高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

概率部分
1
、 事件：随机事件、确定性事件、必然事件和不可能事件
2
、 随机事件的概率
（
统计定义
）
：一般的，如果随机事件
A
在
n
次实验中发
P A —
n 了
m
次，当实验的次数
n
很大时，我们称事件
A
发生的概率为
说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进 行大量的
重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性
又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一
② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况
③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它 具有一
定的稳定性，总在某个常数附近摆动， 且随着试验次数的不断增多，这个 摆动的幅度越
来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率
④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的 趋势，
而频率是具体的统计的结果
⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
，而频率的稳定性
3
、 概率必须满足三个基本要求：
对任意的一个随机事件
A
，有°
P A 1

用和分别表示必然事件和不可能事件
，
则有P
如果事件
A和B互斥,则有:P A B P A P B
1,P °
4
、古典概率
① 所有基本事件有限个
② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为
古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个
n
,则每一个基本事件发生

1
的概率都是n，如 果某个事件
A
包含了其中的
m
个等可能的基本事件，则事件
A
发生的概率为
5
、几何概型
般地，一个几何区域
D
中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的
一个区域
d
内”为事件
A
，则事件
A
发生的概率为
d的侧度
D的侧度
（这里要求
D
的侧度不为
0
,其中侧度的意义由
D
确定,
一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积； 立体 图像的
侧度为其体积）
几何概型的基本特点
① 基本事件等可性
② 基本事件无限多
说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含
边界，在区域
D
内随机地取点，指的是该点落在区域
D
内任何一处都是等可能 的，落在
任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
6
、 互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
7
、 对立事件
两个互斥事件中必有一个发生
，
则称两个事件为对立事件 ，
事件
A
的对立 事 件 记
为：
A
独 立 事 件 的 概 率：
若A , B为相互独立的事件事件
，
则P AB P A P B
若A , A
2
,…
，
A
n
为两两独立的事件
，
则P A
!
A
2
...A
n
P
人
！

P A
?…P
A
n
说明：① 若
A
，
B为互斥事件
，
则
A
，
B中最多有一个发生,可能都不发 生，但不可
能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合

的交集是空集
② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可 能指的
很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：
表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个
对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集
⑤ 两个对立事件的概率之和一定是
1
,而两个互斥事件的概率之和小于 或者等于
1
⑥ 若事件A
，
B是互斥事件，则有P A B PA P B
⑦
12n
一般地，如果
2n
A
l
,A
2
,
…,
A
n
两两互斥，则有
P A

A

... A

P A P A

... P A

⑨在本教材中





















A
,
A
2
... A

指的是 A
1
,A
2
,
..
., A
n

n
中至少发生一个
例
1
.在大小相同的
6
个球中 ，
2
个是红球，
4
个是白球，若从中任意选取
3
个,
求至少有
1
个是红球的概率？
解法
1
:（互斥事件）设事件
A
为“选取
3
个球至少有
1
个是红球”，则
其互斥事件为A，意义为“选取
3
个球都是白球”
4 3
(6 5
4
6
PA 1 -PA 1-
1

5
-
5
20

解法
2
:（古典概型）由题意知，所有的基本事件有

种情

况，设事件
A
为“选取
3
个球至少有
1
个是红球”
2 C
2

事件数有
1 4 2 16
2
，所以
P A
,而事件
A
所含有的基本
16
20
4
5

解法
3
：（独立事件概
率）

设事件
A
为“选取
3
个球至少有
1
个是红球

则事件
A
的情况如下：


:红白白


2 4
6 5
3 1
4 5
1
f

1
红
2
白


4 3 2

白白红

L



6 5
4
L 5



白红白

4 2 3
1
6 5 4 5
2 1 4
1

红红白

6 5 4 15

<




2
红
1
白《

红白红

2 4 1
1
6 5 4 15
1.

白红红



丄
4 2 1
6 5 4 15

所以
1 1 4
P A 3 -3 —
5 15 5






例
2.
盒中有
6
只灯泡，其中
2
只次品,

4
只正品，有放回的从中任抽
2
次，每
次抽取
1
只，试求下列事件的概率:
（
1
）第
1
次抽到的是次品
（2
）抽到的
2
次中，正品、次品各一次
解：设事件
A
为“第
1
次抽到的是次品”，
品、次品各一次”
2 4 4 2
P B -----
9 （或者 6 6 6 6
4
9）
事件
B
为“抽到的
2
次中，正

例
3.
甲乙两人参加一次考试共有
3
道选择题，
3
道填空题，每人抽一道题，抽 到后不放
回，求（
1
）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？ （
到选择题的概率？
解：设事件
A
为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件
B
为
到选择题”，则
B
为“两人都抽到填空题”
“至少
1
人抽
2
）求至少
1
人抽
(1)
P B
(2)

3
— 或者
10
P A
或者
P B
P
!
P
!
3 3 3
P
e
2

F10
P
2
6
2
P

算法初步
算法与程序框图
1
、算法的概念
（
1
）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机 来解决的某一类问
题是程序或步骤， 这些程序或步骤必须是明确和有效的， 而且 能够在有限步之内完成
.
（
2
）算法的特点
:
①有限性： 一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能 是无限的
.
② 确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结 果，而不应当是
模棱两可
.
③ 顺序性与正确性： 算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步 骤只能有一个
确定的后继步骤， 前一步是后一步的前提， 只有执行完前一步才能 进行下一步，并且每一步都准
确无误，才能完成问题
.
④ 不唯一性： 求解某一个问题的解法不一定是唯一的， 对于一个问题可以有 不同的算法
.
⑤ 普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算 器计算都要经过
有限、事先设计好的步骤加以解决
.
2
、程序框图
（
1
）程序框图基本概念：
① 程序构图的概念： 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准
确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线； 程序框外必要文
字说明
② 构成程序框的图形符号及其作用
程序框

名称 功能

-----------------

起止框

表示个算法的起始和结束，疋任何流程图 不可少
的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算 法中
任何需要输入、输出的位置。
输入、输出框

处理框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 公式
等分别写在不同的用以处理数据的处理 框内。
判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 明
“是”或“
Y
”不成立时标明“否”或“
N'
。
O
基本算法语句
1
、输入、输出语句和赋值语句
(1) 输入语句
① 输入语句的一般格式
INPUT
“提示内容”；变量
② 输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；③“提示内容” 提示用户输
入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；④输入语句要求 输入的值只能是具
体的常数，不能是函数、 变量或表达式；⑤提示内容与变量之
间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
(2) 输出语句
① 输出语句的一般格式
PRINT
“提示内容”；变量
② 输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；③ “提示内容”提示用户
输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；④输出语句可以输出常量、
变量或表达式的值以及字符。

(
3
)赋值语句
① 赋值语句的一般格式
变量
二
表达式
② 赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“二” 称作赋值号，与
数学中的等号的意义是不同的。 赋值号的左右两边不能对换，它 将赋值号右边的表达式的值赋给
赋值号左边的变量；④赋值语句左边只能是变量 名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数
据、常量或算式；⑤对于一个变 量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。女口：
2=X
是错误的。 ②赋值号
左右不能对换。如“
A=B'
“
B=A
的含义运行结果是不同的。③不能利 用赋值语句进行代数式的演
算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“
=
” 与数学中的等号意义不同。
5
:条件语句
条件语句的一般格式有两种:
①
IF
条件
THEN
语句体
END IF
注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容， 条件不满足
时，结束程序；
END IF
表示条件语句的结束。计算机在执行时首先 对
IF
后的条件进行判断，如果
条件符合就执行
THEN!
边的语句 ，若条件不符合 则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
②
IF
条件
THEN
语句体
1
ELSE

语句体
2
END IF
分析：在
IF
—
THE
—
ELSE
语句中，“ 条件”表示判断的条件，“语句
1
”表 示满足条件
时执行的操作内容；“语句
2
”表示不满足条件时执行的操作内容；
END IF
表示条件语句的结
束。计算机在执行时，首先对
IF
后的条件进行判断， 如果条件符合，则执行
THEN
后面的语句
1
;若条件不符合，则执行
ELSE
后面的 语句
2
。
6
:循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环结构， 一般 程序设计语言
中也有当型（
WHILE
型 ）和直到型（
UNTIL
型）两种语句结构。即
WHILE
语句和
UNTIL
语句。
（
1
）
WHILE
语句
①
WHILE
语句的一般格式是
WHILE
条件
循环体
WEND
否
②当计算机遇到
WHILE
语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行
WHILE
与
WEN
之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执 行循环体，这个过程反复进
行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不 执行循环体，直接跳到
WEN
语句后，接着执
行
WEN
之后的语句。因此，当型循 环有时也称为“前测试型”循环。

(2)
UNTIL
语句
①
UNTIL
语句的一般格式是
对应的程序框图是
DO
循环体
LOOP UNTIL
条件
② 直到型循环又称为“后测试型”循环，从
UNTIL
型循环结构分析，计算机 执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果
条件不满足，继 续返回执行循环体，然后再进行条件的判断， 这个过程反复进行，直到某一次条
件满足时，不再执行循环体，跳到
LOOP UNTIL
语句后执行其他语句，是先执行 循环体后进行条
件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：
当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在
WHILE
语句中，是当条件满足时执行循环体，在
UNTIL
语句中，是当条件
不满足时执行循环

统计
随机抽样
1
：简单随机抽样
（
1
）总体和样本
①在统计学中
,
把研究对象的全体叫做总体．
②把每个研究对象叫做个体．
③ 把总体中个体的总数叫做总体容量．
④ 为了研究总体的有关性质， 一般从总体中随机抽取一部分： ， ， ， 研究， 我们称它为
样本．其中个体的个数称为样本容量．
（
2
）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、 排队等， 完全
随机地抽取调查单位。 特点是： 每个样本单位被抽中的可能性相同 （概率相等），样本的每个单
位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简 单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。 通常
只是在总体单位之间差异程度较小 和数目较少时，才采用这种方法。
（
3
）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中， 主要考虑：①总体变异情况；②允许误 差范围；③概率
保证程度。
2
：系统抽样
（
1
）系统抽样（等距抽样或机械抽样） ：
把总体的单位进行排序， 再计算出抽样距离， 然后按照这一固定的抽样距离 抽取样本。第
一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
体规模）
n
（样本规模）
前提条件： 总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在 某种与研究变量
相关的规则分布。 可以在调查允许的条件下， 从不同的样本开始 抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别， 说明样本在总体中的分布承某种 循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
K
（抽样距离）
=N
（总
2
）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对 抽样框的要求较
低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相 关的辅助变量可供使用，
总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽 样可以大大提高估计精度。

3
:分层抽样
（
1
） 分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类 型或层次，然后
再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取 一个子样本，最后，将这些子样本
合起来构成总体的样本。
两种方法：
① 先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中 抽取。
② 先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐 排列，最后用系
统抽样的方法抽取样本。
（
2
） 分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再 抽取不同的子总
体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
① 以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
② 以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在
结构的变量作为分层变量。
③ 以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
样本容量 各层样本容量
（
3
） 分层的比例问题：抽样比
=
个体容量 各层个体容量
① 按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位
数目的比重来抽取子样本的方法。
② 不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常 少，此时采用该
方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互 比较。如果要用样本资料推断总体
时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理， 调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层
实际的比例结构。
4
:用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)
样本均值:
n
-X
i
X
X
2
X
n
s
(2)
样本标准差：
(X
i
x)
2

(
X
2
x)
2

n
(X
n
X
)
2

(3)
众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多
个）。
(4
)
中位数：在样本数据中，累计频率为时所对应的样本数据值（只有一
个）。

注意:
①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，
不变
② 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数
的
k
倍
③ 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
（
X 3s
标准差
k
,标准差变为原来
，
X 3s
）
的应
5
、用样本的频率分布估计总体分布
（
1
）频率分布表与频率分布直方图
频率分布表盒频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例 大小的
角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布 情况。
具体步骤如下：
第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差
?
第二步：决定组距和组数：组距与组数的确定没有固定标准，需要尝试、选 择，力
求有合适的组数，以能把数据的规律较清楚地呈现为准
?
太多或太少都不 < br>好，不利对数据规律的发现
?
组数应与样本的容量有关，样本容量越大组数越多
?
极差
般来说，容量不超过
100
的组数在
5
至
12
之间
.
组距应最好“取整”
，
它与
组距
有关
.
极差 极差

注意：组数的“ 取舍”不依据四舍五入，而是当
组距
不是整数时，组数=［
组距
］
+1.
② 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就 得到频率
分布折线图。
③ 总体密度曲线：总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，
能给我们提供更加精细的信息。
（
2
）茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。
它
6
:变量间的相关关系：自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的 两个变量
之间的关系交相关关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方 法叫做回归分析。
（
1
）回归直线：根据变量的数据作出散点图，如果各点大致分布在一条直 线的附
近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系， 这条直线叫做回归直线方 程。如果这些
点散布在从左下角到右上角的区域， 我们就成这两个变量呈正相关； 若从左上角到右下
角的区域，则称这两个变量呈负相关。