2019-2020学年江苏省常州市前黄高中高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省常州市前黄高中高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知空间向量
A．﹣2 B．﹣1
，
C．1
，若，则实数m＝（ ）
D．2
2．（5分）（1+i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）盛唐著名边塞诗人王昌 龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥
望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还． 其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家
乡”的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（ 5分）设{a
n
}的首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成
等比数 列，则a
1
＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
5．（5分）在 正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为
侧面 ACC
1
A
1
所成角的大小为（ ）
，底面三角形的边长为1，则BC
1
与

A．30° B．45° C．60° D．90°
的一个焦点，则p＝（ ）
D．
6．（5分）若抛物线y
2
＝2px（p＞0）的准线经过双曲线
A．2 B．10 C．
7．（5分）正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，点E，F分别是BB
1
，B
1
C
1
的中点，则EF与DA
1
所
成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
第1页（共23页）

8．（5分）若双曲线
点，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．（2，+∞）
的渐近线与圆（x﹣2）
2
+y
2
＝1没有公共
C．（1，2） D．
9．（5分）设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线
，则C的方程为（ ）

上，O为坐标原点，若|OF|＝|PF|且△POF的面积为
A． B．
C． D．
10．（5分）数列{a
n
}中，a
1
＝ 2，且a
n
+a
n
﹣
1
＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）如图，矩形ABC D中，AB＝1，BC＝，F是线段BC上一点且满足BF＝1，E
是线段FC上一动点，把△ABE沿 AE折起得到△AB
1
E，使得平面B
1
AC⊥平面ADC，分
别记 B
1
A，B
1
E与平面ADC所成角为α，β，平面B
1
A E与平面ADC所成锐角为θ，则（ ）

A．θ＞α＞β B．θ＞β＞α
+
C．α＞θ＞β D．β＞θ＞α
12．（5分）已知F为椭圆C：＝1的左焦点 ，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，
直线l
1
与C交于A，B两点，直线l
2
与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小
值为（ ）
A．4 B． C．
第2页（共23页）

D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）i是虚数单位，则
14．（5分）已知“
为 ．
1 5．（5分）F
1
，F
2
是椭圆C
1
和双曲线C
2
的公共焦点，e
1
，e
2
分别为曲线C
1
，C2
的离心率，
P为曲线C
1
，C
2
的一个公共点，若< br>16．（5分）设{a
n
}是等比数列，公比
．设
，且，则e
1
∈ ．
的值为 ．
﹣mx+1≤0”是假命题，则实数m的取 值范围
，S
n
为{a
n
}的前n项和．记
为数列{T
n
}的最大项，则n
0
＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．若复数z＝（m
2
+m﹣ 6）+（m
2
﹣m﹣2）i，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限．
18．已知抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方
程．
19．设各项均为正数的数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足：对 任意的n∈N*，都有a
n+1
+S
n+1
＝1，又a
1
＝ ．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令b
n
＝log
2
a
n
，求（n∈N*）
20．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD ⊥
平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；
（Ⅲ）线 段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E点的位置；
若不存在，说明理由 ．
第3页（共23页）

21．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，该椭圆的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x+
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
相切．
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P 点在椭
圆左顶点的左侧）且∠RF
1
F
2
＝∠PF
1
Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

22．设A（x
1
，f（x
1
）），B（x
2
，f（x
2
））是函数f（x ）＝+log
2
（1）当x
1
+x
2
＝1时，求f（x1
）+f（x
2
）的值；
（2）设S
n
＝f（）+f （）+…+f（）+f（），其中n∈N
*
，求S
n
；
的图象上的任意两点．
（3）对于（2）中S
n
，已知a
n
＝（
和，求证：≤T
n
＜．
）
2
，其中n∈N
*
，设T
n
为数列{a
n
}的前n项的
第4页（共23页）

2019-2020学年江苏省常州市前黄高中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知空间向量
A．﹣2 B．﹣1
，
C．1
，若，则实数m＝（ ）
D．2
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得m的值．
【解答】解：∵空间向量
∴?＝m﹣1+0＝0，求得实数m＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，属于基础题．
2．（5分）（1+i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
，，若，
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）盛唐著名边塞诗人王 昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥
望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还 ．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家
乡”的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可；
【解答】解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，
由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4．（ 5分）设{a
n
}的首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成
第5页 （共23页）

等比数列，则a
1
＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由等差数列的前n项和求出S
1
，S
2
，S
4
，然后再由S
1
，S
2
，S
4
成等比数列列式
求解a
1
．
【解答】解：∵{a
n
}是首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，
∴S
1
＝a
1
，S
2
＝2a
1
﹣ 1，S
4
＝4a
1
﹣6，
由S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，得：
即
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
5． （5分）在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为< br>侧面ACC
1
A
1
所成角的大小为（ ）
，底面三角形的边长为1，则BC
1
与
，解得：
，
．

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】以C为原点，CA为 x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，CC
1
为z
轴，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出BC
1
与侧面ACC
1
A
1
所成角的大 小．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，
CC
1
为z轴，建立空间直角坐标系，
B（，
＝（﹣
，0），C
1
（0，0，
，），
），
平面ACC
1
A
1
的法向量＝（0，1，0），
设BC
1
与侧面ACC
1
A
1
所成角的大小为θ，
第6页（共23页）

则sinθ＝＝＝，
∴θ＝30°，
∴BC
1
与侧面ACC
1
A
1< br>所成角的大小为30°．
故选：A．

【点评】本题考查线面角的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 ．
6．（5分）若抛物线y
2
＝2px（p＞0）的准线经过双曲线
A．2 B．10 C．
的一个焦点，则p＝（ ）
D．
【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，可得p的值．
【解答】解：抛物线y
2
＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，
双曲线
，0），
的a＝2，b＝，c＝＝，即双曲线的焦点为（，0），（﹣
由题意可得﹣＝﹣
解得p＝2
故选：D．
，
，
【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础
题． < br>7．（5分）正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D1
，点E，F分别是BB
1
，B
1
C
1
的中点 ，则EF与DA
1
所
成角的余弦值为（ ）
第7页（共23页）

A．0 B． C． D．
【分析】利用三角形中位线定理、正方体的性质、异面直线所成的角即可得出．
【解答】解：如图所示，
连接BC
1
，AD
1
．
∵EF∥BC
1
，AD
1
∥BC
1
，A
1
D⊥AD
1
．
∴EF⊥DA
1
，
∴EF与DA
1
所成角的余弦值为0．
故选：A．

【 点评】本题考查了三角形中位线定理、正方体的性质、异面直线所成的角，考查了空
间想象能力、推理能 力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）若双曲线
点，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．（2，+∞） C．（1，2） D．
的渐近线与圆（x﹣2）
2
+y
2
＝1没有公共
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心 到渐近线的距离大于半
径求得a和b的关系，进而利用c
2
＝a
2
+ b
2
求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【解答】解：∵双曲线渐近线为b x±ay＝0与圆（x﹣2）
2
+y
2
＝1没有公共点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1
∴3b
2
＞a
2
，∴c
2
＝a
2
+b
2
＞a
2
，
∴e＝＞
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关 系，点到直线的距离公
第8页（共23页）

．

式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
9．（5分）设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线
，则C的方程为（ ）

上，O为坐标原点，若|OF|＝|PF|且△POF的面积为
A． B．
C． D．
【分析】利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形的面积，结合离心 率即可得
到方程组求出a即可．
【解答】解：双曲线
C的一条渐近线
渐近线的斜率为：﹣
上，
，tan∠POF＝，所以cos∠POF＝
，所以
，sin∠POF＝，
＝2
的右焦点为F，O为坐标原点，点P在
O为坐标原点，若|OF|＝|PF|， △POF的面积为
解得c＝
解得b＝
，＝
，a＝2．
．
，c
2
＝a
2
+b
2
，
所以双曲线方程为：
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能
力． < br>10．（5分）数列{a
n
}中，a
1
＝2，且a
n
+a
n
﹣
1
＝+2（n≥2），则数列{}
前2019项和为（ ）
A． B． C．
﹣
D．
【分析】由a
n
+a
n
﹣
1
＝
﹣

+2（n≥2），可得﹣2（a
n
﹣a
n
﹣
1
）＝ n，化为：
，利用裂项求和即＝n，利用“累加求和”方法可得
第9页（共23页）

可得出．
【解答】解：∵a
n
+a
n< br>﹣
1
＝
∴﹣﹣2（a
n
﹣a
n
﹣
1
）＝n，
﹣
﹣
＝
＝
＝n，
＝n+（n﹣1）+……+2，
，
＝2（）．
+2（n≥2），
化为：
∴
∴
可得：
则数列{}前2019项和＝2＝2
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能 力与计
算能力，属于中档题．
11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，F 是线段BC上一点且满足BF＝1，E
是线段FC上一动点，把△ABE沿AE折起得到△AB
1
E，使得平面B
1
AC⊥平面ADC，分
别记B
1
A，B
1
E与平面ADC所成角为α，β，平面B
1
AE与平面ADC所成锐角为θ ，则（ ）

A．θ＞α＞β B．θ＞β＞α C．α＞θ＞β D．β＞θ＞α ＝【分析】过B
1
作B
1
O⊥AC，推导出B
1
O⊥平 面ABCD，从而∠B
1
AO＝α，tanα＝
，∠B
1
EO＝β， tan＜tanα，进而β＜α，过O作OF⊥AE，垂足为F，连结B′
，F，则∠B′FO为平面B ′FO与平面ADC所成锐角θ，O到AB的距离h＜
从而tanθ＞tanα，θ＞α，由此能求出结 果．
第10页（共23页）

【解答】解：如图，过B
1
作B
1
O⊥AC，
在RtAB C中，∵AB＝1，BC＝
∴在RtAB
1
C中，AB
1
＝1，B< br>1
C＝
∵＝
，∴AC＝2，
，AC＝2，
，
∴B
1
O＝＝，AO＝＝，
∵平面B
1
AC⊥平面ADC ，B
1
O⊥AC，∴B
1
O⊥平面ABCD，
∴∠B
1< br>AO＝α，tanα＝
∠B
1
EO＝β，tan
＝，
＜tanα，∴β＜α，
过O作OF⊥AE，垂足为F，连结B′F，
则∠B′FO为平面B′FO与平面ADC所成锐角θ，
∵O到AB的距离h＜，
∴tan＝2，∴tanθ＞tanα，∴θ＞α，
∴θ＞α＞β．
故选：A．

【点评】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5分）已知F为椭圆C：+＝1的左焦 点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，
直线l
1与C交于A，B两点，直线l
2
与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小
值为（ ）
A．4 B． C．
第11页（共23页）

D．

【分析】先计算l
1
斜率为0时对应的四边形的面积，再设 l
1
斜率为k，利用弦长公式计
算|AB|，|DE|，得出四边形的面积关于k的函 数，利用换元法求出面积的最小值得出结论．
【解答】解：椭圆的左焦点为F（﹣1，0）．
（1）当直线l
1
斜率为0时，直线l
2
的方程为x＝﹣1，
把x＝﹣1代入椭圆方程得y＝±
∴四边形ADBE的面积为S＝
，
＝4．
（2）当直线l
1
有斜率且斜率不为0时，设直线l
1
的方程为y＝ k（x+1），
直线l
2
的方程为y＝﹣（x+1）．
联立方程组，消元 得：（2+3k
2
）x
2
+6k
2
x+3k
2﹣6＝0，
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
＝﹣，x
1
x< br>2
＝，
∴|AB|＝＝，
用﹣替换k可得|DE|＝＝，
∴四边形ADBE的面积为S＝?|AB||DE|＝，
令k
2
+1＝t（t＞1），则S＝＝＝，
∴当＝即t＝2时，S取得最小值＝．
综上，四边形ABDE的面积的最小值为
故选：C．
．
【点评】本题考查 了直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，面积公式的应用，考查换
元法与设而不求法的运用，属于中档 题．
第12页（共23页）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）i是虚数单位，则的值为 ．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】解：＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
14．（5分）已知“
＜2 ．
【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解：∵“
x
2
﹣mx+1＞0恒成立，
∴m＜x+，对任意的x∈[，2]恒成立，
∵x+
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．
15 ．（5分）F
1
，F
2
是椭圆C
1
和双曲线C
2< br>的公共焦点，e
1
，e
2
分别为曲线C
1
，C
2
的离心率，
P为曲线C
1
，C
2
的一个公共点，若] ．
，且，则e
1
∈ [，
＝2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，
﹣mx+1≤0”是假命题，∴对任意的x∈ [，2]，
﹣mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为 m
【分析】设双曲线C
2
的标准方程为：＝1（a
1
，b
1
＞0），半焦距为c．椭圆< br>C
1
：（a＞b＞0），半焦距为c．利用定义可得：m+n＝2a，m﹣n＝2a1
．在△
?4c
2
＝a
2
+3a
1
2
．代入化简利用离心PF
1
F
2
中，由余弦定理可得：4c
2
＝m
2
+n
2
﹣2mncos
率计算公式即可得出．
第13页（共23页）

【解答】解：如图所示，设双曲 线C
2
的标准方程为：＝1（a
1
，b
1
＞0），半焦距为c．椭圆C
1
：（a＞b＞0），半焦距为c．
不妨设点P在第一象限，设|PF
1
|＝m，|PF
2
|＝n． < br>∴m+n＝2a，m﹣n＝2a
1
．?m＝a+a
1
．n＝a﹣a1
．
在△PF
1
F
2
中，由余弦定理可得：4c2
＝m
2
+n
2
﹣2mncos
两边同除以c
2
，得，
．?4c
2
＝a
2
+3a
1
2
．
∵，∴．
∴
故答案为：[，
．
]．

【点评 】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考
查了推理能力与计算能力 ，属于难题．
16．（5分）设{a
n
}是等比数列，公比
．设
， S
n
为{a
n
}的前n项和．记
为数列{T
n
}的 最大项，则n
0
＝ 4 ．
【分析】首先用公比q和a
1
分别表示 出S
n
和S
2n
，代入T
n
易得到T
n
的 表达式．再根据
基本不等式得出n
0

第14页（共23页）

【解答】解：
＝
＝
因为≧8，当且仅当＝4，
即n＝4时取等号，所以当n
0
＝4时T
n
有最大值．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应 用，属于
中等题．本题的实质是求T
n
取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对
行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．若复数z＝（m
2
+m﹣ 6）+（m
2
﹣m﹣2）i，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限．
【分析】（1）令复数z的虚部为0，即可求解；
（2）令复数z的实部为0且虚部不为0，即可求解；
（3）根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出m的范围．
【解答】解：（1）由题意可得：m
2
﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣1或2；
（2）由题意可得：m
2
+m﹣6＝0，且m
2
﹣m﹣2≠0，
∴m＝2或﹣3，且m≠﹣1且m≠2，
∴m＝﹣3；
（3）由题意可得：
解得：﹣3＜m＜﹣1．
第15页（共23页）

进
，

【点评】本题主要考查了复数的定义，是基础题．
18．已知抛物线C：y
2
＝2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点 的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方
程．
【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；
（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）抛物线C：y
2
＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，
由抛物线的定义可知3+＝5，解得p＝4，
∴C的方程为y
2
＝8x；
（2）由（1）得抛物线C的方程为y
2
＝8x，焦点F（2，0），
设A ，B两点的坐标分别为A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y< br>2
），
则，则两式相减．整理得＝，
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1，则y
1
+y
2
＝﹣2
∴直线l的斜率k
AB
＝＝＝﹣4，
直线l的方程为y﹣0＝﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8＝0．
【点评】本题考查抛物线的定 义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的
能力，属于中档题．
19．设各项均 为正数的数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足：对任意的n∈N*，都有a
n+1
+S
n+1
＝1，又a
1
＝．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令b
n
＝log
2
a
n
，求（n∈N*）
【分析】（Ⅰ）根据题意，由a
n+1
+S
n+1
＝1分析可得a< br>n
+S
n
＝1，将两式相减，变形可得
2a
n+1
＝ a
n
，求出a
2
的值，结合a
1
的值，分析可得数列{a< br>n
}是首项和公比都为的等比数
列，据此分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由 （Ⅰ）的结论可得b
n
＝log
2
a
n
＝﹣n，进而可得< br>第16页（共23页）

＝
++……+
++……+＝
，由裂项相加法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由a
n+1
+S
n+1
＝1，①，
则有a
n
+S
n
＝1，②，（n≥2）
①﹣②得：2a< br>n+1
＝a
n
，即a
n+1
＝a
n
，
又由a
1
＝，
当n＝1时，有a
2
+S
2
＝1，即a
2
+（a
1
+a
2
）＝1，解可得a
2
＝，
则所以数列{a
n
}是首项和公比都为的等比数列，
故a
n
＝；
，则b
n
＝log
2
a
n
＝﹣n，
＝
++……+
）＝1﹣＝．
++……+
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论， a
n
＝
则
＝
＝（1﹣）+（﹣）+……+（﹣
【点评】本题 考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{a
n
}的通项公式．
20． 如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥
平面 ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；
（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平 面BDE．若存在，确定E点的位置；
若不存在，说明理由．

第17页（共23页）

【分析】（Ⅰ）推导出SD⊥D A，SD⊥DC，DA⊥DC，以D为原点建立空间直角坐标系，
利用向量法能证明DM⊥平面SAB．
（Ⅱ）求出平面SBC的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣
C 大小．
（Ⅲ）求出平面BDE的法向量，利用向量法能求出存在点E为线段SC靠近S点的三等
分点，使得直线SA∥平面BDE．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCDDA，DC?平面ABCD．
所以SD⊥DA，SD⊥DC，又DA⊥DC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系． < br>由题意得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2 ），M
（1，0，1），
所以
所以，
，
，
，．
所以DM⊥SA，DM⊥AB，
所以DM⊥平面SAB．
解：（Ⅱ）设平面SBC的法向量为＝（x，y，z），
因为．
所以，即，
令x＝1，则y＝2，z＝2．于是＝（1，2，2）．
因为DM⊥平面SAB，所以
又
为平面SAB的法向量，
．
所以cos＜＞＝＝．
因为所求二面角为钝角，所以二面角A﹣SB﹣C大小为135
o
．
（Ⅲ）设
第18页（共23页）

，

，
，．
设平面BDE的法向量n
2
＝（x
0
， y
0
，z
0
），
则，即，
令x
0
＝1，y
0
＝﹣2，
如果直线SA∥平面BDE，
那么＝0，解得
．于是＝（1，﹣2，），
．
所以，存在点E为线段SC靠近S点的三等分点，使得直线SA∥平面BDE．

【 点评】本题考查线面垂直、二面角的大小、满足线面平行的点是否存在的判断与求法，
考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知椭圆C：+＝1（a ＞b＞0）的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，该椭圆的离心率为
，以 原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x+
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
相切． < br>（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭
圆左 顶点的左侧）且∠RF
1
F
2
＝∠PF
1
Q，求证：直线l 过定点，并求出斜率k的取值范围．
第19页（共23页）

【分析】（Ⅰ）求出椭圆的焦点，由离心率可得b＝c，再由直线和圆相切的条件d＝r，< br>可得b＝1，进而得到a，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设Q（x
1
，y
1
），R（x
2
，y
2
），F
1
（﹣1，0）， 由∠RF
1
F
2
＝∠PF
1
Q，可得直线QF
1< br>和RF
1
关于x轴对称，运用直线的斜率公式，设直线PQ：y＝kx+t，代入椭圆方 程，运用
判别式大于0，以及韦达定理，化简整理即可得到t＝2k，进而得到直线l恒过定点（﹣2，
0），由二次不等式解法即可得到k的范围．
【解答】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），
椭圆的离心率为，即有＝，即a＝c，b＝＝c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 方程为x
2
+y
2
＝b
2
，
直线y＝x+
即有a＝
与圆相切，则有
，
+y
2
＝1；
＝1＝b，
则椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明 ：设Q（x
1
，y
1
），R（x
2
，y
2
），F
1
（﹣1，0），
由∠RF
1
F
2
＝∠P F
1
Q，可得直线QF
1
和RF
1
关于x轴对称，
即有+＝0，即+＝0，
即有x
1
y
2
+y
2< br>+x
2
y
1
+y
1
＝0，①
设直线PQ：y＝kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k
2
）x
2
+4ktx+2t
2
﹣2＝0，
判别式△＝16k
2
t
2
﹣4（1+2k
2
）（2t
2
﹣2）＞0，
即为t
2
﹣2k
2
＜1②
x
1
+x
2
＝，x
1
x
2
＝，③
第20页（共23页）

y
1
＝kx< br>1
+t，y
2
＝kx
2
+t，
代入①可得，（k+ t）（x
1
+x
2
）+2t+2kx
1
x
2
＝0，
将③代入，化简可得t＝2k，
则直线l的方程为y＝kx+2k，即y＝k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t＝2k代入②，可得2k
2
＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
，0）∪（0，）． 则直线l的斜率k的取值范围是（﹣【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的
条件，联立直 线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档
题和易错题．
22． 设A（x
1
，f（x
1
）），B（x
2
，f（x
2
））是函数f（x）＝+log
2
（1）当x
1
+x
2＝1时，求f（x
1
）+f（x
2
）的值；
（2）设S
n
＝f（）+f（）+…+f（）+f（），其中n∈N
*
，求S
n
；
的图象上的任意两点．
（3）对于（2）中S
n
，已知a
n
＝（
和，求证：≤T
n
＜．
）
2
，其中n∈N< br>*
，设T
n
为数列{a
n
}的前n项的
【分析】（1 ）由已知条件推导出f（x
1
）+f（x
2
）＝1+
＝1．
（2）由S
n
＝f（
2S
n
＝n，由此能求出
（3）由< br>）+f（
．
，知
）+…+f（）+f（
＝1+log
21
），利用倒序相加求和法得到
＜
＝
+
2（+…
），由 此能证明≤T
n
＜．
的图【解答】（1）解：∵A（x
1
，f（x
1
）），B（x
2
，f（x
2
））是函数f（x）＝+lo g
2
第21页（共23页）

象上的任意两点．
∴?x
1
，x
2
∈（0，1），且x
1
+x
2
＝1时，
f（x
1
）+f（x
2
）＝
＝1+
＝1+
＝1+log
2
1＝1．
（2）解：∵，
∴＝，
∵S
n
＝f（）+f（）+…+f（）+f（），①
∴S
n
＝f（）+f（）+…+f（）+f（），②
①+②，得+
+，
∴2S
n
＝n，∴．
（3）证明：∵，
∴，
∵a
n
＞0，∴T
n
＜ T
n+1
，∴{T
n
}是单调递增数列，
∴T
n
≥T
1
＝，
又∵
＜
＝
＝2（+…+）
第22页（共23页）
+…

＝2（
＝2（
∴≤T
n
＜．
）
）
，
【点评】本题考查函数值的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解
题时要注 意倒序求和法的合理运用．


第23页（共23页）