(完整版)高中数学不等式归纳讲解

第三章 不等式

定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质
①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；
②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；
③加法性质； 如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y
＋z；
④乘法性质： 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，
z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）
3-2 不等式的同解原理
①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同
解。

②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（
x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式
F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。
③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）
的定义域所包含，并且H（x）＞0，那 么不等式F(x)＜G（x）
与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）
＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H
（x）G（x）同解。
④不等式F（x）G（x）＞0与不等式
不等式解集表示方式
F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的
F(x)<0的解集为x大于小的或x小于大的
F(x)?0
G(x)?0
或
F(x)?0
G(x)?0
同解
3-3 重要不等式

3-3-1 均值不等式
1、调和平均数：
H
n?
n
111
(??...?)
a
1
a
2
a
n
1
n

2、几何平均数：
G
n
?(a
1
a
2
...a
n
)

3、算术平均数：
(a
1
?a
2
??a
n
)A
n
?

n
22
(a
1
?a
2
?...?a
2n
)

n
4、平方平均数：
Q
n
?
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时
取“=”号
3-3-1-1均值不等式的变形
(1)对正实数a,b，有
a
取“=”号)
2
?
b
2
?
2ab
(当且仅当a=b时

(2)对非负实数a,b，有
a?b?
22
(6)对非负数a,b，有
a?b?(
2ab

a?b
2
)?ab

2
3
(7) 若
a, b,c
?
R
?
，有
a?b?c
≥
3abc
（等号仅当
a?b?c
时
成立）

222
a
?
b
?
c
?
ab
?
bc
?
ac (8)对非负数a,b,c，有
2a?ba
2
?b
2
?
(9)对非负数a,b，
11
?ab?

?22
ab
3-3-1-1最值定理
当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一
定时，其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法：
1.
常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方 变换，拆项变
换，常量代换，三角代换等.
2.
当使用均值定理时等号不能成立时，< /p>

应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

3-3-2 权方和不等式
m?1m?1
?1m?1
a(a?a?a?...?a)
a< br>1
m?1
a
m
a
3123n
2n
???.. ..??

mm
m

b
1
m
b
m
bb(b?b?b?...?b)
23n123n
a,b,n为正整数。m为正数。
3-4绝对值不等式

|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|
|a?b|?|a|?|b|



3-5 不等式例题解析

3-5-1 绝对值不等式
1、求
|x
2
?5x?5|?1
的解
2、右边的常数变为代数式
(1)|
x
+1|>2－
x
； (2)|
x
2
－2
x
－6|<3
x

形如|
f(x)
|<
g(x)
，|
f(x)
|>
g(x)
型不等式
这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
①|
f(x)
|<
g(x)
?
－
g(x)
<
f(x)
<
g(x)

②|
f(x)
|>
g(x)
?
f(x)
>
g(x)
或
f(x)
<－
g(x)< br>
3、两个绝对值不等式
解不等式（1）|
x
－1|<|
x
+
a
|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.
形如|
f(x)
|<|
g(x)
|型不等式
1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：
|
f(x)
|<|
g(x)
|
?
f
2
(x)?g
2
(x)
?
[f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]
<0
2）所谓零点分段法，是指： 若数
x
1
，
x
2
，……，
x
n
分 别使含有
|
x
－
x
1
|，|
x
－
x
2
|，……，|
x
－
x
n
|的代数式中相应绝对 值为零，称
x
1
，
x
2
，……，
x
n为相应绝对值的零点，零点
x
1
，
x
2
，……，
x
n
将数轴分
为
m
+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得 到代数式在各

段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令
每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对
值不等式，最后应求出解集的并集。零 点分段法是解含绝对值符号
的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学
思 想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
例题．不等式|x+3|-|2x-1|<
x
+1的解集为 。
2
解：
1
?
4?x(x?)
?
2
?
1
|x+3|-|2x-1|=
?
?
4x?2(?3?x?)

2?
?
x?4(x??3)
?
?
4、含参数绝对值不等式
解关于
x
的不等式
x
2
?
4
mx?4
m
2
?m?
3

［解题］原不等式等价于
|x?2m|?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时，
x?2m?m?3或x?2m??(m?3)

∴
x?3m?3或x?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时，
|x?6|?0
∴
x
??6
当
m?3?0
即
m??3
时，
x
?R
方法归纳：
形如|
f(x)
|<
a
，|
f(x)
|>
a
(
a?R
)型不等式
此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
①当
a
>0时，|
f( x)
|<
a
?
－
a
<
f(x)
<
a
；|
f(x)
|>
a
?
f(x)
>
a< br>或
f(x)
<－
a
；
②当
a
=0时，|< br>f(x)
|<
a
无解，|
f(x)
|>
a
?
f(x)
≠0
③当
a
<0时，|
f(x)
|<< br>a
无解，|
f(x)
|>
a
?
f(x)
有意 义。
4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题
若不等式|
x
－4|+|3－
x
|<
a
的解集为空集，求
a
的取值范围 。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分

段法，即令 每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再
分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集 ，这是按常规去
掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的
结构，利用绝 对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等
式|
a
+
b
|≤ |
a
|+|
b
|，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当
a
≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当
a
>0时，先 求不等式|
x
－4|+|3－
x
|<
a
有解时
a< br>的取值
范围。
令
x
－4=0得
x
=4，令3－x
=0得
x
=3
① 当
x
≥4时，原不等式化为x
－4+
x
－3<
a
，即2
x
－7<
a

解不等式组
?
?
x?4
7?a
，∴
a
>1
?4?x?
2
?
2x?7?a
② 当3<
x
<4时 ，原不等式化为4－
x
+
x
－3<
a
得
a
>1
③ 当
x
≤3时，原不等式化为4－
x
+3－
x<
a
即7－2
x
<
a

解不等 式
?
?
x?3
7?a7?a
??x?3??3
，∴
a
>1
22
?
7?2x?a
综合①②③可知，当
a
>1时，原不等式有解，从而当0<
a
≤1
时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求
a
取值范围是
a
≤1
解法二由|< br>x
－4|+|3－
x
|的最小值为1得当
a
>1时，|
x
－4|+|3
－
x
|<
a
有解
从而当
a
≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵
a
>|
x
－4|+|3－
x
|≥|
x
－4+3－
x< br>|=1
∴当
a
>1时，|
x
－4|+|3－
x|<
a
有解
从而当
a
≤1时，原不等式解集为空集。
方法总结：
1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）
f
?
x
?
?a
有解
?a?f
?
x
?
min
；
f
?
x
?
?a
解集为空集

?a?f
?
x
?
min
；这两者互补。
f
?
x
?
?a
恒成立
?a?f
?
x
?max
。
f
?
x
?
?a
有解
?a? f
?
x
?
min
；
f
?
x
??a
解集为空集
?a?f
?
x
?
min
；这两 者互补。
f
?
x
?
?a
恒成立
?a?f
?
x
?
max
。
f
?
x
?
?a< br>有解
?a?f
?
x
?
max
；
f
?
x
?
?a
解集为空集
?a?f
?
x
?max
；这两者互补。
f
?
x
?
?a
恒成立< br>?a?f
?
x
?
min
。
f
?
x
?
?a
有解
?a?f
?
x
?
max
；
f
?
x
?
?a
解集为空集
?a?f
?
x
?
max
；这两者互补。
f
?
x
??a
恒成立
?a?f
?
x
?
min
。
6、绝对值三参数不等式问题
2
f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R)，当
x?[?1,1]
时
|f(x)|?1
，求证：已知函数
( 1)|b|?1
；
(2)若
g(x)?bx
2
?ax?c(a,b ,c?R)
，则当
x?[?1,1]
时，求证：
|g(x)|?2
。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注

意到：所 要求的结论不是
b或g(x)
的确定值，而是与条件相对应的
“取值范围”，因此，我 们可以用
f
?
?1
?
、
f(0)
、
f< br>?
1
?
来表示
a,b
,
c
。
因为由 已知条件得
|f(?1)|?1
，
|f(0)|?1
，
|f(1)| ?1
。
［解题］证明：(1)由
f
?
1
?
?a? b?c,f
?
?1
?
?a?b?c?b?
1
[f
?
1
?
?f
?
?1
?
]
，
2
从而有
11
|b|?[f(1)?f(?1)]?(|f(1)|?|f(?1)|),< br>Q
|f(1)|?1,|f(?1)|?1,
22

1
?|b |?(|f(1)|?|f(?1)|)?1.
2
(2)由
f
?
1< br>?
?a?b?c,f
?
?1
?
?a?b?c?b?
1
[f
?
1
?
?f
?
?1
?
],a ?c?
1
[f
?
1
?
?f
?
?1
?
],c?f(0),

22
从而
1
a?[f
?
1
?
?f
?
?1
?
]?f(0)

2
将以上三式代入
g(x)?bx
2
?ax?c(a,b,c?R)
，并整理得
|g(x)|?|f(0)(x
2
?1)?
11
f(1)(x?1)?f(?1)(1?x)|
22
11
?|f(0)(x
2
?1)|?|f(1)(x?1)|?|f(?1)(1?x)|
22
11
? |f(0)|x
2
?1|?|f(1)||x?1|?|f(?1)||1?x|
< br>22
1111
?|x
2
?1|?|x?1|?|1?x|?1?x2
?(x?1)?(1?x)?2?x
2
2222
?2
收获
1） 二次函数的一般式
y?ax
2
?bx?c
(c?0)
中有三个参数
a,b,c
. 解
题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
2）本题变形技巧性强，同时运 用公式
|a?b|?|a|?|b|
，
|a?b|?|a|?|b|

< br>及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观
察能力。
例题2．已知函数f(x)=
|f(a)-f(b)|<|a-b|。
分析：要证
|
考察左边，是否能产生|a-b|。
1
?a
2
?
1
?b
2
|
?
|
a?b
|< br>，
1?a?1?b|?
22
1?x
2
，a,b
?R，且
a?b
，求证
证明：|f(a)-f(b)|=
|

（
1
1?a
2
?1?b
2
|a
2
?b
2
|
1?a
2
?1?b
2
?
|a?b |?|a?b|

|a|?|b|
?
|a|?|b|
?
|< br>a?b
|
?
|
a?b
|

|a|?|b|< br>其中
?
1
?a
2
?a
2
?
|
a
|
，同理
1?b
2
?|b|,
∴
1
）
|a|?|b|
回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们
的共同点 是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证
题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传 递性，倒数性质，
以及“三角形不等式”等等。

2、本题的背景知识与解析几 何有关。函数
y?
y
2
?x
2
?1
1?x
2
是双曲线，
的上支，而
|
y
1
?y
2
f (a)?f(b)
，则表示该图象上任
|
（即
|
|
）
x
1
?x
2
a?b
意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后 ），很显然这一斜率
的范围是在（-1，1）之间。
2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1|值范围；
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|分析：“有解”即“ 解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案
（集合）互为补集（全集为R）
?
2x ?2(x?3)
当然可以用|x-3|+|x+1|=
?
?
4(?1?x?3 )
这种“去绝对值”的方法
?
2?2x(x??1)
?
来解，但我们 考虑到“三角形不等式”：||a|-|b||≤|a
?
b|≤|a|+|b|
知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4

这样|x-3|+|x +1|?
?
|x?3|?|x?1|?a
(*)

?
|x?3|?|x?1|?4
若（*）解集为
?
，则a≤4，若（*）有 解，则a>4。
解（略）
回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）
的一个应用。
发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的
取值范围。
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。
3．已知f( x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不
同的x
1
,x< br>2
∈[0,1]，都有|f(x
1
)-f(x
2
)|<|x< br>1
-x
2
|，求证：|f(x
1
)-f(x
2
)|<
1

2
分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f( x)的结
构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ①，与
|f(x
1
)-f(x
2
)|<|x
1
-x
2
|②两个。

首先，若|x
1
-x
2
|≤
|f(x
1
)-f(x
2
)|<
1
成立。
2
1
2
，那么必有|f(x
1
)-f(x
2
)|<|x
1
-x
2
|≤
1
2
即
但若|x
1
-x2
|>
1
呢？考虑到0≤|x
1
-x
2
|≤1 ，则1-|x
1
-x
2
|<
1
，看来
22
要证明的是|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1-|x
1
-x
2
|<
1
成立！
2
证明：不妨设x
1
≤ x
2
，则0≤x
1
≤x
2
≤1
（1）当|x1
-x
2
|≤
|f(x
1
)-f(x
2
)|<
1
成立。
2
1
2
时，则有|f(x
1< br>)-f(x
2
)|<|x
1
-x
2
|≤
1< br>2
即
（2）当|x
1
-x
2
|>
1
时，即x
2
-x
1
>
1
时，∵0≤x
2
- x
1
≤1
22
必有1-|x
1
-x
2
|<
1
即1- x
2
+x
1
<
1

22
也可写成|1- x
2
|+|x
1
|<
1
(*)
2
另一方面|f(x
1
)-f(x
2
)|=|f(1) -f(x
2
)+f(x
1
)-f(0)|≤
|f(1)-f(x2
)|+|f(x
1
)-f(0)|<|1- x
2
|+|x
1
-0|
则由（*）式知|f(x
1
)-f(x
2
)|<
1
成立
2

综上所述，当x
1
,x
2
∈[0,1 ]时都有|f(x
1
)-f(x
2
)|<
1
成立。
2
已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
，当?1?x?1
时，有
?1?f(x)?1
，
求证：当
?2?x? 2
时，有
?7?f(x)?7
.
分析：研究
f(x)
的性 质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，
应该尽量用已知条件来表达参数
a,b,c. 确定三个参数，只需三个独
立条件，本题可以考虑
f(1)
，
f(? 1)
，
f(0)
，这样做的好处有两个：
一是
a,b,c
的 表达较为简洁，二是由于
?1和0
正好是所给条件的区间
端点和中点，这样做能够较好 地利用条件来达到控制二次函数范围
的目的.
要考虑
f
?
x?
在区间
?
?7,7
?
上函数值的取值范围，只需考虑其最大值 ，
也即考虑
f
?
x
?
在区间端点和顶点处的函数值.
证明：由题意知：
f(?1)?a?b?c,f(0)?c,f(1)?a?b?c
，
1
2
?
x
2
?x
??
x
2
?x
?
2
2
???
∴
f(x)?ax?bx?c
?f(1)
?
.
?f(?1)?f(0 )1?x
?
2
??
2
?
????
∴
a? (f(1)?f(?1)?2f(0)),b?
(
f
(1)
?f
(< br>?
1)),
c?f
(0)
，
1
2
??由
?1?x?1
时，有
?1?f(x)?1
，可得
f(1)? 1,f
?
?1
?
?1,f
?
0
?
?1.
∴
f(2)?3f
?
1
?
?f
??1
?
?3f
?
0
?
?3f
?
1?
?f(?1)?3f(0)?7
,
f(?2)?f
?
1?
?3f
?
?1
?
?3f
?
0
??f
?
1
?
?3f(?1)?3f(0)?7
.
b
（1）若
??
?
?
2,2
?
，则f
?
x
?
在
?
?2,2
?
上单调，故 当
x?
?
?2,2
?
时，
2a
f(x)
m ax
?max(f(?2),f(2))
∴ 此时问题获证.
b
（2） 若
??
?
?
2,2
?
，则当
2a
?
b
?
f(x)
max
?max(f(?2),f(2),f
??
?
)

?
2a
?
x?
?
? 2,2
?
时，
又

b
2
bbbf(1)?f( ?1)1?1
?
b
?
f
?
?
?
?c??c ???f
?
0
?
???1?2??2?7
2a4a2a22a44< br>??
，
∴ 此时问题获证. 综上可知：当
?2?x?2
时，有
?7?f(x)?7
.
评析：因 为二次函数
f
(
x
)
?ax
2
?bx?c
?
a?
0
?
在区间
(??,?
[?
b
]< br>和区间
2a
b
,??)
上分别单调，所以函数
f
?< br>x
?
在闭区间上的最大值、最小值
2a
必在区间端点或顶点处取得；函 数
f(x)
在闭区间上的最大值必在
区间端点或顶点处取得.

7、 绝对值不等式与其它知识的横向联系

已知
c?0
.设P:
函数
y?c
x
在R上单调递减.
Q:
不等式
x?|x?2c|?1
的
解集为R.如果
P
和
Q
有且仅有 一个正确，求
c
的取值范围.
［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但 揭示了“解
不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的
解法和二次不等式 的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属
于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分 知识内容

有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，
考查 了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的
运算量，较好地体现出了“多考一点想，少 考一点算”的命题原则.
［解题］:函数
y?c
x
在R上单调递减
?0?c?1
，
不等式
x?|x?2c|?1
的解集为R
?
函数
y?x?| x?2c|
在R上恒大
于1，
x?2c，
?
2x?2c，
∵
x?|x?2c|?
?

2c，x?2c，
?
∴函数y?x?|x?2c|
在R上的最小值为
2c
，
∴不等式
x? |x?2c|?1
的解集为R
?
2c?1
，即
c?
，
若
P
正确，且
Q
不正确，则
0?c?
；
若
Q
正确，且
P
不正确，则
c?1
；
??
)
.
所以
c
的取值范围为
(0，
]
?
[1
，
1
2
1
2
1
2
［收获］

“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.
结合 简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和
四个命题的关系来作答，是这个命题的基本 特征，在求解时则主要
以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
3-5-2 均值不等式

1、
y?x1?x
2

?
7
?

已知
a,b,x,y?R
?
（< br>a,b
为常数），
小值
ab
??1
，求
x?y的最
xy
2．
已知
x?0
，
y?0
，且
x?y?1
，求
2x?1?2y?1
的最大值.


x
2
?3x?1
3
3．
求最小值
?
1
?< br>f(x)?
?
x??1
?
；
?
2
?

y?sin
2
x?
2

x?1
sinx


4．
?
1
?
设
x?0
，
y?0
，且
xy?(x?y)?1
，则
A.
x?y?22?2
B.
x?y?22?2

C.

x?y?
?
2?1
D.

x?y?
?
2
?
2?1

?
2
y
2
32
?
2
?
已知
x
≥
0
，
y
≥
0
，且
x??1
，求证：
x1?y
2
≤
4

2
2
?
3
?
若
a?b?0
, 求
a
2
?
16
的最小值
b(a?b)
3-5-3 分式不等式

解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
（1 ）
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0

g
?
x
?
?
f
?
x
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
?0?
?

g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?0
（2）

解题方法

穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得
右侧为0。（注意：一 定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2

第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上
方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟” 上去，一上一
下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴 上
方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，
穿跟线以内的范围。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-12。

奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字
要按照两个数字穿~~~如（x-1)^=0 两个解都是1 那么穿的
时候不要透过1。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”
（2）移项通分，不等号右侧化为“0”
（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式
（4）数轴标根。
x
2
?3x?2
?0
例2、解不等式：
2
?x?7x?12
系数非正，小于等于
解略

点评：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
x
2
?9x?11
?7
例3、解不等式：
2
x?2x?1
右侧非0
点评：1、不能随便去分母

2、移项通分，必须保证右侧为“0”
3、注意重根问题
分子，分母有公因式
x
2
?5x?6
?0(?0)
例4、解不等式：
2
x?3x?2

点评：1、不能随便约去因式
2、重根空实心，以分母为准
例5、解不等式：


点评：不等式左右不能随便乘除因式。
例6、解不等式：


2?3x
?3

2
x?x?1
不能十字相乘分解
因式；无法分解因式
不等号左右有公因式
2x?12x?1

?
x?33x?2
二次三项式，a>0,△
<0，恒正也可利用配
方法判定二次三项式
的正负

点评：


十字相乘法分解因式受阻
△≥0 △＜0
求根公式法分解因式 恒正或恒负


练习：解不等式：
1、
x?3
?0
（首相系数化为正，空实心）
2?x

2、

x
2
?3x?2
?0
（因式分解） 3、
2
x?2x?3
2x?1
?1
（移项通分，右侧化为0）
x?3

x
2
?2x?1
?0
（求根公式法因式分解） 4、
x?2

?
x?1
?
?
x
2
?x?6
?
5、
?0
（恒正式，重根问题）
2
?
x?3
?
3

x
?
x?3
?
?0
（不能随便约分） 6、
2
9?x

7、
0?x??1
（取交集）
含参分类讨论
1
x

例7、解不等式：
a
?
x?1
?
?1

x?2