高中数学知识点天空-高中数学所修科目
例1
命题“若y=
k
,则x与y成反比例关系”的否命题是
x
[
]
k
,则x与y成正比例关系
x
B.若y≠kx,则x与y成反比例关系<
br>
k
C.若x与y不成反比例关系,则y≠
x
A.若y≠
k<
br>D.若y≠,则x与y不成反比例关系
x
分析
条件及结论同时否定,位置不变.
答 选D.
例2 设原命题为:“对顶角相等”,把
它写成“若p则q”
形式为________.它的逆命题为________,否命题为______
__,
逆否命题为________.
分析
只要确定了“p”和“q”,则四种命题形式都好写了.
解 若两个角是对顶角,则两个角相等;若
两个角相等,
则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点,则这两个角不相
等;若两个角不相等
,则这两个角不是对顶角.
例3
“若P={x|x|<1},则0∈P”的等价命题是________.
分析
等价命题可以是多个,我们这里是确定命题的逆否
命题.
解
原命题的等价命题可以是其逆否命题,所以填“若0?P,则p
≠{x||x|<1}”
例4 分别写出命题“若x
2
+y
2
=0,则x、y全为0”的逆
命题、否命题和逆否命题.
分析 根据命题的四种形式的结构确定.
解 逆命题:若x、y全为0,则x
2
+y
2
=0;
否命题:若x
2
+y
2
≠0,则x,y不全为0;
逆否命题:若x、y不全为0,则x
2
+y
2
≠0.
说明
:“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”,
应当是“x,y不全为0”,这要特别小心.
例5 有下列四个命题:
①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则方程x
2
-2
bx+b
2
+b=0有实根”的逆
否命题;
④“若A∪B=B,则A?B”的逆否命题,其中真命题是
[ ]
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
分析 应用相应知识分别验证.
解 写出相应命题并判定真假
①“若x,y互为倒数,则xy=1”为真命题;
②“不相似三角形周长不相等”为假命题;
③“若方程x
2
-2bx+b<
br>2
+b=0没有实根,则b>-1”为
真命题;
选C.
例6
以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否
命题和逆否命题.
①内接于圆的四边形的对角互补;
②已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+
d;
分析
首先应当把原命题改写成“若p则q”形式,再设
法构造其余的三种形式命题.
解
对①:原命题:“若四边形内接于圆,则它的对角互补”;
逆命题:“若四边形对角互补,则它必内接于某圆”;
否命题:“若四边形不内接于圆,则它的对角不互补”;
逆否命题:“若四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.
对②:原命题:“已知a、b、c
、d是实数,若a=b,c=d,
则a+c=b+d”,其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提,
“a=b,c=d”是条件,“a+c=b+d”是结论.所以:
逆命题:“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a
=b,c=d”;
否命题:“已知a、b、c、d是实数,若a≠b或c≠d,则a
+c≠b+d”(注意“a=b,c=
d”的否定是“a≠b或c≠d”只
需要至少有一个不等即可);
逆否命题:“已知a、b、c、d是实数,若a+c≠b+d则a
≠b或c≠d”.
逆否命题还可以写成:“已知a、b、c、d是实
数,若a+c
≠b+d则a=b,c=d两个等式至少有一个不成立”
说明:要注意大前题的
处理.试一试:写出命题“当c>0
时,若a>b,则ac>bc”的逆命题,否命题,逆否命题,并<
br>分别判定其真假.
例7 已知下列三个方程:x
2
+4ax-4a+3=0
,x
2
+(a-1)x
+a
2
=0,x
2
+2ax
-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的
取值范围.
分析 如果从正面分类讨论情况
要复杂的多,而利用补集
的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范
围比较
简单.
?
16a
2
-4(3-4a)<0
?
解
由
?
(a-1)
2
-4a
2
<0 得
?
2
?
4a+8a<0
说明:利用补集思想,体现了思维的逆向性.
例8
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,
并判断它们的真假.
1
①m>时,mx
2
-x+1=0无实根;
4
②当abc=0时,a=0或b=0或c=0.
分析 改造原命题成“若p则q
形式”再分别写出其逆命
题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意
利用等价
命题的原理和规律.
解
①原命题:“若m>
1
,则mx
2
-x+1=0无实根”,是真
4
命题;
1
逆命题:“若mx
2
-x+1=0无实根,则
m>”,是真命题;
4
1
否命题:“若m≤,则mx
2
-x+1=0
有实根”,是真命题;
4
1
逆否命题:“若mx
2
-x+
1=0有实根,则m≤”,是真命题.
4
②原命题;“若abc=0,则a=0或b=0或c=
0”,是真命
题;
逆命题:“若a=0或b=0或c=0,则abc=0”是真命题; 否命题:“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”,是真命题;
(注意:“a=0或b=0或
c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0
且c≠0”
逆否命题:“若a≠0且b≠0且c≠0,则abc≠0”,是真命
题.
说明:判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的
等价性.
例9 若a、b
、c均为实数,且a=x
2
-2y+
ππ
,b=y
2
-2z
+,
23
π
2
c=z-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0.6
分析
如果直接从条件推证,方向不明,过程不可预测,
较难,可以使用反证法.
解
设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则有a
+b+c≤0,而
a+b+c=(x
2
-2y+<
br>πππ
)+(y
2
-2z+)+(z
2
-2x+)
236
=(x
2
-2x)+(y
2
-2y)+(z
2
-2z)+π
=(x-1)
2
+(y-1)
2
+(z-
1)
2
+(π-3)
∴ a+b+c>0这与a+b+c≤0矛盾.
因此a、b、c中至少有一个大于0.
说明:如下表,我们给出一些常见词语的否定. 词语大于(>)是都是所有的…任意一个…
某个不…
至少一个…
否定不大于(≤)
不是不都是至少一个不…一个也没有…
全国高中数学联赛浙江-高中数学教案中学情分析例子
高中数学必修三第一节视频-高中数学排列组合 苏教版
微积分是高中数学的第几本书-高中数学选修2-2教师用书
高中数学论文 三角-高中数学最后如何逆袭
高中数学之中初中可以用到的-复合函数在高中数学哪一节
高中数学琪哥-高中数学课堂分析报告
人教版高中数学选修2-2导数视频-浙江高中数学教材是ra 还是rj
人教版高中数学必修四课后答案解析-高中数学苏教版必修1基础概念
-
上一篇:高一数学经典例题深度解析
下一篇:高中数学椭圆经典例题详解