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高中数学椭圆经典例题详解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:26
tags:高中数学例题

高中数学包括哪些教材-高中数学人教版必修三第三章教案

2020年9月20日发(作者:方嘉德)


椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆
mx
2
?3y
2
?6m?0
的一个焦点为(0,2)求
m
的值.
分析:把椭圆 的方程化为标准方程,由
c?2
,根据关系
a?b?c
可求出
m的值.
222
x
2
y
2
??1
.因为焦点在
y
轴上,所以
2m?6
,解得
m?3
. 解:方程变形为< br>62m

c?2
,所以
2m?6?2

m?5
适合.故
m?5


例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点
P
?
3,0
?

a?3b
,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求 出参数
a

b
(或
a

b
)的值,即可求 得椭圆的标准方程.
22
2
x
2
y
2
解:当焦点 在
x
轴上时,设其方程为
2
?
2
?1
?
a ?b?0
?

ab
90
x
2
22
由椭圆 过点
P
?
3,0
?
,知
2
?
2
? 1
.又
a?3b
,代入得
b?1

a?9
,故椭圆 的方程为
?y
2
?1

ab
9
y
2x
2
当焦点在
y
轴上时,设其方程为
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?

ab
90
y
2
x
2
2
2
?1
.由椭圆过点
P
?3,

0
?
,知
2
?
2
?1
.又
a?3b
,联立解得
a?81

b?9
,故椭圆的方程 为
?
ab
819

例3
?ABC
的底边
BC?16

AC

AB
两边上中线长之和为30,求此三角形重心
G
的轨迹和顶点
A
的轨迹.
分析:(1)由已知可得
GC?GB?20
,再利用椭圆定义求解.
(2) 由
G
的轨迹方程
G

A
坐标的关系,利用代入法求
A
的轨迹方程.
BC
中点为原点建立直角坐标系.解: (1)以
BC所在的直线为
x
轴,设
G
点坐标为
?
x,y
?
,由
GC?GB?20


G
点的轨迹是以
B
C
为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因
a?10

c?8,有
b?6

x
2
y
2
??1
?
y?0
?
. 故其方程为
10036
x
?
2
y
?
2
?? 1
?
y
?
?0
?
. ① (2)设
A< br>?
x,y
?

G
?
x
?
,y
?
?
,则
10036
x
?
?
x?,
?< br>x
2
y
2
?
3
??1
?
y?0?
,其轨迹是椭圆(除去
x
轴上两点)由题意有
?
代入①,得< br>A
的轨迹方程为.
y
900324
?
y
?
?
?
3
?


例4 已知
P
点在以坐 标轴为对称轴的椭圆上,点
P
到两焦点的距离分别为
的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点 ,求椭圆方程.
解:设两焦点为
F
1

F
2
,且
PF
1
?
4525
和,过
P
点作焦点所在轴
33
4525

PF
2
?
.从椭圆定义知
2a? PF

1
?PF
2
?25
.即
a?5
.< br>33

PF
2
F
1
中,
sin?PF
1
F
2
?
1
?PF
2

PF
2
垂直焦点所在的对称轴,所以在
Rt?PF
PF
2
1
?
PF
1
2
可求出
?PF
1
F
2< br>?
?
6

2c?PF
1
?cos
?
6
?
10
25
222
,从而
b?a?c?
3
3
x
2
3y
2
3x
2
y
2
??1

??1
. ∴所求椭圆方程为
510105

x
2
y
2
例5 已知椭圆方程
2
?
2?1
?
a?b?0
?
,长轴端点为
A
1
A
2
,焦点为
F
1

F
2

P

ab
椭圆上一点,
?A
1
PA
2
?< br>?

?F
1
PF
2
?
?
.求:?F
1
PF
2
的面积(用
a

b
、< br>?
表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角
?
的两邻边,从 而利用
S
?
?
解:如图,设
P
?
x,y
?
,由椭圆的对称性,不妨设
P
在第一象限.
由余弦定理知:
F
1
F
2
2
1
absinC
求面积. < br>2
?PF
1
?PF
2
?2PFPF
2
cos
?
?4c
2
.①
1
·
2
22
2b
2
由椭圆定义知:
PF

1
?PF
2
?
1
?PF
2
?2a
②,则
②-①

PF
1?cos
?

S
?F
1
PF
2

例6 已知动圆
P
过定点
A
?
?3,
且在定圆
B:
求动圆圆心
P
的 轨迹方程.
0
?

?
x?3
?
?y
2< br>?64
的内部与其相内切,
2
1
?
12b
2
?PF
1
?PF
2
sin
?

?sin
?

?b
2
tan

22
21?cos
?
分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式. 解:如图所示,设动圆
P
和定圆
B
内切于点
M
.动点< br>P
到两定点,
0
?
和定圆圆心
B
?
3,0
?
距离之和恰好等于定圆半径, 即定点
A
?
?3,
PA?PB?PM?PB?BM?8
.∴点
P
的轨迹是以
A
,< br>B
为两焦点,
x
2
y
2
??1
. 半长轴 为4,半短轴长为
b?4?3?7
的椭圆的方程:
167
22
说明: 本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程


的一种重要思想方法.

x
2
?y
2
?1
, 例7 已知椭圆
2
( 1)求过点
P
?

?
且被
P
平分的弦所在直线的方 程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过
A
?
2,1
?
引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点
P

Q

O
为原点,且有直线
OP

O Q
斜率满足
k
OP
?k
OQ
??
求线段
P Q
中点
M
的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为< br>M
?
x
1
,y
1
?

N
?
x
2
,y
2
?
,线段
MN
的中点
R
?
x,y
?
,则
?
11
?
?
22
?
1

2?
x
1
2
?2y
1
2
?2,
?
22
?
x
2
?2y
2
?2,
?
?
x
1
?x
2
?2x,
?
y?y?2y,
?
12

(1)将
x?





由题意知
x
1
①-②得
?
x
1
?x
2< br>??
x
1
?x
2
?
?2
?
y
1
?y
2
??
y
1
?y
2
?
? 0

y
1
?y
2
?0

x
1
?x
2
y
1
?y
2
?0
.⑤
x
1
?x
2
?x
2
,则上式两端同除以
x
1
?x
2
,有
?
x
1
?x
2
?2
?
y
1
?y
2
?
将③④代入得
x? 2y
11
y?y
2
1

y?
代入⑤,得
1
??
,故所求直线方程为:
2x?4y?3?0
. ⑥
22< br>x
1
?x
2
2
2
22
将⑥代入椭圆方程x?2y?2

6y?6y?
11
?0

??36?4 ?6??0
符合题意,
2x?4y?3?0
为所求.
44
(2)将
y
1
?y
2
(椭圆内部分)
?2
代入⑤得所求轨迹方程为:
x?4y?0

x
1
?x
2
y
1
?y
2
y?1
22
代入⑤得所求轨迹方程为:
x?2y?2x?2y?0
.(椭圆内部分)
?
x
1
?x
2
x?2
(3)将
2
x
1
2
?x
2
2
?y
1
2
?y
2
?2
, ⑦, 将③④平方并整理得 (4)由①+②得 :
2
??
22
x
1
2
?x
2
?4x
2
?2x
1
x
2
, ⑧,
y
1
2
?y
2
?4y
2
?2y
1
y
2
, ⑨ 4x
2
?2x
1
x
2
?4y
2
?2y
1
y
2
?2
, ⑩ 将⑧⑨代入⑦得:
4
??
y
2
1
?
1
?
2
22
?1
. 再将
y
1
y
2
??x
1x
2
代入⑩式得:
2x?x
1
x
2
?4 y?2
?
?x
1
x
2
?
?2
, 即
x?
1
2
2
??
2


此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

例8 已知椭圆
4x
2
?y
2
?1
及直 线
y?x?m

(1)当
m
为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为
210
,求直线的方程.
5
2< br>解:(1)把直线方程
y?x?m
代入椭圆方程
4x
2
?y< br>2
?1

4x
2
?
?
x?m
?
?1


5x?2mx?m?1?0

??
?
2m
?
?4? 5?m
2
?1??16m
2
?20?0
,解得
?
2 2
2
??
55

?m?
22
2m
m2
?1
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
x
1

x
2
,由(1)得
x
1
?x
2
??
,< br>x
1
x
2
?

5
5
m
2
?1210
?
2m
?
2
?
根据弦长公式得 :< br>1?1?
?
?
.解得
m?0
.方程为
y?x

?
?4?
555
??
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题 及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑 判别式
?
;解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.

2
x
2
y
2
??1
的焦点为焦点,过直线
l:x ?y?9?0
上一点
M
作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,例9 以椭圆
123

M
应在何处?并求出此时的椭圆方程.

分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,
使该点到直线同 侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
x
2
y
2
??1
的焦点为
F
1
?
?3,
解:如图所示, 椭圆
0
?

F
2
?
3,0
?

123

F
1
关于直线
l:x?y?9?0
的对称 点
F
的坐标为(-9,6),直线
FF
2
的方程为
x?2y ?3?0

解方程组
?
?
x?2y?3?0
得交点
M
的坐标为(-5,4).此时
MF
1
?MF
2
最小.
x?y?9?0
?
所求椭圆的长轴:
2a?MF
1
?MF< br>2
?FF
2
?65
,∴
a?35
,又
c?3

x
2
y
2
??1
. ∴
b?a?c? 35?3?36
.因此,所求椭圆的方程为
4536
222
??
2< br>2



x
2
y
2
例10 已知方程
???1
表示椭圆,求
k
的取值范围.
k?53?k?
k?5?0,
?
解:由
?
3?k?0,

3 ?k?5
,且
k?4

?
k?5?3?k,
?
∴ 满足条件的
k
的取值范围是
3?k?5
,且
k?4
说明:本题易出现如下错解:由
?
?
k?5?0,

3?k?5
,故
k
的取值范围是
3?k?5

?
3?k?0 ,
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中
a?b?0
这个条件,当
a?b< br>时,并不表示椭圆.

例11 已知
x
2
sin
?
?y
2
cos
?
?1
(0?
?
?
?
)
表示焦点在
y
轴上的椭圆,求
?
的取值范围.
分析:依据已知条件确定
?
的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出
?
的取值范围.
x
2
y
2
11
??0

??1
.因为焦点在
y
轴上,所以
?
解:方程可化为
11
cos
?
sin
?
sin
?
cos
?
因此
sin
?
?0

tan
?
??1< br>从而
?
?(

?
3
,
?
)

24
11
?0

??0
,这是容易忽视的地方.
sin
?
cos
?
11
22
(2)由焦点在
y轴上,知
a??

b?
. (3)求
?
的取值范围时, 应注意题目中的条件
0?
?
?
?

cos
?
sin
?
说明:(1)由椭圆的标准方程知

例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过
A(3,?2)

B(?2 3,1)
两点的椭圆方程.
分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
2 2
可设其方程为
mx?ny?1
(
m?0

n?0
),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

解:设所求椭圆方程为
mx
2
?ny
2
?1
(
m?0

n?0< br>).由
A(3,?2)

B(?23,1)
两点在椭圆上可得
22
?
11
x
2
y
2
?
m?(3)?n ?(?2)?1,
?
3m?4n?1,
??1
. 即
?
所以
m?

n?
.故所求的椭圆方程为
?
22
155< br>155
?
?
12m?n?1,
?
m?(?23)?n?1?1 ,

例13 知圆
x
2
?y
2
?1
, 从这个圆上任意一点
P

y
轴作垂线段,求线段中点
M
的轨 迹.
分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程 或轨迹.
解:设点
M
的坐标为
(x,y)
,点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
,则
x?
x0

y?y
0

2


因为< br>P(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y< br>2
?1
上,所以
x
0
2
?y
0
2< br>?1


x
0
?2x

y
0?y
代入方程
x
0
2
?y
0
2
?1< br>得
4x
2
?y
2
?1
.所以点
M
的 轨迹是一个椭圆
4x
2
?y
2
?1


说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为
(x,y)

设已知轨迹上的点的坐标为
(x
0
,y
0
)< br>,然后根据题目要求,使
x

y

x
0
,< br>y
0
建立等式关系,
从而由这些等式关系求出
x
0

y
0
代入已知的轨迹方程,就可以求出关于
x

y
的方程,
化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.

例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在
x
轴上的椭圆,过它对的左焦点
F
1
作倾斜解为
?
的直线交椭圆于
A

3
B
两点,求弦
AB
的长.
分析:可以利用弦长公式
AB?1?k x
1
?x
2
?
2
(1?k
2
)[(x1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB?1?k
2x
1
?x
2
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
.因 为
a?6

b?3
,所以
c?33
.因为焦点在
x
轴上,
x
2
y
2
??1
,左焦点
F(? 33,0)
,从而直线方程为
y?3x?9
. 所以椭圆方程为
369
由直线方程与椭圆方程联立得:
13x?723x?36?8?0
.设
x
1

x
2
为方程两根,所以
x
1
?x
2??
2
723

13
x
1
x
2
?
36?848
222

k?3
, 从而
AB ?1?kx
1
?x
2
?(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]?

1313

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.
x
2
y
2
?? 1
,设
AF
由题意可知椭圆方程为
1
?m

BF< br>2
?12?m

BF
2
?12?n

1< br>?n
,则
AF
369

?AF
1
F
2
中,
AF
2
所以
m?
2
?AF
1
?F
1
F
2
?2AF
1
F
1
F
2
cos
22
?
3
,即
(12?m)?m?36?3?2? m?63?
22
1

2
48
6
6
AB? m?n?
n?
.同理在
?BF
中,用余弦定理得,所以.
F
12
13
4?3
4?3

(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程
13x?723x?36? 8?0
求出方程的两根
x
1

x
2
,它们分别是< br>A

B
的横坐标.
再根据焦半径
AF
1
? a?ex
1

BF
1
?a?ex
2
,从而求出AB?AF
1
?BF
1


2


x
2
y
2
??1
上的点
M
到焦点
F1
的距离为2,
N

MF
1
的中点,则
ON< br>(
O
为坐标原点)的值为例15 椭圆
259
A.4 B.2 C.8 D.

解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为
F
2,由椭圆第一定义得
3

2
MF
1
?MF
2< br>?2a?10
,所以
MF
2
?10?MF
1
?10? 2?8



说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数 (大于
F
1
F
2
)的点的轨迹叫做椭圆.
(2)椭圆上的 点必定适合椭圆的这一定义,即
MF
1
?MF
2
?2a
,利 用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有
关距离.

又因为
ON

?MF
1
F
2
的中位线,所以
ON?
1
MF
2
?4
,故答案为A.
2
x
2
y
2
?1
,试确定
m
的取值范围,使得对于直线
l:y?4x?m
,椭圆
C
上有不同的两点例16 已知椭圆
C:?
43
关于该直线对称.
分析:若设椭圆上
A

B
两点关于直线
l
对称,则已知条件等价于:(1)直线
AB? l
;(2)弦
AB
的中点
M

l
上.
利用上述条件建立
m
的不等式即可求得
m
的取值范围.
解 :(法1)设椭圆上
A(x
1
,y
1
)

B(x< br>2
,y
2
)
两点关于直线
l
对称,直线
AB

l
交于
M(x
0
,y
0
)
点.
y??x?n,
1
?
?
4

l
的斜率k
l
?4
,∴设直线
AB
的方程为
y??x?n
.由方程组消去
y

?
22
4
xy
?
??1,
?
3
?
4
?
1
8nx?x
24n112n
?
.于是
x
0
?
1

y
0
??x
0
?n?

13213413
4n12 n4n13
,)
.∵点
M
在直线
y?4x?m
上,∴
n?4??m
.解得
n??m
. ② 即点
M
的坐标为
(
1313134
13x
2
?8nx?16n
2
?48?0< br> ①。∴
x
1
?x
2
?
将式②代入式①得
13x?26mx?169m?48?0


A

B
是椭圆上的两点,∴
??(26m)?4?13(169m?48)?0
.解得
?(法2)同解法1得出
n??
22
22
213213

?m?
1313
13413
m
,∴
x
0
?(?m )??m

4134
113113
y
0
??x
0
?m???(?m)?m??3m
,即
M
点坐标为
(?m,?3m)

4444
(?m)
2
(?3m)
2
21321 3
??1
.解得
?

A

B
为椭圆上的两 点,∴
M
点在椭圆的内部,∴.
?m?
43
1313
< /p>


(法3)设
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
是椭圆上关于
l
对称的两点 ,直线
AB

l
的交点
M
的坐标为
(x
0
,y
0
)

xyxy

A

B
在椭圆上,∴
1
?
1
?1

2
?
2
?1
.两式相减得
3(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0

4343

3?2x
0
(x
1
?x
2
)?4?2y
0
(y
1?y
2
)?0
.∴
2222
3x
y
1
?y
2
??
0
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
4y
0
又∵直线
AB?l,∴
k
AB
?k
l
??1
,∴
?
3x
0
?4??1
,即
y
0
?3x
0
①。
4y
0

M
点在直线
l
上,∴
y
0
?4x
0
?m
②。由①,②得
M
点的坐标为
(?m,?3m)
.以下同解法2.
说明:涉及椭圆上两点
A

B
关于直线
l
恒对称,求有关参 数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:
(1)利用直线
AB
与椭圆恒有 两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判
别式
??0
,建立参数方程.
xy
(2)利用弦
AB
的中点
M(x< br>0
,y
0
)
在椭圆内部,满足
0
?
0
?1
,将
x
0

y
0
利用参数表示,建立参数不 等式.
ab

例17 在面积为1的
?PMN
中,
tanM?
点的椭圆方程.

解:以
MN
的中点为原点,
MN
所在直线为
x
轴建立直角坐 标系,设
P(x,y)

22
1

tanN??2
,建立适当的坐标系,求出以
M

N
为焦点且过
P
2
5
?
?
y
x?
??2,
?
x?c< br>?
?
3c
?

?
y

?
1
?,
?
?
y?
4
c且c?
x?c2
??
?
3
?
cy?1.
?
?
4
?
25
??1,
?
2
15
22
?
52
?< br>12a3b
?
a?,
,)

?

P(

?
4

233
3
?
a
2
?b
2
?
3
,
?
b
2
?3.
?
?
4
?
2
4x
2
y
2
??1
∴所求椭圆方程为
153

x
2
y
2
??1
所截得的线段的中点,求直线
l
的方程. 例18 已知
P(4,2)
是直 线
l
被椭圆
369
分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方 程与椭圆方程联立消去
y
(或
x
),得到关于
x
(或
y
)
的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出
x
1
?x< br>2

x
1
x
2
(或
y
1
? y
2

y
1
y
2
)的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.

解:方法一:设所求直线方程为
y?2?k(x?4)
.代入椭圆方程,整理得


(4k
2
?1)x
2
?8k(4k?2) x?4(4k?2)
2
?36?0

设直线与椭圆的交点为< br>A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
x
1

x
2
是①的两根 ,∴
x
1
?x
2
?

P(4,2)
AB
中点,∴
4?
8k(4k?2)

2
4k?1x
1
?x
2
4k(4k?2)1
?k??
,.∴所求直 线方程为
x?2y?8?0

24k
2
?12
方法二:设 直线与椭圆交点
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
.∵
P(4,2)

AB
中 点,∴
x
1
?x
2
?8

y
1
? y
2
?4

又∵
A

B
在椭圆上,∴< br>x
1
?4y
1
?36

x
2
?4y
2
?36
两式相减得
(x
1
?x
2
)?4 (y
1
?y
2
)?0


(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?4(y
1
? y
2
)(y
1
?y
2
)?0
.∴
2222 2222
y
1
?y
2
?(x
1
?x
2)1
???
.∴直线方程为
x?2y?8?0

x
1
?x
2
4(y
1
?y
2
)2
方法三:设所 求直线与椭圆的一个交点为
A(x,y)
,另一个交点
B(8?x,4?y)


A

B
在椭圆上,∴
x
2
?4y< br>2
?36
①。
(8?x)
2
?4(4?y)
2
?36
从而
A

B
在方程①-②的图形
x?2y?8?0
上, 而过
A

B
的直线只有一条,∴直线方程为
x?2y?8?0

说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问 题的有效方法.
若已知焦点是
(33,0)
、则如何求椭圆方程?
(?3 3,0)
的椭圆截直线
x?2y?8?0
所得弦中点的横坐标是4,

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