2
为z
2
的共轭复数)，
则实数a＝________.
解析：由题可得z
2
＝a－i，因为z
1
·z
2
＝(3＋4i)(a－i)＝
(3a＋4)＋(4a－3)i
3
是实数，所以4a－3＝0，解得a＝
4
.
3
答案：
4
1
??
1
??
9．
计算：(1)
?
2－
2
i
?
＋
?
2
－2i
?
；
????
(2)(3＋2i)＋(3－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
1
??
1
?
55
?
解：(1)原式＝
?
2＋
2
?
－
?
2
＋2
?
i＝
2
－
2i.
????
(2)(3＋2i)＋(3－2)i
＝3＋(2＋3－2)i＝3＋3i.
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)
＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i
＝8＋2i.
10．计算：
(1)
?
?
13
?
2
＋<
br>2
i
?
?
?
(4i－6)＋2＋i；
(2)
?
?
13
??
?
－
2
＋
2
i<
br>?
?
?
3
?
2
＋
1
2
i<
br>?
?
?
(1＋i)．
解：(1)
?
?
13
?
2
＋
2
i
?
?
?
(4i－6)
＋2＋i
＝2i＋6i
2
－3－9i＋2＋i＝－7－6i.
(2)?
?
?
－
1
2
＋
3
2
i?
?
?
31
?
?
?
?
2
＋<
br>2
i
?
?
(1＋i)
＝
?
?
?<
br>33
?
?
31
?
?
?
?
－
4
－
4
?
?
＋
?
?
?
4
－
4
?
?
i
?
?
(1＋i)
＝
?
?
?
－
3
2
＋
1
2
i
?
?
?
(1＋i)
＝
?
?
31
??13
?
?
－
2
－
2
?
?
＋<
br>?
?
2
－
2
?
?
i
＝－
1＋3
＋
1－3
22
i.
二、综合能力提升
1．已知复数z满足：z·z＋2zi＝8＋6i，则复数z的实部与虚部的和为(
A．4
B．2
C．－2 D．－4
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·z＝a
2
＋b
2
，
∴a
2
＋b
2
＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a
2
＋b
2
－2b＋2ai＝8＋6i，
∴
?
?
a
2
＋b
2
－2b＝8，
?
a＝3，<
br>?
2a＝6，
解得
?
?
b＝1，
∴a＋b＝4，
)
∴复数z的实部与虚部的和是4.
2．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x
2
＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，
则p＋q＝( )
A．－1
C．3
B．1
D．－3
解析：选B 依题意得(1－i)
2
＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即
?
2p＋q＝0，
?
解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1.
?
p＋1＝0，
3.
z是z的共轭复数．若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，求z.
解：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，
∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－z)i＝2bi
2
＝－2b＝2.∴b＝－1.
故z＝1－i.
2
法二：∵(z－z)i＝2，∴z－z＝
i
＝－2i
又z＋z＝2，∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
4．已知z
1
＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z
2
＝
(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z
1
－z
2
＝1
3－2i，求z
1
，z
2
.
解：z＝z
1
－z
2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
因为z＝13－2i，且x，y∈R，
?
5x－3y＝13，
所以
?
x＋4y＝－2，
?
?
x＝2，
解得
?
?
y＝－1，
所以z
1
＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z
2
＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
由Ruize收集整理。
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