高一数学不等式经典例题

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典型例题
例1 设
a?b?0
，求证：
a
a
b
b
?a
b
b
a
.

分析：发现作差后 变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比
值与1的大小关系，从而证明不等式 ．
证明：
ab
ab
b
ab
a
?a
a?b
?b
b?a
a
a?b

?()
b
∵
a?b?0
，∴
a
a
b
?1,a?b?0.

∴
()
b
a?b
?1
. ∴
ab
ab
b
ab
a
?1.

又∵
a
b
b
a
?0
，
∴
aa
b
b
?a
b
b
a
.
.
说 明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤
是：判断符号 、作商、变形、判断与1的大小.
例2已知
a
、
b
、
c? R
?
，
a?b?c?1
，求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出 的。若把
1
a
1
a
?
?
1
b
1< br>b
?
?
1
c
1
c
?9.

通分，则会把不等式变得较复
杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有 “倒数”特征的
形式，比如
的技巧．
证明：∵
a?b?c?1

∴
1
a
?
1
b
?
1
c
?
a?b?c
a
b
?
?
c
a?b?c
b< br>?
a?b?c
c
b
a
?
a
b
，再利 用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”

b
?

?1)
c
)

?(1?
a
b

?3?(
a
aca
)?(?1?)?(
abbc
acacb
?)?(?)?(?

bacbc
∵
b
a
?
1
a
a
b
?2
1
c
ba
cacb
??2
，同理：
??2
，
??2
。
ab
acbc
?3?2?2?2?9.
∴
?
1
b
?
说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很< br>多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”
的目的 .
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例3 已知
a?b?c
，求证：
1
a?b
?
1b?c
?
1
c?a
＞0.
分析：此题直接入手不容易，考虑用 分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来
书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.
证明一：(分析法书写过程)
为了证明
1
a?b
1
a?b
?
1
b?c
?
1
b?c
?
1
c? a
＞0
1
只需要证明＞
a?c

∵
a?b?c

∴
a?c?a?b?0,b?c?0
∴
∴
∴
1
a?b
1
a?b
1
a?b< br>?
?
?
1
,
1
a?cb?c
1
1< br>b?c
1
b?c
＞0
成立
＞0成立
＞
?
a?c
1
c?a
证明二：(综合法书写过程)
∵
a?b?c
∴
a?c?a?b?0,b?c?0

∴< br>∴
∴
1
a?b
1
a?b
1
a?b
＞
?
?
1
a?c
1
1

＞
?
1
b?c
1
＞0
成立
b?c
b?c
a?c
1
c?a
＞0成立
说明：学 会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，
混合应用时，应用语言叙述 清楚.
例4 若
a
3
?b
3
?2
，求证
a?b?2
．
分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．
332222
证法一： 假设
a?b?2
，则
a?b?(a?b)(a?ab?b)?2(a?ab?b)，
而
a?b?2
，故
(a
2
?ab?b
2< br>)?1
．
22
∴
1?ab?a?b?2ab
．从而
ab?1
，
33
∴
a?b?1?ab?2
．
∴
(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab?2?2ab?4
．
∴
a?b?2
．
这与假设矛盾，故
a?b?2
．
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22

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证法二：假设
a?b?2
，则
a?2?b
，
故
2 ?a
3
?b
3
?(2?b)
3
?b
3
，即
2?8?12b?6b
2
，即
(b?1)
2
?0
，
这不可能．从而
a?b?2
．
证法三：假设
a?b?2
， 则
(a?b)
3
?a
3
?b
3
?3ab(a?b) ?8
．
由
a
3
?b
3
?2
，得
3ab(a?b)?6
，故
ab(a?b)?2
．
又
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?2< br>，
∴
ab(a?b)?(a?b)(a
2
?ab?b
2)
．
∴
a
2
?ab?b
2
?ab
， 即
(a?b)
2
?0
．
这不可能，故
a?b?2
．
说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．
一般说 来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结
论肯定“过头”时，都 可以考虑用反证法．
例5 已知
1?x
2
?y
2
?2，求证
1
2
?x
2
?xy?y
2
?3
．
分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．
证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数
r
．
∵
1?x
2
?y
2
?2
，
∴可设
x?rcos?
，
y?rsin?
，其中
1?r?
∴
x< br>2
?xy?y
2
?r
2
?r
2
sin?co s??r
2
(1?
由
而
1
2
1
2
?1?
r
2
2，0???2?
．
1
2
sin2?)
．
3
2
r
．
2
1
2
1
2
sin2??
3
2
，故1
2
1
2
r
2
?r(1?
2
2
1
2
sin2?)?
2
?
，
3
2
r2
?3
，故
?x?xy?y?3
．
说明：1．三角代换是最常 见的变量代换，当条件为
x
2
?y
2
?r
2
或x
2
?y
2
?r
2
或
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
时，均可用三角代换． 2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变
量和取值的变化会影响其结果的正确性．
例6 设
n
是正整数，求证
分析：要求一个
n
项分式
1
2
1
n?1
?
1
n?1
?
1
n?2
?
1
n?2
?
?
?
1
2n
1
2n
?1
．
?
?
?
的范围，它的和又求不出来 ，可以采用“化
整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
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证明：由
2n?n?k?n (k?1,2,?,n)
，得
当
k?1
时，
当
k?2
时，
1
2n
1
2n
1
2n
1
n?11
n
2
1
2n
?
1
n?k
?
1
n
．
?
?
1
n?1
1
?
?< br>1
n
；

1
n
1
n
n?2
1
n?n
1
??
当
k?n
时，
∴
1
2
?
n
2n< br>?
?
?
?
．
1
2n
?
n
n
?1
．
n?2
1
k
?
?
?
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入 困境．例如证明
1
1
2
?
1
2
2
?
?
??
7
4
．由
2
?
1
k?1
?
1
k
，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第
2项放缩，可得小于 2．当放缩方式不同，结果也在变化．
2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩 小分子，扩大分母，分式值缩
小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其 和变大，但需小
于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

例7 已知
0?a?1
，
0?b?1
，
0?c?1
，求证：在(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a
三数中，不可能都
大于
1
4
．
分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则
(1?a )b，(1?b)c，(1?c)a
三数都大于
1
4
，从这个结论出发，进一 步去导出矛盾．
1
4
证明：假设
(1?a)b，(1?b)c，(1?c) a
三数都大于
即
(1?a)b?
1
4
，
，
(1?b)c?
1
4
，
(1?c)a?
1
4
．
又∵
0?a?1
，
0?b?1
，
0?c?1
， < br>∴
(1?a)b?
∴
(1?a)b?
1
2
，
(1?b)c?
(1?b)c?
1?a?b
2
1
2
，
(1?c)a?
3
2
1
2
．
(1?c)a?
①
1?b?c
2
3
2
又∵
(1?a)b?
，(1?b)c?
，
(1?c)a?
1?c?a
2
．
以上三式相加，即得：
(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?
②
1
a
(a?
1
a
)(b?
1
b
) ?1
． 例8 已知
a?0
，
b?0
，且
a?b?1
．求证：
0?
1
a
1
a
1
b
分析：记< br>M?0?(a?)(b?
欲证
0?M?1
，联想到正、余弦函数的值域，
)
，
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3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ < br>本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件
a?b?1
，
a 、b?R
?
可换元，
围绕公式
sec
2
??tan
2
??1
来进行．
证明：令
a?sec
2
?
，< br>b?tan
2
?
，且
0???
则
1
a
(a?
2
?
2
1
，
)?(tan??
1
tan?
)

1
a
) (b?
1
b
)?
1
sec?
2
(sec??
sec?
?cos?(
?cos??
2
1
cos?
2?cos?)?(
?
1
sin?
cos?
?
cos?< br>sin?
)

sin?
cos?sin?cos?
?sin?

1
a(a?
1
a
)(b?
1
b
)?1
成立． ∵< br>0???
?
2
，∴
0?sin??1
，即
0?
说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘
出来，对代换实 质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若
x?1
，可设
x?sin?,?? R
；
(2)若
x
2
?y
2
?1
，可设x?cos?
，
y?sin?
，
??R
；(3)若
x< br>2
?y
2
?1
，可设
x?rcos?
，
y? rsin?
，且
r?1
．
例9 求证
1?
1
2< br>2
?
1
3
2
?
?
?
1
n< br>2
?2
．
分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并， 右边只有一项．注
意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从
手考查即可．
证明：∵
1
n
2
?
1
n< br>?
1
n
?
1
n(n?1)
1
n
2< br>1
n
2
下
?
1
n?1
?
1
n
(n?2)
，
∴
1?
1
2
2
?
1
3
2
???
1
?
1
?
11
? ?
11
?
?
1
?1?
?
?
?
?< br>?
?
?
??
?
?
?
?
?2??2< br>．
n
?
12
??
23
?
?
n?1 n
?
说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的
这一步极 为关键．
例10 在
?ABC
中，角
A
、
B
、< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
A ?C?2B
，求证
a
4
?c?2b
．
44
分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化． 证明：∵
A?C???B?2B
，∴
B?
?
3
，cos B?
1
2
．
由余弦定理得
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB?a
2
?c
2
?ac

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∴
a
2
?c
2
?b
2
?ac
，
∴
a
4
?c
4
?(a
2
?c
2< br>)
2
?2a
2
c
2

=
(a
2
?c
2
?2ac)(a
2
?c
2< br>?2ac)


?[b
2
?(2?1)ac]?[b
2
?(2?1)ac]


?b
4
?2ac?b
2
?a
2
c
2


??(ac?b)
2
?2b
4
?2b
4

说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式
S?
1
2
absinC
．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．
例11 设
m?R
， 解关于
x
的不等式
m
2
x
2
?2mx?3?0．
分析：进行分类讨论求解．
解：当
m?0
时，因
?3?0
一定成立，故原不等式的解集为
R
．
当
m?0
时，原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
； 当
m?0
时，解得
?
当
m?0
时，解得
1m
3
m
?x?
1
m
3
m
；
．
?
?
3
m
1
?
?
；
m
?
?x??
∴当
m?0
时，原不等式的解集为
?
x??x?
当
m?0
时，原不等式的解集为
?
x
?
?
1
m
?x??
3
?
?
．
m
?
说明：解不等式时，由于
m?R
，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为 当
m?0
时，原不等式化为
?3?0
，此时不等式的解集为
R
，所以解题时应分
m?0
与
m?0
两
种情况来讨论．
在 解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根为
x
1
??
3
m
，
x
2
?
3
m1
m
?
后，认为
?
1
m
3
m
?
1
m
，这也是易出现的错
3
m
?
1
m< br>误之处．这时也应分情况来讨论：当
m?0
时，
?
；当
m?0
时，
?
．
例12 不等式
ax
2
?bx?2? 0
的解集为
?
x?1?x?2
?
，求
a
与
b
的值．
分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为
?
x?1? x?2
?
，不等式
ax?bx?2?0
需满足条件
a?0
，
??0
，
ax
22
?bx?2?0
的两根为
x1
??1
，
x
2
?2
．
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解：设
ax
2?bx?2?0
的两根为
x
1
，
x
2
，由韦达 定理得：
b
??
b
x?x?????1?2
12
????
aa
由题意：
?

?
22
?
x?x??
?
???1?2
12
??
a
??
a∴
a?1
，
b??1
，此时满足
a?0
，
?? b
2
?4a?(?2)?0
．
例8 解不等式
3x?7
x?2x?3
2
≥2．

解 先将原不等式转化为
3x?7
x?2x?3
2
?2≥0

即
?2x?x?1
x?2x?3
2
2
x?2x?3
1
2
7
2
由于2x＋x＋1＝2(x＋)＋＞0，
48
≥0，所以< br>2x?x?1
2
2
≤0．

∴不等式进一步转化为同解不等式x
2
＋2x－3＜0，
即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．

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