高中数学教学研讨会议记录-浅谈高中数学教学方法
《集合》常考题型
题型一、集合元素的意义+互异性
例.设集合
{0}
例.已知
A
={2,4,
a
-2
a
-a
+7},
B
={1,
a
+3,
a
-2
a
+2,
a
+
a
+3
a
+7},且
A<
br>∩
B
={2,
5},则
A
∪
B
=_____
_______________________
解:∵A∩B={2,5},∴5∈A.
∴
a
-2
a
-
a
+7=5解得
a
=±1
或
a
=2.
①若
a
=-1,则B={1,2,5,4},则A∩B
={2,4,5},与已知矛盾,舍去.
②若
a
=1,则B={1,4,1,12}不成立,舍去.
③若
a
=2,则B={1,5,2,25}符合题意.则A∪B={1,2,4,5,25}.
题型二、空集的特殊性
例.已知集合
A?x?2?x?5,B?x?m?1?x?2m?1
,且BA,
则实数m的取值范围为_____________
例.已知集合
A?xax
2
?x?1?0,x?R
,
B?xx?0
,且
A?B?
?
,
求实数
a
的取值范围。
解:①当
a?0
时,
A?{x|x?1?0,x?R}?{?1}
,此时
AI{x|x?0}??
;
32
32232
????
??
??
QAI{x|x?
0}??
,②当
a?0
时,
?A??
或关于
x
的方
程
ax?x?1?0
的根均为负数.
(1)当
A??
时,关于x
的方程
ax?x?1?0
无实数根,
2
2
??1?4a?0
,所以
a?
2
1
.
4
(2)当关于
x
的方程
ax?x?1?0
的根均为负数时
,
?
?
??1?4a?0
1
?
?
1
1<
br>?
a?
?
4
?
0?a?
.
?
x
1
?x
2
???0
?
?
a
4<
br>?
?
a?0
?
1
?
x
1
?x
2
??0
?
a
?
综上所述,实数
a
的取值范围为
{aa?0}
.
题型三、集和的运算
例.设集合
S
={
x
|
x
>5或
x
<-1},
T
={
x
|
a
<
x
<
a
+8},
S
∪
T
=R,
则
a
的取值范围是________________-
3<
a
<-1
例.集合M={
x
|
x
=+,
k
∈Z},N={
x
|
x
=
k
+
,
k
∈Z},则(C )
=N?????
?N??? ??M???? ∩N=?
解:∵M中:
x
=+=;
N中:
x
=
k
+=
n
+,
k
=
n
∈Z,∴N?M.故选:C.
例.全集
U?
??
x,y
?
|x,y?R
?
,集合
M?
?
?
x,y
?
|
?
?
y?2
?
?1
?
,
N?
??
x,y<
br>?
|y?x?4
?
,
x?2
?
2)
?
______________ 则
?C
U
M
?
?
?
C
U
N
?等于__
?
(2,
题型四、创新题
例.定义集合A与B的运算A*B=
{
x
|
x
∈A或
x
∈B,且
x
?A∩B}
,则(A*B)*A等于(D)
∩B????∪B??????????
解:如图,A*B表示的是阴影部分,
设A*B=C,根据A*B的定义可知:C*A=B,所以(A*B)*A=B,故答案为D
例.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合
A
的幂集,记为,用表示有限集的元素个数
,
给出下列命题:
①对于任意集合,都有
A?P
?
A
?
;
②存在集
合
A
,使得
n
?
P
?
A
?
??3
;
③用
?
表示空集,若,则
P
?
A?
?P
?
B
?
??
;
④若
A?B<
br>,则
P
?
A
?
?P
?
B
?
;
⑤若,则.其中正确的命题为_①④⑤_________(填序号)
对于命题①,,因此,命题①正确;
对于命题②,若集合的元素个数为
m
,则集合的子集共
2
个,若,则
,解得
m?log
2
3?N
,命题②错误;
对于命题③,若
A?B??
,由于
??A
,
??B
,因此,
??P
?
B
?
,所以
,则,命题③错误;
对于命题④,若,对集合的任意子集
E?A
,即对任意
E?P
?
A
?
,则
E?B
,
则
E?P
?
B
?
,因此,命题④正确;
对于命题⑤,设<
br>n
?
B
?
?n
,则
n
?
A
?
?n?1
,则集合的子集个数为,即
m
,集合的子集个数为,即
n
?
P
?
B
?
?
?2
,因此
n
,命题⑤正确,
故正确的命题为①④⑤_
变式训练:
1.已知集合,集合,若,则实数
1
2.设集合
M
={
x
|
x
<3},
N
={
x
|
x
>-2},
Q
={
x
|
x
-
a
≥0},令
P
=
M
∩
N
,若
P
∪
Q
=
Q
,
则实数
a
的取值范围为__________________
解:
P
=
M
∩
N
={
x
|-2<
x
<3},
Q
={
x
|
x
≥
a
},
∵
P
∪
Q
=
Q
,∴
P
?
Q.∴
a
≤-2,即实数
a
的取值范围是{
a
|
a
≤-2}
3.若集合{2,3}
?
M
?
{1,2,3,
4,5,6,7,8,9},则集合M共有__________个。 126??
??
解:2-2=126;
4.定义集合P={
x
|
x
=3
k
+1,
x
∈Z},Q={
x
|
x<
br>=3
k
-1,
x
∈Z},M={
x
|
x=3
k
,
x
∈Z}.
2
若
a
∈P,
b
∈Q,
c
∈M,则
a
+
b
-
c
∈(b)
??????????????????∪Q
5.已知全集U=N,
A?{xx?2n,n?
N
},
B?{xx?4n,n?
N },则( C )
A.U=
AUB
B.U=(
C
U
A
)
UB
C.U=
AU(C
U
B)
D.U=
(C
U
A)U(C
U
B)
6.已知集合
,
,则,,的关系( B )
=N?P????N=P????N?P????P?M
解:
,
,
, M,N,P三者分母相同,
所以只需要比较他们的分子.M:6的倍数+1,N=P:3的倍数+1,所以M?N=P.
7.已知集合
A?x|2x?3x?1?0
,
B?x|mx?
?
m?
2
?
x?1?0
,若
A?B?A
,则实
222
7<
br> ,
,
.
??
??
数
m
的取值范围为_____________
?
mm??
?
?
2
?
或m?2或m?0
?
3
?
8.已知集合
A?
?
x|?2?x?a
?
,
B?
?
y|
y?2x?3,x?A
?
,
C?z|z?x
2
,x?A
,
??
(??,?2)?[,3]
且
C?B
,求实数
a
的取值范围。
9.已知集合A={
x
|
x
-4<
br>ax
+2
a
+6=0,
x
∈R},集合B={
x|
x
<0},若A∩B≠?,则实数
a
的取值范围
为_____
_______________________
解:因为A∩B≠?,所以方程
x-4
ax
+2
a
+6=0有负根;…(1分)
设方程的根为
x
1
,
x
2
(1)恰有一个负根:
或
解得:或,即
a
≤-3
(2)恰有2个负根
解得:,即-3<
a
≤-1,所以
a
的取值范围是{
a
|
a
≤-1}
2
2
1
2
10.设集合M={1,2,3,4,5,6},S
1
、S
2
、…、S
k
都是M的含两个元素的子集,且满足:对任
?
?
a
i
b
i
?
?
a
j
b
j
?
?
意的S
i
={
a
i
,
b
i
},S
j
={
a
j
,
b
j
}(<
br>i
≠
j
,
i
、
j
∈{1,2,3,…,k
}),都有
min
?
,
?
≠
min
?
,
?
?
?
b
i
a
i
?
?
b
j
a
j
?
?
(
min{
x
,
y
}表示两个数
x
、
y
中的较
小者).则
k
的最大值是_______________11????
解:根据题意,对于M,含2个元素的子集有15个,
但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个;
{1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个.
故满足条件的两个元素的集合有11个;
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