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高中数学四种命题经典例题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:25
tags:高中数学例题

高中数学知识点天空-高中数学所修科目

2020年9月20日发(作者:褚朝阳)



例1 命题“若y=
k
,则x与y成反比例关系”的否命题是

x
[ ]
k
,则x与y成正比例关系
x
B.若y≠kx,则x与y成反比例关系< br>
k
C.若x与y不成反比例关系,则y≠
x
A.若y≠
k< br>D.若y≠,则x与y不成反比例关系

x
分析 条件及结论同时否定,位置不变.
答 选D.
例2 设原命题为:“对顶角相等”,把 它写成“若p则q”
形式为________.它的逆命题为________,否命题为______ __,
逆否命题为________.
分析 只要确定了“p”和“q”,则四种命题形式都好写了.
解 若两个角是对顶角,则两个角相等;若 两个角相等,
则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点,则这两个角不相
等;若两个角不相等 ,则这两个角不是对顶角.
例3 “若P={x|x|<1},则0∈P”的等价命题是________.
分析 等价命题可以是多个,我们这里是确定命题的逆否
命题.
解 原命题的等价命题可以是其逆否命题,所以填“若0?P,则p

≠{x||x|<1}”
例4 分别写出命题“若x
2
+y
2
=0,则x、y全为0”的逆
命题、否命题和逆否命题.



分析 根据命题的四种形式的结构确定.
解 逆命题:若x、y全为0,则x
2
+y
2
=0;
否命题:若x
2
+y
2
≠0,则x,y不全为0;
逆否命题:若x、y不全为0,则x
2
+y
2
≠0.
说明 :“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”,
应当是“x,y不全为0”,这要特别小心.
例5 有下列四个命题:
①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则方程x
2
-2 bx+b
2
+b=0有实根”的逆
否命题;
④“若A∪B=B,则A?B”的逆否命题,其中真命题是

[ ]
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
分析 应用相应知识分别验证.
解 写出相应命题并判定真假
①“若x,y互为倒数,则xy=1”为真命题;
②“不相似三角形周长不相等”为假命题;
③“若方程x
2
-2bx+b< br>2
+b=0没有实根,则b>-1”为
真命题;



选C.
例6 以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否
命题和逆否命题.
①内接于圆的四边形的对角互补;
②已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+
d;
分析 首先应当把原命题改写成“若p则q”形式,再设
法构造其余的三种形式命题.
解 对①:原命题:“若四边形内接于圆,则它的对角互补”;
逆命题:“若四边形对角互补,则它必内接于某圆”;
否命题:“若四边形不内接于圆,则它的对角不互补”;
逆否命题:“若四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.
对②:原命题:“已知a、b、c 、d是实数,若a=b,c=d,
则a+c=b+d”,其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提,
“a=b,c=d”是条件,“a+c=b+d”是结论.所以:
逆命题:“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a
=b,c=d”;
否命题:“已知a、b、c、d是实数,若a≠b或c≠d,则a
+c≠b+d”(注意“a=b,c= d”的否定是“a≠b或c≠d”只
需要至少有一个不等即可);
逆否命题:“已知a、b、c、d是实数,若a+c≠b+d则a
≠b或c≠d”.



逆否命题还可以写成:“已知a、b、c、d是实 数,若a+c
≠b+d则a=b,c=d两个等式至少有一个不成立”
说明:要注意大前题的 处理.试一试:写出命题“当c>0
时,若a>b,则ac>bc”的逆命题,否命题,逆否命题,并< br>分别判定其真假.
例7 已知下列三个方程:x
2
+4ax-4a+3=0 ,x
2
+(a-1)x
+a
2
=0,x
2
+2ax -2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的
取值范围.
分析 如果从正面分类讨论情况 要复杂的多,而利用补集
的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范
围比较 简单.
?
16a
2
-4(3-4a)<0
?
解 由
?
(a-1)
2
-4a
2
<0 得

?
2
?
4a+8a<0

说明:利用补集思想,体现了思维的逆向性.
例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,
并判断它们的真假.
1
①m>时,mx
2
-x+1=0无实根;

4
②当abc=0时,a=0或b=0或c=0.
分析 改造原命题成“若p则q 形式”再分别写出其逆命
题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意
利用等价 命题的原理和规律.



解 ①原命题:“若m>
1
,则mx
2
-x+1=0无实根”,是真

4
命题;
1
逆命题:“若mx
2
-x+1=0无实根,则 m>”,是真命题;
4
1
否命题:“若m≤,则mx
2
-x+1=0 有实根”,是真命题;

4
1
逆否命题:“若mx
2
-x+ 1=0有实根,则m≤”,是真命题.
4
②原命题;“若abc=0,则a=0或b=0或c= 0”,是真命
题;
逆命题:“若a=0或b=0或c=0,则abc=0”是真命题; 否命题:“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”,是真命题;
(注意:“a=0或b=0或 c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0
且c≠0”
逆否命题:“若a≠0且b≠0且c≠0,则abc≠0”,是真命
题.
说明:判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的
等价性.
例9 若a、b 、c均为实数,且a=x
2
-2y+
ππ
,b=y
2
-2z +,
23
π
2
c=z-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0.6

分析 如果直接从条件推证,方向不明,过程不可预测,
较难,可以使用反证法.
解 设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则有a
+b+c≤0,而



a+b+c=(x
2
-2y+< br>πππ
)+(y
2
-2z+)+(z
2
-2x+)

236
=(x
2
-2x)+(y
2
-2y)+(z
2
-2z)+π
=(x-1)
2
+(y-1)
2
+(z- 1)
2
+(π-3)
∴ a+b+c>0这与a+b+c≤0矛盾.
因此a、b、c中至少有一个大于0.
说明:如下表,我们给出一些常见词语的否定. 词语大于(>)是都是所有的…任意一个…
某个不…
至少一个…
否定不大于(≤) 不是不都是至少一个不…一个也没有…


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