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高中数学数列基础知识与典型例题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:30
tags:高中数学例题

高中数学试卷字体一般多大-职业高中数学函数ppt

2020年9月20日发(作者:孟庆华)



数学基础知识例题
数列


例1.已知数 列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?2n2
?n
,求

数列
?
a
n
?
的通项公式.




1.数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n



通项
a

n
的关系:


a
?
S
1
(n ?1)
例2.已知
a
1
?3且a
n
?S
n?1?2
n
,求
a
n

S
n


n
?
?

?
S
n
?S

n?1
(n≥2)
















例 3.已知
a
1
?1

S
n
?n
2
a
n

(n≥1)

a
n

S
n





















例4.求和
1?
1

1?2
?
11
1?2 ?3
?
?
?
1?2?3?
?
?n
.
2.数列求和的常用方法:公

式法、裂项相消法、错位相

减法、倒序相加法等。




关键是找数列的通项结构。
例5.数列1
1
,3
1
,5< br>11
248
,7
16
,…,(2n-1)+
1
2n
的前n
项之和为S
n
,则S
n
等于( )
(A)n
2
+1-
1
2
n
(B)2n
2
-n+1-
1
2
n

(C)n
2
+1-
1
2
n?1
(D)n
2
-n+1-
1
2
n


例6.求和:
S?1?2x?3x
2
?4x
3
???nx
n?1
.












等差数列 等比数列

定义
a
n?1
?a
n
?d
(
d
为常数,
n≥2
)
a
n?1

a
?q(q?0,且为常数,n≥2)

n

递推
a
n
?a
n?1
?d
(
a
n
?a
m
?(n?m)d
)

a
n
?a
n?1
q
(
a
n
?a
m
q
n?m
)

公式

通项
a
n
?a
1
?(n?1)d

an
?a
1
q
n?1

a
1
,q?0< br>)

公式

中项
A?
a
n?k
?a
n?k
G??a
n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)


2




n,k?N
*
,n?k?0


n,k?N
*
,n≥k≥0




n
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)
?
na
1
(q?1)

项和
2
S< br>?
n
?
?
a

?na
1
?
n(n?1)
d

?
1
?
1?q
n
?a
1
?a
n
q


2
?
1? q
?
1?q
(q?1)

?
?

?
d
?
?
2
?
?
n
2
?
?
?
?
a
d
?
1
?
2
?
?
n

重要
①等和性:a
m
?a
n
?a
p
?a
q
①等积性:a
m
?a
n
?a
p?a
q

性质
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)

(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)




a
n
?a
m
?(n?m)d


a
n
?a
m
?q
n?m


③从等差数列中抽取等距离的项
③从等比数列中抽取等距离的项
组成的数列是一个等差 数列。
组成的数列是一个等比数列。
如:
a
1
,a
4< br>,a
7
,a
10
,???
(下标成等差
如:
a
1
,a
4
,a
7
,a
10
,???(下标成等差
数列)
数列)
证明证明一个数列为等差数列的方证明一个数列为等比数列的方法:
方法 法:
1.定义法
a)

1.定义法
a
n?1
a
?q(常数)

n?1
?a
n
?d(常数
n
2.中项法
a
n?1
?a
n?1
?2a
n
(n?2)

2.中项法
a
n?1
?a
n?1
?(a
2
n
)(n?2)

设元三数等差:
a?d,a,a?d

a
技巧
四数等差:
a?3d,a?d,a?d,a?3d

三数等比:
q
,a,aq或a,aq,aq
2

四数等比:
a,aq,aq
2
,aq
3

联系 真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比。


重点把握通项公式 和前n项和公式,对于性质主要是理解
..
(也就是说自己能推
导出来),具体运用时 就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其
他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公 式的“累差”法和推导等比数列通项



公式的“累积”法,是我们求其他数列通 项公式的一种经验.又比如推导等差数
列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相 减法”都是
数列求和的重要技巧.



注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容,

利用等 差数列和等比数列的通项公式、前
n
项和公式及其性质熟练地进行计算,

是 高考命题重点考查的内容.⑶解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.

善于使用各种 数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标.①函数思想:等

差等比数列的通项公式求和 公式都可以看作是
n
的函数,所以等差等比数列的

某些问题可以化为函数问 题求解.


②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为
S
a< br>1
(1?q
n
)
n
?

1?q
(q ?1)


S
n
?na
1
(q?1)
;已 知
S
n

a
n
时,也要进行分类;③整体思想:在解数列问 题

时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解.⑷在解答有
关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,
再利用有关数列知识和方 法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决
不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年 份有关的等比数列的第几项不
要弄错.


例7.等差数列{a
n
}中,已知
a
1
11
1
?

a
6
?
,a
n
=33,则n为( )

3
3

(A)48 (B)49 (C)50 (D)51

例8.在等比数列
?
an
?
中,
a
7
?12,q?
3
2
,则
a
19
?_____.




例9.
2?3

2?3
的等比中项为( )

(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2




例10. 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
2
??2

a
5
?54
,求
a
8









例11.在等比数列
?
a
2
n
?
中,
a
1

a
10
是方程
2x?5x?1?0
的两个根,



a
4
?a
7
?
( )


(A)?
5

(B)
2

(C)?
1
2

(D)
1
2
2
2



例12.已知等差数列
?
a

n
?
满 足
a
1
?a
2
?a
3
???a
101?0
,则有( )
(A)a
1
?a
101
?0

(B)a
2
?a
100
?0

(C)a
3
?a
99
?0

(D)a
51
?51


例13. 已知数列
?< br>a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3n2
?2n

求证:数列
?
a
n
?
成 等差数列,并求其首项、公差、通项公式。








例14. 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为


32:27,求公差.







例15. 在等比数列
?
a
n
?
,已知
a
1
?5

a
9
a
10
?100
,求
a
18
.









例16.设数列{a
n
}为等差数列,S
n
为 数列{a
n
}的前n项和,已知S
7
=7,S
15
=75,


T
n
为数列{
S
n
n
}的前 n项和,求T
n
.











例17.三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数
列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数.






例18. 在5和81之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列,求这两个数的和.





例19. 设{a
n
}是等差 数列,
b
1
a
211
n
?(
2
)
n
,已知b
1
+b
2
+b
3
=
8
,b
1
b
2
b
3
=
8
,求等差数
列的通项a
n
.







例20. 已知等差数列{a
n
}中,|a
3
|=|a
9
|,公差d<0,则使前n项和S
n
取最大值的
正整数n 是( )
(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案
例1. 当
n?1
时,
a
1
?S
1
?1
,当
n≥2< br>时,
a
n
?2n
2
?n?2(n?1)
2
? (n?1)?4n?3
,经检

n?1

a
1
?1
也适合
a
n
?4n?3
,∴< br>a
n
?4n?3
(n?N
?
)

例2. 解:∵
a
n
?S
n
?S
n?1
,∴
S< br>n
?2S
n?1
?2
n
,∴
S
n
2
n
?
S
n?1
2
n?1
?1


b
S
n
n
?
2
n

?
b
n
?
是公差为1的等差数列,∴
b
n
?b1
?n?1
又∵
b
1
?
S
1
a
2
?
1
2
?
3
2
,

S< br>n
2
n
?n?
1
2
,∴
S
n?1< br>n
?(2n?1)2
,∴当
n≥2

a
n
?S
n
?S
n?1
?(2n?3)2
n?2


a
?
3
(n?1)
?1
n
?
?
?
(2n?3)?2
n?2

(n≥2)
,
S
n
?(2n?1)2
n

例3 解:
a?S
2
a
n?1
n
?S
nn ?1
?n
2
a
n
?(n?1)
n?1
从而有
a
n
?
n?1
a
n?1


a1
,∴
a
1213214321
1
?
2
?3
,
a
3
?
4
?
3
,
a4
?
5
?
4
?
3
,
a
5< br>?
6
?
5
?
4
?
3
,

a
(n?1)(n?2)?
?
?3?2?1
n
?
( n?1)n(n?1)?
?
?4?3
?
2
n(n?1)
,∴
S?n
2
a
2n
nn
?
n?1
.
例4.解:
a
1
1?2?3?
?
?n
?
2
n(n?1)
?2(
1
n
?
1
n
?
n? 1
)

S?2
?
11111
?
?
(1?< br>2
)?(
2
?
3
)?
?
?(
n?
n?1
)
?
12n
n
?
?
?2(1 ?
n?1
)?
n?1

例5.A
例6. 解:
S
n
?1?2x?3x
2
?4x
3< br>????nx
n?1

xS
n
?x?2x
2
?3x
3
????
?
n?1
?
x
n?1
? nx
n

①?②
?
1?x
?
S
n< br>?1?x?x
2
????x
n?1
?nx
n


x?1
时,
?
1?x
?
S
1?xnnnn?1
n
?
1?x
?nx?
1?x?nx?nx
1?x
?
1?
?
1?n
?
x
n
?nxn?1
n
1?
?
1?n
?
x
n
?nx
n?1
1?x

S
n
?
?
1?x
2
;

x?1
时,
S
?
?
n1?n?
n
?1?2?3?4???n?
2

例7.C 例8.192 例9.C
例10. 解:
a
a
54
8
?a
5
q
3
?a
5
5
?
a
?54???1458

2
?2
另解: ∵
a
5

a
2

a
2
8
的等比中项,∴
54?a
8
??2

a
8
??14 58

例11.D 例12.C
例13.解:
a
1
?S
1
?3?2?1
,

n≥2
时,
a
2
n
?S
n
?S
n?1
?3n?2n?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5
,< br>n?1
时亦满足


a
n
?6n?5
, ∴首项
a
1
?1

a
n
?a
n?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数)


?
a
n< br>?
成等差数列且公差为6、首项
a
1
?1
、通项公式为
a
n
?6n?5

?
?
12a
12?11
1
?d?354
例14. 解一:设首项为
a
1
,公差为
d

?
2
?
?
6(a)?
6?5
?d?5

?
1
?d
2
?2d
32

?
?< br>?
?
6a
1
?
6?5
2
?2d
17
?
S

?S

?354
解二:
?
?
S
?
S

?192

32

?
?
?
?

S
?
S
S?162

?S

?6d
?d?5


27
?

例15. 解:∵
a
a
9a
10
1
a
18
?a
9
a
10
,∴
a
18
?
a
?
100
5
?20
1
例16. 解题思路分析:
法一:利用基本元素分析法
?
S?7a
7?6
设{a
?
n
}首项为a
1
,公差 为d,则
?
71
?
?
2
d?7

?
?
?
a
1
??2
d?

??
S
15
?15a
15?14
1
?
2
d?75
?
1

S
n(n?1)
S
n
n ?1n5
n
??2?
2

n
??2?
2
?
2
?
2
此式为n的一次函数
∴ {
S
n
n
}为等差数列∴
T
19
n
?< br>4
n
2
?
4
n

法二:{aS
?< br>S?A?7
2
?7B?7
n
}为等差数列,设
n
=A n
2
+Bn∴
?
?
7
?
?
SA?15< br>2
?15B?75

15
?
?
解之得:
?< br>?
A?
1
?
2

S
1
2
5
n
?n?n
,下略
?
22

?
?
B??
5
2
注:法二利用了等差数列前n项和的性质
例17.
解:
设原来三个数为
a,aq,aq
2
则必有
2aq?a?(aq
2
?32)
①,
(aq?4)
2
?a(aq
2
?32)

由①:
q?
4a?2
a
代入②得:
a?2

a?
5
9
从而
q?5
或13
∴原来三个数为2,10,50或
226338
9
,
9
,
9

例18.70
例19. 解题思路分析:
∵ {a
n
}为等差数列∴ {b
n
}为等比数列

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