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高一数学集合典型例题、经典例题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:14
tags:高中数学例题

高中数学教学研讨会议记录-浅谈高中数学教学方法

2020年9月20日发(作者:毕诒策)


《集合》常考题型
题型一、集合元素的意义+互异性
例.设集合 {0}
例.已知
A
={2,4,
a
-2
a
a
+7},
B
={1,
a
+3,
a
-2
a
+2,
a

a
+3
a
+7},且
A< br>∩
B
={2,
5},则
A

B
=_____ _______________________
解:∵A∩B={2,5},∴5∈A.

a
-2
a

a
+7=5解得
a
=±1 或
a
=2.
①若
a
=-1,则B={1,2,5,4},则A∩B ={2,4,5},与已知矛盾,舍去.
②若
a
=1,则B={1,4,1,12}不成立,舍去.
③若
a
=2,则B={1,5,2,25}符合题意.则A∪B={1,2,4,5,25}.
题型二、空集的特殊性
例.已知集合
A?x?2?x?5,B?x?m?1?x?2m?1
,且BA,
则实数m的取值范围为_____________
例.已知集合
A?xax
2
?x?1?0,x?R

B?xx?0
,且
A?B?
?

求实数
a
的取值范围。
解:①当
a?0
时,
A?{x|x?1?0,x?R}?{?1}
,此时
AI{x|x?0}??

32
32232
????
??
??
QAI{x|x? 0}??
,②当
a?0
时,
?A??
或关于
x
的方 程
ax?x?1?0
的根均为负数.
(1)当
A??
时,关于x
的方程
ax?x?1?0
无实数根,
2
2
??1?4a?0
,所以
a?
2
1
.
4
(2)当关于
x
的方程
ax?x?1?0
的根均为负数时 ,
?
?
??1?4a?0
1
?
?
1
1< br>?
a?
?
4
?
0?a?
.

?
x
1
?x
2
???0
?
?
a
4< br>?
?
a?0
?
1
?
x
1
?x
2
??0
?
a
?
综上所述,实数
a
的取值范围为
{aa?0}
.
题型三、集和的运算
例.设集合
S
={
x
|
x
>5或
x
<-1},
T
={
x
|
a
<
x
<
a
+8},
S

T
=R,

a
的取值范围是________________- 3<
a
<-1

例.集合M={
x
|
x
=+,
k
∈Z},N={
x
|
x
=
k
+ ,
k
∈Z},则(C )


=N????? ?N??? ??M???? ∩N=?

解:∵M中:
x
=+=;
N中:
x
=
k
+=
n
+,
k
=
n
∈Z,∴N?M.故选:C.

例.全集
U?
??
x,y
?
|x,y?R
?
,集合
M?
?
?
x,y
?
|
?
?
y?2
?
?1
?

N?
??
x,y< br>?
|y?x?4
?

x?2
?
2)
?
______________ 则
?C
U
M
?
?
?
C
U
N
?等于__
?
(2,
题型四、创新题
例.定义集合A与B的运算A*B= {
x
|
x
∈A或
x
∈B,且
x
?A∩B} ,则(A*B)*A等于(D)
∩B????∪B??????????
解:如图,A*B表示的是阴影部分,

设A*B=C,根据A*B的定义可知:C*A=B,所以(A*B)*A=B,故答案为D
例.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合
A
的幂集,记为,用表示有限集的元素个数 ,
给出下列命题:
①对于任意集合,都有
A?P
?
A
?

②存在集 合
A
,使得
n
?
P
?
A
?
??3

③用
?
表示空集,若,则
P
?
A?
?P
?
B
?
??

④若
A?B< br>,则
P
?
A
?
?P
?
B
?

⑤若,则.其中正确的命题为_①④⑤_________(填序号)
对于命题①,,因此,命题①正确;
对于命题②,若集合的元素个数为
m
,则集合的子集共
2
个,若,则
,解得
m?log
2
3?N
,命题②错误;
对于命题③,若
A?B??
,由于
??A

??B
,因此,
??P
?
B
?
,所以
,则,命题③错误;
对于命题④,若,对集合的任意子集
E?A
,即对任意
E?P
?
A
?
,则
E?B


E?P
?
B
?
,因此,命题④正确;
对于命题⑤,设< br>n
?
B
?
?n
,则
n
?
A
?
?n?1
,则集合的子集个数为,即
m


,集合的子集个数为,即
n
?
P
?
B
?
?
?2
,因此
n
,命题⑤正确,
故正确的命题为①④⑤_
变式训练:

1.已知集合,集合,若,则实数 1
2.设集合
M
={
x
|
x
<3},
N
={
x
|
x
>-2},
Q
={
x
|
x

a
≥0},令
P

M

N
,若
P

Q

Q

则实数
a
的取值范围为__________________
解:
P

M

N
={
x
|-2<
x
<3},
Q
={
x
|
x

a
},

P

Q

Q
,∴
P
?
Q.∴
a
≤-2,即实数
a
的取值范围是{
a
|
a
≤-2}
3.若集合{2,3}
?
M
?
{1,2,3, 4,5,6,7,8,9},则集合M共有__________个。 126??
??
解:2-2=126;
4.定义集合P={
x
|
x
=3
k
+1,
x
∈Z},Q={
x
|
x< br>=3
k
-1,
x
∈Z},M={
x
|
x=3
k

x
∈Z}.
2

a
∈P,
b
∈Q,
c
∈M,则
a
+
b
-
c
∈(b)
??????????????????∪Q
5.已知全集U=N,
A?{xx?2n,n?
N },
B?{xx?4n,n?
N },则( C )
A.U=
AUB
B.U=(
C
U
A

UB

C.U=
AU(C
U
B)
D.U=
(C
U
A)U(C
U
B)

6.已知集合 ,
,则,,的关系( B )
=N?P????N=P????N?P????P?M
解:


, M,N,P三者分母相同,
所以只需要比较他们的分子.M:6的倍数+1,N=P:3的倍数+1,所以M?N=P.
7.已知集合
A?x|2x?3x?1?0

B?x|mx?
?
m? 2
?
x?1?0
,若
A?B?A
,则实
222
7< br> ,




??
??

m
的取值范围为_____________
?
mm??
?
?
2
?
或m?2或m?0
?

3
?
8.已知集合
A?
?
x|?2?x?a
?

B?
?
y| y?2x?3,x?A
?

C?z|z?x
2
,x?A

??


(??,?2)?[,3]

C?B
,求实数
a
的取值范围。
9.已知集合A={
x
|
x
-4< br>ax
+2
a
+6=0,
x
∈R},集合B={
x|
x
<0},若A∩B≠?,则实数
a
的取值范围
为_____ _______________________
解:因为A∩B≠?,所以方程
x-4
ax
+2
a
+6=0有负根;…(1分)
设方程的根为
x
1

x
2

(1)恰有一个负根:

解得:或,即
a
≤-3
(2)恰有2个负根
解得:,即-3<
a
≤-1,所以
a
的取值范围是{
a
|
a
≤-1}
2
2
1
2


10.设集合M={1,2,3,4,5,6},S
1
、S
2
、…、S
k
都是M的含两个元素的子集,且满足:对任
?
?
a
i
b
i
?
?
a
j
b
j
?
?
意的S
i
={
a
i

b
i
},S
j
={
a
j

b
j
}(< br>i

j

i

j
∈{1,2,3,…,k
}),都有
min
?
,
?

min
?
,
?

?
?
b
i
a
i
?
?
b
j
a
j
?
?
(
min{
x

y
}表示两个数
x

y
中的较 小者).则
k
的最大值是_______________11????
解:根据题意,对于M,含2个元素的子集有15个, 但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个;
{1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个.
故满足条件的两个元素的集合有11个;

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