高中数学2017 课程标准-高中数学 事件集合
第三章 不等式
一、选择题
x
2
-4x+5
5
1.已知x≥,则f(x)=有( ).
2x-4
2
55
A.最大值 B.最小值 C.最大值1 44
1
1
2.若x>0,y>0,则
(x+)
2
+(y+)
2
的最小值是( ).
2y
2x
D.最小值1
A.3 B.
7
2
C.4 D.
9
2
3.设a>0,b>0
则下列不等式中不成立的是( ).
A.a+b+
1
ab
≥2
2
B.(a+b)(
11
+)≥4
ab
a
2
?b
2
C.≥a+b
ab
D.
2ab
≥
ab
a?b
f(x)-f(-x)
<0
x
4.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式
的解集为( ).
A.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
π
1+cos2x+8sin
2
x
5.当0<x<时,函数f(x)=的最小值为(
).
sin2x
2
A.2 B.
23
C.4
D.
43
6.若实数a,b满足a+b=2,则3
a
+3
b
的最小值是(
).
A.18 B.6 C.2
3
D.2
4
3
0
?
x≥
4
?
4
,所表示的平面区域被直线y=
k
x+分为面积相等的两7.若不等式组
?
x+3y≥
3
?
3x+y≤
4
?
部分,则
k
的值是( ).
A.
7
3
B.
3
7
C.
4
3
D.
3
4
8.直线x+2y+3=0上的点P在
x-y=1的上方,且P到直线2x+y-6=0的距离为
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3
5
,则点P的坐标是( ).
A.(-5,1)
B.(-1,5) C.(-7,2) D.(2,-7)
9.已知平面区域如图所示,z=
mx+y(m>0)在平面区
域内取得最优解(最大值)有无数多个,则m的值为( ).
A.-
C.
7
20
B.
7
20
1
2
D.不存在
10.当x>1时,不等式x+
的取值范围是(
).
A.(-∞,2]
二、填空题
1
≥a恒成立,则实数a
x?1
(第9题)
B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]
?
(x-y+5)(x+y)≥0
11.不等式组
?
所表示的平面区域的面积是 .
?
0≤x≤3
?
x+2y-3≤0
?
12.设变量x,y满足约束条件
?
x+
3
y
-
3
≥
0
,
若目标函数z=ax+y(a>0)仅在点(3,
?
y-1≤0
?
0)处取得最大值,则a的取值范围是 .
13.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
.
b
a
14.设a,b均为正的常数且x>0,y>0,+=1,则x+y的最小值为
.
y
x
15.函数y=log
a
(x+3)-1(a>0,且a≠
1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny
+1=0上,其中mn>0,则
2
1
+的最小值为 .
m
n
16.某工厂的年产
值第二年比第一年增长的百分率为p
1
,第三年比第二年增长的百分
率为p
2
,若p
1
+p
2
为定值,则年平均增长的百分率p的最大值为
.
第 2 页 共 11 页
三、解答题
x
2
+7x+10
17.求函数y=(x>-1)的最小值.
x+1
18.已知直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,当△A
OB
面积最小时,求直线l的方程.
(第18题)
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p>
19.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售
每吨乙产品
可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料
不超过18吨.那么该企
业可获得最大利润是多少?
5
1
,求函数y=4x-1+的最大值;
4
4x-5
9
1
*
(2)已知x,y∈R(正实数集),且+=1,求x+y的
最小值;
y
x
20.(1)已知x<
(3)已知a>0,b>0,且
a
2
+
b
2
=1,求
a1+b
2
的最大值.
2
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参考答案
1.D
x
2
-4x+5
(x-2)
2
+1
1
解析:由已知
f(x)===
2(x-2)
2x-4
2
1
??
,
(x-2)+
??
x-2
??
∵
x≥
5
,x-2>0,
2
∴
1
2
1
1
?
1
?
≥·
2(x-2)?
=1,
(x-2)+
??
x-2
2
x-2
??
当且仅当x-2=
2.C
解析:
(x+
1
,即x=3时取等号.
x-2
1
2
1
)
+
(y+)
2
2y
2x
=x
2
+
+
x
y
1y1
2
+y++
22
x
4x4y
=
?
x+
?
?
2
1
?
?
2
1
??
xy
?
??
+
?
+.
y++
?<
br>?
2
2
?
??
?
4x
?
?
4y
?
?
yx
?
∵ x
2
+
1
1
2
2
=
1
,x=
2
时取等号;
x?≥2=1,当且仅当x
2
4x
2
4x
2
4x
2
y
2
+
1
1
2
2
=
1
,
y=
2
时取等号;
y?
≥2=1,当且仅当y
2
4y
2
4y
2
4y
2
xy
+
≥2
yx
x
xy
y
?
=2(x>0,y>0),当且仅当=,y
2
=x
2
时取等号.
yx
y
x
1
?<
br>?
xy
?
1
?
?
2
?
?
+
?
+
?
≥1+1+2=4,前三个不等式的等号同时成立
y+
∴
?
x
2
+
2
?
+
?
??2
??
4y
4x
??
??
?
yx
?<
br>时,原式取最小值,故当且仅当x=y=
3.D
解析:
2
时原式取最小值4.
2
方法一:特值法,如取a=4,b=1,代入各选
项中的不等式,易判断只有
不成立.
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2ab
≥
ab
a?b
方法二:可逐项使用均值不等式判断
A:a+b
+
1
ab
≥2
ab
+
1
ab
≥2
2ab?
1
ab
=2
2
,不等式成立.
B:∵
a+b≥2
ab
>0,
1
1
1
11
+≥2>0,相乘得 (a+b)( +)≥4成立.
ab
a
b
ab
22
?
a?b
??
a?b
?
C:∵ a
2
+b
2
=(a+b)
2-2ab≥(a+b)
2
-2
??
=2
??
,
22
????
a
2
?b
2
1
a?b2
又
ab
≤≥,∴≥a+b 成立.
?
2a?b
ab
ab
D:∵
a+b≥2
ab
?
不成立.
4.D
解析:
因为f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
12ab
12ab2ab
≤,
∴≤=
ab
,即≥
ab
a?b
2ab
a?b
2ab
a?b
f(x)-f(-x)2f(x)
<0
?
<0
?xf(x)<0,满足x与f(x)异
xx
号的x的集合为所求.
因为f(x)
在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,画出f(x)在
(0,+∞)的简图如图,再根据f(x
)是奇函数的性质得到f(x) 在
(-∞,0)的图象.
-1
O
1
x
y
(第4题)
由f(x)的图象可知,当且仅当x∈(-1,0)∪(0,1)时,x与f(x)异号.
5.C
解析:由0<x<
π
,有sinx>0,cosx>0.
2
1+cos2x+8sin
2
x2cos
2
x+8sin
2
x
cosx4sinx
f(x)===+
sin2x
2sinx
cosx
cosx
sinx
≥2
1
cosx4sinx
co
sx4sinx
=4,当且仅当=,即tan x=时,取“=”.
·
sinxcosx
2
cosx
sinx
∵ 0<x<
6.B
1
π
,∴ 存在
x
使tan
x=,这时f(x)
min
=4.
2
2
解析:∵ a+b=2,故
3
a
+3
b
≥2
3
a
?3
b
=2
3
a?b
=6,当且仅当a=b=1时取等号.
第 6 页 共 11 页
故3
a
+3
b
的最小值是6.
7.A
解析:不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
△ABC.
由
?4
?
x+3y=4
得A(1,1),又B(0,4),C(0,).
3
?
3x+y=4
由于直线y=
k
x+
44
过点C(
0,),设它与直线
33
3x+y=4的交点为D,
11
5
S<
br>△
ABC
,知D为AB的中点,即x
D
=,∴
y
D
=,
222
1
457
∴
=
k
×+,
k
=.
2233
则由S
△
BCD
=
8.A
?
?
解析:设P点的坐标为(x
0
,y
0
),则
?
?<
br>?
?
?
x
0
+2y
0
+3=0 ,
?
x
0
=-5 ,
x
0
-1<
y
0
-
0
,
解得
?
y=1
.
?
0
2x
0
+y
0
?6
=35
.
5
∴ 点P坐标是(-5,1).
9.B
解析:当直线mx+y=z与直线AC平行时,线段AC上的每个点都是最优解.
22
5
=-
7
, ∵
k
AC
=
20
5-1
3-
∴
-m=-
10.D
解析:由x+
77
,即m=.
2020
11
=(x-1)++1,
x-1x-1
∵ x>1,∴
x-1>0,则有(x-1)+
则a≤3.
1
1
+1≥2
(x-1)·
+1=3,
x-1
x-1
第 7
页 共 11 页
二、填空题
11.24.
解析:不等式(x-y+5)(x+y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组.
?
(x-y+5)(x+y)≥0
?
?
0≤x≤3
?
?
?
?
?
?
x-y+5≥0
?
?
x
+
y
≥
0
或
?
?
0≤x≤3
?
x-y+5≤0
x
+
y≤0
0≤x≤3
(第11题)
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求
.第一个不等式组所对应的区域如图,而
第二个不等式组所对应的区域不存在.
图中A(3,
8),B(3,-3),C(0,5),阴影部分的面积为
3
?
(11+5)
=24.
2
12.
?
a a>
?
.
?
?
1
?
2
?
解析:若z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处
取得最大
值,则直线z=ax+y的倾斜角一定小于直线x+2y-3=
0的倾斜角,直线z=
ax+y的斜率就一定小于直线x+2y
-3=0的斜率,可得:-a<-
13.a
b
≥9.
解析:由于a,b均为正数,等式中含有ab和a+b这个特征,可以设想使用
构造一个不等式.
∵ ab=a+b+3≥
2ab
+3,即a
b
≥
2ab
+3(当且仅当a=b时等号成立),
∴
(
ab
)
2
-
2ab
-3≥0,
∴ (
ab
-3)(
ab
+1)≥0,∴
ab
≥3,即a
b
≥9(当且仅当a=b=3时等号成立).
14.(
a
+
b
)
2
.
解析:由已知
1
1
,即a>.
2
2
a+b
≥
ab
2
ay
bx
,均为正数,
y
x
第 8 页 共 11 页
∴ x+y=(x+y)(
aybx
ay
bbx
a
+)=a+b++≥a+b+
2 ·
=a+b+2
ab
,
yy
x
x
xy
aybx
=
xy
即
x=a+ab
时取等号.
即x+y≥(
a
+
b
)
2
,当且仅当
ab
y=b+ab
+=1
xy
15.8.
解析:因为y=log
a
x的图象恒过定点(1,0),故函数y=log
a
(x+3)-1的图象恒过定
点A(-2,-1),把点A坐标代入直线方程得m(-2)+
n(-1)+1=0,即2m+n=1,而由
mn>0知
n
4m
,均为正,
n
m
∴
12
1n
4m
n4m
2
?
+=(2m+n)(+)=4++≥4+
2
=8,当且仅当
mn
n
n
mm
mn
1
n4m
m=
=
4
时
取等号.
mn
即
1
n=
2m+n=1
2
16.
p
1
?p
2
.
2
解析:设该厂第一年的
产值为a,由题意,a(1+p)
2
=a(1+p
1
)(1+p
2<
br>),且1+p
1
>0,
1+p
2
>0,
所以a(
1+p)
2
=a(1+p
1+p
2
?
=a
?
p+p
?
?
1+p
1
+
1
)(1+p
2
)≤a
??
?
1+
12
?
,解得
22<
br>????
2
2
p≤
p
1
+p
2
p+
p
,当且仅当1+p
1
=1+p
2
,即p
1
=p<
br>2
时取等号.所以p的最大值是
12
.
22
三、解答题
17.解:令x+1=t>0,则x=t-1,
4
(t-1)
2
+
7(t-1)+10t
2
+5t+4
4
y===t++5≥
2t?<
br>+5=9,
t
tt
t
当且仅当t=
4
,即t=2,
x=1时取等号,故x=1时,y取最小值9.
t
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18.解:因为直线l经过点P(3,2)且与x轴y轴都相交,
故其斜率必存在且小于0.设直线l的斜率为
k
,
则l的方程可写成y-2=
k
(x-3),其中
k
<0.
令x=0,则y=2-3
k
;令y=0,则x=-
y
B
P(3,2)
O
A
(第18题)
x
2
+3.
k
S
△AOB
=
11
2
(2-3
k
)(-+3)=
k
22
4
?
1
?
4
?
?
12+(-9k)+(-)
≥
12+2(-9k
)?(-)
??
??
k
?
2
?
k
?
?
=12,当且仅当(-9
k
)=(-
y-2=-
2
4<
br>),即
k
=-时,S
△AOB
有最小值12,所求直线方程为
k
3
2
(x-3),即2x+3y-12=0.
3
19.
解:设生产甲产品
x
吨,生产乙产品
y
吨,则有关系:
甲产品x吨
乙产品y吨
A原料用量
3x
y
B原料用量
2x
3y
?
x?0
?
y?0
?
则有
?
,目标函数z=5x+3y
3x?y≤ 13
?
?
18
?
2x?3y≤
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知
当
x
=3,
y
=4时可获得最大利润为27万元.
(第18题)
5
,∴ 4x-5<0,故5-4x>0.
4
11
y=4x-1+=-(5-4x+)+4.
4x
-
55
-
4x
20.解:(1)∵ x<
∵
5-4x+
1
1
-
4x)
≥
2(5
=2,
5
-
4x
5
-
4x
∴ y≤-2+4=2,
当且仅当5-4x=
13
,即x=1或x=(舍)时,等号成立,
5
-
4x2
故当x=1时,y
max
=2.
第
10 页 共 11 页
(2)∵
x>0,y>0,
9
1
+=1,
y
x
∴ x+y=(99x
1
y
+)(x+y)=++10≥2
yy
x
x<
br>y9x
·
+10=6+10=16.
xy
当且仅当
9x9
y
1
x=4
,
=,且+=1,即
?
时等号成立,
?
yy
y=12
x
x
?
∴
当x=4,y=12时,(x+y)
min
=16.
1b
2
2?
2
1b
2
?
32
?
1b
2
?
+
(3)a
1
≤=,
+b
=a
2
?<
br>+
?
=
2
·a
?
?
22
?
?
a+
2
+
2
?
?
22
2
4??
??
2
1b
2
32
32
+
当且仅
当a=,即a=,b=时,a
1
.
+b
2
有最大值
22
22
4
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