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高中数学不等式的几种常见证明方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:46
tags:高中数学不等式

全国高中数学联赛一试范围-高中数学数形结合法

2020年9月20日发(作者:侯耀华)


摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡
量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考
题中,有关不 等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一
步加强对各种不等式的理解 .

关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式


一、比较法
所谓比较法,就是通过两个实数
a

b
的差或 商的符号(范围)确定
a

b
大小关系的方
法,即通过“
a ?b?0

a?b?0

a?b?0
;或
系的方法,前者为 作差法,后者为作商法.
例 1 设
x,y?R
,求证:
x
2< br>?4y
2
?2?2x?4y
.
证明:
x
2
?4y
2
?2?2x?4y


x
2
?2x?1?4y
2
?4y?1


(x?1)
2
?(2y?1)
2

因为
(x?1)
2
?0

(2y?1)
2
?0


?
(x?1)
2
?(2y?1)
2
?0

?
x
2
?4y
2
?2?2x?4y?0


?
x
2
?4y
2
?2?2x?4y

例 2 已知:a>b>c>0, 求证:
a
2a
?b
2b
?c
2c

a
b?c
?b
a?c
?c
b?c
.
a
2a
?b
2b
?c
2c
证明:
b? ca?cb?c

a
2a?b?c
?b
2b?a?c
?c< br>2c?b?c

a?b?c
aaa
?1

?1

?1
”来确定
a

b
大小关
bbb

c
2a?b?c
?c
2b?a?c
?c
2c?b?c

c
0
=1

< br>a
2a
?b
2b
?c
2c
?
b?c
>1
a?cb?c
a?b?c
?
a
2a
?b
2b
?c
2c

a
b?c
?b
a?c
?cb?c

二、分析法
分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分 条件,把证明这个不等式的
问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以判
定所证的不等式成立.
例 3 求证
3?6?22?7

证明:
Q9?6?0,8?7?0

?
为了证明原不等式成立,只需证明
(

15?254?15?256

只需证明
54?56,54?56

9?6)
2
?(8?7)
2

Q54?56
成立
?
原不等式成立
运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以 克服无目的的乱写,
从而加强针对性,较快地探明解题的途径.
三、综合法
从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种
证明方法叫做综合法 .
1125
例 4 已知
a,b?R
?

a?b?1< br>,求证:
(a?)
2
?(b?)
2
?

ab2
证明:∵
a?b?1
∴ 1=
(a?b)
2< br>?a
2
?b
2
?2ab?2(a
2
?b
2< br>)


a
2
?b
2
?
又 ∵
1

2
11111
2
1
2
??(a?b)(?)?(2ab)?2?
2
?8

22222
ababab


1111125

(a?)
2
?(b?)
2
?(a
2
?b
2
)?4?(
2
?
2
)??4?8?

abab22
四、反证法
从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否 定是错误的,从而肯定原结
论是正确的,这种证明方法叫做反证法.用反证法证明不等式时,必须将命题 结论的反面的各
种情形一一导出矛盾.
反证法证明一个命题的思路及步骤:
(1) 假定命题的结论不成立;
(2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;
(3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;
(4) 肯定原来命题的结论是正确的.
例 5 已知
a?b?c?0,ab?bc?ca?0,a bc?o
,求证:
a?0,b?0,c?0.

证明:由
abc?0

a?0
,假设
a?0
,则
bc?0

又 因为
a?b?c?0
,所以
b?c??a?0
,即
a
?b?c
?
?0

从而
ab?bc?ca?a
?
b?c
?
?bc?0
,与已知矛盾.
?
假设不成立,从而
a?0

同理,可证
b?0,c?0

五、放缩法
放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原 不等式
更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须
时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.否则不能达到目的.
例 6 设
a

b

c
是三角形的边长,求证
abc
???3

b?c?ac?a?ba?b?c
证明:由不等式的对称性,不妨 设
a?b?c
,则
b?c?a
?
c?a?b
?
a? b?c


2c?a?b?0

2a?b?c?0

abcabc
???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b? cb?c?ac?a?ba?b?c
2a?b?c2b?a?c2c?a?b
2a?b?c2b ?c?a2c?a?b

????
???0

c?a?bc?a?bc?a?b
b?c?ac?a?ba?b?c



abc
???3

b?c?ac?a?ba?b?c
六、数学归纳法
对于含有
n(n?N)< br>的不等式,当
n
取第一个值时不等式成立,如果使不等式在
n?k(n?N)< br>时成立的假设下,还能证明不等式在
n?k?1
时也成立,那么肯定这个不等式对
n
取第一个值以后的自然数都能成立.
例 7 证明:
2
n
?2?n
2
,n?N
?
.
< br>证明:(1)当
n?1
时,左边=
2
1
?2?4
;右 边=1,左边
?
右边.所以原不等式成立.

n
=2时 ,左=
2
2
?2?6
,右=
2
2
=4,所以左?
右;

n
=3时,左=
2
3
? 2?10
,右=
3
2
=9,所以左
?
右.
因此当
n?1,2,3
时,不等式成立.
(2)假设当
n?k
k?3

k?N
)时,不等式成立.即
2
k
?2?k
2
.
因为
2
k?1
?2?2?2
k?2?2
?
2
k
?2
?
?2?2k
2
?2

=
k
2
?2k?1?k
2
?2k?3

=
?
k
2
?2k?1
?
?
?
k?1
??
k?3
?
(因
k?3
,则
k?3?0

k?1?0


?k
2
?2k?1
?
?
k?1
?

所以,
2
k?1
?2?
?
k?1
?
.故 当
n?k?1
时,原不等式也成立.
根据(1)和(2),原不等式对于任何
n?N
都成立.
七、换元法
在证明过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明得到简化.
例 8 已知
a,b?R,

a
2
?b
2
?1,
求 证:
a
2
?2ab?b
2
?2
.

证明: 设
a?rcos
?
,b?rsin
?
,
其中
r?1 ,
?
?
?
0,2
?
?


a
2
?2ab?b
2
?r
2
cos
2
?
?2r
2
sin
?
cos
?
?r
2
sin
2
?

2
2


=
r
2
cos2
?
?r
2
sin2
?
?
??
=
2r
2
sin
?
2
?
?
?
?2

4
??
?
a
2< br>?2ab?b
2
?2

原不等式得证.
例 9 已知:< br>a?b?c?1
,求证:
ab?bc?ca?
证明:设
a?
1
.
3
111
?t

b??at(t?R)
,则< br>c??(1?a)t

333

?
1??
1
??
1
??
1
??
1
??1
?
ab?bc?ca?
?
?t
??
?at
?
?
?
?at
?
?
?(1?a)t
?
??
?t
?
?
?(1?a)t
?
?
3
? ?
3
??
3
??
3
??
3
??
3
?
11

?(1?a?a
2
)t
2
?,
33

1
所以
ab?bc?ca?
3

?
例 10 已知
a,b?R

a?b?1
,求证:
?
a?2< br>?
?
?
b?2
?
?
证明:因为
a,b?R< br>且
a?b?1

所以设
a?
2
22
25

2
11
?t,b??t
?
t?R
?

22
2

?
a?2
?
?
?
b?2
?
?
1
??
1
?
?
??t?2
?
?
?
?t?2
?

?
2< br>??
2
?
22
22
?
5
??
5?
=
?
?t
?
?
?
?t
?

?2
??
2
?
2525
?2t
2
?

22
25
22

?
a?2
?
?
?
b?2
?
?

2
=
原不等式成立.
八、利用均值不等式
均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“(一正、二定,三相
等).


均值不等式公式:①
a
2
?b
2
?2ab? ab?ab,(a,b?R)
(当且仅当
a?b
时取“
?
”); < br>②
a?b?2ab?ab?ab,(a,b?R
?
)
(当且仅当
a?b
时取“
?
”).
例 11 已知
a

b

c
为不全相等的正数,求证:
a( b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)+c( a
2
+b
2
)>6abc.
证明: ∵
b
2
+
c
2
≥2
bc
,
a
>0, ∴
a
(
b
2
+
c
2
)≥2
abc

同理,
b
(
c
2
+a
2
)≥2
bac, c
(
a
2
+b
2
)

2
cab
,
又 因为
a

b

c
不全相等,
所以上述三个不等式中等号不能同时成立,
因此
a
(
b
2
+
c
2
)+
b
(
c
2
+
a
2
)+
c
(
a
2
+
b
2)>6
abc
.
11
例 12 若
x,y?0,x?y?2
,求证:
??2

xy
1111 1
证明:因为
x,y?0,
所以
??(x?y)(?)

xy2xy

?
1yx
(1?1??)?2

2xy
当且仅当
九、导数法
yx
?
,即
x?1,y?1
时等号成立
xy
当< br>x
属于某区间,有
f
?
(x)?0
,则
f(x)单调递增;若
f
?
(x)?0
,则
f(x)
单调递减. 推广
之,若证
f(x)?g(x)
,只须证
f(a)?g(a)
及< br>f
?
(x)?g
?
(x),(x?(a,b))
即可.
例 13 证明不等
e
x
?1?x

x?0.

证明:设
f(x)?e
x
?1?x,

f
?
(x)?e
x
?1.
故当
x?0
时,
f
?
(x)?0,f
递增;当
x?0,f
?
(x)?0,f
递减.
则当
x?0
时,
f(x)?f(0)?0,

从而证得
e
x
?1?x,x?0.

十、利用柯西不等式

< br>设
a,b,c,d
均为实数,则
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,当且
a d?bc
仅当时成立.
11
例 14 若
x,y?0,x?y?2
,求证:
??2

xy
分析:此题在前面可用均值不等式解,这儿也可以用柯西不等式解.
11111
证明:
??(x?y)(?)

xy2xy

?(x?
11
2
?y?)?2

xy
当且仅当y
x
?
x
,即
x?1,y?1
时等号成立
y
十一、 在不等式两端取变限积分证明新的不等式
x
3
x
3
x
5
?sinx?x??
例 15 证明:
x?0
时,
x?

66120
证明:已 知
cosx?1
,(
x?0
时只有
x?2n
?
时等 号成立),在此式两端同时取
?
0,x
?
上的
x
2
(x?0)
,第三次取积分得
sinx?x
(x?0)
,对得到的不等式取< br>?
0,x
?
上的积分得到
1?cosx?
2

?
0,x
?
上的积分得
x
3
x?sinx?
(x?0)

6
x
3
x
3
x
5
?sinx
(x?0)
,继续在
?
0,x
?
上积分两次即可得
sinx?x??

x?,所以
6120
6
x
3
x
3
x
5x??sinx?x??

66120

结束语:不等式知识在高中尤 为重要,在学术上也有很大的研究的余地,本文只是浅显的举
例说明了一些关于不等式的内容,更深层的 知识有待学者继续研究.


参考文献:
[1] 傅荣强,于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社,2007:58—88
[2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9).
[3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11).
[4] 普片多,例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院

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