高中数学不等式经典方法总结

.

次不等式：
一元二


一元一次不等式的解
轴表示）
例1、已知关于
范围．
例2．关于
x
的不等式
对所有实数
x
∈R都成立，求
a
的取值范围.
例3、若关 于
x
的不等式
x
2
?ax?a?
0
的解集为
(??,??)
，则实数
a
的取值范围是
______________； 若关于
x
的不等式
x
2
?ax?a??
3
的解集不 是空集，则实数
a
的取值范围是
______________。（-4,0）,
?
??,?6
?
?
?
2,??
?

几个重要不等式
（ 1）
若a?R,则|a|?0,a
2
x
2
?(3?a
2)x?2a?1?0
法：（依据、步骤、注意的问题，利用数
y?log
2
(?ax
2
?ax?1)
x
的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a
的取值
?0

（2）
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2| ab|?2ab)
（当仅当a=b时取等号）
（3）如果
a
,
b
都是正数，那么

(4)若a、 b、c?R
?
,则
ab?
a?b
（当仅当
.
2a=b时取等号）一正、二定、三相等.
a?b?c
3
?abc
（当仅当
3
a=b=c时取等号）
ba
(5)若ab?0,则??2
（当仅当
ab

a=b时取等号）
|x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a

|x|?a?x

(6)a?0时，
2
?a
2
?x ??a或x?a;
（7）
若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

常用不等式
.

.
22
a?b
?
a?b
?a b?
2
(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （1）
221
?
1
ab
（2）
a
、
b
、
c
?
R，
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（ 当且仅当
a?b?c
时，取等号）；
（3）若
a?b?0,m?0
，则
?
b
a
b?m
（糖水的浓度问题）。如
a?m
如果正数
a
、
b
满足
ab?a?b?3
，则
ab
的取值范围是_________（答：
?
9,??
?
）
常用不等式的放缩法：①
1
?
n
111111
?
p
2
p
??(n?2)

n?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
②
n?1?n?
性
1
n?n?1
p
1
2n
p
1
n?n?1
?n ?n?1(n?1)
利用函数的单调
简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1 ）分解成若干个一次因式的积，
并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标 在数轴上，
从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显
现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。
如（1）解不等式
(x? 1)(x?2)
2
?0
。（答：
{x|x?1
或
x??2}
）；
（2）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集 是____（答：
{x|x?3
或
x??1}
）；
（3）设函数< br>f(x)
、
g(x)
的定义域都是R，且
f(x)?0
的解集 为
{x|1?x?2}
，
g(x)?0
的
解集为
?
，则不等式
f(x)gg(x)?0
的解集为______（答：
(??,1)U[2 ,??)
）；
（4）要使满足关于
x
的不等式
2
x
2
?
9
x?a?
0
（解集非空）的每一个
x
的值 至少满足不
等式
x
2
?
4
x?
3
?
0
和x
2
?
6
x?
8
?
0
中的 一个，则实数
a
的取值范围是______.（答：
[7,)
）
分 式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式
中最高次项的系数 为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但
分母恒为正或恒为负时可去分母。
如（1）解不等式
5?x
；
??1
（答：
(?1 ,1)U(2,3)
）
2
x?2x?3
.
81
8

.
（2）关于
x
的 不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
，则关于
x
的不 等式
解集为_____（答：
(??,?1)?(2,??)
）.
绝对值不等式的解法：
ax?b
?
0
的
x?2
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如
x?1?x?2
＞
a
在< br>x?R
上有解,则
a
的取
值范围是（
?
??,3?
）
（2）利用绝对值的定义；
x?a(a?0)??a?x?a
，

x?a(a?0)?x??a或x?a

（3）数形结合；如解不等式
|x| ?|x?1|?3
（答：
(??,?1)U(2,??)
）
（4）两边平方 ：如若不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数
a
的取值范围为______。
（答：
{}
）
含参不等式的解法： 求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意解完之后要写上：“综上，原 不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后按参数取
值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应 求并集.
如（1）若
log
a
?1
，则
a
的取 值范围是__________（答：
a?1
或
0?a?
）；
ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1
2
3
2
3
4
3
（答：
a?0
时，{x|x?0}
；
a?0
时，
{x|x?
或
x?0}< br>；
a?0
时，
{x|?x?0}
或
x?0}
） 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式
解集的端点值 往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于
x
的不等
式
ax?b?0
的解集为
(??,1)
，则不等式
含绝对值不等式的性质： < br>a、b
同号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
.
x?2
（－1,2））
?
0
的解集为__________（答：
ax?b
1
a
1
a
如设
f(x)?x
2< br>?x?13
，实数
a
满足
|x?a|?1
，求证：
| f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

.

.
不等式 的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函
数方程思想和“分离 变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，
利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
min
?A

若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B

如（1）设实数
x, y
满足
x
2
?(y?1)
2
?1
，当
x? y?c?0
时，
c
的取值范围是______（答：
?
2?1,??
）；
?
?
（2）不等式
x?4?x?3?a
对一切实数< br>x
恒成立，求实数
a
的取值范围_____（答：；
a?1
）
（3）若不等式
2
x?
1
?m
(
x
2< br>?
1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立，则
x
的取值范围_____（答：
（
7?13?1
,））；
22
(?1)
n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?
对于任意正整数
n
恒成立，则实数
a
的取值范围是
n
n
_____（答：< br>[?2,)
）；
（5）若不等式
x
2
?2mx?2m?1? 0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的取值 范围（.答：
1
m??
）
2
3
2
2).能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于 在区间
D
上
f
?
x
?
max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D
上的
f
?x
?
min
?B
.如
已知不等式
（答：
a?1
）
两个重要函数：
|x|?|x?1|?3

函数y=x+
练习：
.
x?4?x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集，求实数
a
的取值范围____
1

x

.
1、已若
x?1
，求
2?3x?1
x
9
y
451
的最小值． 已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值
4x?5
x?14
2、知
x,y
?
R
?
且
??1
，则
x?y
的最小值是_ ____________．若
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小
值是______
3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
<1>若
ab?0，bc?ad?0
，则
?
<3>若
bc
?
ad
?0，?

c
a
c
a
dcd
?0
；<2>若
ab?0，??0
，则
bc?ad?0

bab
d
?0
，则
ab?0
其中正确命题是（）
b
(x?1)
2
?4
f(x)?(x??1)
x?1
4.求函数的最小值.

5、求证：
1?
111
112
3
4
2

??L??2
x(1?x)??2x(1?x)(1?x)?()?
222
2 3n
22327
二元一次不等式组与简单线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线
l
: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部
分：
（1）直线
l
上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0
（2）直线
l
一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0
（3）直线
l
另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0
所以，只需在直线
l
的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x
0
, y
0
）,从a
0
x+b
0
y+c
值的 正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求 这两个变量的一个线性函数的
最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件 ，像这样的
问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解 组
成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
.

.
3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函
数；
（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解
例题分析：
?
x?0
?
例1．若
A
为不等式组
?
y?0
表示的平面区域，则当
a
从－2连续变化到1时，动直线
?
y?x?2
?
x?y? a
扫过
A
中的那部分区域的面积为 ( )
A．
3
4
B．1 C． D．5
7
4
?
2x?y ?2?0
?
例2.如果点
P
在平面区域
?
x?y?2?0< br>上，点
O
在曲线
x
2
?
(
y?
2)
2
?
1
上，
?
2y?1?0
?
那么
|PQ|的
最小值为（）
(A) (B)
3
2
4
5
?
1
(C)
22?1
(D)
2?1

?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
例3、已知实数
x,y
满足
?
，则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
1、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到
坐标原点距离的取值范围是（）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
?< br>x?y?2≤0，
y
?
2．已知变量
x，y
满足约束条件?
x≥1，
则的取值范围是（）
?
x?y?7≤0，
x
?
?
??
,6??
，U
?
6
，
???
C．
?
??，
A．
?
B．
3
?
U
?
6，??
?

?
??
?
5
??
?
5
?
99
D．
[ 3，6]

.

.
?
x?2y?10，
?
2x?y?3,
3.设
D
是不等式组
?
表示的平面区域，则
D
中的点
P
（
x
,
y
）到直线
x
+
y
=10距
?
0?x?4,
?
?
?y?1
离的最大值是.
?
x?1,
?
4.已知
?x?y?1?0,
则
x
2
?y
2
的最小值是.
?
?
2x?y?2?0
例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.1、



2.A;
.
3.
42
; 4. 5 B;