高中数学不等式经典题型(精)

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质： < br>1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若
a?b,c?d
，则
a?c ?b?d
（若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
），但异向不等式 不可以相加；同向不等式不可
以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能 相除；异向不等式可
以相除，但不能相乘：若
a?b?0,c?d?0
，则
a c?bd
（若
a?b?0,0?c?d
，
ab
则
?
）；
cd
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若
a?b?0
， 则
a
n
?b
n
或
n
a?
n
b；
1111
4．若
ab?0
，
a?b
，则
?
；若
ab?0
，
a?b
，则
?
。如
abab
（1）对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
①
若a?b,则ac
2
?bc
2
； ②
若ac
2
?bc
2
,则a?b
；
11
③
若a?b?0,则a
2
?ab?b
2
； ④
若a?b?0,则?
；
ab
ba
⑤
若a?b?0,则?
； ⑥
若a?b?0,则a?b
；
ab
ab11
⑦
若c?a?b?0,则
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
?
c?ac?bab
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
?1?x?y?1
，
1?x?y?3
，则
3x? y
的取值范围是______
（答：
1?3x?y?7
）；
c< br>（3）已知
a?b?c
，且
a?b?c?0,
则的取值范围是____ __
a
1
??
（答：
?
?2,?
?
）
2
??
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?1
（1）设
a?0且a?1,t?0
，比较
log
a
t和log
a的大小
22

（答：当
a?1
时，
1t?1（
t?1
时取等号）；当
0?a?1
时，
log
at?log
a
22
1t?1
（
t?1
时取等号））；
log
a
t?log
a
22
2
1
（2）设
a?2
，
p?a?
，
q?2
?a?4a?2
，试比 较
p,q
的大小
a?2
（答：
p?q
）；
（3 ）比较1+
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且 x?1)
的大小
44
（答：当
0?x?1
或
x?
时，1+
log
x
3
＞
2log
x
2
；当
1?x?
时，1+
log
x
3
＜
33
4< br>2log
x
2
；当
x?
时，1+
log
x< br>3
＝
2log
x
2
）
3
三．利用重要不等 式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积
最大，积定和最小”这17字方针。如
（1）下列命题中正确的是
1
A、
y?x?
的最小值是2
x
x
2
?3
B、
y?
的最小值是2
2
x?2
4
C、
y?2?3x?(x?0)
的最大值是
2?43

x
4
D、
y?2?3x?(x?0)
的最小值是
2?43

x
（答：C）；
（2）若
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值是______
（答：
22
）；
（3）正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
11
?
的最小值为______
xy
（答：
3?22
）；
22
a?b
?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右4.常用不等式有 ：（1）
221
?
1
ab
的运算结构选用) ；（2）
a< br>、
b
、
c
?
R，
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
bb? m
时，取等号）；（3）若
a?b?0,m?0
，则
?
（糖水的浓度 问题）。如
aa?m
如果正数
a
、
b
满足
ab? a?b?3
，则
ab
的取值范围是_________
（答：
?
9,??
?
）
五．证明不等式的方法：比较法、 分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符 号或与1的大小，
然后作出结论。).
1111111
??
2
???
常用的放缩技巧有：
?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

111
???k?k?1< br>
k?1?k2kk?1?k
如（1）已知
a?b?c
，求证：
a
2
b?b
2
c?c
2
a?ab
2
?b c
2
?ca
2
；
(2) 已知
a,b,c?R
，求证：
a
2
b
2
?b
2
c
2
? c
2
a
2
?abc(a?b?c)
；
xy
11< br>?
（3）已知
a,b,x,y?R
?
，且
?,x?y
，求证：；
x?ay?b
ab
(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：
a?bb?cc?a
lg?lg?lg?lga?lgb?lgc
；
222
（5）已知
a,b,c?R
，求证：
a
2
b
2
? b
2
c
2
?c
2
a
2
?abc(a?b? c)
；
k?1?k?
(6)若
n?N
*
，求证：
(n?1)
2
?1?(n?1)?
n
2
?1?n
；
|a|?|b||a|?|b|
?
(7)已知
|a|?|b|
，求证：；
|a?b||a?b|
111
（8）求证：
1?
2
?
2
??
2
?2
。
23n
六．简单的一元高次不等式的解 法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（ 2）将每一个一次因式
的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过
偶弹回；（3）根据曲线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1）解不等式
(x?1)(x?2)
2
?0
。
（答：
{x|x?1
或
x??2}
）；
（2）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集是____
（答：
{x|x?3
或
x??1}
）；
（3）设函数f(x)
、
g(x)
的定义域都是R，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2}
，
g(x)?0
的解集为
?
，则不等式
f(x)g(x)?0
的解集为______
（答：
(??,1)[2,??)
）；
（4）要使满足关于
x的不等式
2x
2
?9x?a?0
（解集非空）的每一个
x
的值
至少满足不等式
x
2
?4x?3?0和x
2
?6x? 8?0
中的一个，则实数
a
的取值范围是
______.
81
（答：
[7,)
）
8
七．分式不等式的解法：分式不 等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的 系数为正，最后用
标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时
可 去分母。如
5?x
??1
（1）解不等式
2
x?2x?3
（答：
(?1,1)(2,3)
）；
（2）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
，则关于
x
的不等式
ax?b
?0
的解集为_______ _____
x?2
（答：
(??,?1)?(2,??)
）.

八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如 解不等式
|2?
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式
|x|?|x?1|?3

（答：
(??,?1)(2,??)
）
（4）两边平方：如
若不 等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数
a
的取值范围为______。
4
（答：
{}
）
3
九． 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分
类讨论是关键．”注意解完之 后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：
按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但 若按未知数讨论，最后应求
并集. 如
2
（1）若
log
a
?1
，则
a
的取值范围是__________
3
2
（答：
a?1
或
0?a?
）；
3
ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1
11
（答：
{x|x?
或
x?0}
；
{x|?x?0}< br>{x|x?0}
；
a?0
时，
a?0
时，
a?0时，
aa
或
x?0}
）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解 集，最后务必有集合的形式表示；（2）
不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义 范围的端点值。
x?2
如关于
x
的不等式
ax?b?0
的 解集为
(??,1)
，则不等式
?0
的解集为
ax?b
__ ________（答：（－1,2））
十一．含绝对值不等式的性质：
a、b
同 号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?| a?b|
；
a、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?| b|
?
||a|?|b||?|a?b|
.
如设
f(x)?x2
?x?13
，实数
a
满足
|x?a|?1
，求证：< br>|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立 等问题：不等式恒成立问题的常规处理方
式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也 可抓住所
给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在 区间
D
上
f
?
x
?
min
?A

若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max< br>?B

如（1）设实数
x,y
满足
x
2
?( y?1)
2
?1
，当
x?y?c?0
时，
c
的取值 范围是
______
（答：
?
；
?
2?1,??
）
31
x|?2?|x?|

42
（答：
x?R
）；
?

（2）不等式< br>x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范 围_____
（答：
a?1
）；
（3）若不等式
2x?1?m( x
2
?1)
对满足m?2的所有
m
都成立，则
x
的 取值
范围_____
（答：（
n
7?1
3?1
,））；
2
2
(?1)
n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?对于任意正整数
n
恒成立，则实数
a
的取
n
值范围是_ ____
3
（答：
[?2,)
）；
2
（5）若不等式< br>x
2
?2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的
取值范围.
1
（答：
m??
）
2
2). 能成立问题
若在 区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?< br>?A
成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?< br>max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使 不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D上的
f
?
x
?
min
?B.如
已知不等式< br>x?4?x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集，求实数
a
的取值
范围____
（答：
a?1
）
3). 恰成立问题 若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恰 成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?A
的解集为
D
；
若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的 解集为
D
.