高中数学不等式的解法

高中数学不等式的解法

复习目标
1．掌握一元一次不等式（组）， 一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的
无理不等式的解法．
2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集．
3．培养运算能力．
知识回顾
一、一元一次不等式的解法
一元一次不等式
ax?b(a?0)
的解集情况是
（1）当
a?0
时，解集为
{x|x?

二、一元二次不等式的解法
一般的一元二次不等式可利用一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
与二次函数
y?ax?bx?c
的有
关性质求解， 具体见下表：

2
bb
}
（2）当
a?0
时，解集为
{x|x?}

aa
a?0
，
??b
2
?4ac


二次函数
??0


??0


??0

y?ax
2
?bx?c

的图象
一元二次方程
有两实根
有两个相等的实根
ax
2
?bx?c?0

的根
一 式
元 的
二 解
次 集
不
等

不等式
x?x
1
或x?x
2

x?x
1
?x
2
??

b
2a
无实根
ax
2
?bx?c?0

的解集
不等式
{x|x?x
1
或x?x
2
}

{x|x?x
1
}

R
ax
2
?bx?c?0

的解集
{x|x
1
?x?x
2
}

Φ Φ
注：1．解一元二次不等式的步骤：
（1） 把二次项的系数
a
变为正的． （如果
a?0
，那么在不等式两边都乘以
?1
，把系
数变为正）

（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
（3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
2．当
a ?0
且
??0
时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取
两边” ．
三、含有绝对值的不等式的解法
1．绝对值的概念


?
a
(a?0)
?

a?
?
0
?
a?0
?

?
?a
?
a?0
?
?

2．含绝对值不等式的解：
（1）
|x|?a(a?0)
?
?a?x?a

（2）
|x|?a(a?0)
?
x??a或x?a

（3）
|f(x)|?a(a?0)??a?f(x)?a

（4）
|f(x)|?a(a?0)?f(x)??a或f(x)?a

注： 当
a?0
时，
|x|?a
无解，
|x|?a
的解集为全体实 数．
四、一元高次不等式的解法
一元高次不等式
f(x)?0
（或
f(x)?0
），一般用数轴标根法求解，其步骤是：
（1）将
f(x)
的最高次项的系数化为正数；
（2）将
f(x)
分解为若干个一次因式的积；
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
（4）根据曲线显现出
f(x)
值的符号变化规律，写出不等式的解集．
如 ：若
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
，则不等式
(x?a
1
)(x?a
2
)?(x?a
n)?0

或
(x?a
1
)(x?a
2
)?(x ?a
n
)?0
的解法如下图（即“数轴标根法”）：


五、分式不等式的解法
f
'
(x)f
'
(x)
对 于解
'
?a或?a
型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成
g'(x)
g(x)

f(x)f(x)
?0(?0)或?0(?0)
的形 式，再转化为整式不等式求解。
g(x)g(x)

（1）
f(x)f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
（2）
?0?f(x)?g(x)?0

g(x)g(x)
?0?
g (x)
?0?
f(x)?g(x)?0
g(x)?0
?

g0
（4）（3）
x

)

f

(

x

)

(

x

)

?

(x)


f

(

f

g(x)
g(x)?0




六、无理不等式的解法

（1）
?
f(x)?0
?
??定义域

f(x)? g(x)型?
?
g(x)?0
?
?
?
f(x)?g(x)< br>?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?

f( x)?g(x)型?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g (x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?< br>
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g (x)]
2
?

（2）

（3）
经典例题导讲
[例1] 如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿.
2
A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 C. －1 [例2] 命题
A:x?1
＜3，命题
B:(x?2)(x ?a)
＜0，若A是B的充分不必要条件，则
a
的
取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
A.
(4,??)
B.
?
4,??
?
C.
(??,?4)
D.
?
??,?4
?

[例3]已知f(x) =
a
x + ，若
?3?f(1)?0,3?f (2)?6,
求
f(3)
的范围.
x
b

[例 4] 解不等式（x+2）(x+3)(x－2)
?0
2
[例5] 解关于
x
的不等式
a(x?ab)?b(x?ab)

[例6]关于
x
的不等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x??2或x??}
求关于
x
的不等
2
,
式
ax?bx?c?0
的解集．
[例7]不等式
log
2
(x?
典型习题导练
2
1
2
1
?6)?3
的解集为
x
2
2x ?bx?a?0
的解集为
{x|1?x?5}
，若不等式则
a?
（ ）A．5 B．6 C．10 D．12
1.
2.已知不等式
m?4m?5x ?4
?
m?1
?
x?3?0
对一切实数x恒成立，求实数m的取值< br>22
??
范围．
3.关于x的不等式
ax?(a?1)x?a?1?0
对于
x?R
恒成立，求a的取值范围．
2
x
2
?8x?20
4. 若不等式<0的解集为R，求实数m的取值范围.
2
mx?2(m?1)x?9m?4
5. 已知不等式x-4x+3<0① x-6x+8<0② 2x-9x+m<0③，要使同时满足①②的x也满足
③，则有( )A.m>9 B.m＝9 C.m≤9 D.06.若函数f (x)＝
log
1
2
(x
2
?kx?2)
222< br>的值域为(-∞,+∞)，则实数k的取值范围是( )
A.(-2
2
，2
2
) B.［-2
2
,2
2
］
C.(-∞，-2
2
)∪(2
2
,+∞) D.(-∞,-2
2
)∪［2
2
,+∞］
7.关于x的不等式(k -2k+
5
x2
5
1-x
)<(k-2k+)的解集为( )
22
11
A.｛x｜x<｝ B.｛x｜x>｝ C.｛x｜x>2｝ D.｛x｜x<2｝
22
2
22
8.若ax+bx+c>0的解集为｛x｜ x<-2或x>4｝，那么对于函数f(x)＝ax+bx+c会有( )
A.f(5)C.f(-1)9. 不等式ax+bx+2>0的解集为(-
x(x+2)x
2
11
，)，则a+b的值是 .
23

10.
4-8·32>0
的解集为 .
2
11.设关 于x的二次方程px+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的
两倍，求 p的取值范围.

x
2
?3x?2
22
?0
12.解不等式
2
13.解不等式
(x?4x?5)(x?x?2)?0
x?2x?3

14. 解不等式
(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)?0

15.解不等式
23
16
?x?1
x?1
2x
2
?2kx?k
?116.
k
为何值时，下式恒成立：17. 解不等式
3x?4?x?3?0
2
4x?6x?3

18. 解不等式
2x
2
?6x?4?x?2