高中数学物理概念理解可以不用背吗-高中数学选修2-1知识点归纳
人教版高中数学必修一
一、集合与函数部分
1.考点
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
2.典型例题
★1.已知集
合
A
={
x
|1≤
x
＜4}，
B
={x
|
x
＜
a
};若
AB
，求实数
a<
br>的取值集合
解： 将数集
A
表示在数轴上(如图)，要满足
AB，表示数
a
的点必须在4或4的右边，所求
a
的取值集
合为{<
br>a
|
a
≥4}.
★★2. 已知集合
A
＝｛
x
｜－1＜
x
＜3
}
，
A
∩
B
＝
?
，
A
∪
B
＝R，求集合
B
．
解：由
A
∩
B
＝
?
及
A
∪
B
＝R知全集为R，
C
R
A
＝
B，
<
br>故
B
＝
C
R
A
＝｛
x
｜
x
≤－1或
x
≥3｝
★★3.求一次函数
f(x)
，使得<
br>f{f[f(x)]}?8x?7
解：设
f(x)?ax?b
(a?0)
，则
f[f(x)]?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b
，
2<
br>f{f[f(x)]}?a
2
(ax?b)?ab?b?a
3
x?a<
br>2
b?ab?b?8x?7
所以
a
3
?8
且
ab?ab?b?7
解得
a?2,b?1
所以
f(x)?2x?1
★4.已知函数
f(x)?x
2
?x?1
（1）求
f(2)
（2）求
f(
1
?1)
x
（3）若
f(x)?5
，求
x
的值
解：（1）
f(2)?2
2
?2?1?5
11113
（2）
f(?1)?(?1)
2
?(?1)?1?
2
??1
xxxxx
（3）由题意：
x
★★5.证明：函数
y
2
?x?1?5
，解得
x??3,x?2
?x?
1
在
(1,??)
上为增函数。
x
证明：
设
x
1
,x
2
是
(1,??)
上的任意两个实数，
且
x
1
?x
2
，则：
x?x<
br>11
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
??(
x
2
?)?(x
1
?x
2
)?
21
?
(x
1
?x
2
)(1?
x
1
x
2
x
1
x
2
因为
x
1
1
)
x
1
x
2
?x
2
，所以
x
1
?x
2
?0
11
?1,1??0
x
1
x
2
x
1
x
2
因为
x
1
,x
2
?(1,??)
，所以
x
1
x
2
?1,
即
f(x
1
)?f(x
2
)
1
在
(1,??)
上为增函数
x
二、基本初等函数部分
1.考点
所以函数
y?x?
一、函数的概念
二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
四、函数的单调性
五、函数的最大（小）值
2.典型例题
★1.比较下列各题中的个值的大小
2.5 3
（1）1.7 与 1.7<
br>（2）
0.8
（3）1.7
?0.1
与
0.8
与
0.9
?0.2
0.3 3.1
解法1：用数形结合的方
法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出
y?1.7
的图象，在图象上找出横
坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以
8
x
6
4
y?1.7
x
510
2
-10-
5
0
-2
-4
-6
-8
1.7
2.5
?
1.7
3
.
解法2：用计算器直接计算：
1.7
所以，
1
.7
2.5
2.5
?3.77
1.7
3
?4.91
?1.7
3
解法3：由函数的单调性考虑
因为指数函数
y?1.
7
x
在R上是增函数，且2.5＜3，所以，
1.7
2.5
?1.7
3
仿照以上方法可以解决第（2）小题 .
★★2.截止到1999
年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20
年后，我国人
口数最多为多少（精确到亿）？
分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底
人口约为13亿
经过1年 人口约为13（1+1%）亿
2
经过2年
人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)亿
23
经过3年
人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)亿
x
经过
x
年
人口约为13(1+1%)亿
20
经过20年 人口约为13(1+1%)亿
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过
x
年后，我国人口数为
y
亿，则
y?13(1?1%)
x
当
x
=20时，
y?1
3(1?1%)
20
?16(亿)
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
x
★★3.已知函数
f(x
)?log
a
(a?a)
(a?1)
，求
f
（
x<
br>）的定义域和值域．
解：
a?a?0,a?a,x?1
，即定义域为
(??,1)
； <
br>xx
a
x
?0,0?a?a
x
?a,log
a
(a?a
x
)?1
，即值域为
(??,1)
★★4．已
知
f
（
x
）=lg（
a
-
b
）（
a
,
b
为常数）,
当
a
>1>
b
>
0时,判断
f
（
x
）在定义域上的单调性，并用定义证明.
解：设
0?x
1
?x
2
(a?b),a?1,?a
x
1<
br>xx
?a
x
2
;
0?b?1,?b
x1
?b
x
2
??b
x
1
??b
x2
0?x
1
?x
2
(a?b),a?1,?a
x
1
?a
x
2
;
0?b?1,?b
x
1
?b
x
2
??b
x
1
??b
x
2
?a
x
1
?b
x
1
?a
x2
?b
x
2
即可?lg(a
x
1
?
b
x
1
)?lg(a
x
2
?b
x
2
),即f(x
1
)?f(x
2
)
f
(
x
)为增函数。
x
的最小值及取得最小值时自变量x的值．
10
1
2
11
2
解：
f
(
x
)=（2+lg
x
）（lg
x
-1）=（lg
x
）+lg
x
-2=（lg
x<
br>+）-2≥-2，
244
★★5.求函数
f(x)?lg100x?lg∴当
x
=
10
1
时函数取得最小值-2．
10
4
★★6．设函数
y
=
f
（
x
）是定义在R上的减函数，并且满足
f
（
xy
）=
f
（
x
）+
f
（
y
），
f
（
+
1
）=1，
3
（1）求
f
（1）的值，
（2）如果
f
（
x
）+
f
（2-
x
）<2，求
x
的取值范围．
解:（1）令x
=
y
=1,则
f
（1）=2
f
（1）,∴<
br>f
（1）=0;
（2）有意义条件0<
x
<2,
又
f
（
x
）+
f
（2-
x
）=
f
（2
x
-
x
2
）,2=
f
（
1
3
）+
f
（
1
3
）=
f
（
19
）
∴
f
（2
x
-
x
2
）<
f（
1
+2
1
9
）,又函数是R上的减函数,∴2
x-
x
<
9
∴
x
<1-
222
3
或
x
>1+
2
3
,
综上
x
的取值范围是0<
x
<1-
22
3
或1+
22
3<
br><
x
<2．
三、函数方程及零点
1.考点
一、函数的零点
二、二分法求零点
2.例题：
★★1.设
x<
br>1
与
x
2
分别是实系数方程
ax
2
?bx?
c?0
和
?ax
2
?bx?c?0
的一个根，
x
a
2
1
?x
2
,x
1
?0,x
2
?
0
，求证：方程
2
x?bx?c?0
有仅有一根介于
x
1
和
x
2
之间.
解：令
f(x)?
a
2
x
2
?bx?c,
由题意可知
ax
2
1
?bx
1
?c?0,?ax
2
2
?bx
2
?c?0
bx
2
1
?c??ax
1
,bx
2?c?ax
2
2
,
f(x
a
2
x<
br>2
aa
1
)?
1
?bx
1
?c?
2
x
2
1
?ax
2
1
??
2
x2
1
,
f(x
2
)?
a
2
a
2
x
3a
2
2
?bx
2
?c?
2
x
2
2
?ax
2
2
?
2
x2
,
因为
a?0,x
1
?0,x
2
?0
所以
f(x
1
)f(x
2
)?0
，
即方程
a
2
x
2
?bx?c?0
有仅有一根介于
x
1
和
x
2
之间.
★★2. 函数
f(x)
??x
2
?2ax?1?a
在区间
?
0,1
?
上有
最大值
2
，求实数
a
的值.
解：对称轴
x?a
，
当
a?0,
?
0,1
?
是
f(x)
的递减
且
f(x)
max
?f(0)?1?a?2?a??1
；
当
a?1,
?
0,1
?
是
f(x)
的递增区间，
f(
x)
max
?f(1)?a?2?a?2
；
当
0?a?1
时
f(x)
max
?f(a)?a
2
?a?1?2,a?
1
?5
,
2
0?a?1
矛盾；
所以
a??1
或
2
.
★★3.某商品进货单价为40
元，若销售价为
50
元，可卖出
50
个，如果销售单价每涨
1元，销售量就减少
1
个，
为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
解：设最佳售价为
(50?x)
元，最大利润为
y
元，
y?(50?x)(50?x)?(50?x)?40
??x
2
?40x?5
00
当
x?20
时，
y
取得最大值，所以应定价为
70
元.
人教版高中数学必修二
第一章 空间几何体
知识点：
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成
的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 <
br>2、长方体的对角线长
l
2
?a
2
?b
2
?
c
2
；正方体的对角线长
l?
3、球的体积公式：
V?
3a
4
? R
3
，球的表面积公式：
S?4
? R<
br>2
3
2
1
S
1
h
1
4
、柱体
V?s?h
，锥体
V?s?h
，锥体截面积比：
?
2
3
S
2
h
2
5、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l
⑵圆锥侧面积：
典型例题：
S
侧面
?
?
?r?l
★例1：下列命题正确的是( )
Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形
Ｂ.棱锥的底面一定是三角形
Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
2
1
A
2
倍 B
4
倍
C 2倍 D
2
倍
★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成
的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、
下两部分分别是（ ）
Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱
正视图
侧视图
俯视图
★★例4：一个体积为
8cm
3
的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是
A．
8
?
cm
2
B
12
?
cm
.
C
16
?
cm
2
．
D．
20
?
cm
2
2
二、填空题
★例
1：若圆锥的表面积为
a
平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为<
br>_______________．
★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知识点：
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平
面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，
则线面平行）。
⑵性质：一条
直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简
称线面平行，则线线平
行）。
10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个
平面平行（简称线面平行，则
面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交
，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线
线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，
则线
面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 <
br>⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，
则线面垂直）。
典型例题：
★例1：一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面
面积之比是1:2，则此棱锥的高（自上而下）
被分成两段长度之比为
A、1:
2
B、1:4 C、1:
(2?1)
D、1:
(2?1)
★ 例2：已知两个不同平面
?
、
?
及三条不同直线a、b、c，
?
?
?
，
?
?
?
?c
，
a?
?
，
a?b
，c与
b不平
行，则（ ）
A.
b
?
且
b
与
?
相交
C.
b
与
?
相交
B.
b?
?
且
b
?
D.
b?
?
且与
?
不相交
★★ 例3：有四个命题：①平行于
同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③平行于
同一直线的两个平面平行；④垂
直于同一平面的两个平面平行。其中正确的是 （ ）
A．①②
B．②③ C．③④ D．①④
★★例4：在正方体
ABCD?A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E,F
分别是
DC和CC
1
的中点.求证：
D
1
E?平面ADF
例5：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为
的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
第三章 直线与方程
知识点：
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2、直线方程：
⑴点
斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
⑵斜截式：
y?kx?b
D
1
A
1
B
1
C
1
棱AD、AB
E
D
F
B
C
y
2
?y
1
x
2
?x
1
A
⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1
?
x?x
1
x
2
?x
1
⑷截距式：
xy
??1
ab
⑸一般式：
Ax?By?C?0
3
、对于直线：
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
有：
⑴
l
1<
br>l
2
?
?
?
k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2
⑵
l
1
和
l
2
相交
?k
1
?k
2
；
?
k
1
?k
2
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
；
b?b
2
?
1
⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
4、对于直线：
l
1
:A
1
x?B
1
y?
C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有：
⑴
l
1
l
2
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C
2
?B
2
C<
br>1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
A1
B
2
?A
2
B
1
⑶
l
1<
br>和
l
2
重合
?
?
；
BC?BC
2
1
?
12
⑷
l
1
?l
2
?A
1<
br>A
2
?B
1
B
2
?0
.
5、两点
间距离公式：
P
1
P
2
?
6、点到直线距离公式：
d?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?y
2
?y
1
?
2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
7、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax?By?C
1<
br>?0
与
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行，则
d?
典型例题：
C
1
?C
2
A?B
22
★例1：若过坐
标原点的直线
l
的斜率为
?3
，则在直线
l
上的点是（
）
A
(1,3)
B
(3,1)
C
(?3,1)
D
(1,?3)
★例2：直线
l
1
:kx?(1?k)y?3?0
和l
2
:(k?1)x?(2k?3)y?2?0
互相垂直，则
k
的值是（ ）
A .-3 B .0
C . 0或-3 D . 0或1
第四章 圆与方程
知识点：
1、圆的方程：
2
⑴标准方程：
?
x?a
?
?<
br>?
y?b
?
?r
，其中圆心为
(a,b)
，半径为<
br>r
.
22
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
.其中
圆心为
(?
2、直线与圆的位置关系
22
D
2
,?
E
2
)
，半径为
r?
1
2
D
2
?E
2
?4F
.
直线
Ax?By?C?0
与圆
(
x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2
⑴外离：
d?R?r
； ⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
； ⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
4、空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2
典型例题：
★例1：圆心在直线y=2x上，且与x轴相切与点（-1，0）的圆的标准方程是
_________________________.
★★
例2：已知
圆C:x?y?4
，
（1）过点
(?1,3)
的圆的切线方程为________________.
（2）过点
(3,0)
的圆的切线方程为________________.
（3）过点
(?2,1)
的圆的切线方程为________________.
（4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________.
★★例3：已知圆C经过A(3,2)、Ｂ(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上。
（１）求圆Ｃ的方程；
（２）若直线Ｌ经过点P（－１，３）且与圆Ｃ相切，
求直线Ｌ的方程。
人教版高中数学必修三
一、算法与程序框图
22
1.考点
算法的概念及程序框图
2.例题
★1.08山东(14)执行右边的程序框图，若
p
=0.8,则输出的
n
= 4 .
二、统计
1.考点
1、简单的随见抽样
2、用样本的特征估计总体的特征
3、变量间的相关关系
2.例题
★★1. 用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：
①总体中的某一个体
a
在第一次抽取时被抽到的概率是多少?
②个体
a
在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少?
③在整个抽样过程中，个体
a
被抽到的概率是多少?
C
1
1
1
P??
分析：①总体中的某一个体
a
在第一次抽取时被抽到的概
率是；
8
C
1
8
②个体
a
在第1次未被抽到
，而第2次被抽到的概率是
P?
1
C
1
7
C
11
C
1
C
87
?
1
；
8
③由于个体
a
在第一次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，所以在整个抽样过程中，个体
a
被抽到的概
率是
P?
111
??
．
884
ｘ
y
45 42 46 48 42 35 58 40 39
50
★★★2.已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下
6.53 6.30
9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72
ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）
(1)
画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 （3）回归直线必经过的一点是哪一点？
(2) 解：（１）见下图
y
10
5
3
x
（２）
x?
1<
br>(45?42?46?48?42?35?58?40?39?50)?45.50
1
0
1
(6.53?6.30?9.52?7.50?6.99?5.90?9.49?6.20
?6.55?8.72)?7.37
设回归直
10
y?
?
?bx?a
， 线为
y
则a?
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
?0.176
?nx
2
，
b?y?ax??0.64
?
x
i?1
2
i
所以所求回归直线的方程为
?
?0.176x?0.64
，图形如下:
y
y
10
5
3
x
故可得到
87175?7?30?399.3
?4.75,
2
7000?7
?30
a?399.3?4.75?30?257
b?
^
从而得回归直线方程
是
y?4.75x?257
．(图形略)
★★3．写出下列各题的抽样过程
（１）请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本。
（２）某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行。
(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的测得进行得出，车间得出的总人数为12000人
，其中
持各种态度的人数如下：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2435
4567 3926 1072
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
解：（１）①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；
②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；
③抄录入样号码如下：3
35、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、40
7、
349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、
261、036、240、115、143、402
④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕
（２）采取系统抽样1
89÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9
人组成样本
(3)采取分层抽样总人数为12000人，12000÷60＝200，
23454567
39261072
?
11
?
145人，＝22
?
167人，
＝19
?
余126，＝5
?
余72人
2
所以从很
喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱的人
中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人三、概率
1.考点
1、概率的概念及意义
2、古典概型的概念及概率
3、几何概性的概念及概率
2.例题
★★1. 有红，黄，白三种颜色，并各标有字母A，B，C，D，E的卡片15张
，今随机一次取出4张，求4张
卡片标号不同，颜色齐全的概率.(12分)
4
n?A
解：基本事件总数为
15
，
而符合题意的取法数
m?
423
C
5
C
4
A
3
423
C
4
A
3
m
C
5
1
?P???<
br>?180
，
4
n180
A
15
★★2.10根签中
有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下列事件的概率：
（1）甲中彩；
（2）甲、乙都中彩； （3）乙中彩（14分）
解：设A={甲中彩} B={乙中彩}
C={甲、乙都中彩} 则C=AB
321
3
??
（1）P（A）=；
（2）P（C）=P（AB）=
10915
10
1733
???.
（2）
P(B)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?
1510910
★★
3．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：
（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；
（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的
解：基本事件总数是
C
10
=210
4
（1）恰有两只成
双的取法是
C
5
C
4
C
2
C
2
=
120
1211
∴所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为
211
C1
5
C
4
C
2
C
2
4
C10
?
1204
?
2107
(2)事件“4只鞋中至
少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”，恰有两只
成双的取法是
C
5
1
11
2
C
2
CC
422
=120，四只恰成两双的取法是
C
5
=10
∴所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为
2112
C
1
5C
4
C
2
C
2
?C
5
4
C<
br>10
?
13013
?
21021
★★4．为了了解
参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．
解：⑴随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．
⑵利用简单随机抽样，
先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量
50整除，然后再按
系统抽样的方法进行．
说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等(
3
?
1
000
?
)，也就是每个个体不被剔除的概率相等
??
采用
1003
1003
??
系统抽样时每个个体被抽取的概率都是
是
50
，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都
1000
10005050
??
1
人教版高中数学必修四
第一章 三角函数
一、考点列举
1、任意角和弧度制
2、任意角的三角函数
3、三角函数的诱导公式
4、三角函数的图像及性质
5、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像及性质
二、常考题型
1、角度值与弧度制之间的转换
★例1．把下列角度数化成弧度数：
（1）
252
（2）
67?30'
解：（1）
252?252?
?
180
（2）因为
6730
?
?67.5
，所以
?
3
6730
?
?
rad?67.5?
?
rad
．
1808
（1）
?
（2）
3.5
解：（1）
?
rad
?
rad?
7
?
rad
．
5
★例2．把下列角的弧度数化成度度数。
3
5
3
5
3
?180?108
；
5（2）
3.5rad?3.5?
180
?
?200.54
2、理解三角函数的概念及之间的关系
★例1、 已知角
?
的终边过点<
br>(a,2a)(a?0)
，求
?
的六个三角函数值。
解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?5|a|
，
x?a,y?2a
当
a?0时，sin
?
?
cos
?
?
y2a2a25
；
???
r5
5|a|5a
15
xa5a
；
tan
?
?2;cot?
?;sec
?
?5;csc
?
?
；
??<
br>22
r5
5a
y2a2a25
当
a?0时，
； sin
?
?????
r5
5|a|?5a
15
xa5a
；
tan
?
?2;cot
?
?;sec
?
??5;csc
?
??
．
???
22
r
?5a
5
cos
?
?
3、理解诱导公式的转换及应用
11
?
17
?
；（2）
sin(?)
．
63
11
????
1
解：（1）
sin?sin(2
??)?sin(?)??sin??
；
66662
17
???
3
)?sin(?6
?
?)?sin?
（2）
sin(?
．
3332
★例1 求下列三角函数值：（1）
sin
★例2 化简： <
br>?sin(180?
?
)?sin(?
?
)?tan(360?
?
)
；
tan(
?
?180)?cos(?
?
)?cos(180?
?
)
（2）
sin120?cos330?sin(?
690)cos(?660)?tan675?cot765
．
sin
?
?
sin
?
?tan
?
tan
?
解：（1）原式
??
???1
．
tan
?
?cos
?
?cos
?tan
?
（2）原式
?sin(180?60)?cos(360?30)?si
n(720?690)cos(720?660)
（1）
?tan(675?720)?cot(765?720)
?sin60cos30?sin30cos60?tan(?45)?cot45
?
3311
????tan45?1
2222
31
???1?1?1
．
44
4、会用五点法画三角函数的图像，理解函数的性质及应
★例1．用“五点法画出下列函数的简图：
（1）
y?2cosx,x?R
；
（2）
y?sin2x,x?R
解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x
cosx
0
1
2
?
2
0
0
?
?1
?2
3
?
2
0
0
2
?
1
2
2cosx
描点画图，然后由周期性得整个图象：（图略）
（2）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x
0
0
2x
?
4
?
2
?
2
?
3
?
4
3
?
2
?
2
?
sin2x
0 1 0
?1
0
描点画图，然后由周期性得整个图象：（图略）
★例2．求下列函数的单调递增区间： （1）
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
3
?
?
（2）
y??cos2x
； （3）
y
?sin(
，函数
y?sinz
的单调增区间为
[?
?
4<
br>?2x)
．
?2k
?
],(k?Z)
， 解：（1）令z?2x?
由
?
?
3
?
2
?2k
?<
br>,
?
2
?
2
?2k
?
?2x?
?<
br>?
?
3
?
?
2
?2k
?
，得
?
5
?
?
?k
?
?x??k
?
， 1212
5
?
?
?k
?
,?k
?
],
(k?Z)
1212
故，函数
y?sin
?
2x?
?
?
3
?
?
的单调增区间为
[?
（2）由题意知
：求原函数的单调增区间即为求
y?cos2x
的递减区间，
令
t?2x<
br>，则
y?cost
在区间
[2k
?
,
?
?2
k
?
]
（
k?Z
）上递减，
∴
2k
?<
br>?t?
?
?2k
?
，
2k
?
?2x?
?
?2k
?
， ∴
k
?
?x?
所以，函数
y??cos2x
的单调递增区间是
[k
?
,
（3）∵
y
?sin(
?
2
?k
?
，
?
2
?k
?
]
(k?Z)
．
?
?2x)??sin(2x?)
，
44
?
∴求原函数的
递增区间即为求函数
y?sin(2x?
令
t?2x?
?
4
)
的递减区间，
3
?
?2k
?
]
(k?Z)
上递减，
4
22
??
3
?
3
?
7
?
∴
?2k
?
?2x???2k
?
，
?k
?
?x??k
?
，
24288
3
?
7
?
所以，原函数的递增
区间是
[?k
?
,?k
?
]
(k?Z)
．
88
?
，则
y?sint
在区间
[
?
?2k?
,
★例3．求
f(x)?tan2x
的周期．
解：设
f(x)
的周期为
T
，则
f(x?T)?f(x)
，即
t
an2(x?T)?tan2x
．
令
u?2x
，得
tan(u?2
T)?tanu
，由
tanu
的周期为
?
，可知
2T??
，即
T?
所以
f(x)?tan2x
的周期为
?2
．
?
．
2
?
．
?
说明：函数
y?Atan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
的周期
T?
5、理解
y?Asin(
?x?
?
)
的图像及其意义，理解函数图像的变化及性质
?
)
的图象可由函数
y?sinx
的图象经过怎样的变换得到？ <
br>2
?
1
?
（2）将函数
y?sinx
的图象上所有的
点
得到
y?sin(x?)
的图象，再将
y?sin(x?)
的图
323
★★例1．（1）函数
y?sin(2x?
11
?
sin(x?)
的图象．
223
11
?<
br>（3）要得到
y?sinx
的图象，只须将函数
y?sin(x?)
的
图象 ．
223
象上的所有点 可得
到函数
y?
（4）要得到函数
y?cos(3x?
?
6
（5
）已知函数
y?f(x)
，若将
f(x)
的图象上的每个点的横坐标保持不变
，纵坐标扩大到原来的
2
倍，然后
将整个函数图象向上平移
2
个单位
，得到曲线与
y?sinx
的图象相同，则
f(x)
的解析式
是
．
)
的图象，需将函数
y?sin3x
的图象 ．
?
个单位；
4
1
?
（2）向右平移个单位；纵坐标缩短为原来的（横坐标不变）； 2
3
2
?
1
?
（3）向左平移的单位；（4）向左平移
个单位；（5）
y?sinx?2
．
32
9
★★例2．已知函数<
br>y?Asin(
?
x?
?
)
（
A?0
，?
?0
，
|
?
|?
?
）一个周期内的函数图象
，如下图所示，
y
求函数的一个解析式．
解：（1）将
y?si
nx
的图象向左平移
解：由图知：函数最大值为
3
，最小值为
?3<
br>，
又∵
A?0
，∴
A?
由图知
3
3
，
O
T5
???
???
2632
2
?
∴
T?
?
?
，∴
?
?2
，
1
?
7
?
7
?
，∴图象上最高点
为
((?)?,3)
，
2361212
?
3
5
?
6
x
又∵
?
5
?
?
3
7
?
7
?
2
?
，
?
?
)
，即
sin(?
?
)?1
，
∵
|
?
|?
?
∴
?
??
1263
2
?
所以，函数的一个解析式为
y?3sin(2x?)
．
3
★★例3．已知函数
y?Acos(
?
x?
?
)
（
A?0
，
?
?0
，
0?
?
?
?
）的最小值是
?5
，图象上相邻两个最
5
?
高点与最低点
的横坐标相差，且图象经过点
(0,?)
，求这个函数的解析式．
2
4T
?
?
2
?
解：由题意：
A?5
，
?
， ∴
T??
，∴
?
?4
，
∴
y?5cos(4x?
?
)
，
242
?
551
又∵图象经过点
(0,?)
，
∴
??5cos
?
， 即
cos
?
??
，
222
2
?
2
?
)
．
又∵
0?
?
?
?
， ∴
?
?
，所以，函数
的解析式为
y?5cos(4x?
33
?
7
??
例3．已知
函数
f(x)?asin(2x?)?1
的定义域为
R
，若当
??
x??
时，
f(x)
的最大值为
2
（1）
31212
求
a
的值；（2）求出该图象对称中心的坐标和对称轴方程．
7
??
7
??
5
???
?x??
，
∴
??2x??
∴
??2x??
解：（1）
?
121266636
?
111
∴
?1?sin(2x?)?
∴
f(x)
max
?a?1
即
a?1?2
∴
a?2
3222
∴
3?3sin(2?
k
??
k
??
．
?(k?Z)
，∴对称中心为（
?
，
1
）
32626
??
k
??
由
2x??k
?
?
，得对称轴方程为
x??(k?Z)
．
32212
（2）由
2x?
?
?k
?
，得
x?
第二章 平面向量
一、考点列举
1、平面向量的概念
2、平面向量的运算
3、平面向量的基本定理极坐标表示
4、平面向量的数量积
二、常考题型
★1、理解平面向量的概念
例1
如图1，设
O
是正六边形
ABCDEF
的中心，分别
写出图中与向量
OA
，
OB
，
OC
相等的向量。
解：
OA?CB?DO
?EF
；
OB?DC?EO?AF
；
OC?AB?ED?FO
．
★例2
如图2，梯形
ABCD
中，
E
，
F
分别是腰
AB<
br>、
DC
的三等分点，且
|AD|
?2
，
|BC|?5
，求
|EF|
．
解：分别取
BE
，
CF
的中点分别记为
M
，
N
，
由梯形的中位线定理知：
|MN|?
A
E
D
F
（图2）
1
(|EF|?BC)
2
1111
|EF|?(AD?MN)?(AD?|EF|?|BC|)
B
2222
3159
∴
|EF|?(2?)?
∴
|EF|?3
．
4224
2、理解向量的加法、减法、数乘运算
C
★★例1 如图，一艘船从
A
点出发以
23
k
mh
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
。
2kmh
，求船
实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）
解：设
AD
表示船向垂直与对岸
行驶的速度，
AB
表示水流的
速度，以
AD
、
AB
为邻边作
ABCD
，则
AC
就是船实际
D
航行的速度，
在
Rt
△
ABC
中，
|AB|?2
，
|BC|
?23
，
∴
|AC|?|AB|?|BC|?
∴
tanCAB?
22
C
2
2
?(23)
2
?4
，
23
?3
2
A
∴
?CAB?60
.
★★例2 试证：对任意向量
a
，
b
都有
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
．
证明：（1）当
a
，
b
中有零向量时，显然成立。
①a
，
b
，即
ab
时，当
a
，
b
同向时，
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
；
当，
b<
br>异向时，
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
．
（2）当
a
，
b
均不为零向量时：
B
②
a
，
b
不共线时
，在
?ABC
中，
||AB|?|BC||?
|AC|?|AB|?|BC|
，
则有
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
．
∴
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
其中：
当
a
，
b
同向时，
|a?b|?|a|?|b|
，
当
a
，
b
同向时，
||a|?|b||?|a?b|
．
A
D
b
a?b
C
B
a
★例3 如图，OA
、
OB
不共线，
AP?tAB(t?R)
，用
OA
、
OB
表示
OP
．
解：∵
AP?tAB
，
∴
OP?OA?AP?OA?tAB
=
OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB
．
★例4 已知梯形
ABCD
中，
|AB|?2|DC|
，
M
，
N分别是
DC
、
AB
的中点，若
AB
?e
1，
AD?e
2
，
用
e
1
，
e
2
表示
DC
、
BC
、
MN
．
解：（1）∵
DC
?AB
∴
DC?
D
M
A
C
11
1
AB
=
e
1
=
e
1
?0e
2
22
2
N
B
（2）
BC?AC?AB?AD?DC?AB
?e
2
?
11
e
1
?e
1
?e
2
?e
1
22
（3）连接
DN
，则
DN?CB
，
MN?MD?DN??
11111
DC?(?BC)???e
1
?e2
?e
1
?e
1
?e
2
．
22224
3、理解向量的坐标表示，会用坐标进行向量间的运算
★例1 已知a?(4,2)
，
b?(6,y)
，且
ab
，求
y．
解：∵
ab
，∴
4y?2?6?0
．∴
y?3
．
★例2 已知
A(?1,?1)
，
B(1,3)
，
C(2,
5)
，求证
A
、
B
、
C
三点共线．
证明
：
AB?(1?(?1),3?(?1))?(2,4)
，
AC?(2?(?1),5
?(?1))?(3,6)
，
又
2?6?3?4?0
，∴
ABAC
.∵直线
AB
、直线
AC
有公共点
A
，
∴
A
，
B
，
C
三点共线。
★例3 已知
a?(2,3)
，
b?(?1,2)
，若
ka?b
与
a?kb
平行，求
k
．
解：
ka?b
=
k(2
,3)?(?1,2)?(2k?1,3k?2)
a?kb?(2,3)?k(?1,2)?(2?k,3?2k)
∴
(2k?1)(3?2k)?(3k?2)(2?k)?0
，
∴
7k?7
，∴
k??1
.
★例4 已知
a?(2,?4
)
，
b?(?1,3)
，
c?(6,5)
，
p?a?2b?
c
，则以
a
，
b
为基底，求
p
.
解：令
c?
?
a?
?
b
，则
(6,5)?
?(2,?4)?
?
(?1,3)
.
2
?
2
?
?
?
?6
，
(6,5)?(2<
br>?
?
?
,?4
?
?3
?
)
， ∴
?
?4
?
?3
?
?5
?
23
?<
br>2321
?
?
?
∴
?
2
，
∴
p?a?2b?a?17b??a?15b
.
22
?
?
?17
?
4、理解向量的数量积的意义及运算，并会利用向量的数量积求向量间的夹角，模长
★例1 已知
|a|?3
，
|b|?3
，
|c|?23，且
a?b?c?0
，求
a?b?b?c?c?a
．
C
解：作
AB?c
，
BC?a
，
∵
a?b?c?0
， ∴
CA?b
，
222
∵
||a|?|b||?|c|?|a|?|b|
且
|c|?|a|?|b|
，
∴
?ABC
中，
C?90
，
∴
tanA?
3
，∴
?A?30
，
?B?60
，
3
所以，
a?b?b?c?c?a?3?23cos150?3?23cos120?
?9?3??12
．
22
A
B
★例2 已知
a,b
都是非零向量，且
a?3b
与
7a?5b
垂直，a?4b
与
7a?2b
垂直，求
a
与
b
的夹角
。解：由题意
可得：
(a?3b)?(7a?5b)?0
?
7a?16a?b?15b?0
①
(a?4b)?(7a?2b)?0
?
7a?30a?b?8b?0
②
两式相减得：
2?a?b?b
， 代入①或②得：
a?b
，
222
22
a?bb
2
1
??
设
a,b
的夹角为
?
，则
cos
?
?
2
|a||b|2|b|2
∴
?
?60
，即
a
与
b
的夹角为
60
．
★例3求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图：
ABCD，
AB?DC
，
AD?BC
，
AC?AB?AD
，
D C
22
∴
|AC|
2
?|
AB?AD|
2
?AB?AD?2AB?AD
，
而
BD?AB?AD
，
∴
|BD|
2
?|AB?
AD|
2
?AB?AD?2AB?AD
，
2
2
22
22
A
B
所以，
|AC|
+
|BD|
=
2AB?2AD
=
|AB|?|BC|?|DC|
2
?|AD|
2
．
22<
br>★例4
a,b
为非零向量，当
a?tb
(t?R)
的模取最小
值时，
①求
t
的值；
②求证：
b
与
a?tb
垂直。
2222
解：①
|a?tb|?|a|?t|b|?2t?a?b
，
∴当
t??
2a?ba?b
时,
|a?tb|
最小；
??
2
2
2|b|
b
a?b
b
2
②∵
b?(a?tb)?a?b?
∴
b
与
a?tb
垂直。
?b?0
，
2
第三章 三角恒等变换
一、考点列举
1、两角和的正弦、余弦公式
2、简单的三角恒等变换
二、常考题型
1、理解掌握两角和的正余弦公式，会利用公式求非特殊角的正余弦值
★★例1、已知
sin
?
??,
?
是第四象限角，求
s
in
?
3
5
?
??
?
??
?
??
?
?
?
,cos
?
?
?
?
,ta
n
?
?
?
?
的值.
4
??
4
?
?
4
??
2
4
3
?
3
?
2
解：因为
sin
?
??,
?
是第四象限角，得
cos?
?1?sin
?
?1?
?
?
?
?
，
5
5
?
5
?
3
sin
?
3
tan
?
??
5
??
，
4
cos
?
4
5
?
于是有
sin
?
??
242
?
3
?
72
?
?
?
?
?
?
?sincos
?
?cossin?
????
?
?
?
?
444252510
??
??
??
242
?
3
?
72
?
?
?
cos
?
?
?
?
?coscos
?<
br>?sinsin
?
????
?
?
?
?
442
52
?
5
?
10
?
4
?
两结果一样，我们
能否用第一章知识证明？
3
??1
?
??
4
?
4
tan
?
?
?
?
???7
?
3
4
??
??
1?tan
?
tan
1?
?<
br>?
?
4
?
4
?
tan
?
?tan<
br>例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
?
i7s2ocs42ocs72ni
s42
★★（1）、
n?cs20ocs70nis20ni7s0
；（2）、
o?
；（3）、
1?na1t5
1?na1t5
．
解：分析：解
此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公
式中哪个相
象.
（1）、
nis72ocs42ocs72nis42n7is2?42
（2）
、
ocs20ocs70nis20nis70ocs20?70
ni3s0?
???
?
?
1
；
2
；
ocs900
?
?
?
??
?
?
?
3
?
（3）、
1?na1t5nat45na1t5
?
1?na1t51nat45na1t5?<
br>?nat45
?
15?nat60?
．
★★例3、化简
2cosx?6sinx
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
?
1
?
3
2cosx?6sinx?22
?
cosx?si
nx?22
?
sin30cosx?cos30sinx
?
?22sin?
30?x
?
思
?
?
2
?
2
??
考：
22
是怎么得到的？
22?
??
??
2
2
?6
2
，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于
3
1
和的.
2
2
★★例4、已知
sin2
?<
br>?
解：由
5
??
,?
?
?,
求
si
n4
?
,cos4
?
,tan4
?
的值．
134
2
?
4
?
?
?
?
2
,
得
?
2
?2
?
?
?
．
2
12
5<
br>?
5
?
又因为
sin2
?
?,
cos2?
??1?sin
2
2
?
??1?
??
??<
br>．
13
13
?
13
?
于是
sin4
?
?2sin2
?
cos2
?
?2?
5
?
12
?
120
?
?
?
?
??
；
13
?
13
?
169
2
120
sin4
?
120
?
5
?
119
；
tan4
??
．
?
169
??
cos4
?
?1?2si
n
2
2
?
?1?2?
??
?
119
cos
4
?
119
?
13
?
169
169
?2、利用公式进行恒等变换
★★例1、试以
cos
?
表示
si
n
2
?
2
,cos
2
?
2
,tan
2
?
2
．
解：我们可以通过二倍角
cos
?
?
2cos
因为
cos
?
?1?2sin
因为
cos
?
?2cos
2
2
2
?
2
2
?1
和
cos
?
?1?2sin
2
?
1?cos
?；
2
1?cos
?
．
2
?
2
来做此题．
?
2
，可以得到
si
n
?
2
?
2
?1
，可以得到
cos
2?
2
?
又因为
tan
2
?
2
?
2
?
1?cos
?
．
?
1?cos
?
cos
2
2
sin
2
?
3、会求化简合并求三角函数最值等
★★例1、求函数
y?sinx?3cosx
的周期，最大值和最小值．
解
：
y?sinx?3cosx
这种形式我们在前面见过，
?
1
?3
?
??
y?sinx?3cosx?2
?
sinx?cosx
?2sinx?
?
??
，
?
2
?
23
?
?
??
所以，所求的周期
T?
2
?
?
?2
?
，最大值为２，最小值为
?2
．
★★例2
已知函数
y?sin
xx
?3cos,x?R.
22
（1）求
y
取最大值时相应的
x
的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到
y?sinx(x?R)
的图象
xxx
?
?3cos?2sin(?)
2223
x
??
?
（1）当
??2k
?
?
，即
x?4k
?
?,k?Z
时，
y
取得
最大值
2323
解：
y?sin
?
x|x?4
k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?
为所
求
3
?
?
右移个单位
x
?
x
横坐标缩小
到原来的2倍
3
?y?2sin????????y?2sinx
（2）
y
?2sin(?)?????
232
纵坐标缩小到原来的2倍
????????y?s
inx
★★★例3
已知函数
f(x)?5sinxcosx?53cosx?
(1
函数
)
f(x)
的最小正周期;
(2)
函数
f(x)
的单调区间;
(3)
函数
f(x)
图象的对称轴和对称中心．
2
5
，求：
3
（其中
x?R
）
2
5
?
11
?
?
?
5
?
?
??
解；(1)
?
(2)增区间：
?
k
?
?,k
?
?
?
，减区间：
?
k
?
?,k<
br>?
?
?
，其中
k?
Z
1212
1212<
br>??
??
k
?
5
?
?
k
??
?
?,
对称中心：
?
(3)对称轴方程：
x?
?,0
?
，其中
k?
Z
212
?
26
?
人教版高中数学必修五
第一章
解三角形
一、考点列举
1、正弦定理的理解与应用
2、余弦定理的理解与应用
二、常考题型
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形
★例1、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
2）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：
这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解
三角
形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=
1
acsinB，得
2
S=
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5
?
≈90.9(cm
2
)
2
c
sinC
(2)根据正弦定理，
b
=
sinB
c =
bsinC
sinB
S =
11
bcsinA =
b
2
sinCsinA
22
sinB
A =
180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+
65.8
?
)=51.5
?
sin65.8
?
sin51.5
?
1
2
S =
?
3.16
?
≈4.0(cm
2
)
?
2
sin62.7
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4
≈0.7697
sinB =
1
?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.6384
应用S=
S ≈
1
acsinB，得
2
1
?41.4
?
38.7
?
0.6384≈511.4(cm
2)
2
★★例2、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?;
（1）
c
2
sin
2
C
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+ab
cosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到
用正弦定理来证
明
证明：（1）根据正弦定理，可设
a
=
b
=
c
= k
sinAsinBsinC
显然 k
?
0，所以
a
2?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k
2<
br>sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a<
br>2
?b
2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab
=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边
2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.
★★例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n
mile后到达海岛B,然后从B出发,
沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m
ile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的
方向航行,需要航行多少距
离?(角度精确到0.1
?
,距离精确到0.01n mile)
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
-
75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC
=
67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0
?cos137
?
≈113.15
根据正弦定理,
BC
=
AC
sin?CABsin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC
=
54.0sin137
?
113.15
≈0.3255,
所以
?
CAB
=19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?
答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
★★例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m，
至点C处测得顶端A的仰
角为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，测
得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10
3
，
?
ADC =180
?
-4
?
，
?
103
=
sin2
?
30
。
?
sin(180?4
?
)
因为
sin4
?
=2sin2
?
cos2
?
?
cos2
?
=
3
,得
2
?
=30
?
2
?
?
=15
?
，
?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在
Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+
h
2
=30
2
在 Rt
?
ADE中
,x
2
+h
2
=(10
3
)
2
两式相减，得x=5
3
,h=15
?
在 Rt
?
ACE中
,tan2
?
=
h
103?x
=
3
3<
br>?
2
?
=30
?
,
?
=15
?
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
第二章 数列
一、考点列举
1、数列的概念和简单表示法
2、等差数列的概念及其表示
3、等比数列的概念及其表示
4、简单数列求和
二、常考题型
1、等差数列、等比数列的概念.
★例1 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若
是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1<
br>（n≥2）是不是一个与n无关
的常数。
解：当n≥2时, （取数列
?a
n
?
中的任意相邻两项
a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p
(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q)?p
为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为p。
★例2 在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
+a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，
而要求通项公式，必须知道这个数列中的
至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项
就知道公差），本题中，只已知一项，和另
一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴
a
3
=2,
a
9
=32
222★★例3.已知
a,b,c
依次成等差数列，求证：
a?bc,b?ac,c?a
b
依次成等差数列.
分析：要证三个数
a?bc,b?ac,c?ab
成等
差数列，只需证明等式：
222
(b
2
?ac)?(a
2
?
bc)?(c
2
?ab)?(b
2
?ac)
，即证
2(b<
br>2
?ac)?(a
2
?bc)?(c
2
?ab)
成立
.
证明：
?a,b,c
成等差数列，
?b?a?c?b?d,c?a?
2d
?
（设其公差为
d
），
a?b?d,c?b?d
，(a
2
?bc)?(c
2
?ab)?(a
2
?ab)?
(c
2
?bc)?a(a?b)?c(c?b)
??ad?cd?d(c?a)?d?
2d?2d
2
.
又
b?ac?b?(b?d)(b?d)?b?(b?d)?d
，
2222
22
?
(a
2
?bc)?(c
2
?ab)?2(b
2
?ac)
，
?
a
2
?bc,b
2?ac,c
2
?ab
成等差数列.
★★例4、
等差数列
?
a
n
?
中：
（1）如果
a
5
?11,a
8
?5
，求数列的通项公式．
（2）如果
a<
br>1
?a
5
?a
9
?a
15
?a
17
?117,
求
a
3
?a
11
.
分析：（1）求等差数列的通项公式只要求
a
1
、d
两个量即可．
解：（法1）由题意
?
a
5
?a
1
?4d?11
?
a
1
?19
?
?
?a
n
?19
?(n?1)?(?2),
?
?
d??2
?
a
8
?a
1
?7d?5
故数列的通项公式为
a
n
?21
?2n.
（法2）
a
8
?a
5
?5?11?3d
?d??2,a
5
?a
1
?4d?a
1
?19
，故
a
n
?21?2n.
分析：（2）显然不能通过已知条件求出数列的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题的关系． 解：
a
1
?a
5
?a
9
?a
15?a
17
?117?a
1
?6d?117,
而
a
3
?a
11
?2a
1
?12d?2(a
1?6d)?234.
★★例5、等比数列
?
a
n
?<
br>中
a
2
?a
7
?66,a
3
a
6<
br>?128
，求等比数列的通项公式
a
n
．
分析：求等比数列的首项为
a
1
，
q
两个参数即可．
解：（法1）设等比数列的道项为
a
1
，公比为
q
，由题意
6
?
a
2
?a
7
?66
?
?a
1
q?a
2
q?66,
?
?
27
?
?
?
a
3
a
6
?128
?a
1
q?128.
以下求解
a
1
，
q
不易找到思路．
转换思路，利用等和列的性质，不难得以下解法．
（法2）设等比数列的首项为
a
1
,公比为
d
，由题意 <
br>?
a
2
?a
7
?66
?
a
2
?a
7
?66,
?
?
?
?
a
3
a
6
?128
?
a
2
a
7
?1
28.
故
a
2
,a
7
为方程
x?66x?128?
0
的两个根．
2
?
a?128,
?
a
2
?64
?
a
1
?1
?
1
?
a
2<
br>?2
解得
?
或
?
或
?
?
?
1
?
q?2
?
q?.
?
a
7
?
64
?
a
7
?2
2
?
8?n
n?1
所以数列通项公式为
a
n
?2
或
a
n
?2.
★★例6、在等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
3
??20
，
a
2
?a
4
?40
，求该数列的第11项
a
11
．
分析：首先根据已知条件求出等比数列的通项．
解：设首项为
a
1
，公比为
q
，则
2
?
?
a
1
?a
1q??20(1)
?
3
?
?
a
1
q
?a
1
q?40(2)
(2)?(1)
得：
q??2
，
将
q??2
代入（1），得
a
1
??4
，
所以，
a
11
?a
1
q
10
?(?4)?(?2
)
10
??4096
2、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
★★例1、在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?34
，求
前20项之和．
分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求
a
1
，
d
求解；也可以用等差数列的性质求解．
解：法一 由
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?4a
1
?3
8d?34
.由
S
20
?20a
1
?
20?19<
br>d
2
?20a
1
?190d?5(4a
1
?38d)
?5?34?170
法二 由
S
20
?
(a
1
?a
20
)
?20?10(a
1
?a20
)
，而
a
6
?a
15
?a
9?a
12
?a
1
?a
20
，所以
2
a
1
?a
20
?17
，所以
a
20
?10?
17?170
★★例2、等差数列
?
a
n
?
和<
br>?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n<
br>和
T
n
，若对一切正整数
n
都有
的值.
分析： 由
S
n
、
T
n
的通项公式可求得
a
n
、
b
n
的通项公式，利用等差数列前n项和公式的特点先假设公
式的形式.
22
*
解法一：令
S
n
?(3n?2
)n?3n?2n,T
n
?(2n?1)n?2n?n
，则当
n?2,n?N
时，有
S
n
3n?2
a
?
，求
11
T
n
2n?1
b
11
a
n
?S
n
?S
n?1
?6n?5,b
n
?T
n
?T
n?1
?4n?1
，所以
a
11
6?11?561
??.
b
11
4?11?143
解法二：
a
11
2a11
a
1
?a
21
21(a
1
?a
2
1
)2S
21
S
21
3?21?261
???????.<
br>
b
11
2b
11
b
1
?b
21<
br>21(b
1
?b
21
)2T
21
T
212?21?143
?
S
n
?
?
的
n
?
?
★★例3、设
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知S
7
?7
，
S
15
?75
，
T
n
为数列
?
前
n
项和，求
T
n
． 分析：由题设条件，不难求出
a
1
和
d
，从而可得
S<
br>n
，再进一步探求
?
通．
?
S
n
?
?
，看能否与等差或等比数列沟
?
n
?
解：设等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
1
S
n
?na
1
?n(n?1)d
2<
br>由
S
7
?7
，
S
15
?75
，得
?
7a
1
?21d?7,
?
15a?105d?75,
?
1
即
?
a
1
?3d?1,
?
?
a
1
?7d?5,
?
?
解得
a
1
??2
，
d?1
.
S
n
11
?a
1
?(n?1)d??2?(n?1)
n22
S
n?1
S
n
1
??
n
?1n2
?
数列
S
n
1
是首项为
?2
，公
差为的等差数列，
2
n
1
2
9
故
T
n<
br>?n?n
．
44
3、具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
★★例1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用<
br>24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕，如果第
一
台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间．
分析
：这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第
一台收
割机所需的时间，即求数列的首项
解：设从每台投入工作起，这
n
台收割机工作的时
间依次为
a
1
，
a
2
，
a
3
，…
，
a
n
小时．
依题意，
a
n
是一个等差数列，且
每台收割机每小时的工作效率为
1
，则有
24n
?
a
1<
br>?5a
n
,(1)
?
a
n
?a
1
a
2
?
24n
?
24n
?
?
24
n
?1(2)
?
由（2），得
a
1
?a
2
???a
n
?24n
，
即
n(a
1
?a
n
)
?24n
，
2
亦即
a
1
?a
n
?48
（3）
由（1），（3）得
a
1
?40
故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时．
★★例2、从盛满
a
升（
a?1
）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水
，再倒出1升混合溶液后又用水
填满，如此继续下去．问第
n
次操作后溶液的浓度是多
少？若
a?2
，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于
10%
？
分析
：这是一道数学应用题．解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓
度为1
，操作一次后溶液浓度是
a
1
?1?
11
.操作二次后溶液浓度是<
br>a
2
?a
1
(1?)
，…，操作
n
次后溶液
浓度
aa
是
a
n
?a
n?1
(1?)
.则
不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．解决数列问
题，便可能达到解决
实际问题之目的．
解：设每次操作后溶液浓度为数列
?
a
n
?，则问题即为求数列的通项
a
n
?f(n)
．
1
a<
br>111
，
a
2
?a
1
(1?)
，…，
a
n
?a
n?1
(1?)
．
aaa
?
a
n
?
构成以首项
a
1
?1?
1
，公比<
br>q?1?
1
的等比数列，
aa
11
n?1
1
n
n?1
所以，
a
n
?a
1
q
?(1?
)(1?)?(1?)
，
aaa
1
n
故第
n
次操
作后酒精浓度是
(1?)
a
1
n
1
当
a
?2
时，由
a
n
?()?
，得
n?4
.
210
因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于
10%
．
依题意，知原浓度为1，
a
1
?1?
第三章 不等式及其解法
一、考点列举
1、不等式的关系及其性质
2、一元二次不等式的解法
3、二元一次不等式组与简单线性规划
4、基本不等式
二、常考题型
1、 了解现实世界和日常生活中的不等关系，会利用不等式的性质证明不等式
★★例1
已知a，b，c∈R，求证：a+b+c≥3abc．
【分析】 用求差比较法证明．
证明：a+b+c-3abc=[(a+b)+c]-3ab-3ab-3abc
=(a+b+c)[(a+b)-(a+b)c+c]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[a+b+c-ab-bc-ca]
222
22
3333322
+333
∵a，b，c∈R，∴a+b+c＞0．
+
(c-a)]
2
≥0
即 a
3
+b
3
+c
3
-3abc≥0，∴a
3
+b
3
+c
3≥3abc．
★★例2 已知a，b∈R
+
，求证a
a
b<
br>b
≥a
b
b
a
．
【分析】
采用求商比较法证明．
证明：∵a，b∈R
+
，∴a
b
b
a
＞0
★★★例3 已知a、b、c是不全等的正数，求证：
a(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)+c(a
2
+b
2
)＞6abc．
【分析】
采用综合法证明，利用性质a
2
+b
2
≥2ab．
证明：∵b2
+c
2
≥2bc，a＞0，∴a(b
2
+c
2
)≥2abc．
同理b(c
2
+a
2
)≥2abc
c(a
2
+b
2
)≥2abc
∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号
∴①+②+③，得a
(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)+c
(a
2
+b
2
)＞6abc．
综上所述，当a＞0，b＞0，必有
a
a
b
b
≥a
b
b
a
．
①
②
③
2、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
x
2
?8x?20
★★例1不等式
?0
的解集为
R
,求实数m
的取值范围
2
mx?2(m?1)x?9m?4
解：
x
2
?8x?20?0恒成立,?mx
2
?2(m?1)x?9m?4?0须恒
成立
当
m?0
时，
2x?4?0
并不恒成立；
?
m?0
当
m?0
时，则
?
2
??4(m?1)?4m(9m?4)?0
?
?
m?0
1
?
得
?
?m??
11
m?,或m??
2
?<
br>?42
★★例2、若函数
f(x)?log
a
(x?
求实数<
br>a
的取值范围
a
?4)(a?0,且a?1)
的值域为
R
，
x
解：令
u?x?
a
?4
，则
u
须取遍所有的正实数，即u
min
?0
，
x
而
u
min
?2
a?4?2a?4?0?0?a?4且a?1
?a?(0,1)
?
1,4
?
1
?6)?3
x
例3、解不等式：
log
2(x?
1
?
x??2
?
1
11
?
x<
br>,
当
x?0
时，
x??2,?x??2?x?1
； 解：<
br>0?x??6?8,
?
x
xx
?
x?
1
??
6
?
x
?
当
x?0
时，
?6?x
?
1
??2,??22?3?x?22?3
x
?x?(?3?22,?3?22)
?
1
?
★★3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
?
y?
x,
?
例1（1）求
z?2x?y
的最大值，使式中的
x
、
y
满足约束条件
?
x?y?1,
?
y??1.
?
x
2
y
2
??1
（2）求
z?2x?y
的最大值，使式中的
x
、
y
满足约束
条件
2516
''
解：（1）作出可行域
Z
max
?3
；（2）令
x?5x,y?4y
，
'2'2
则
(x)?(y)?1,z?10x?4y
，当直线
z?10x?
4y
和圆
(x)?(y)?1
'2'2''''
相切时
z?116
，
Z
max
?116
★★例2、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资
甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别
为
30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，
问投资人对甲、
乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？
解：设分别向甲、乙两项目投资
x
万元，y万元，由题意知
（0,18）
（0,10） M（4,6）
?
x?y?10
?
0.3x?0.1y?1.8
?
?
x?0
?
?
?
y?0
目标函数
z?x?0.5
y
O
（6,0）
（10,0）
x
作出可行域，作
直线
l
o
:x?0.5y?0
，并作平行于直线
l
o
的一组直线
x?0.5y?z
，
z?R
，与可行域相交，其中有一条直线
经过可行域上的M点，且与直线
x?0.5y?0
的距离最大，这里M
点是直线
x?y?10
和0.3x+0.1y=1.8的交点，解方程组
?
?
x?y
?10
?
0.3?0.1y?1.8
解得x=4,y=6，此时z=1×4
+0.5×6=7（万元） ∵7>0 ∴当x=4、y=6时z取得最大值。
答：投资人用4万元
投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可
能的盈利最大。
4、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
1
2
)?1
在<
br>x
=________时，有最小值__________
x
111
2
1
2
解：
?1,3
x??2或x???2?(x?)?4?y?(x?)?1?3
xxxx
★例2下列各函数中，最小值为
2
的是 ( )
11
?
A
y?x?
B
y?sinx?
，
x?(0,)
xsinx2
★例1设
x?0
，则函数
y?(x?
C
y?
x
2
?3
x
2
?2
D
y?x?
2
?1
x
解： D 对于A：不能保证<
br>x?0
，对于B：不能保证
sinx?
对于C：不能保证
x?2?2
1
，
sinx
1
x?2
2
，
对于D：
y?x?
11
??1?3
3
1?1?2
xx
★★例3
如果
x?y?1
,则
3x?4y
的最大值是 ( )
22
1
5
C
4
D
5
A
3
B
解：D 设
x
?cos
?
,y?sin
?
,3x?4y?3cos
?
?4
sin
?
?5sin(
?
?
?
)?5
★★例4、一批货物随17列货车从A市以v kmh的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400
km，为了安
全，两列货车的间距不得小于
(
v
2
，那么这批货物全
部运到B市最快需要多少小
)km
（货车长度忽略不计）
20
时？
解：这批货物从A市全部运到B市的时间为
400?16(
t?
v
2
)
20
?
400
?
16v
?2
400
?
16v
?8(h)
vv400v400
人教版高中数学选修1－1知识点
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题
的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命
题称为互逆命
题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若<
br>p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”
.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这
两个命
题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“
若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的
否定，则这两个命
题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. <
br>若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的逆否命题为“若
?q，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
假
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
真
假
四种命题的真假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、<
br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把命题p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真
命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p?q
是
假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．全称命题的否定
是特称命题．
考点：1、充要条件的判定
2、命题之间的关系
★1．命题“对任意的
x?R，x?x?1≤0
”的否定是（ ）
A．不存在
x?R，x?x?1≤0
C．存在
x?R，x?x?1?0
32
32
32
B．存在
x?R，x?x?1≤0
D．对任意的
x?R，x?x?1?0
32
32
★2、给出命题：若函数
y
=
f
(
x
)是幂函数，则函数
y
=
f
(
x
)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题
、逆
否命题三个命题中，真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1
(D)0
★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“
?
?
?
”是“
m?
?
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
第二章：圆锥曲线
知识点：
1、平面内与两个定点
F
1
，
F
2的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆．这
两个定点称为
椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
?
2<
br>?1
?
a?b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
范围
顶点
?a?x?a
且
?b?y?b
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?
a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
F
1?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2<
br>?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
a
2
x??
c
a
2
y??
c
准线方程
3、设?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2<
br>d
2
?e
．
4、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的点的轨迹称为双曲线
．这两
1
F
2
个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R
y??a
或
y?a
，
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1<
br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
准线方程
a
2
x??
c
a
2
y??
c
渐近线方程
y??
b
x
a
y??
a
x
b
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设
?
是双曲
线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1<
br>，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
8、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线的焦点，
定直线
l称为抛物线的准线．
9、抛物线的几何性质：
y
2
?2px
标准方程
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
?
p?0
?
图形
顶点
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
?
0,0
?
x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
??
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
准线方程
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
离心率
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、<
br>?
两点的线段
??
，称为抛物线的“通径”，即
???2p
．
考点：1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题
典型例题：★★1．设
O
是坐标原点，
F
是抛物线
y?2px(p?0)
的焦点，
A
是抛物线上的一点，
F
A
与
x
2
轴正向的夹角为
60
，则
OA
为（ ）
A．
21p
4
B．
21p
2
C．
13
p
6
22
D．
13
p
36
★★2．与直线
x?y?2?0
和曲线
x?y?12x?12y?54?0
都相切的半径最小
的圆的标准方程
是 ．
★★★3．（本小题满分14分）
已知椭
圆
C
的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，椭圆
C
上的点到焦
点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）
若直线
l:y?kx?m
与椭圆
C
相交于
A，B
两点（A，B
不是左右顶点），且以
AB
为直径的图过
椭圆
C
的右顶点．求证：直线
l
过定点，并求出该定点的坐标．
第三章：导数及其应用
知识点：
1、若某个问题中的函数关系用
f
?
x
?
表示，问题中的变化率用式子
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
?
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
表示，则式子称为函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率．
?x
x
2
?
x
1
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
，则称它为函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
?lim
?x?0
x
2
?x
1
?x
2、函数
f
?
x
?
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
处的导数，记作
f
?
?
x
0
?
或
y
?
x?x
，即
0
?
x?0
f
?
?
x
0
?
?lim
?x?0<
br>f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
．
?x
3、函数
y?f
?
x
?<
br>在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x?
在点
?x
0
,f
?
x
0
?
处的切线的斜率．曲线
??
y?f
?
x
?
在点
?<
br>?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处
的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?
，切线的方程为y?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
．若函
数在
x
0
处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为
x?x
0
．
4、若当
x
变化时，
f
?
?
x
?
是
x的函数，则称它为
f
?
x
?
的导函数（导数），记作
f
?
?
x
?
或
y
?
，即
f
?
?
x
?
?y
?
?lim
?x?0
f?
x??x
?
?f
?
x
?
．
?x
5、基本初等函数的导数公式：
?
1
?
若
f
?
x
?
?c
，则
f
?
?
x
?
?0
；
?
2
?
若
f
?
x?
?x
n
?
x?Q
*
?
，则
f
?
?
x
?
?nx
n?1
；
?
3
?
若
f
?
x
?
?sinx
，则
f
?
?
x
?
?cosx
；
?
4
?
若
f
?
x
?
?cosx
，则
f
?
?
x
?
??sinx
；
?
5
?
若
f
?
x
?
?a
x
，则
f
?
?<
br>x
?
?a
x
lna
；
?
6
?
若
f
?
x
?
?e
x
，则
f
?<
br>?
x
?
?e
x
；
?7
?
若
f
?
x
?
?log
a
x
，则
f
?
?
x
?
?
6、导数运算法则：
11
；
?
8
?
若
f
?
x
?
?lnx
，则
f
?
?
x
?
?
．
xlnax
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
fx?gx
?
????
?
1
?
?
??
?
?
2
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f<
br>?
x
?
g
?
?
x
?
；
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
?
．
?
3
?
?
?
?
?
2?
?
g
?
x
?
?
?
g
?x
?
?
?
7、对于两个函数
y?f
?
u
?
和
u?g
?
x
?
，若通过变量
u
，<
br>y
可以表示成
x
的函数，则称这个函数为函数
y?f
?
u
?
和
u?f
?
x
?
的复合函数，记作
y?f
?
g
?
x
?
?
．
复合函数
y?fg
?
x
?
的导数与函数
y?f
?
u
?
，
u?g
?
x
?
的导数间的关系是
????
y
?
x
?y
u
?u
x
．
8、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个
区间内单调递增；若
f
?
?
x
?
?0
，则函数y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
9、点
a称为函数
y?f
?
x
?
的极小值点，
f
?a
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值；点b
称为函数
y?f
?
x
?
的极
大值点，
f
?
b
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极
值．
10、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0<
br>?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0<
br>附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x<
br>0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
11、求函数
y?f
?
x?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?<
br>1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f<
br>?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
典型例题
32
f(x)
?x?ax?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则<
br>a
=（ ） ★1.（05全国卷Ⅰ）函数
A．2
3
B.
3
2
C. 4 D.5
★2．函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（
）
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , -
15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求
f(x)
的单调区间和极大值；
2x
?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数，
已知
x??2和x?1
为
f(x)
的
f(x)?ax
3?cx?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
时
f(x)
极
值点。
（1）求
a,b
的值；
（2）讨论
f(x)
的单调性；
人教版高中数学选修1-2数学知识点
第一部分 统计案例
知识点：
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x<
br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?<
br>b?
n
2
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；<
br>r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性
相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：
?
(y
i?1
n
i
?y)
⑵残差：
e
i
?y
i
?y
i<
br>；⑶残差平方和：
?
(yi?yi)
2
；⑷回归平方和：
2
i?1
??
n
?
?
(y
i?1
n
i
?y)
－
?
(yi?yi)
2
；⑸相关指数
R<
br>2
?1?
2
i?1
n
?
?
(y
i?
1
n
i?1
n
i
?y
i
)
2
。
?
2
(y?y)
?
ii
注：①
R
2
得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
2
越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
考点：无
第二部分 推理与证明
知识点：
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和
类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，
然后提出猜想的推理，
我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对
象都具有这些特征的推理，或者
有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，
称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提
---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究
的特殊情况；⑶结 论
---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最
后推导出所要证明的结
论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明
的结论归结为判定一个
明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执
果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假
设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，
这种证明
方法叫反证法。
考点：无
第三部分 复数及数域的扩充
2
知识点：
1．概念：
(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0
(
a,b∈R
)
?
z=
z
?
z
≥0；
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
)；
2
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a<
br>=0且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
＋
z
＝0（z≠0）
?
z
<0；
(4)
a
+<
br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
)；
2．复数的代数形式及其运算：设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
)，则：
(1)
z
1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i；
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi<
br>)·(
c
+
di
)＝（
ac
-
bd
）+ (
ad
+
bc
)
i
；
2
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(
z
≠0)
?
ac
2
?
2
i
222
(c?di)(c?di)
c?dc?d
3．几个重要的结论：
(1)
(1?i)
2
??2i
；⑷
1?i
?i;
1?i
??i;
1?i1?i
(2)
i
性质：
T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i
4n?
1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;
(3) z?1?zz?1?z?
4．运算律：（1）
z?z?z
mn
1
。
z
m?n
;(2)(z
m
)
n
?z
m
n
;(3)(z
1
?z
2
)
m
?z
1z
2
(m,n?N);
z
1
z
)?
1
；⑷
z?z
。
z
2
z
2
z
1
|z|
|?
1
；
⑷
z
2
|z
2
|
mm
5．共轭的性质：⑴
(z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
；⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
；
⑶
(
6．模的性质：⑴
||z
1
|?|z
2
||?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|<
br>；⑵
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
；⑶
|
|z
n
|?|z|
n
；
考点：复数的运算
★1．复数z=
2?i
（
i
为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
2?i
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A．第一象限
★2、设i是虚数单位，复数
(A)2
1?ai
为纯虚数，则实数a为
2?i
1
(B) -2
(C)
?
2
(D)
1
2
★3、
若复数
z?1?i
，
i
为虚数单位，则
(1?i)?z?
A．
1?3i
B．
3?3i
C．
3?i
D．3
★4．复数
5i
?
1?2i
A．
2?i
B．
1?2i
C．
?2?i
D．
?1?2i
人教版高中数学选修2－1
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆
命
题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若
p<
br>，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”
.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这
两个命
题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原
命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、<
br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把命题p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真
命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p?q
是
假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题
，则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
．全称命题的否定是特称
命题．
考点：1、充要条件的判定
2、命题之间的关系
典型例题：
★1．下面四个条件中，使
a?b
成立的充分而不必要的条件是
A．
a?b?1
B．
a?b?1
C．
a?b
22
n
D．
a?b
33
★2．已知命题
P
：
?
n
∈N，2＞1000，则
?
P
为
nn
A．
?
n
∈N，2≤1000
B．
?
n
∈N，2＞1000
C．
?
n
∈N，2≤1000
n
D．
?
n
∈N，2＜1000
n
★３．
x?1是x|?1
的
A．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
第二章：圆锥曲线
知识点：
1、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹称为椭圆．这两个
定点称为
1
F
2
椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
范围
?a?x?a
且
?b?y?b
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?
a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c
,0
?
F
1
F
2
?2c
?
c<
br>2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
a
2
x??
c
a
2
y??
c
准线方程
3、设?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2<
br>d
2
?e
．
4、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为双曲线．这两
个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R
y??a
或
y?a
，
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1<
br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
a
2
x??
c
a
2
y??
c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x
a
y??
a
x
b
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设
?
是双曲
线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1<
br>，点
?
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
8、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线的焦点，
定直线
l称为抛物线的准线．
9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、?
两点的线段
??
，称为抛物线的“通径”，即
???2p
．
10、抛物线的几何性质：
y
2
?2px
标准方程
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
?
p?0
?
图形
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
顶点
?
0,0
?
x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
??
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
准线方程
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
离心率
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
考点：1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题
典型例题：
★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于
A,B
两点，左焦点在以
AB
为直径的圆内，则该双曲线的离心
率的取值范围为
A．
(0,2)
B．
(1,2)
C．
(
2
,1)
2
D．
(2
，
??)
x
2
y<
br>2
★★★2．设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左
、右焦点分别为F
1
，F
2
。点
Pab
（Ⅰ）
(,
)
满足
|PF
2
|?|F
1
F
2
|.
ab
求椭圆的离心率
e
；
22
（Ⅱ）设
直线PF
2
与椭圆相交于A，B两点，若直线PF
2
与圆
(x?1)
?(y?3)?16
相交于M，N两点，
且
|MN|?
5
|AB|<
br>，求椭圆的方程。
8
第三章：空间向量
知识点：
1、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的
方向．
，记作
??
．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模（或长度）为
0<
br>的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
?
1
?
求两个向量和的运算称为向量
的加法，它遵循平行四边形法
则．即：在空间以同一点
?
为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边
作平行四边形
??C?
，则以
?<
br>起点的对角线
?C
就是
a
与
b
的
和，这种求
向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
?
2
?
求两个向量差的运
算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：
在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
???a?b
．
3、实数
?与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运
算．当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；
当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当?
?0
时，
?
a
为零向量，记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍．
4、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数
乘运算满足分配律及结合律．
分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b
；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重
合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零
向量与任何向量都共线．
6、向量共线的
充要条件：对于空间任意两个向量
a
，
bb?0
，
ab
的充
要条件是存在实数
?
，使
a?
?
b
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
??
??
???x???yC
；8、向量共面定理：空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存
在有序实数对
x
，
y
，使
?
或对空间任一定点
?<
br>，有
?????x???y?C
；
?
或若四点
?
，<
br>?
，
?
，
C
共面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
．
9、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
????
称为向量
a
，
b
的夹
角，记
作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,<
br>?
?
．
10、对于两个非零向量
a
和
b
，
若
?a,b??
?
2
，则向量
a
，
b
互相
垂直，记作
a?b
．
osab,?
11、已知两个非零向量
a和
b
，则
abc
向量与任何向量的数量积为
0
． b
的数量积，
?
称为
a
，
??ab
记作
a?b
．即
abcosab?,?
．零
12、<
br>a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a<
br>的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
13若
a
，<
br>b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向
2
?<
br>，
a?a?a
，
a?a?a
；
?
2
?a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b?
?
?a
ba与b反向
?
?
??
??
?
4
?
cos
?a,b??
a?b
ab
；
?
5
?
a?b?ab<
br>．
14量数乘积的运算律：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?a?b?a?
?
b
；
????
?
3
?
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
15、空间向量基本定理：
若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?z
c
．
16、三个向量
a
，
b
，
c
不共面
，则所有空间向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?．这个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的， ?
a,b,c
?
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底．
17、设
e
1
，
e
2
，
e
3
为有
公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以
e
1<
br>，
e
2
，
e
3
的
公共起点
?
为原点，分别以
e
1
，
e
2
，
e
3的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标
系
?xyz
．则
对于空间任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它
的起点与原点
?
重合，得到向量
???p
．存在有序实
数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量p
在单位正交基底
e
1
，
e
2
，
e<
br>3
下的坐标，
记作
p?
?
x,y,z
?
．此
时，向量
p
的坐标是点
?
在空间直角坐标系
?xyz
中的坐
标
?
x,y,z
?
．
18、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
5
?<
br>若
a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
?
7
?
a?a?a?x<
br>1
2
?y
1
2
?z
1
2
．
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
?
8
?
cos?a,b??
．
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?，
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
??
????
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
??
z
2
?z
1
?
222
．
19、在
空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任意一点
?
的位置可以用向量??
来表示．向量
??
称为
点
?
的位置向量．
20、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定．点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示
直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，有???ta
，这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l<
br>的位置，还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
21、空间中平面
?
的位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
?<
br>，它们的方向向
量分别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序实数对
?
x,y
?
，使得
???xa?yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确定
了平面
?
的位置．
22、直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的
法向量．
23、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为<
br>a
，
b
，则
ab?ab?
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
24、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量
为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a
?
?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
．
25、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a
，
b
，则
?
?
?ab?
a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
26、设异面直线
a
，
b的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
． <
br>27、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l<
br>与
n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos<
br>?
?
l?n
ln
．
28、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?<
br>，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就是二面
角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
n
1
?n
2
n
1
n
2
．
29、
点
?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模<
br>??
计算．
30、在直线
l
上找一点
?
，过定点<
br>?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到
直线
l
的距离为
d???cos???n,??
???n
n
???n
n
．
31、点
?
是平面
?
外一点，?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法
向量，则点
?
到平面
?
的距离为
d???cos???,n??．
考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直
2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题
典型例题：
★★1．已知正方体ABC
D—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为C
1
D
1
的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
。
★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，
∠ ACB=
90?
，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，Ｅ
ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
★★★3.如图，在五棱锥P
—ABCDE中，
PA?
平面ABCDE，ABCD，
ACED，AEBC，
?ABC?45?,AB?22,BC?2AE?4
，三角形PAB是等腰三角形。
（Ⅰ）求证：平面PCD
?
平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。
人教版高中数学选修2-2知识点
第一章 导数及其应用
知识点：
一．导数概念的引入
1. 导数的物理
意义：瞬时速率。一般的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变
化率是
Ｇ∥
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x0
)
，
?x
我们称它为函数
y?f
(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
，
即
f
?
(x
0
)
=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
2. 导数
的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易
知道，割线
PP
n
的斜率
是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
)
，当点
P
n
趋近于
P
时，函数
y?f(x)
在<
br>x?x
0
处的导数就
x
n
?x
0
f(xn
)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)<
br>
x
n
?x
0
是切线PT的斜率k，即
k?lim<
br>?x?0
3. 导函数：当x变化时，
f
?
(x)
便是x的一
个函数，我们称它为
f(x)
的导函数.
y?f(x)
的导函数有时也记作
y
?
,即
f
?
(x)?lim
?x?0<
br>f(x??x)?f(x)
?x
考点：无
知识点：
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
；
?
?1
?
2
若
f(x)?x
,则
f
?
(x)?
?
x
;
3
若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx
4
若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
x
5
若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna
x
xx
6
若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e
1
xlna
1
8
若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
x
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(x)?
2）导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?<
br>?f
?
(x)?g
?
(x)
2.
[f(
x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?(x)
3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f
(x)?g
?
(x)
]
?
?
2
g(x)[g(x)]
3）复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f
(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)
考点：导数的求导及运算
★1、已知
f
?
x
?
?
x
2
?2x?sin
?
，则
f
'
?
0?
?
f
'
?
x
?
?
★2、若
f
?
x
?
?e
x
sinx
，则
★3.f(x)
=ax+3x+2
，
32
f
?
(?1)?4
，则a=（ ）
C.
16
3
D.
19
3
A.
1
0
3
B.
13
3
2
★★4.过抛物线y=x上的点M
(,)
的切线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3
9
2
x?3
与
y?2?x
在
x?x
0
处的切线互相垂直，则
x
0
=
2
三.导数在研究函数中的应用
知识点：
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
11
24
★★5.如果曲线
y?
在某个区间
(a,b)
内
，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间
单调递增；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线
y?x
在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）
A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
3
11
C.（2，8）
D.（－
2
，－
8
）
★2.曲线
y?
1
3
x?x
2
?5
，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（
）
3
?
??
3
?
6434
A. B.
C. D.
二、题型二：导数在单调性中的运用
32
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( )
★1.(05广东卷)函数
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)
32
f(x)?2x?6x?7
，下列说法不正确的是（ ）
★2．关于函数
A．在区间（
??
，0）内，
f(x)
为增函数
B．在区间（0，2）内，
f(x)
为减函数
?(2,??)
内,
f(x)
为增函数
C．在区间（2，
??
）内，
f(x)
为增函数 D．在区间（
?
?
，0）
?
★★3．(05江西)已知函数
y?xf(x)
的图象如
右图所示(其中
f'(x)
是函数
f(x)
的导函数)，下面四个图象
中
y?f(x)
的图象大致是（ ）
y
1
x
1
2
-2
-1
O
-1
y
2
1
y
2
y
4
y
4
2
O
-2
-1
1
2
x
-2
-1
O
1
1
2
x
2
1
-2
-1
O
1
-2
-2
-2
x
-2
-1
O
2
x
A
B
C
D
★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?1nx?ax?
（Ⅰ）当
a
1?a
?1(a?R).
x
??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
1
（Ⅱ）当
a≤
时，讨论
f(x)
的单调性．
2
三、导数在最值、极值中的运用：
32
f(x
)?x?ax?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ ） ★1.（05全国卷Ⅰ）函数
A．2
3
B. 3
2
C. 4 D.5
★2．函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（
）
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , -
15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求
f(x)
的单调区间和极大值；
2x
?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数，
已知
x??2和x?1
为
f(x)
的
f(x)?ax
3?cx?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
时
f(x)
极
值点。
（1）求
a,b
的值；
（2）讨论
f(x)
的单调性；
第二章 推理与证明
知识点：
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类
似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
称为类比推理（简称类比
）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经
过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----
据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和
某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的
结论成立.要点：顺推证
法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明
的结论归结为判定一
个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾
，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
*
（1）（归纳奠基）证明当
n
取
第一个值
n
0
(n
0
?N)
时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N)
时命题成立，推证
当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从<
br>n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
考点：无
第三章 数系的扩充与复数的引入
知识点：
一:复数的概念
(1)
复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b分别叫它的实部和虚部.
(2)
分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3)
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d
⑵
a?bi?0?a?b?0
⑶
z?a?bi?a
2
?b
2
⑷
z?a?bi
z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算 ⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b?d
?
i<
br>；
⑵复数的乘法：
?
a?bi
??
c?di
??
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
；
a?bi
?
a?bi
??
c?di
?
?
⑶复数的除法：
c?di
?
c?di
??
c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
?
ac?bd
?
bc?ad
i
c
2
?d
2
c
2
?d
2<
br>c
2
?d
2
（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数
除法的分母实数化）
4.常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z
?R
(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i4n?3
??i,i
4n?4
?1;
2
(7)
?
1?i
?
2
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
??
??i
1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?<
br>3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立
方虚根，则
1?
?
?
?
?0
，
?
2
(9)
设
?
?
考点：复数的运算
★山东理科1 若
z?
cos
?
?isin
?
（
i
为虚数单位），则
z?
?1
的
?
值可能是
2
????
（B） （C）
（D）
6432
4?3i
★山东文科1．复数的实部是（ ）
1+2i
A．
?2
B．
2
C．3
（A）
D．
4
★山东理科（2）设
z
的共轭复数是z
，若
z
+
z
=4,
z
·
z
＝8，则
z
等于
z
（A）i
（B）-i (C)±1 (D) ±i
人教版高中数学选修2－3知识点
第一章 计数原理
知识点：
1、分类
加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M
1
种不同的方法，在第二
类办
法中有M
2
种不同的方法，……，在第N类办法中有M
N
种不同
的方法，那么完成这件事情共有M
1
+M
2
+……+M
N
种
不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不
同的方法，做第二步有
M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同
的方法.那么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、排列：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤n
)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m．．．．．．
个元素的一个排列
4、排列数：从
n
个不同元素中取出<
br>m
(
m≤n
)个元素排成一列，称为从
n
个不同元素中取出<
br>m
个元素的一个排
m
列. 从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示。
n!
A?n(n?1)?(n?m?1)?(m?n,n,m?N)
(n?m)!
m
5、公式：
，
6、组合：从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组
合。
mm?1
A
n
?nA
n?1
A
m
)
1
?
(n
(
??1)
1)
m
m
n!n!
A
m
n
1
?)
?
n
m
?
m?
n
n
n(n
(
?
7、公式：
C
C?
?
m
m
?C
C??
n
?
n
m!
m!
m!(nm)!
A
m
m!(
?
n?m)!
A
m
m
m
n
n
n?m
C<
br>m
n
?C
n
;
1m
C
m?
n
?C
m
n?C
n?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?C
a?Cab?Cab?…?Cab?…?Cb
nnnnn
8、二项式定理：
rn?rr
9、二项式通项公式
展开式的通项公式：T?Cabr?0，1……n)
r?1n
(
m
mmm?1mm?1
考点：1、排列组合的运用
n?1mnnn
2、二项式定理的应用
n
★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展
。某校高一新生中的五名同
学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若
每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同
学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 （ ）
A．72 B．108
C．180 D．216
A?A?A?C?A?mA
★★2．在(x?
1
3
x
)
24
的展开式中,x的幂的指数是整数
的项共有 （ ）
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
★★3．
现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其
他商
品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是
A．420
B．560 C．840 D．20160
★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮
件的编号与网址的编号相同的概率为
1
82
★★5．
(x?)
的展开式中
x
的系数为 （ ）
x
A．-56 B．56 C．-336 D．336
第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随
着试验的结果的不同而
变化，那么这样的变量叫做随机变量．
随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产
品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次
序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X
可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n
X取每一个值 x
i
(i=1,2,..
....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X
的概率分布，简称分布
列
4、分布列性质① p
i
≥0, i
=1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
=
1．
5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N
)件,这n
件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,
n
C
N
,m)
，
其中
m?min
?
M
,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
7、条件
概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作
P(
B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)
9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独
立
事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)
10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如
果在一
次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq
（其
中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散
型随机变量。
13、两点分布数学期望：E(X)=np
14、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
2
M
.
N<
br>22
15、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)·P
1
+（x<
br>2
-Eξ)·P
2
+......+（x
n
-Eξ)·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
16、集中分布的期望与方差一览：
两点分布
超几何分布
期望
Eξ=p Dξ=pq，q=1-p
方差
?
服从参数为N,M,n的超几何分布
二项分布，ξ ～
B（n,p）
E
?
?n?
M
D（X）=np（1-p）*
（N-n）（N-1）
（不要求）
N
Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）
Eξ=np
几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)
17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
1
p
D
?
?
q
p
2
f(x)?
1
e
2
??
(x?
?)
2
?
2
?
2
,x?(??,??)
（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式
中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当
曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，
向它无限靠近．
④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总
体的分布越分散；
?
越小，曲线越
“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
19. 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?<
br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率
只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值
的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概
率事件.也就是说,通常认为这些情况在一
次试验中几乎是不可能发生的.
考点：1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目
A
、科目
B
依次进行，只有当科目
A
成绩合格时，才可以继续
参加科目
B<
br> 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在
某
同学将要参加这项考试，已知他每次考科目
A
成绩合格的概率均为
2
，每次考
科目
B
成绩合格的概率均为
3
1
。假设他在这项考试中不放弃所有的
考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为
X
。
2
(1)求
X
的分布列和均值；
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★2（本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游
景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，
0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景
点互不影响，设
?
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游
览的景点数之差的绝对
值。
（1）求
?
=0对应的事件的概率；
（2）求
?
的分布列及数学期望。
★★★3.
袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
（1）随机从中取出2个球，
?
表示其中红球的个数，求
?
的分布列及均值。
（2）现在规定一种有奖摸球
游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，
第二个奖200元，…，第
k
个奖
k?100
元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种
规则，
取球多少次比较适宜？说明理由。
第三章 统计案例
知识点：
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
,
x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：
x
1
y
1
a
y
2
b
总计
a+b
x
2
总计
c
a+c
d
b+d
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关
系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精
2
确地给出这种判断的可靠
程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K
22
=
n (ad - bc) [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样
本容量，K的值越大，说明“X与Y有关
系”成立的可能性越大。
222
K≤3.841时，X与Y无关；
K>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K>6.635时X与Y有99%可能性有关
2、回归分析
回归直线方程
y
?
?a?bx
?
xy?
1
其中
b?
n
?
x
?
y
?
?
(x?x)(y?y)
SP
?
x
2
?
1
n
(
?
x
2
)
?
,
(x?x)
2
?
SS
x
考点：无
a?y?bx