关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高中数学不等式知识点总结材料教师版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:46
tags:高中数学不等式

高中数学数列高考重点侧重-高中数学题分析

2020年9月20日发(作者:卜维勤)


高中数学不等式专题教师版
一、 高考动态
考试容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.
考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数的定理,并会
简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)号的定义:
a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
(3) 同向不等式与异向不等式.
(4) 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)
a?b?b?a
(对称性)
(2)
a?b,b?c?a?c
(传递性)
(3)
a?b?a?c?b?c
(加法单调性)
(4)
a?b,c?d?a?c?b?d
(同向不等式相加)
(5)
a?b,c?d?a?c?b?d
(异向不等式相减)
(6)
a.?b,c?0?ac?bc

(7)
a?b,c?0?ac?bc
(乘法单调性)
(8)
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(同向不等式相乘)
(9)a?b?0,0?c?d?
ab
(异向不等式相除)
?
cd
(10)a?b,ab?0?
11
(倒数关系)
?
ab
(11)
a?b?0?a
n
?b
n
(n?Z, 且n?1)
(平方法则)
(12)
a?b?0?
n
a?
n
b(n?Z,且n?1)
(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)
若a?R,则|a|?0,a
2
?0

(2)
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|ab|?2ab)
(当仅当a=b时取等号)
(3)如果a,b都是正数,那么
ab?
a?b
.
(当仅当a=b时取等号)
2
极值定理: 若
x,y?R
?
,x?y?S,xy?P,
则:
1如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小;

2如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.

< br>(4)若a、b、c?R
?
,则
a?b?c
3
?abc
(当仅当a=b=c时取等号)
3
ba
(5)若ab?0,则??2
(当仅当a=b时取等号)
a b
(6)a?0时,|x|?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a; |x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a

(7)
若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.几个著名不等式
(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么
a? b
?ab??
11
2
?
ab
2a
2
?b< br>2
(当仅当
.
2
a=b时
取等号)即:平方平均≥算术平均≥ 几何平均≥调和平均(a

b为正数):
a?b
2
a
2< br>?b
2
a?b
2
a
2
?b
2
特别地 ,
ab?(
(当a = b时,
()?)??ab

2222a
2
?b
2
?c
2
?
a??b?c
?
?
??
(a,b,c?R,a?b?c时取等)

33
??
22
?...?a
n
?
?
幂平均不等式:
a
1
2
?a
2
2222
2
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2

n
2
注:例如:
(ac?bd)?(a?b)(c?d)
.
111
常用不等式的放缩法:①
??
nn?1n(n?1)

n? 1?n?
1
n
2
111
??(n?2)

n(n? 1)n?1n
1
n?n?1
1
2n
1
n?n?1
? n?n?1(n?1)


(2)柯西不等式:
若a
1
, a
2
,a
3
,
?
,a
n
?R,b
1
,b
2
,b
3
?
,b
n
?R;则
22
(a
1
2
a
2
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?
?a
n
b
n
)???
a
n
a
1
a
2
a
3
当且仅当???
?
?时取等号
b
1
b
2
b
3
b
n
2
a
3
?
?
?
2
a
n
)(b
1
22< br>?b
2
2
?b
3
2
?
?
b
n
)

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函 数f(x),对于定义域中任意两点
x
1
,x
2
(x
1?x
2
),

f(
x
1
?x
2f(x
1
)?f(x
2
)
)?或
22
f(x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?.
22
则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则


f(x)
?0?f (x)g(x)?0;
g(x)
?
f(x)g(x)?0

f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
(3)无理不等式:转化 为有理不等式求解


1
?f(x)?0
?
??
?定义域

f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0


3
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0或
?
?
g(x)?0
2
?
?
?
f(x)?[g(x)]


2
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?< br>?
g(x)?0
2
?
?
f(x)?[g(x)]
(4 ).指数不等式:转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
(a ?1)?f(x)?g(x);a
f(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f (x)?g(x)

a
f(x)
?b(a?0,b?0)?f(x)?lga ?lgb
(5)对数不等式:转化为代数不等式
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)(a?1)?
?
g( x)?0;
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)(0?a?1)??
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
(6)含绝对值不等式
1
应用分类讨论思想去绝对值; ○
2
应用数形思想; ○
3
应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0
|f(x)|?g(x)??
?
?g(x)?f(x)?g(x)
?

g(x)?0
|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或
?
?
f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
?
注:常用不等式的解法举例(x为正数):

x(1?x)
2
?
1124

?2x(1?x)(1?x)?()
3
?
22327
2
2x
2
(1?x
2
)(1?x
2
)12
3
423

y?x(1?x)?y?

?()??y?
223279
2类似于
y?sinxcosx?sinx(1?sinx)
,③
|x?
1
|?|x|?|
1
|(x与
1
同号,故取等)?2

22
xxx
三、利用均值不等式求最值的方法
均值不等式当且仅当a=b时 等号成立)是一个重要的
不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解 。但是有些
题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当时,求的最大值。


解 析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定
为定值,故只需值,此题为两个式子积的形 式,但其和不是定值。注意到
将凑上一个系数即可。

当且仅当
所以当x=2时,
,即x=2时取等号。
的最大值为8。
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均
值不等式求最大 值。
2. 凑项
例2. 已知
解析:由题意知


∴< br>,求函数
,首先要调整符号,又
的最大值。
不是定值,故需
进行凑项才能得到定值。


当且仅当,即时等号成立。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离
例3. 求的值域。
解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其
分离。

当,即时


(当且仅当x=1时取“=”号)。
当,即时
(当且仅当x=-3时取“=”号)。
∴的值域为。
评注:分式函数求最值,通常化成
或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4. 已知,求的最小值。
解法1:不妨将乘以1,而1用a+2b代换。

?1?
2ba
a
?
b
?2
?3?
2b
a
?
a
b< br>
?3?2
2ba
a
·
b
?3?22
当且仅 当时取等号,由
即时,的最小值为。
解法2:将分子中的1用代换。
g(x)恒正,



评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到
可用均值不等式求得
三、换元
例5. 求函数的最大值。
的最小值。
,而与的积为定值,即
解析:变量代换,令
当t=0时,y=0
当时,
,则

当且仅当,即时取等号。
故。
评注:本 题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最
值问题,从而为构造积为定 值创造有利条件。
四、取平方
例6. 求函数
解析:注意到的和为定值。
的最大值。

又,所以
,即时取等号。 当且仅当


故。
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我 们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意
一些变形技巧,积极创造条 件利用均值不等式。
高中数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂外+限时训
练):基本不等式
一、选择题
11
1.若
a
>0,
b
>0,且ln (
a

b
)=0,则+的最小值是( )
ab
1
A. B.1 C.4 D.8
4
a

b
=1,
?
?
解析:由
a
>0,< br>b
>0,ln(
a

b
)=0,得
?
a>0,
?
?
b
>0.
11
a

b1
故+==≥


ababab
11
==4.
a

b
1
????
?
2
?
2
?
2
?
2
????
1
当且仅当
a

b
=时,上式取等号.
2
答案:C
?
1
a
?
2.已知不等式(
x

y
)
?

?
≥9对任意正实数
x

y
恒成立,则正实数
a
的最小值为
?
xy
?
( )
A.2
C.9
B.4
D.16
xy
?
1
a
?
解 析:(
x

y
)
?

?
=1+·
a
++
a
.
?
xy
?
yx

x
>0,
y
>0,
a
>0,
∴1+++
a
≥1+
a
+2
a
.
由9≤ 1+
a
+2
a
,得
a
+2
a
-8≥0,
∴(
a
+4)(
a
-2)≥0.

a
> 0,∴
a
≥2,∴
a
≥4,∴
a
的最小值为4.
答案:B
axy
yx


?
x
4
?< br>3.已知函数
f
(
x
)=lg
?
5+
x
m
?
的值域为R,则
m
的取值围是( )
5
??
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-4]
44
xx
解析:设
g
(
x
) =5+
x

m
,由题意
g
(
x
)的图像与
x
轴有交点,而5+
x
≥4,故
m
≤-4,
55< br>故选D.
答案:D
4.当点(
x

y
)在直线< br>x
+3
y
-2=0上移动时,表达式3
x
+27
y< br>+1的最小值为(
A.3 B.5
C.1 D.7
解析:方 法一:由
x
+3
y
-2=0,得3
y
=-
x
+2.
∴3
x
+27
y
+1=3
x
+3
3
y
+1=3
x
+3

x
+2
+1
=3
x

9
3
x
+1
≥2 3
x
·
9
3
x
+1=7.
当且仅当3
x

9
3
,即3
x
x
=3,即
x
= 1时取得等号.
方法二:3
x
+27
y
+1=3
x
+3
3
y
+1≥23
x
·3
3
y
+1= 23
2
+1=7.
答案:D
5.已知
x
>0,
y
>0,
x
+2
y
+2
xy
=8,则
x
+2
y
的最小值是( )
A.3 B.4
C.
9
2
D.
11
2

解析:∵2
xy

x
·(2
y
)≤
?
?
x< br>+2
y
?
2
?
?
2
?

∴原式可化为(
x
+2
y
)
2
+4(
x
+ 2
y
)-32≥0.
又∵
x
>0,
y
>0,∴< br>x
+2
y
≥4.当
x
=2,
y
=1时取等号 .
答案:B
6.(2013·苍山调研)已知
x
>0,
y
>0,lg2
x
+lg8
y
=lg2,则
11
x

3
y
的最小值是(
A.2 B.22
C.4 D.23
解析:由lg2
x
+lg8
y
=lg2,得lg2
x
+3
y
=lg2.
)
)

< p>
11
?
11
?
x
3
y

x< br>+3
y
=1,+=
?

?
(
x
+3
y
)=2++≥4.
x
3
y
?
x
3y
?
3
yx
答案:C
二、填空题
2
??< br>2
1
??
1
7.设
x

y
∈R,且
xy
≠0,则
?
x

2
??
2
+ 4
y
?
的最小值为__________.
y
??
x??
1
2
??
2
1
??
1
22
解析:
?
x

2
??
2
+4
y
?
=1+4+4
xy

22
≥1+4+24=9.
y??
x
xy
??
当且仅当4
xy

答案:9
8.(2013·调研)若实数
a

b
满足
ab
- 4
a

b
+1=0(
a
>1),则(
a
+ 1)(
b
+2)的最小值
为__________.
解析:∵
ab
-4
a

b
+1=0,
4
a
-1

b
=,
ab
=4
a
+< br>b
-1.
a
-1
∴(
a
+1)(
b
+2)=
ab
+2
a

b
+2=6
a
+ 2
b
+1
4
a
-1
=6
a
+·2+1
a
-1
[4
a
-1+3]×2
=6
a
++ 1
a
-1
=6
a
+8+
6
+1
a
-1
6
+15.
a
-1
22
1
xy
22
时等号成立,即|
xy
|=
2
时等号成立.
2
=6(
a
-1)+

a
>1,∴
a-1>0.
∴原式=6(
a
-1)+
2
6
+15≥2 6×6+15=27.
a
-1
当且仅当(
a
-1)=1,即
a
=2时等号成立.
∴最小值为27.
答案:27
9.(2013 ·聊城质检)经观测,某公路段在某时段的车流量
y
(千辆小时)与汽车的平均
速度< br>v
(千米小时)之间有函数关系:
y

920
v
(< br>v
>0),在该时段,当车流量
y
最大
v
+3
v+1 600
2
时,汽车的平均速度
v
=__________千米小时.
解析:∵
v
>0,



y

920

1 600
v
++3
2
v
920920
=≈11.08,
80+3
1 600
v
·+3
v
1 600
当且仅当
v
=,即
v
=40千米小时时取等号.
v
答案:40
三、解答题
10.已知
x
>0,
y
>0,
z
>0,且
x

y

z
=1.
149
求证:++≥36.
xyz
解析:∵
x
>0,
y
>0,
z
>0,且
x

y
z
=1,
149
?
149
??
y
4
x
??
z
9
x
??
4
z
9
y?
∴++=(
x

y

z
)
?
++
?
=14+
?

?

?

?

?

?
≥14+2
xyz
?
xyz
?
yz
?
xy
??
xz
??
yz
?
y
4
x
·+2
xy
z
9
x
· +2·
xz
4
z
9
y
·=14+4+6+12=36. < br>1
2
1
22
当且仅当
x

y
z

49
111

x
=,
y
=,< br>z
=时等号成立.
632
149
∴++≥36.
xyz
11.某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区 域是
矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩
形的长和宽.

解析:设中间矩形区域的长,宽分别为
x
m,
y
m,


中间的矩形区域面积为
S
m,
π
y
则半圆的周长为 m.
2
π
y
∵操场周长为400 m,所以2
x
+2×=400,
2
400
即2
x
+π
y
=400(0<
x
<200,0<
y
<).
π
11
?
2
x
+π
y
?
2
20 000

S

xy
=·(2
x
)·(π
y
)≤·
??

π
.
2π2π
?
2
?
?
?
2
x
=π
y


??
?
2
x
+π
y
=400,
2
x
=100,
?
?
解得
?
200
y
= .
?
π
?


x
=100,
?
?
∴当且仅当
?
200
y

?
π
?

时等号成立.
200
即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时,矩形区域面积最大.
π
12.已知
x

y
都是正实 数,且
x

y
-3
xy
+5=0.
(1)求
xy
的最小值;
(2)求
x

y
的最小值.
解析:(1)由
x< br>+
y
-3
xy
+5=0,得
x

y
+5=3
xy
.
∴2
xy
+5≤
x

y
+5=3
xy
.
∴3
xy
-2
xy
-5≥0.
∴(
xy
+1)(3
xy
-5)≥0.
525

xy
≥,即
xy
≥,等号成立的条件是
x

y.
39
525
此时
x

y
=,故
x y
的最小值是.
39
(2)方法一:∵
x

y
+ 5=3
xy
≤3·
?
3
2
∴(
x

y
)-(
x

y
)-5≥0.
4
即3(
x

y
)-4(
x

y
)-20≥0.
即[(
x

y
)+2][3(
x

y
) -10]≥0.
10

x

y
≥.
3
2
?
x

y
?
2

3
(
x

y
)
2

?
?
2
?
4


5
等号成立的条件是
x

y
,即
x

y
=时取得.
3
10

x

y
的最小值为.
3
25
方法二:由(1)知,
x

y
+5=3
xy
,且(
xy
)
min
=,
9
25
∴3(
xy
)
min
=.
325105
∴(
x

y
)
min
=-5=,此 时
x

y
=.
333

高中数学联赛考纲-我只有初中学历 如何自学高中数学


app高中数学版权问题-高中数学奥数培训视频教程


高中数学例题以及解析-高中数学任职报告


高中数学函数公式图像和性质-高中数学选修4系列1


怎么就能把高中数学学好-高中数学全套免费教学视频


高中数学x的函数fx-江苏高中数学电子课本


万门中学高中数学必修一值域的求法-南通高中数学名师


高中数学选修2-3作业本答案-高中数学立方公式总结大全



本文更新与2020-09-20 18:46,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/405718.html

高中数学不等式知识点总结材料教师版的相关文章