高一数学经典例题及解法

高一数学经典例题及解法
集合

集合，本身就是一个强有力的数 学工具，高中数学学习的集合，可以说，仅仅
是集合世界里的沧海一粟，我们学习了集合的概念，子集交 集并集等概念，一
些简单的集合运算与集合间的关系，但是高中考查集合的题目，基本上属于容
易题，但也不乏中难题。做集合的题目，一定要细心，要特别当心的，比如有
没有讨论空集啊，真子集和 子集的区别啊，交集和并集有没有取错啊，等等。
基础知识
一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
A?B

?
3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
AUB

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
AIB

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

nnn
5．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
*
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
例题

【分析】A中至多有一个元素，换句话说，方程至多有一个解， 也就是说，要么，方程无解，
要么方程只有一个解。又因为二次项系数是a，我们不能确定这个方程到底 是一元一次方程
还是一元二次方程，所以就要对a是否等于0进行分类讨论。

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函数
高一的函数包 含了初中已学过的一次函数、二次函数、反比例函数，但是
更多的，注重这些函数本质的研究，研究的是 多种形式共存的函数的共性——
单调性、奇偶性、周期性等等，都是函数重要的性质。函数的多重转化， 也许

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一个函数只是一个数，也可以使一个式子，也可 以是多个不同种类的函数组成
一个新的函数。研究函数，不仅要从解析式，更要从图像、从实际应用的角 度
出发，构建一个完整的数学体系。
基础知识
一、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
?
b4ac? b
2
?
4ac?b
2
b
1、顶点坐标公式：
??
?
2a
,
4a
?
?
， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
mnm?n
（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a?a?a
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）( ab )
n
= a
n
? b
n

22
?
1
1
a
n
?a
?
m
n
（5）
??
?
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a
?n
?
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
n
n
n
2、根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.

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（2）当
n
为奇数时，
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
n
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

Y
Y
a > 1
0 < a < 1
5.指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

1
1
X
五、对数与对数函数
0
0
1对数的运算法则：
X
log
a
N

（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
= N
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
（10）推论
log
a
m
b
n
?
（11）log
a
N =
log
b
N

log
ba
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
e
A
log
N
a
（其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

Y
a >1
0 < a < 1
六、幂函数y = x
a
的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
X
0
1
1

0 < a < 1 a < 0
a > 1
0
例如： y = x
2

y?
Y
X
x?x

y?
1
2
1
?x
?1

x
七.图 象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单 位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则 对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
.
九、函数的零点：1.定义：对于
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫< br>y?f(x)
的零点。即
x

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y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
例题



:0≤x≤2→0≤2x≤4→f（x）定义域为【0,4】，又因为x≠1所以 g（x）定义域为【0,1）
∪（1,4】

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下面是关于二次函 数、一元二次方程、一元二次不等式的例题，这一部分
既是重点知识，也是高考必考的难点。

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