(完整)高中数学不等式习题及详细答案

第三章 不等式
一、选择题
x
2
－4x＋5
5
1．已知x≥，则f(x)＝有( )．
2x－4
2
55
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 44
1
1
2．若x＞0，y＞0，则
(x＋)
2
＋(y＋)
2
的最小值是( )．
2y
2x
D．最小值1
A．3 B．
7

2
C．4 D．
9

2
3．设a＞0，b＞0 则下列不等式中不成立的是( )．
A．a＋b＋
1
ab
≥2
2
B．(a＋b)(
11
＋)≥4
ab
a
2
?b
2
C．≥a＋b
ab
D．
2ab
≥
ab

a?b
f(x)－f(－x)
＜0
x
4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式
的解集为( )．
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)






B．(－∞，－1)∪(0，1)
D．(－1，0)∪(0，1)
π
1＋cos2x＋8sin
2
x
5．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为( )．
sin2x
2
A．2 B．
23
C．4 D．
43

6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3
a
＋3
b
的最小值是( )．
A．18 B．6 C．2
3
D．2
4
3

0
?
x≥
4
?
4
，所表示的平面区域被直线y＝
k
x＋分为面积相等的两7．若不等式组
?
x＋3y≥
3
?
3x＋y≤ 4
?
部分，则
k
的值是( )．
A．
7

3
B．
3

7
C．
4

3
D．
3

4
8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在 x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为
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3
5
，则点P的坐标是( )．
A．(－5，1) B．(－1，5) C．(－7，2) D．(2，－7)
9．已知平面区域如图所示，z＝ mx＋y(m＞0)在平面区
域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为( )．
A．－
C．
7

20





B．
7

20
1

2
D．不存在
10．当x＞1时，不等式x＋
的取值范围是( )．
A．(－∞，2]
二、填空题

1
≥a恒成立，则实数a
x?1
(第9题)

B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
?
(x－y＋5)(x＋y)≥0
11．不等式组
?
所表示的平面区域的面积是 ．
?
0≤x≤3
?
x＋2y－3≤0
?
12．设变量x，y满足约束条件
?
x＋

3

y

－

3

≥

0

，


若目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，
?
y－1≤0
?

0)处取得最大值，则a的取值范围是 ．
13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ．
b
a
14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y的最小值为 ．
y
x
15．函数y＝log
a
(x＋3)－1(a＞0，且a≠ 1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny
＋1＝0上，其中mn＞0，则
2
1
＋的最小值为 ．
m
n
16．某工厂的年产 值第二年比第一年增长的百分率为p
1
，第三年比第二年增长的百分
率为p
2
，若p
1
＋p
2
为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 ．
第 2 页 共 11 页

三、解答题
x
2
＋7x＋10
17．求函数y＝(x＞－1)的最小值．
x＋1









18．已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△A OB
面积最小时，求直线l的方程．










(第18题)
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19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售
每吨乙产品 可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料
不超过18吨.那么该企 业可获得最大利润是多少？









5
1
，求函数y＝4x－1＋的最大值；
4
4x－5
9
1
＊
(2)已知x，y∈R(正实数集)，且＋＝1，求x＋y的 最小值；
y
x
20．(1)已知x＜
(3)已知a＞0，b＞0，且








a
2
＋
b
2
＝1，求
a1＋b
2
的最大值．
2
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参考答案
1．D
x
2
－4x＋5
(x－2)
2
＋1
1
解析：由已知 f(x)＝＝＝
2(x－2)
2x－4
2
1
??
，
(x－2)＋
??
x－2
??
∵ x≥
5
，x－2＞0，
2
∴
1
2
1
1
?
1
?
≥·
2(x－2)?
＝1，
(x－2)＋
??
x－2
2
x－2
??
当且仅当x－2＝
2．C
解析：
(x＋
1
，即x＝3时取等号．
x－2
1
2
1
)
＋
(y＋)
2

2y
2x
＝x
2
＋
＋
x
y
1y1
2
＋y＋＋

22
x
4x4y
＝
?
x＋
?
?
2
1
?
?
2
1
??
xy
?
??
＋
?
＋．
y＋＋
?< br>?
2
2
?
??
?
4x
?
?
4y
?
?
yx
?
∵ x
2
＋
1
1
2
2
＝
1
，x＝
2
时取等号；
x?≥2＝1，当且仅当x
2
4x
2
4x
2
4x
2
y
2
＋
1
1
2
2
＝
1
， y＝
2
时取等号；
y?
≥2＝1，当且仅当y

2
4y
2
4y
2
4y
2
xy
＋
≥2
yx
x
xy
y
?
＝2(x＞0，y＞0)，当且仅当＝，y
2
＝x
2
时取等号．
yx
y
x
1
?< br>?
xy
?
1
?
?
2
?
?
＋
?
＋
?
≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立
y＋
∴
?
x
2
＋
2
?
＋
?
??2
??
4y
4x
??
??
?
yx
?< br>时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝
3．D
解析：
2
时原式取最小值4．
2
方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选 项中的不等式，易判断只有
不成立．
第 5 页 共 11 页
2ab
≥
ab
a?b

方法二：可逐项使用均值不等式判断
A：a＋b ＋
1
ab
≥2
ab
＋
1
ab
≥2
2ab?
1
ab
＝2
2
，不等式成立．
B：∵ a＋b≥2
ab
>0，
1
1
1
11
＋≥2>0，相乘得 (a＋b)( ＋)≥4成立．
ab
a
b
ab
22
?
a?b
??
a?b
?
C：∵ a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2－2ab≥(a＋b)
2
－2
??
＝2
??
，
22
????
a
2
?b
2
1
a?b2
又
ab
≤≥，∴≥a＋b 成立．
?
2a?b
ab
ab
D：∵ a＋b≥2
ab
?
不成立．
4．D
解析: 因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
12ab
12ab2ab
≤， ∴≤＝
ab
，即≥
ab
a?b
2ab
a?b
2ab
a?b
f(x)－f(－x)2f(x)
＜0
?
＜0
?xf(x)＜0，满足x与f(x)异
xx
号的x的集合为所求．
因为f(x) 在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在
(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x )是奇函数的性质得到f(x) 在
(－∞，0)的图象．
－1
O
1
x
y
(第4题)

由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x与f(x)异号．
5．C
解析：由0＜x＜
π
，有sinx＞0，cosx＞0．
2
1＋cos2x＋8sin
2
x2cos
2
x＋8sin
2
x
cosx4sinx
f(x)＝＝＝＋
sin2x
2sinx cosx
cosx
sinx
≥2
1
cosx4sinx
co sx4sinx
＝4，当且仅当＝，即tan x＝时，取“＝”．
·
sinxcosx
2
cosx
sinx
∵ 0＜x＜
6．B
1
π
，∴ 存在
x
使tan x＝，这时f(x)
min
＝4．
2
2
解析：∵ a＋b＝2，故 3
a
＋3
b
≥2
3
a
?3
b
＝2
3
a?b
＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．
第 6 页 共 11 页

故3
a
＋3
b
的最小值是6．
7．A
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
△ABC．
由
?4
?
x＋3y＝4
得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，)．
3
?
3x＋y＝4
由于直线y＝
k
x＋
44
过点C( 0，)，设它与直线
33
3x＋y＝4的交点为D，
11
5
S< br>△
ABC
，知D为AB的中点，即x
D
＝，∴ y
D
＝，
222
1
457
∴ ＝
k
×＋，
k
＝．
2233
则由S
△
BCD
＝
8．A
?
?
解析：设P点的坐标为(x
0
，y
0
)，则
?
?< br>?
?
?
x
0
＋2y
0
＋3＝0 ，
?
x
0
＝－5 ，
x

0
－1＜

y

0

－

0

，
解得
?

y＝1 .
?
0
2x
0
＋y
0
?6
＝35 .
5
∴ 点P坐标是(－5，1)．
9．B
解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．
22
5
＝－
7
， ∵
k
AC
＝
20
5－1
3－
∴ －m＝－
10．D
解析：由x＋
77
，即m＝．
2020
11
＝(x－1)＋＋1，
x－1x－1
∵ x＞1，∴ x－1＞0，则有(x－1)＋
则a≤3．
1
1

＋1≥2
(x－1)·
＋1＝3，
x－1
x－1
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二、填空题
11．24．
解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组．
?
(x－y＋5)(x＋y)≥0
?

?
0≤x≤3
?
?
?
?
?
?
x－y＋5≥0
?
?
x

＋

y

≥

0
或
?
?
0≤x≤3
?
x－y＋5≤0
x

＋

y≤0
0≤x≤3
(第11题)

这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求 ．第一个不等式组所对应的区域如图，而
第二个不等式组所对应的区域不存在．
图中A(3， 8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为
3
?
(11＋5)
＝24．
2
12．
?
a a＞
?
．
?
?
1
?
2
?
解析：若z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处 取得最大
值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝
0的倾斜角，直线z＝ ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y
－3＝0的斜率，可得：－a＜－
13．a
b
≥9．
解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用
构造一个不等式．
∵ ab＝a＋b＋3≥
2ab
＋3，即a
b
≥
2ab
＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，
∴ (
ab
)
2
－
2ab
－3≥0，
∴ (
ab
－3)(
ab
＋1)≥0，∴
ab
≥3，即a
b
≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．
14．(
a
＋
b
)
2
．
解析：由已知
1
1
，即a＞．
2
2
a＋b
≥
ab
2
ay
bx
，均为正数，
y
x
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∴ x＋y＝(x＋y)(
aybx
ay
bbx
a
＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋
2 ·
＝a＋b＋2
ab
，
yy
x
x
xy
aybx
＝
xy
即
x＝a＋ab
时取等号． 即x＋y≥(
a
＋
b
)
2
，当且仅当
ab
y＝b＋ab
＋＝1
xy
15．8．
解析：因为y＝log
a
x的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝log
a
(x＋3)－1的图象恒过定
点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋ n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由
mn＞0知
n
4m
，均为正，
n
m
∴
12
1n
4m
n4m
2
?
＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋≥4＋
2
＝8，当且仅当
mn
n
n
mm
mn
1
n4m
m＝
＝
4
时 取等号．
mn
即
1
n＝
2m＋n＝1
2
16．
p
1
?p
2
．
2
解析：设该厂第一年的 产值为a，由题意，a(1＋p)
2
＝a(1＋p
1
)(1＋p
2< br>)，且1＋p
1
＞0，
1＋p
2
＞0，
所以a( 1＋p)
2
＝a(1＋p
1＋p
2
?
＝a
?
p＋p
?
?
1＋p
1
＋
1
)(1＋p
2
)≤a
??
?
1＋
12
?
，解得
22< br>????
2
2
p≤
p
1
＋p
2
p＋ p
，当且仅当1＋p
1
＝1＋p
2
，即p
1
＝p< br>2
时取等号．所以p的最大值是
12
．
22
三、解答题
17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，
4
(t－1)
2
＋ 7(t－1)＋10t
2
＋5t＋4
4
y＝＝＝t＋＋5≥
2t?< br>＋5＝9，
t
tt
t
当且仅当t＝
4
，即t＝2， x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．
t
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18．解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，
故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为
k
，
则l的方程可写成y－2＝
k
(x－3)，其中
k
＜0．
令x＝0，则y＝2－3
k
；令y＝0，则x＝－
y
B
P(3,2)
O
A
(第18题)
x
2
＋3．
k
S
△AOB
＝
11
2
(2－3
k
)(－＋3)＝
k
22
4
?
1
?
4
?
?
12＋(－9k)＋(－)
≥
12＋2(－9k )?(－)
??
??
k
?
2
?
k
?
?
＝12，当且仅当(－9
k
)＝(－
y－2＝－
2
4< br>)，即
k
＝－时，S
△AOB
有最小值12，所求直线方程为
k
3
2
(x－3)，即2x＋3y－12＝0．
3
19． 解：设生产甲产品
x
吨，生产乙产品
y
吨，则有关系：

甲产品x吨
乙产品y吨
A原料用量
3x
y
B原料用量
2x
3y
?
x?0
?
y?0
?
则有
?
，目标函数z＝5x＋3y
3x?y≤ 13
?
?
18
?
2x?3y≤
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知
当
x
＝3，
y
＝4时可获得最大利润为27万元.
(第18题)
5
，∴ 4x－5＜0，故5－4x＞0．
4
11
y＝4x－1＋＝－(5－4x＋)＋4．
4x
－
55
－
4x
20．解：(1)∵ x＜
∵ 5－4x＋
1
1
－
4x)
≥
2(5
＝2，
5
－
4x
5
－
4x
∴ y≤－2＋4＝2，
当且仅当5－4x＝
13
，即x＝1或x＝(舍)时，等号成立，
5
－
4x2
故当x＝1时，y
max
＝2．
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(2)∵ x＞0，y＞0，
9
1
＋＝1，
y
x
∴ x＋y＝(99x
1
y
＋)(x＋y)＝＋＋10≥2
yy
x
x< br>y9x
·
＋10＝6＋10＝16．
xy
当且仅当
9x9
y
1
x＝4 ，
＝，且＋＝1，即
?
时等号成立，
?
yy
y＝12
x
x
?
∴ 当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16．
1b
2
2?
2
1b
2
?
32
?
1b
2
?
＋
(3)a
1
≤＝，
＋b
＝a
2
?< br>＋
?
＝
2
·a
?
?
22
?
?
a＋
2
＋
2
?
?
22
2
4??
??
2
1b
2
32
32
＋
当且仅 当a＝，即a＝，b＝时，a
1
．
＋b
2
有最大值
22
22
4
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