高一数学集合典型例题经典例题

《集合》常考题型
题型一、集合元素的意义+互异性
例1.1.设集合A?
?
x|x?2?2
?
,B?
?
y|y??x
2
,?1?x?2
?
,则AB?
｛0｝
例1.2.已知A＝{2 ，4，a
3
－2a
2
－a＋7}，B＝{1，a＋3，a
2
－2a＋2，a
3
＋a
2
＋3a＋7}，
且A∩B＝{2，5}，则 A∪B=____________________________
解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A.
∴a
3
－2a
2
－a＋7＝5解得a＝±1或a＝2.
①若a＝－1，则B＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去．
②若a＝1，则B＝{1，4，1，12}不成立，舍去．
③若a＝2，则B＝{1，5，2，25}符合题意．则A∪B＝{1，2，4，5，25}．
题型二、空集的特殊性
例2.1.已知集合
A?
?
x?2?x?5
?
,B?
?
x?m?1?x?2m?1
?
，且BA，
则实数m的取值范围为_____________
例2.2.已知集合
A?
?
xax
2
?x?1?0，x?R
?
，
B?
?< br>xx?0
?
，且
A?B?
?
，
求实数
a
的取值范围。
解：①当
a?0
时，
A? {x|x?1?0,x?R}?{?1}
，此时
A{x|x?0}??
；
② 当
a?0
时，
A{x|x?0}??
，
?A??
或关于x
的方程
ax
2
?x?1?0
的根均为负数.
（1） 当
A??
时，关于
x
的方程
ax
2
?x?1?0< br>无实数根，
??1?4a?0
，所以
a?
1
.
4
（2）当关于
x
的方程
ax
2
?x?1?0
的根均 为负数时，
?
?
??1?4a?0
1
?
?
a?< br>1
1
?
?
??
x?x???0
0?a?
.< br>
4
?
?
12
a
4
?
?
a ?0
?
1
?
x?x??0
12
?
a
?综上所述，实数
a
的取值范围为
{aa?0}
.
题型三、集和的运算

例3.1.设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝ {x|a则
a
的取值范围是
_______ _________
－
3－
1

例
3.2.
集合
M={x|x=+
，
k
∈
Z}
，
N= {x|x=k+
，
k
∈
Z}
，则（
C
）

A.M=N?????B.M
?
N????C.N
?
M????D. M∩N=
?
解：∵M中：
x
=+=；
N中：
x
=
k
+=
n
+，
k
=
n
∈Z，∴N?M． 故选：C．
y?2
?
例3.3.全集
U?
??
x,y?
|x,y?R
?
，集合
M?
?
??
x,y| ?1
?
，
N?
??
x,y
?
|y?x?4
?
，
?
?
x?2
?
2)
?
______ ________
则
?
C
U
M
?
?
?< br>C
U
N
?
等于__
?
(2，
题型四、创新题
例4.1.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B，且x?A∩B}，则(A*B)*A 等于（D）
A.A∩B????B.A∪B????C.A??????D.B
解：如图，A*B表示的是阴影部分，

设A*B=C，根据A*B的定义可知：C*A=B，所以(A*B)*A=B，故答案为D
例4.2.定义一个集合
A
的所有子集组成的集合叫做集合
A
的幂集，记为< br>P
?
A
?
，用
n
?
A
?
表
示有限集
A
的元素个数，给出下列命题：
①对于任意集合
A
，都有
A?P
?
A
?
；
②存在集合
A
，使得
n
?
P
?
A
?
?
?3
；
③用
?
表示空集，若
A?B??，则
P
?
A
?
?P
?
B
?
? ?
；
④若
A?B
，则
P
?
A
?
?P
?
B
?
；
⑤若
n
?
A
?< br>?n
?
B
?
?1
，则
n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B
?< br>?
.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号）
对于命题①，
A?A
，因此
A?P
?
A
?
，命题①正确；

对于命题②，若集合
A
的元素个数为
m
，则集合
A
的子集共
2
m
个，若
n
?
P
?
A
?
?
?3
，则
2
m
?3
，解得
m?l og
2
3?N
，命题②错误；
对于命题③，若
A?B??
，由于
??A
，
??B
，因此
??P
?
A
?
，
??P
?
B
?
，所以
??
?
P
?
A
?
?P
?
B
?
?
，则< br>P
?
A
?
?P
?
B
?
??
，命题③错误；
对于命题④，若
A?B
，对集合
A
的任意子集E?A
，即对任意
E?P
?
A
?
，则
E?B< br>，
则
E?P
?
B
?
，因此
P
?< br>A
?
?P
?
B
?
，命题④正确；
对于命题 ⑤，设
n
?
B
?
?n
，则
n
?
A
?
?n?1
，则集合
A
的子集个数为
2
n?1，即
n
?
P
?
A
?
?
?2
n?1
?2?2
n
，集合
B
的子集个数为
2
n，即
n
?
P
?
B
?
?
?2
n
，因此
n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B
?
?
，命题⑤正确，
故正确的命题为①④⑤_
变式训练：
1.已知集合
A?
?
?1,3,2m?1
?
，集合
B?
?
3,m
2
?
，若
B?A
，则实数
m?
1
2.设集合M＝{x|x＜3 }，N＝{x|x＞－2}，Q＝{x|x－a≥0}，令P＝M∩N，若P∪Q＝Q，
则实数a的取值范围为__________________
解：P＝M∩N＝{x|－2＜x＜3}，Q＝{x|x≥a}，
∵P∪Q＝Q，∴P?Q.∴a≤－2，即实数a的取值范围是{a|a≤－2}
3.若集合 {2，3}
?
M
?
{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M共有 __________个。
??
126??
解：2
7
-2=126；
4.定义集合P={
x
|
x
=3
k
+1，
x
∈Z}，Q={
x
|
x
=3
k
-1，
x
∈Z}，M={
x
|
x
=3
k
，
x
∈Z}.
若
a
∈P，
b
∈Q，
c
∈M，则
a
2
+
b
-
c
∈（b）
A.P??????B.M??????C.Q??????D.P∪Q 5.已知全集U=N，
A?{xx?2n,n?
N}，
B?{xx?4n,n?< br>N}，则（C）
Ａ.U=
AB
Ｂ.U=（
C
U
A< br>）
B

Ｃ.U=
A(C
U
B)
Ｄ.U=(C
U
A)(C
U
B)

6.已知集合，
，则，，的关系( B )
，
A.M=N?P???B.M?N=P???C.M?N?P???D.N?P?M
解：
，
，
，M，N，P三者分母相同，
所以只需要比较他们的分子．M：6的倍数+1，N=P：3的倍数+1，所以M?N=P.
7.已知集合
A?
?
x|2x
2
?3x?1?0
?
，
B?
?
x|m
2
x
2
?
?
m? 2
?
x?1?0
?
，若
A?B?A
，则实数
m的
?
取值范围为_____________
?
?
mm??或m ?2或m?0
?

??
2
3
，


．
8.已知集合
A?
?
x|?2?x?a
?
，< br>B?
?
y|y?2x?3,x?A
?
，
C?
?
z|z?x
2
,x?A
?
，
（??,?2）?[,3]
且
C?B
，求实数
a
的取值范围。
1
2
9.已知集 合A={x|x
2
-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠ ?，则实数
a的取值范围为____________________________
解：因为A∩B≠?，所以方程x
2
-4ax+2a+6=0有负根；…(1分)
设方程的根为x
1
，x
2

(1)恰有一个负根：
或
解得：或

，即a≤-3

(2)恰有2个负根

解得：，即-3＜a≤-1，所以a的取值范围是{a|a≤-1}

< br>10.设集合M={1，2，3，4，5，6}，S
1
、S
2
、…、S
k
都是M的含两个元素的子集，
且满足：对任意的S
i
={a
i
，b
i
}，S
j
={a
j
，b
j}(i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k})，都有
?
?
a
i
b
i
?
?
a
j
b
j
?
min< br>?
,
?
≠min
?
,
?
?
(min {x，y}表示两个数x、y中的较小者)．则k的最大值是
ba
ba
?
?< br>ii
?
?
jj
?
?
_______________ 11????
解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3 ，6}只
能取一个；
{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，
故满 足条件的两个元素的集合有11个；
6}只能取一个.