2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案详解

2010年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
xx
1．方程
9?1?3?5
的实数解为 ．
提示与答案：x＜0无解; 当
x?0
时，原方程变形为3
2x
+3
x
－6=0，解得3
x
=2，x=log
3
2 ．
2．函数
y?sinx?cosx
(x?
R
)
的单调减 区间是 .
提示与答案：与f(x)=y
2
=1+|sin2x|的单调减区间相同，
[
????
????????????????
3．在△
ABC
中， 已知
AB?AC?4
，
AB?BC??12
，则
AB
＝ .
????
????????????????????
2
提示与答案：< br>AB?AC?AB?BC?AB?16
，得
AB?4
．
4．函数f
?
x
?
?
?
x?2
??
x?1?
在区间
?
0,2
?
上的最大值是 ，最小值是 ．
提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
5．在直角坐标系
xOy
中，已知圆心在原点
O
、半径为
R
的圆与△
ABC
的边有公共点，
其中
A?
?
4, 0
?
、
B?
?
6,8
?
、
C?
?
2,4
?
，则
R
的取值范围为 ．
85
提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
5
6．设函数
f
?
x
?
的定义域为R，若
f
?
x?1
?
与
f
?
x?1
?
都 是关于
x
的奇函数，则函数
2
k
??
k
??
?,?],k?
Z．
2422
y?f
?
x
?
在区间
?
0,100
?
上至少有 个零点.


提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数
f
?
x?
满足问题中的条件，且
f
?
x
?
的
一个零点恰为
x?2k?1
，k∈Z. 所以至少有50个零点.
7． 从正方体的
12
条棱和
12
条面对角线中选出
n
条，使得其 中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则
n
的最大值为 ．
提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．

第 1 页
（第7题）

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着
4
颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中
镀
2
金
2
银的概率是 ．
1
提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．
3
9．在三棱锥
A?BCD
中，已知
?ACB??CBD
，
?ACD??ADC??BCD??BDC

?
?
，且
cos?
?
10
．已知棱
AB
的长为
62
，则此棱锥 的体积为 ．
10
提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
10．设复数列
?
x
n
?
满足
x
n
?a?1
，
0
，且
x
n?1
?
则
a的值是 ．
ax
n
．若对任意
n?
N
*
都有
x
n?3
?x
n
，

x
n< br>?1
a
3
x
n
ax
n
ax
n?2< br>a
2
x
n?1
?x
n
提示与答案：由
x< br>n?1
?
，
x
n?3
??
?
2
x< br>n
?1x
n?2
?1
?
a?1
?
x
n?1
?1
?
a?a?1
?
x
n
?1
2< br>2
恒成立，即
a?a?1x
n
?
x
n
?1? a
?
?0
. 因为
x
n
?a?1
或
0，故
a?a?1?0
，所以
??
13
a???i
．
22

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
x
2
?y
2
?1
上的三点．若 11．直角坐标系
xOy
中，设
A
、
B
、
M
是椭圆
C:4
?????
3
????
4
????
x
2OM?OA?OB
，证明：线段
AB
的中点在椭圆
?2y
2?1
上．
55
2
x
1
2
x
2
2
2
解：设A(x
1
，y
1
)，B (x
2
，y
2
)，则 ＋y
1
＝1，＋y
2
2
＝1．
44
?????< br>3
????
4
????
3434
由
OM?OA?OB
，得 M(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
)．
5555
55
因为M是椭圆C上一点，所以
第 2 页

34
(x
1
＋x
2
)
2
55
34
＋(y
1
＋y
2
)
2
＝1， …………………6分
455
x
1
2
x
2
2
434x
1
x
2
2
3
2
即 (＋y1
)()＋(＋y
2
2
)()
2
+2()()(＋y< br>1
y
2
)=1，
4545554
3434x
1
x
2
得 ()
2
＋()
2
+2()()(＋y
1
y
2
)＝1， 故
55554

x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0． …………………14分
4
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
又线段AB的中点的坐标为 (，)，
22
x
1
＋x
2
2
()
2
2
y
1
＋y2
2
1x
1
2
x
1
x
2
2< br>1x
2
所以 ＋2()＝(＋y
1
)+(＋y
2
2
)+＋y
1
y
2
＝1，
2224244< br>x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
x
2
从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y
2
＝1上． ………………20分
222
12．已知整数列
?
a
n
?
满足
a
3
??1
，
a
7
?4
，前
6
项依次成等差数列，从第
5
项起依次
成等比数列．
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
(2) 求出所有的正整数
m
，使得
a
m
?a
m?1
?a< br>m?2
?a
m
a
m?1
a
m?2
．
解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a
5
=－1+2d，a
6
=－1+3d，d为整数.
又a
5
，a
6
，a
7
成等比数列，所以(3d－1)
2
=4(2d－1)，
即 9d
2
－14d+5=0，得d =1. …………………6分
当n≤6时，a
n
=n－4，
由此a
5
=1，a
6
=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，a
n
=2
n-5
.
?
n－4，n≤4
，
?
故 a
n
=
?
n-5

?
?
2
，
n≥5．

…………………10分
(2) 由（1）知，数列
?
a
n
?
为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立； …………………15分
第 3 页

当m≥5时，a
m
a
m+1
a
m+2
=2
3m-12
， a
m
+a
m+1
+a
m+2
=2
m-5
(2－1)=7×2
m-5
，
3
7×2
m-5
≠2
3m-12
，
所以 a
m
+a
m+1
+a
m+2
≠a
m
a< br>m+1
a
m+2
.
故所求 m= 1，或m=3． …………………20分
13．如图，圆内接五边形
ABCDE
中，
AD是外接圆的直径，
BE?AD
，垂足
H
.
过点
H
作平行于
CE
的直线，与直线
AC
、
DC
分别交于 点
F
、
G
．
证明： (1) 点
A
、
B
、
F
、
H
共圆；
(2) 四边形
BFCG
是矩形．
证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC，
∴ ∠BAF=∠BHF，
∴ 点 A、B、F、H共圆；
…………………8分
(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，
∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC，
又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC， …………………14分
由A
、
B
、
C
、
D共圆及A、B、F、H共圆，
∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆.
∴ ∠BGC=∠AFB=90
0
, ∴ BG⊥GC，
∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分
14．求所有正整数
x
，
y
，使得
x?3y
与
y? 3x
都是完全平方数．
解：若x=y，则x
2
+3x是完全平方数.
∵ x
2
＜x
2
+3x＜x
2
+4x+4= (x+2)
2
，
∴ x
2
+3x= (x+1)
2
，∴ x=y =1. ………………5分
若x＞y，则x
2
＜x
2
+3y＜x< br>2
+3x＜x
2
+4x+4= (x+2)
2
.
∵ x
2
+3y是完全平方数，
∴ x
2
+3y= (x+1)
2
，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
第 4 页
22
E
A
H
F
B
G
C
D

又 y
2
+3x= 4k
2
+4k+1+9k+3=4k
2
+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)
2
=4k
2
+8k+4＜4k
2
+13k+4＜4k
2
+16k+16= (2k+4)
2
，
∴ y
2
+3x=4k
2
+13k+4=(2k+3)
2
，
得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分




















2010年全国高中数学联赛江苏赛区
第 5 页

主讲：吴建明

一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 班级 姓名
xx
1．方程
9?1?3?5
的实数解为 ．
2．函数
y?sinx?cosx
(x?
R
)
的单调减 区间是 .
????????????????
????
3．在△
ABC
中，已知
AB?AC?4
，
AB ?BC??12
，则
AB
＝ .
4． 函数
f
?
x
?
?
?
x?2
??
x ?1
?
在区间
?
0,2
?
上的最大值是 ，最小值是 ．
5．在直角坐标系
xOy
中，已知圆心在原点
O
、半径为
R
的圆与△
ABC
的边有公共点，
其中
A?
?
4,0
?
、
B?
?
6,8
?、
C?
?
2,4
?
，则
R
的取值范围为 ．
6．设函数
f
?
x
?
的定义域为R，若
f?
x?1
?
与
f
?
x?1
?
都是关于
x
的奇函数，则函数
2
y?f
?
x
?
在 区间
?
0,100
?
上至少有 个零点.


7．从正方体的
12
条棱和
12
条面对角线中选出
n
条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则
n
的最大值为 ．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着
4
颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其 中
（第7题）
镀
2
金
2
银的概率是 ．
9．在三棱锥
A?BCD
中，已知
?ACB??CBD
，
?ACD??ADC??BCD??BDC

?
?
，且
cos< br>?
?
10
．已知棱
AB
的长为
62
，则此棱 锥的体积为 ．
10
ax
n
．若对任意
n?
N
*
都有
x
n?3
?x
n
，

x
n< br>?1
10．设复数列
?
x
n
?
满足
x
n
?a?1
，
0
，且
x
n?1
?
则a
的值是 ．

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
第 6 页

x
2
?y
2
?1
上的三点．若 11．直角坐标系
xOy
中，设
A
、
B
、
M
是椭圆
C:4
?????
3
????
4
????
x
2OM?OA?OB
，证明：线段
AB
的中点在椭圆
?2y
2?1
上．
55
2









12．已知整数列
?
a
n
?
满足
a
3
??1
，
a
7
?4
，前
6
项依次成等差数列，从第
5
项起依次
成等比数列．
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
(2) 求出所有的正整数
m
，使得
a
m
?a< br>m?1
?a
m?2
?a
m
a
m?1
a
m?2
．








13．如图，圆内接五边形
ABCDE
中，
AD
是外接圆的直径，< br>BE?AD
，垂足
H
.
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过点
H
作平行于
CE
的直线，与直线
AC
、
DC
分别交于点
F
、
G
．
证明： (1) 点
A
、
B
、
F
、
H
共圆；
(2) 四边形
BFCG
是矩形．












14．求所有正整数x
，
y
，使得
x
2
?3y
与
y
2
?3x
都是完全平方数．


B
G
C
A
H
F
D
E
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