高中数学不等式知识点

不等式
知识点归纳:
一、不等式的概念与性质
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
2、不等式的性质：
（1）
a?b?b?a
，
a?b?b?a
（反对称性）
（2）
a?b,b?c?a?c
，
a?b,b?c?a?c
（传递性）
（3）
a?b?a?c?b?c
，故
a?b?c?a?c?b
（移项法则）
推论：
a?b,c?d?a?c?b?d
（同向不等式相加）
（4）
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc

推论1：
a?b?0,c?d?0?ac?bd

推论2：
a?b?0?a
n
?b
n

推论3：
a?b?0?
n
a?
n
b

不等 式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，
要弄清每一个条件和结论 ，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式
（1）
a?R,a
2
?0,a?0
当且仅当
a?0,取“?”

（2）
a,b?R,则a
2
?b
2
?2ab

（3）
a,b?R
?
，则
a?b?2ab

a
2
?b
2
a?b
2
?()
（4）
22
4、最值定理:设
x,y?0,由x?y?2xy

（1）如积
xy?P(定值），则积x?y有最小值2P

S
2
（2）如积
x?y?S(定值），则积xy有最大值（）

2
即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
5、均值不等式:
a?b
两个正数的均值不等式：
?ab

2

三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
a?b?c3
?abc

3
a
1
?a
2
???a
n
n
?a
1
a
2
?a
n

n
6、四种均值的关系：两个正数
a、b
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、 均方根
之间的关系是
小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：
1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，
要注意不 等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出
a>b,c>b,后，就误 认为能得到a>c。
2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d。
3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保 证为正，才能得到同向的
不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不 能确定
不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正。
不等 式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函
数单调性的研究，函数定 义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最
大值、最小值问题，无一不与不等式有着密 切的联系，许多问题，最终都可归结为不等
式的求解或证明。
二、不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
A?B?0?A?B

作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因 导果由已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直
到推导出前面的不等式。常用的基本 不等式有?均值不等式；?若
a,b,m?0
，
a?b
，
则
n
aa?m
；?若
a,b?R
，则
|a|?|b|?|a?b|?| a|?|b|
；④柯西不等式
?
bb?m
2
n
2
i
n
(
?
a
i
b
i
)?(
?
a)(
?
b
i
2
)

i?1i?1i?1
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
②“分析法”证题 是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分
析法寻找证题的途径，然后用“综合法 ”进行表达。
（4）反证法：正难则反直接证明难，就用反证。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
① 添加或舍去一些项，如：
a
2
?1?a
；
n(n?1)?n
；

②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
lg3? lg5
2
如：
log3?lg5?()?lg15?lg16?lg4
；
2
④利用常用结论：
Ⅰ、
k?1?k?
1
k?1?k?
1
2k
；
Ⅱ、
11111111
??????
； （程度大）
k
2
k(k?1)k?1k
k
2
k(k?1)kk?1
111111< br>???(?)
； （程度小）
22
kk?1
(k?1)(k?1) 2k?1k?1
Ⅲ、
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化 繁为简，常
用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知
x
2
?y< br>2
?a
2
，可设
x?acos
?
,y?asin?
；
已知
x
2
?y
2
?1
，可设< br>x?rcos
?
,y?rsin
?
(
0?r?1
)；
x
2
y
2
已知
2
?
2
?1
，可设
x?acos
?
,y?bsin
?
；
ab
x
2
y
2
已知
2
?
2
?1
，可 设
x?asec
?
,y?btan
?
；
ab
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明 不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不
等式的最基本方法。要依据 题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，
要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的 步骤，技巧和语言特点。
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。
例1已知a，b∈R，且a+b=1。
25
22
求证：
?
a?2
?
?
?
b?2
?
?
。
2
证法一：（比较法）
25
1
22
即
?
a?2
?
?
?
b ?2
?
?
（当且仅当
a?b?
时，取等号）。
2
2
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立。
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条
件。
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。
25
证法四：（反证法）假设(a?2)
2
?(b?2)
2
?
，
2

则
a
2
?b
2
?4(a?b)?8?
25
。
2
由a+b=1，得
b?1?a
，于是有
a
2
?(1?a )
2
?12?
1
所以
(a?)
2
?0
，
2
25

2
1
??
这与
?
a?< br>?
?0
矛盾。
2
??
25
。
2
证法五：（放缩法）∵
a?b?1

2
所以
?< br>a?2
?
?
?
b?2
?
?
22
∴左边＝
?
a?2
?
?
?
b?2
?
?22
?
?
a?2
?
?
?
b?2
??
?2
??

2
??
2
2
125
＝右边。
a?b?4?
??
??
?
2
?
2
点评 ：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
?
a?b
?< br>2
a
2
?b
2
?2
??
。
?
2
?
证法六：（均值换元法）∵
a?b?1
，
11
所以可设
a??t
，
b??t
，
22
11
22
∴左边＝
?
a?2
?
?
?
b? 2
?
?(?t?2)
2
?(?t?2)
2

22
2525
?
5
??
5
?
＝右边 ?
?
t?
?
?
?
t?
?
?2t
2
??
2222
????
22
当且仅当t=0时，等号成立。
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)
2
+(b+2)
2
，
由a+b=1，有
y?(a?2)
2
?(3?a)
2
?2a
2
?2a ?13
，
所以
2a
2
?2a?13?y?0
，
因为
a?R
，所以
??4?4?2?(13?y)?0
，即
y?故
?
a?2
?
?
?
b?2
?
?
22
25
。
2
25

2
。

例2
a,b,c?0
，求证：
证：< br>bcacab
???a?b?c
。
abc
bcac
??2c
，同样地，利用均值不等式，我们可以得到
ab
bcacabbcacab
?a?b?c
。
2(??)?2( a?b?c)
，即
??
abc
abc
11
例3 已知
x,y?0,x?y?1
,求证
(1?)(1?)?9
。
xy
11x?yx?y2y2x
)(1?)?4???1?9
证：
(1?)(1?)?(1?
xyxyxy
例4 已知
a,b,c?0,a ?b?c?1
，求
3a?1?3b?1?3c?1
的最大值。
3a?1?21
当且仅当
3a?1?2
即
a?
时等式成立。
3
2
3(a?b?c)?9
同理，可得
2(3a?1?3b?1?3 c?1)??6
；
2
故而可知其最大值为6.
1
例5 已知x?y?z?1
，求证
x
2
?y
2
?z
2?

3
111
证：令
?
?
?
?
?
?0
，且
x??
?
,y??
?
,z??
?
，于是
333
1211
x
2
?y
2
?z
2
??(
?
?
?
?
?
)?(
?
2
?
?
2
?
?
2
)??(
?< br>2
?
?
2
?
?
2
)?
。
3333
解：由题可得
3a?1?2?
例6 已知
n
是正整 数，求证：
1
1
3
?
1
2
3
?
1
3
3
???
1
n
3
?3

证：当
n?2
时，有
于是
小结：
1、掌握好不等 式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，
不等式证明的技能、技巧，还要注意到 横向结合内容的方方面面。如与数列的结合，与
“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元 二次方程，一元二次不等式、
二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是 近年命题的
重点。
2、在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分 析法、
综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨
论 等。
3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式
时，常 用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较
a
法，即欲证a?b,(a?0,b?0)可证?1

b
4、基本思想、基本方法：

⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法。
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问
题的一种重要的数学 思想方法。
⑶ “分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充
分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上
用“
?< br>”来表达 分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原
则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决
问题的方法，即我们常 说的逆向思维，由结论向条件追溯。
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简 单的问题，在证
明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明< br>的不等式。
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法。
⑸换元法 （主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟
通三角与代数的联系，将复杂的 代数问题转化成简单的三角问题。
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字 母的二次式时，
这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件。
⑺有些不等式 若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放
矢，注意放缩适度。
三、解不等式
1、解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式
(2)解一元二次不等式
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组
2、解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性
(3)注意代数式中未知数的取值范围
3、不等式的同解性
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x) 与
①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解
(9)当a＞1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＞g(x)同解，
当0＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＜g(x)同 解．
4、零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法

步骤：①形式：
P(x)
?0?移项，通分（不轻易去分母）

Q(x)②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化
负为正
③判断或比较根的大小
小结：
1、带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于 0，二次函数
y?ax
2
?bx?c
的
值恒大于0的条件是
a?0
且
??0
；若恒大于或等于0，则
a?0
且
??0< br>。
若二次项系
数中含参数且未指明该函。是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特 殊情形。
2、忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此< br>要强化对转化的依据的思考。
3、数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题 ，还可利用图形验
证，解题的结果。
4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数 时，须不重不漏地分类讨
论。化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一， 在取
对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围。当所取对数的底数是字母时，随时
要把 “不等号是否变向”这一问题斟酌再三。
5、解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在 此范围内对参数进行分
类讨论。分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）， 根据
方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例
如 进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏。
四、含绝对值的不等式
1、解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对 值，常采用的方法
是讨论符号和平方。
2、注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题 ||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|; 并指出等号条件。
3、(1)|f(x)| (2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<─g(x)（无论g(x)是否为正）。
（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）
左边在
ab?0(?0)
时取 得等号，右边在
ab?0(?0)
时取得等号。
五、简单的线性规划问题
1、二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线
Ax
+
By
+
C
=0，坐标平面内的点
P
（
x
0
，
y
0
）。
B
＞0时，①
Ax
0
+
By
0
+
C
＞0，则点
P
（
x
0
，
y
0
）在直线的上方；②
Ax
0
+
By
0
+
C
＜0，则点
P
（
x
0
，
y
0
）在直线的下方。

对于任意的二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0（或＜0），无论
B
为正值还是负 值，我们

都可以把
y
项的系数变形为正数。当
B
＞0 时，①
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线
Ax
+
By
+
C
=0上方
的区域；②
Ax
+
B y
+
C
＜0表示直线
Ax
+
By
+
C=0下方的区域。
2线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问
题。
满足线性约束条件的解（
x
，
y
）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做 可行域
（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。生产实
际 中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量
x
、
y
；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数
z
=
f
（
x
，
y
）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直 线系
f
（
x
，
y
）=
t
（
t为参数）；
（6）观察图形，找到直线
f
（
x
，
y< br>）=
t
在可行域上使
t
取得欲求最值的位置，以
确定最优解， 给出答案。
例1 求不等式｜
x
－1｜+｜
y
－1｜≤2表示的平面区域的面积。
分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积。
解：｜
x
－1｜+｜
y
－1｜≤2可化为
?
x? 1
?
x?1
?
x?1
?
x?1
???
?< br>y?1y?1
或或或
y?1
???
y?1
?
?x?y?4
?
x?y?2
?
?x?y?2
?
x?y?0
???
?
其平面区域如图。
∴面积
S
=×4×4=8。
点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界。
小结：简单的线性规划在实际生产生活中 应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的
限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一 项任务，如何合理安排和规
划，能以最少的资源来完成。如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、 布局问题、
库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决。通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐
1
2

标的近似值。它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点< br>的坐标。