高一数学经典例题深度解析

高一数学经典例题深度解析

例1：设
S?x?x?m?n2,m,n?Z

??
(1).
设a?Z,则a是否是集合S中的元素

(2).对< br>S
中任意两个元素
x
1
,x
2
，判断
x1
?x
2
,x
1
x
2
是否属于
S.

解：(1)
a
一定不是集合
S
中的元素

(2).

1
在区间
(0,??)
上的最小值为2

2
x
例2：求证：函数
f(x)?x
2
?
解：任取
x
1
,x
2
?
?
0,1
?
,x< br>1
?x
2

则

?f(x)
在
?
0,1
?
上是减函数

同 理可证
f(x)
在
?
1,??
?
上是增函数
故
f(x)
在
?
0,??
?
上的最小值为
f( 1)?2

例3: 已知集合
M
是同时满足下列两个性质的函数
f(x)
的全体:

①
f(x)
在其定义域上是单调函数；

ab
，且最大值是.

22
②在
f(x)
的定义域 内存在闭区间
[a,b]
，使得
f(x)
在
[a,b]
上的 最小值是

请解答以下问题：

⑴判断函数
g(x)??x< br>3
是否属于集合
M
？并说明理由. 若是，请找出满足②的闭区间
[a,b]
；

⑵若函数
h(x)?x?1?t?M
，求实数
t
的取值范围

解: （1）设
x
1
?x
2
,则

13< br>2
??
3322
2
g（x
1
）?g（x
2< br>）??x
1
?x
2
?（x
2
-x
1
）（x
2
?x
1
x
2
?x
1
）?（x2
-x
1
）（x?x）?x
1
?
?0
∴
?
2
2
1
4
??
g（x
1
）?g（x< br>2
）
, 故g（x)是R上的减函数

假设函数g（x)
?M
，

22
b
a??a?
22
2
∴ 则 或

a
22
?b
3
?
b?b??< br>2
22
?
?a
3
?
??
2
2
又a?M

2
b?
2< br>?
a??
?
22
?
满足条件（2）的闭区间为
??,
?

?
22
?
（2）
Q
h(x) ?x?1?t?M
则设
1
?x
1
?x
2
,

∴h（
x
1
）- h（
x
2
）=
x
1
?1?t?(x
2
?1?t)?x
1
?1?x
2
?1?
x
1
?x
2
?0

x
1
?1?x
2
?1
∴h（
x
1
）- h（
x
2
）
?0

∴h（x）为
?
1,??
?
上的单调增函数

a

2
b

2
∴h(x)
min
=h(a)=
h(x)
max
=h(b)=
a?
1
?t?
b?
1
?t?
∴t=
ab
?a?1且t??
b
?
1

22
x
（x
?1
）有两解

?x?
1
，
2
∴关于x的方程t=
1
2
令
x?1 ?m,
则
t?
（m
?
1）（m
?
0）有两解

2
??
?
上有两个不同的解。

即
m
2
?2m?1?2t?0在
?
1，
∴

?
??0
f(0)?0
?
1
?
∴t
??
0,
?
?
2
?

uuuruuur
例4:已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且
AP?
?
AB
(0?
?
?1)
.

uuur
1
（1）若等边三角 形边长为6，且
?
?
，求
|CP|
；

3
uuuruuuruuuruuur
AB?PA·PB
，求实数
?
的取值范围

（2）若
CP·
uuur
1
uuur
1
解: （1）当
?
?
时，
AP?AB
，

33
uuur
∴
|CP|
?27

（2）设等边三角形的边长为
a
，则：

1
即
?a
2
?
?
a
2
??
?
a2
?
?
2
a
2

2

∴
?
2
?2
?
?
1
?0
，

2
2?2
?
?
?1
2

又
0?
?
?1
，


例5:
?2
x
?b
已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1< br>是奇函数．

2?a
(1) 求
a,b
的值；

(2)若对任意的
t?R
, 不等式
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0
恒成立, 求
k
的取值范围

解: (1)因为
f(x)
是奇函数, 所以
f(0)
=0,

b?11?2
x
?0?b?1?f(x)?
即

x?1
a?2a?2

1
1?2
又由
f(1)??f(?1)
知

??
2
?a?2.
a?4a?1

1?
1?2
x
11
???
(2) 解法一：由(1)知
f(x)?
,

x?1x
2?222?1易知
f(x)
在
(??,??)
上为减函数。

又因
f(x)
是奇函数，从而不等式：
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0
等价于

f(t< br>2
?2t)??f(2t
2
?k)?f(k?2t
2
)
.

因
f(x)
为减函数,由上式推得:
t
2
? 2t?k?2t
2
．

即对一切
t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
,

1
从而判别式
??4?12k?0?k??.

3

1?2
t?2t
1?2
2t?k
1?2
x
??0< br>
解法二：由(1)知
f(x)?
．又由题设条件得：
x?1
t
2
?2t?12t
2
?k?1
2?2
2?22?2
22
即：
(2
2t
2
?k?1
?2)(1 ?2
t
2
?2t
)?(2
t
2
?2t?1
?2)(1?2
2t
2
?k
)?0

整理得: 2
3t
2
?2t?k
?1,因底数2>1,故:
3t
2
?2t?k?0
.上式对一切
t?R
均成立,

1
从而判别式
??4?12k?0?k??.
3

例6:


已知函数
f(x)
对任意的
a、b?R
满足：
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,

当a?0时,f(a)?6
；
f(?2)?12
。

（1）求：
f(2)
的值；

（2）求证：
f(x)
是
R
上的减函数；

（3） 若
f(k?2)?f(2k)?3
，求实数
k
的取值范围。

解: （1）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?b?0
，得
f(0)?6

令
a?2,b??2
，得
f(2)?0


（2）证明：设
x
1
,x
2
是
R
上的任意两个实数，且
x
1
?x
2
，即
x
2?x
1
?0
，

从而有
f(x
2
?x
1
)?6
，

则
f(x
2
)?f(x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)?6?f(x
1
)
?f(x
2
?x
1
)?6?0
∴
f(x< br>2
)?f(x
1
)
即
f(x)
是
R
上的减函数

（3）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?1,b?1
，得
f(1)?3


∵
f(k?2)?f(2k)?3
∴
f(k?2)?3?f(2k)，又
f(1)?3
，
f(2)?0

即有
f(k?2)?f(1)?f(2k)?f(2)

∴
f(k?2)?f(1)?6?f(2k)?f(2)?6


∴
f[(k?2)?1]?f[(2k)?2]

又∵
f(x)
是
R
上的减函数 ∴
(k?2)?1?(2k)?2
即
k??3

∴实数
k
的取值范围是
k??3

例7: 已知定义域为
[0,1]
的函数
f(x)
同时满足以下三个条件：

Ⅰ. 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；Ⅱ.
f(1)?1
；

Ⅲ. 若
x
1
? 0
，
x
2
?0
，且
x
1
?x
2< br>?1
，则有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1< br>)?f(x
2
)
成立.

则称
f(x)
为“友谊函数”，请解答下列各题：

(1) 若已知
f(x)
为“友谊函数”，求
f(0)
的值；

(2) 函数
g
(
x
)
?
2
x
?
1
在区间
[0,1]
上是否为“友谊函数”？并给出理由

解: （1）取
x
1
?x
2
?0
得
f(0 )?f(0)?f(0)?f(0)?0

又由
f(0)?0
，得
f(0)?0


（2）显然
g
(
x
)
?
2
x< br>?
1
在
[0,1]
上满足[1]
g(x)?0
；[2]
g(1)?1
.

若
x
1
?0
，
x
2
?0
，且
x
1?x
2
?1
，则有

故
g
(< br>x
)
?
2
x
?
1
满足条件[1]、[2]、 [3]，所以
g(x)?2
x
?1
为友谊函数

urr
urr
例8: 已知向量
m?(sinA,cosA),n?(3,? 1)
且
m
g
n?1
，且
A
为锐角.

（1）求角
A
的大小；

（2）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域

??1
解：由题意得
mgn?3sinA?cosA?1,

2sin(A?)?1,sin(A?)?.

662
由
A
为锐角得
A?
?
6
?
?
6
,
A?
?
3

1
（2） 由（1）知
cosA?,

2

13
所以
f (x)?cos2x?2sinx?1?2sin
2
x?2sins??2(sinx?)2
?.

22
因为
x
∈R，所以
sinx?
?
?1,1
?
，因此，当
sinx?
13
时，f
(
x
)有最大值
.

22
3
??
当
sinx??1
时，
f(x)有最小值
?3
,所以所求函数
f(x)
的值域是
?
?3 ，
?

2
??
例9: 已知函数
f(x)?sin
2
x?3sinxcosx?2cos
2
x,x?R.

（1）求函数
f(x)
的最小正周期和单调增区间；

（2）函数< br>f(x)
的图象可以由函数
y?sin2x(x?R)
的图象经过怎样的变换得 到？

解：（1）
f(x)?
1?cos2x3
?sin2x?(1?cos2x)

22
?f(x)
的最小正周期
T?
2
?
?
?
.

2
由题意得
2k
?
?
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
, k?Z,

即
k
?
?
?
3
?x?k?
?
?
??
??
,
k?Z
.

?f(x)
的单调增区间为
?
k
?
?,k
?
?< br>?
,k?Z.

36
?
6
?
?
?< br>个单位长度，得到
y?
sin(2
x?
)
的图象，再
126
3
?
3
把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到
y ?sin(2x?)?
的图象

（2）先把
y?sin2x
图象上所 有点向左平移
262
例10：已知函数
f(x)?sin
?
x?π
(x?R)
，且
f
π
?1.


3
?
?
?
6
?
(1)求
?
的最小正值及此时 函数
y?f(x)
的表达式；

(2)将(1)中所得函数
y?f( x)
的图象结果怎样的变换可得
y?
1
sin
1
x
的图象；

22
π
,
2π
?
,
?
??
5
?
,?
π
,f(
?
)?
3
,f(
?
)??
4
，

(3)在(1)的前提下，设
?
?
?
?
6355
?
63
?
?
?
?

①求
tan
?
的值；

②求
cos2(
?
?
?
)?1
的值

解：(1) 因为
f
π
?1
，所以
sin
?
?
π
?
π
?1
，

63
?
6
?
3
?
?
于是
?
?
π
+
π
?
π
?2kπ(k?Z)
，即
?
?1?12k(k?Z)
，

62
故当
k
=0时，
?
取得最小正值1.

此时
f(x)?sinx?
π
. `?

3
?
?
(2)(方法一)先将
y?sinx?< br>π
的图象向右平移
π
个单位得
y
=sin
x
的图象；

3
3
?
?
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变)得
y?sin
1
x
的图象；

2< br>最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的
1
倍(横坐标不变)得
y?
1
sin
1
x
的图象.

222
(方法二)先 将
y?sinx?
π
的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得

3
y?sin
1
x?
π
的图象；

23< br>?
?
?
?
再将所得图象向右平移
2π
个单位得
y?sin
1
x
的图象;

3
2
最后将所得图象 上各点的纵坐标缩小到原来的
1
倍(横坐标不变)得
y?
1
sin< br>1
x
的图象.

222
(3)因为
f(
?< br>)?
3
,f(
?
)??
4
，

55
所以
sin
?
?
π
?
3
,sin
?
?
π
??
4
.

3535
?
?
?
?

π
,
2π
?
,
?
??
5
?
,?
π
,

因为
??
?
?
63
?
?
63
?
?
?
所以
?
?
π
?
?
π
,π
?
,
?
?
π
??
π
,0
.

?< br>3
?
32
?
2
?
于是
cos
??
π
??
4
,cos
?
?
π
?
3
.


3535
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
π
3
??
3
①因为
tan
?
?
π
?
，

34
π
cos
?
?
3
?
?
?
?
?
?
tan
?
?
π
?tan
π
33
?
?
π
?
π
?
?
所以
tan
?
?tan
?


?
33?
??
1?tan
?
?
π
?tan
π
33
?
?
?
?
?
?
②因为
sin
?
?
?
?
?
?sin
?

?
?< br>π
?
?
?
π
?
??
?
33
?
?
?
?
?
所以
cos2(
?
?
?
)?1??2sin(
?
?
?
)??2??
7
2 5
2
98
.

?
?
??
625
2