高中数学经典例题错题详细讲解

高中数学经典例题、错题
详解

【例1】 设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从
M到N的映射是（ ）
MNMNMNMN
1
2
3
A
e
g
h< br>1
2
3
B
e
g
h
1
2
3< br>C
e
g
h
1
2
3
D
e
g< br>h
映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合< br>A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B
为从 集合A到集合B的一个映射。
函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对于集
合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A
到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）
映射与函数的区别与联系：
函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊
对应；函数是 特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定
是函数，映射与函数都是特殊的 对应。
1
可以是“一对一”；
2
可以是“多对一”；映射与函数（特殊对应 ）的共同特点：○○
3
不能“一对多”；○
4
A中不能有剩余元素；○
5
B中可以有剩余元素。 ○
映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可 以是点集、数集或由
图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射 往
往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求
B中的 每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的
象都是唯一的；（5）一 一映射是一种特殊的映射
方向性
上题答案应选 C
3
不能“一对多” ，所以A、B、D都错误；只有C完全【分析】根据映射的特点○
满足映射与函数（特殊对应）的全部5 个特点。
本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

【例2】 已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1 、x
2
）,
（1）求
2
在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中 的对应元素
【分析】（1）将x=
2
代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（< br>2
+1、1）；
（2）由题意得：x+1=2,x
2
=1 得出x=1， 即（2、1）在A中的对应元素为1

【例3】 设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（ ）；
（2）可建立从B到A的映射个数（ ）
【分析】 如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B
的映射共有 n
m
个；集合B到集合A的映射共有 m
n
个，所以答案为2
3
=9；3
2
=8

【例4】 若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（ ）
A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0
奇函数性质：
1、图象关于原点对称； 2、满足f(-x) = - f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性一致； 4、
如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有
的）
偶函数性质：
1、 图象关于y轴对称； 2、满足f(-x) = f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性相反； 4、< br>如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函
数 共有的）
基本性质：
唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。
通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x
2
。
两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数
【分析】
f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，
当X﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A正确，B错误；
f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C错误；
f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D错误

【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x≤0时，f(x)=
1?x
，求：（1）f(5)的值；
1?x
（2）f(x)=0时x的值；（3）当x＞0时，f(x)的解析式
【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用
【分析及解答】
（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=
1?（-5）2
=—
1（--5）3
（2）当x≤0时，f(x)=0 可求x，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x，
即当x≤0时，
1?x
=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1
1?x

（3）当x＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=
1?(?x)
1?x
=
1?(?x)
1?x
2
e?1
【例6】 若f(x)=e
x
+ae
-x
为偶函数，则f(x-1)＜的解集为（ ）
e
A.（2，+∞） B.（0,2） C.（-∞，2） D.（-∞，0）∪（2，+∞）
【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用
【分析及解答】
根据函数奇偶性的性质先求出a值，结合函数单调性的性质求解即可
∵f(x)=e
x
+ae
-x
为偶函数，∴f(-x)=e
-x
+ae
x< br>= f(x)= e
x
+ae
-x
，∴a=1，
∴f(x) =e
x
+e
-x
在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
1
e
2
?1
则由f(x-1)＜=e+， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B正确
e
e
【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a值是解题关键

【例7】 函数 f(x)=
ax?b2
1
是定义在(-1,1)上的奇函数，且f()=，（1）确定 函数f(x)
2
2
5
1?x
的解析式；（2）证明f(x)在(-1 ,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0
【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用
【分析及解答】
（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，
1a
22x
2
1
由f(
2
)=，所以=，得出a=1，所 以f(x)=
2
1
2
55
1?x
1?()
2
（2） 根据函数单调性的定义即可证明
任取-1 ＜x
1
＜x
2
＜1，f (x
1
)—f(x
2
)=
x
1
1?x
1< br>2
—
x
2
1?x
2
2
=
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
(1?x
1
)(1?x
2
)
22

因为-1 ＜x
1
＜x
2
＜1，所以x
1
-x
2
＜0，1—x1
x
2
＞0，所以f(x
1
)—f(x
2
) ＜0，
得出f(x
1
) ＜f(x
2
)，即f(x)在(-1,1)上为增函数
（3） 根据函数的奇偶性、 单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一
不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)为奇函
1
，数，所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x○
2
，-1 ＜x＜1○
3
，联立○
1
○
2
○
3
得 0 ＜ x＜因为-1 ＜2x-1＜1○
1
，所以解不等
3
式f(2x-1)+ f(x) ＜0的解集为（0，
1
）
3
【点评】 本题考查函数的奇偶性、 单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调
性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化 为具体不等式处理。

【例8】 定义在R上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等

式x f(x) ＜0的解集为（ ）
【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用
【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x )
草图，根据图像可解不等式。
解：∵ f(x)在R上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）上
也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0
作出f(x)的草图，如图所示：
y
-303
x

?
x?0
?
x?0
由图像得：x f(x) ＜0
?
?
或
?
?

f(x)?0f(x)?0
??
0﹤x﹤3或-3﹤x﹤0，
∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）
【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函
数的草图是解题关键。

【例9】 已知f（x+1）的定义域为[-2,3]，则f（2x+1）的定义域为（ ）
抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a，b），求f（x）的定 义域：
利用a＜x＜b，求得g（x）的范围就是f（x）的定义域；（2）函数y=f（x）的定义域
是（a，b），求y=f[g(x)]的定义域：利用a＜g(x)＜b，求得x的范围就是y=f[g (x)]的定
义域。
【考点】 函数定义域极其求法
【分析及解答】 由f（x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f（x）的定义域，再由2x+1在
函数f（x）的定 义域内求解x的取值集合，得到函数f（2x+1）的定义域。
解：由f（x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4
?
0≤x ≤
5

2
∴ f（2x+1）的定义域是[0，
5
]，故选A
2
【点评】 本题考查了复 合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a，b），求
函数f（x）的定义域，就是 求x∈（a，b）内的g(x)的值域；给出函数f（x）的定义域
是（a，b），只需由a＜g(x) ＜b，求解x的取值集合即可。

【例10】 已知函数f(x)=x
7
+ax
5
+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ）
A. -15 B. 15 C.10 D.-10

【考点】 函数的值；奇函数
【分析及解答】 令g(x)= x
7
+ax
5
+bx，则g(-3)=
解法1：f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=- f(3)-10=5，∴
f(3)=-15
解法2：设g(x)= x7+ax5+bx，则g(x)为奇函数，f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5
∴g(3)=-10, ∴f(3)= g(3)-5=-15

【例11】 已知二次函数f（x）=x
2
+x+a (a﹥0)，若f（m）﹤0，则f（m+1）的值为
（ ）
A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关
解法1：因为f(m)<0 所以m2+m+a<0，因为a>0.所以m2+m<0，所以-13
2
1
)-+a.
24
31
因为-12
>， 所以f(m+1)>0 答案为A
24
f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+
解法2： f(x)=x?+x+a=x(x+1)+a
∵ f(m)=m(m+1)+a＜0 ∴m(m+1) ＜-a ， ∵ a＞0，且m＜m+1 ∴m＜0,m+1
＞0
∵(m+1)? ≥0 即：f(m+1)=(m+1)?+(m+1)+a＞0 ∴ f(m+1)＞0 选A
【例12】 函数f(x)= ︱x
2
-2x︱—m有两个零点，m的取值范围（ ）
解：令f(x)= ︱x
2
-2x︱—m=0，则︱x
2
-2x︱= m，作y=︱x
2
-2x︱和y= m的图像
要使f(x)= ︱x
2
-2x︱—m有两个零点，则图像y=︱x
2
-2x︱和y= m有两个交点



【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x)+2在区间（0，+∞）上
有最大值5，那么F(x)在区间（-∞，0）上的最小值为（ ）
解法1：根据题意，得 a·f(x)+b·g(x)在(0,+∞)上有最大值3, 所以，a ·f(x)+b·g(x)
在(-∞,0)上有最小值-3,故F(x)=a·f(x)+b·g(x) +2在(-∞,0)上有最小值-1.
解法2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到，由题意
G(x)=a f(x)+b g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上是奇函数，在（0，+∞）上有最大值3，
那 么在（-∞，0）上有最小值-3，那么F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值 -1.
【例14】对于每个实数x，设f(x)取y=x+1，y=2x+1，y=-
1x三个函数中的最大值，
2
用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小 值为（ ）

【例15】已知函数f(x) =x
2
+ax+3，（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
（2 ）当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围
解（2）函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a／2，依题意得
①当-a／2≤- 2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-2)=4-2a+3≥a，无解
②当- 2＜-a／2＜2，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-a／2)≥a，得-4＜a≤2 < br>③当-a／2≥2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(2)=4+2a+3≥a，得 -7≤a≤-4
综上所述得：-7≤a≤2
解法2：

【例16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）
x
2
?9
A. y=与y=x+3 B. y=
x
2
?
1
与y=x-1
x?3
C. y=x
0
(x≠0)与y=1（x≠0） D. y=2x+1（x∈Z）与y=2x-1（x∈Z）
x
2
?9
解：A. y==x+3（x≠3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；
x?3
B. y=
x
2
-1=|x|-1与 y=x-1对应关系不同，不是相等的函数；

C. y=x
0
=1（x≠0）与y=1（x≠0）是相等函数；正确
D. y=2x+1，x∈Z 与y=2x-1，x∈Z对应关系不同，不是相等函数．
【 例17】函数y=4x
2
-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数，在区间（-∞，2]上 是减函
数，则f(1)=（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25
解：由已知中函数的单调区间，可得函数y=4x
2
-mx+5的图像关于 直线x=-2对称，因
为函数y=4x
2
-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数 ，在区间（-∞，2]上是减函数，故函
数y=4x
2
-mx+5的图像关于直线x= -2对称，故
f(1)=25
【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：_________
（1）、
f(x)?
m
??
2
，m=-16，y=4x
2
+16x +5，
8
(x?3)(x?5)
，
g(x)?x?5
（2）、
f(x)?x?1x?1

x?3
、
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
g(x)?x
3
x?1
x
2
（4）
（3）、
f(x)?x
，
g(x)?
2
（5）、
f(x)?(2x?5)
，
g(x) ?2x?5

【例19】函数
f
(
x
)
?ax?< br>4(
a?
1)
x?
3
在区间[-2，+∞）上递增，则a的取 值范围
2
______
【例20】函数
f
(
x
)
?x?
2(
a?
1)
x?
2
在区间(-∞，4]上 是减函数，则实数a的取值
2
范围是（ ） A.a≤3 B.a≥3 C. a≥-3 D. a≤5 E. a≤-3
【例21】已知
f(x)是定义在（-2,2）上的减函数，并且
f(m?1)?f(1?2m)
>0，求
实数m 的取值范围
【例22】若集合
A?xx?1,x?R
2
?
?
，
B?
?
y
则A∩B=（ ）
y
2< br>?x
2
,x?R
?
，
A.{x∣-1≤x≤1} B. {x∣0≤x≤1} C. {x∣x≥0} D.Φ
设
f(x)
是定 义在R上的奇函数，当x≤0时，
f(x)
=2x
2
-x,则
f(1 )
=（ ）
A.-3 B. -1 C. 1 D.3
?
1?x
2
,x?1
函数
f(x)
=
?
2
则
?
x?x?3,x?1

?
1
?
f
?
?
f(3)
?
?
的值为（ ）
??

1?x
2
(
x?
0)
,那么
f(0 )
等于（ ）
【例23】已知
f(2x?1)?
x
2【例24】已知集合
A?xx
2
?
2
x?
3
?
0
?
，
B?
?
，若B∩A=B，实数a的值为
（ ）
A.3 B. 6 C. 8 D.10
【例25】函数
y?
?
x(x?1)?x
的定义域为（ ）
A.{x∣x≥0} B. {x∣x≥1} C. {x∣x≥1}∪{0} D. {x∣0≤x≤1}
【例26】下列判断正确的是（ ）
x
2
?2x
A.函数
f(x)?
是奇函数 B.函 数
f(x)?x?x
2
?1
是
x?2
y
非奇函数
C.函数
f(x)?(1?x)
函数又是偶函数
【例27】
y?
A.(-∞，-
1?x
是偶函数 D.函数< br>f(x)
=1即是
1?x
(-1,0)
0
(3,0)
x
奇
?x
2
?
3
x?
4
的单调区间是（ ）
2222
] B.[-，+∞) C.[-4, -] D. [ -，1]
3333
【例28】设
f(x)
是奇函数，且在区间（0，+∞） 内是增函数，又
f(?3)
=0， 则
f(x)
﹤0的解集是（ ）A.{x∣-3﹤x﹤0或x>3} B.{x∣0﹤x﹤3或x﹤-3}
C. {x∣x﹤-3或x>3} D. {x∣-3﹤x﹤0或0﹤x﹤}
【例29】函数< br>f
(
x
)
?ax?bx?cx?
3
，
f(? 3)
=7，则
f(3)
=_________
53
【思考】
1、已知二次函数y=x
2
-2x-3，试问x取哪些值时y=0？
代数法：求方程x
2
-2x-3=0的根，x
1
=-1 x
2
=3
几何法：求函数函数y=x
2
-2x-3的图象与x轴的 交点的横坐标（-1，3），此时，-1与
3也称为函数y=x
2
-2x-3的零点 [零点的定义：对于函数
y?f(x)
，我们把使
f(x)
=0
的实 数x叫做函数
y?f(x)
的零点。] 注意：零点指的是一个实数！

22
ax?bx?c?0??b?4ac
﹥0时，方程（a﹥0）的根：有两个不相等的实 数根x1、
2
y?ax?bx?c
（a﹥0）的图象与x轴有两个交点（x1、0）x 2，函数，（x2，0），函
数的零点为x1、x2；
??b?4ac
=0时，有两个 相等的实数根x1=x2，函数
2
y?ax
2
?bx?c
（a﹥0） 的图象与x轴有一个交点（x、0），函数的零点为x
1
；
1
??b
2
?4ac
﹤0时，没有实数根，函数
y?ax
2
?bx?c
（a﹥0）的图象与x轴没有
交点，函数没有零点。（即：函数
y?f(x)
的零点 就是方程
f(x)?0
的实数根，也就是
函数
y?f(x)
的图象与 x轴的交点的横坐标。方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)
的图象x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点）
※函数零点存在性定理：
如果函数
y?f(x)
在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有
，使得
f(a)?f(b)
<0，那么，函数
y?f(x)
在区间(a,b)内有零点，即存在c∈（a,b）
?
y?f(x)连续
这个c也就是方程
f(x)?0
的根,即
?
（a，
f(c)
=0，
?
函数
y?f(x)
在
?
f(a)?f(b )?0
b）内有存在零点；
但是函数
y?f(x)
在区间（a，b）上有零 点，则不一定有
f(a)?f(b)
<0；
同样，若函数
y?f(x)在区间（a，b）上有零点，且有
f(a)?f(b)
<0，函数的零点个
数是否 唯一呢？答案是否定的，不一定唯一，零点个数唯一存在的条件：
?
y?f(x)连续
?
?
f(a)?f(b)?0?
函数
y?f(x)
在（a，b）内存 在唯一零点
?
y?f(x)单调
?
【例题】求函数
f(x)
=lnx+2x—6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应表值（下表）和图象
x
f(x)
1
-4
2
-1.3
3
-1.1
4
3.4
5
5.6
6
7.8
7
10
8
12

由上表上图可知，f(2)<0，f(3)>0即
f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间（2,3）内有零点，由于函数f（x）在定
义域（0， +∞）内是增函数，所以它仅有一个零点。

2、求函数
f(x)
=3x+2的零点
解：令
f(x )?0
，即3x+2=0，得x=
?
22
，所以
f(x)
= 3x+2的零点是
?

33
3、已知函数
f(x)
=x2
-2x+m有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
A.m<1 B.m>1 C.m>2 D.1解：根据题意
??
b
?
4ac
﹥0，即4—4m>0，得出m<1。
2
4、函数
f(x)
=x
3
—x的图象与x轴有（ ）个交点 A.1 B.2 C.3 D.4
5、函数
f(x)?2?x?9
的零点所在的大致区间是（ ）
x
A.（1,2） B.（2，3） C.3（3,4） D.（4,5）
6、若方程2ax
2
-x-1=0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是（ ）
A.a<-1 B.a>1 C.-1解：若a=0则原方程变形为-x-1=0 于是x=-1 不合题意，（错） ；
若a≠0该方程为一元二次方程 建立函数f(x)=2ax
2
-x-1，当Δ＝1+ 8a>0，即a>
-
有f(0)*f(1)<0 即-1*(2a-2)<0 得a>1 于是有a>1 ；
当Δ＝1+8a=0,即a=-18时 方程变形为－14x
2
-x-1=0 即x
2
+4x+4=0 得x=-2 不
合题意，（错）； 综上a>1
7、若集合A={x︱1≦2x+1≦3}，B={x︱(x-2)x≦0}，则A∩B=（ ）
A. {x︱-1≦x≦0} B. {x︱01}
解A:由-1＜2x+1＜3，即-2＜2x＜2，即-1＜x＜1
B:（x-2）x≤0，得x（x-2）≤0且x≠0，即0＜x≤2，
1
时 8

故A∩B=｛x-1＜x＜1｝∩｛x0＜x≤2｝=｛x0＜x＜1｝，故选B
8、不等式（x+1）x≦3的解集为（ ）
解：当x>0，x+1≦3x，得出x≧12；当x<0，x+1≧3x，得出x≤12，
所以解集为{x︱x<0或x≧12}
9、关于x的不等式x
2
+x+c>0的解集是全体实数的条件时（ ）
A.c<14 B.c≦14 C.c>14 D.c≧14
10、y??
2
x
2
?
12
x?
18
的定义 域为____________
解： -2x
2
+12x-18≧0，2x
2
-12x+18≦0，（x-3）
2
≦0，则X=3，即：定义域为{3}
11、若不等式ax
2
+bx+2>0的解集为{ x︱-12解：由题意方程ax
2
+bx+2=0的两个根为x
1
=-12，x
2
=2即
b1 3
?
x?x?????2?
2
?
1
a22
?
a=-2，b=3
?
c2
?
x
1
?x
2
????1
aa
?
12、不等式ax
2
+bx+c≧0的解集为{ x︱-13≦x≦2}，则不等式cx
2
+bx+a<0的解集
为（ ）
b5
?
x?x???
2
?
1
a3

2
解：由题意方程ax+bx+c=0的两个根为x
1
=-13，x
2=2即
?
c2
?
x
1
?x
2
???< br>a3
?
不等式cx
2
+bx+a<0，转化为x
2
+ (bc)x+ca<0，即x
2
+52x-32<0，解得方程
x
2
+52x-32=0的两个根为x
1
=-3,x
2
=12），因为x
2
+(bc)x+ca<0，则解集为
（-3,12）
13、不等式ax
2
+bx+c>0的解集为（-3,4），求b x
2
+2ax-c-3b<0的解集



14、关于x 的不等式（1+m）x
2
+mx+m2
+1对x∈R恒成立，求实数x的 取值
解：由（1+m）x
2
+mx+m2
+1
?mx
2
+mx+m-1<0


15、函数
f
(
x
)
?ax?bx
（a≠0）满足f(-3)=2，则f（3）的值为（ ）
2

16、函数
f
(
x
)
?
-
x
-4x?
1
（-3≦x≦3）的值域是（ ）
2
解:
f
(
x
)
?
-
x
-4
x?
1
=— （x+2）
2
+5 （-3≦x≦3）
2
当x=-2时，函数最大值为5，当x=3时函数有最小值为-20
17、偶函数f(x)的定义域[-5,5]，其在[0,5]的图象如图所示，则f(x)的解集为（ ）
本题考查偶函数的性质，函数的单调性及应用和不等式的解法，数形结合思想.
当时，函 数图像如图，由图知：只有当时，函数的图像在x轴上方，即时，因为函数收
偶函数，偶函数的图像关于 y轴对称，所以时，函数的图像在x轴上方时，只有则不等
式的解集为故选D
18、如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]行单调递减，那么实数a的取值范围是
（ ）A.a≦-3 B.a≧-3 C.a≦5 D.a≧5
19、定义在R上的函 数
f(x)
对任意两个不相等实数a，b，总有
f(a)?f(b)
>0成立 ，
a?b
则必有_______ A.
f(x)
在R上是增函数 B.
f(x)
在R上是减函数
C.函数
f(x)
是先增加，后减少 D.函数
f(x)
是先减少，后增加
解：利用函数单调性定义，在定义域上任取x< br>1
，x
2
∈R，且x
1
2
,因为
所以f(a)-f(b)<0，所以
f(x)
在R上是增函数。
20、对于定义域 R上的函数f(x)，有下列命题：（1）若f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R
上时减 函数；（2）若f(x)满足f(-2)=f（2），则函数f(x)不是奇函数；（3）若函数f(x)
在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）也是减函数，则f(x)在R上也是减函
数；（ 4）若f(x)满足f（-2）=f(2)，则函数f(x)不是偶函数；其中正确的是
_______ ______________
21、函数f(x)=x∣x-2∣，（1）求作函数Y=f(x)的 图象；（2）写出函数f(x)的单调区
间并指出在各区间上是增函数还是减函数？（不必证明）（3） 已知f(x)=1,求x的值




22、函数F(x)是定义域为R的偶函数，当x≧0 时，f(x)=x(2-x)，（1）画出函数 f(x)
的图象（不列表）；（2）求函数f(x)的解析式；（3）讨论方程f(x)-k=0的根的 情况
f(a)?f(b)
>0
a?b

23、已知f(x)的定义域为[-2,3]，则f(2x-1)的定义域为（ ）
A.[0,52] B.[-4,4] C.[-5,5] D.[-3,7]
?
a
2
?3x?6(x?0)
?
24、已知函数
f (x)?
?
且f(a)=10,则a=（ ）
10
?(x?0)
?
x
?
A.-4 B.-1 C.1 D.-4或1
25、已知函数f(x)=x7+ax
5
+bx-5,则f(3)=( ) A.-15 B.15 C.10 D.-10
26、若函数f(x)=4x2
-kx-8在区间[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（ ）
A.(-∞,0] B.[40，64] C.(- ∞,40]∪[64，+∞) D.(64,+ ∞)
27、已知二次函数f(x)=x< br>2
+x+a(a>0)，若f(m)<0,则f(m+1)的值为（ ）
A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关
28、函数f(x)=∣x
2-2x∣-m有两个零点，m的取值范围__________

29、已知函数f(x )和g(x)均为奇函数，h(x)=af(x)+bg(x)+2,在区间（0，+∞）有最大值
5， 那么h(x)在区间（0，+∞）的最小值为________


30、对于每个 实数x，设f(x)取
y=x+1,y=2x+1,y=-2x三个函数中的最大值，用
分段函 数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最
小值

由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点
A(0,1) ；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-13,y=23,得到交点B(-13,23) ；由方程
组y=2x+1,y=-2x,解得x=-14,y=12,得到交点C(-14,12). 由图像容易看出：
1）x＜-13时，三直线的最大值是y=-2x,所以在此时f(x)=-2x;
2)-13≤x≤0时，三直线的最大值是y=x+1,所以此时的f(x)=x+1;
3)x＞0时，三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的f(x)=2x+1.
所以f(x) =-2x；(x＜-13) ,x+1；(-13≤x≤0) ,2x+1. (x＞0)

1)考察函数的图像（由射线—线段—射线组成的折线）可以看出函数的 最小值是x=13
时的y=23.
31、已知函数f(x)=x
2
+ax+ 3，（1）当X∈R时，f(x)≧a恒成立，求a的取值范围；
（2）当X∈[-2,2]时，f(x )≧a恒成立，求a的取值范围；（3）若对一切a∈[-3，3]，
不等式f（x）≥a恒成立，那么 实数x的取值范围是什么？
1）f（x）≥a即x
2
+ax+3-a≥0，要使x∈ R时，x
2
+ax+3-a≥0恒成立，
应有△=a
2
-4（3- a）≤0，即a
2
+4a-12≤0，解得-6≤a≤2；
（2）当x∈[-2，2 ]时，令g（x）=x
2
+ax+3-a，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
转化为g（x）
min
≥a，
分以下三种情况讨论：
①当-a2≤-2，即a≥4时，g（x）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（-2）=7-3a，∴a≤4 7-3a≥0,解得a无解

②当-a2≥-2，即a≤4时，g（x）在[-2，2]上是递减函数，
∴g（x）在[-2，2]上的最小值为g（2）=7+a，
∴a≤-4 7+a≥0 解得-7≤a≤-4
③当-2a
2
a
2
g()???a?3
?

24
?
a
2
?
-?a?3
?
-4＜a≤2，解得-4＜ a≤2，综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2；
?
4
?
?
?4?a?4
（3）不等式（fx）≥a即x
2
+ax+3-a≥0．令h(a)=( x-1)a+x
2
+3，要使h(a) ≥0在[-3,3]
?
x
2
?3x?6?0
?
h(?3)?0
上恒成立，只需
?
即
?
解得：x≥0或x≤-3
?
h(3)?0
?
x?3x?0