高一数学不等式部分经典习题及答案

3.不 等 式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不 等式可以相减：若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
（若
a?b, c?d
，则
a?c?b?d
），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能
相乘 ：若
a?b?0,c?d?0
，则
ac?bd
（若
a?b?0,0? c?d
，则
ab
?
）；
cd
n
3．左右同正不等 式：两边可以同时乘方或开方：若
a?b?0
，则
a?b
或
n
a?
n
b
；
4．若
ab?0
，
a?b
，则
n
11
11
?
；若
ab?0
，
a?b
，则
?
。如
ab
ab
（1）对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
2222
①
若a?b,则ac?bc
； ②
若ac?bc,则a?b
；
22
③
若a?b?0,则a?ab?b
； ④
若a?b?0,则
11
?
；
ab
⑤
若a?b?0,则
ba
?
； ⑥
若a?b?0,则a?b
；
ab
ab11
?
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
c?ac?bab
⑦
若c?a?b?0,则
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）； < br>（2）已知
?1?x?y?1
，
1?x?y?3
，则
3x?y
的取值范围是______
（答：
1?3x?y?7
）；
（3） 已知
a?b?c
，且
a?b?c?0,
则
c
的取值范围是_ _____
a
（答：
?
?2,?
?
?
1
?
?
）
2
?
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）设
a?0且a?1,t?0
，比较
1t?1
log
a
t和log
a
的大小
22
（答：当
a?1
时，< br>1t?1
log
a
t?log
a
（
t?1
时 取等号）；当
0?a?1
时，
22
1t?1
log
a
t?log
a
（
t?1
时取等号））；
22
（2）设< br>a?2
，
p?a?
（答：
p?q
）；
（3）比较1 +
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且x?1)
的大小
（答：当
0?x?1
或
x?
2
1
，
q?2
?a?4a?2
，试比较
p,q
的大小
a?2< br>44
时，1+
log
x
3
＞
2log
x2
；当
1?x?
时，1+
log
x
3
＜
33
2log
x
2
；当
x?
4
时，1+
log
x
3
＝
2log
x
2
）
3
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定
和最小”这 17字方针。
（1）下列命题中正确的是
1
x
2
?3
A、
y?x?
的最小值是2 B、
y?
的最小值是2
2
x
x?2
C、
y?2?3x?
4
(x?0)
的最大值是
2?43

x
4
(x?0)
的最小值是
2?43

x
（答：C）；
D、
y?2?3x?

（2）若
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值是____ __
（答：
22
）；
（3）正数
x,y
满足
x ?2y?1
，则
11
?
的最小值为______
xy
（答：
3?22
）；
22
a?b
?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右的运算结构4.常用不等式有：（1）
221
?
1
ab
选用) ；（2）
a
、
b
、
c
?
R，
a?b?c?ab?bc?ca
（当且仅当
a ?b?c
时，取等号）；
（3）若
a?b?0,m?0
，则
222< br>bb?m
?
（糖水的浓度问题）。
aa?m
如果正数
a、
b
满足
ab?a?b?3
，则
ab
的取值范围是__ _______
（答：
?
9,??
?
）
五．证明不等式 的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）
后通过分解因式、配方、通分 等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：
1111111
???
2
???
nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
k?1?k?
111
???k?k ?1

k?1?k2kk?1?k
222222
（1）已知
a?b? c
，求证：
ab?bc?ca?ab?bc?ca
；
222222
(2) 已知
a,b,c?R
，求证：
ab?bc?ca?abc(a?b?c)
；
（3）已知
a,b,x,y?R
，且
?
11
xy
?
?,x?y
，求证：；
x?ay?b
ab
a?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc
；
222
(4)若a、b、c是不全相 等的正数，求证：
lg
2222
22
（5）已知
a,b,c?R，求证：
ab?bc
?ca?abc(a?b?c)
；
(6)若
n?N
，求证：
(n?1)
2
?1?(n?1)?
*
n< br>2
?1?n
；

(7)已知
|a|?|b|
， 求证：
|a|?|b||a|?|b|
?
；
|a?b||a?b|
（8）求证：
1?
111
??L??2
。
222
23n< br>六．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为
ax?b
的
形式，若
a?0
,则
x?
bb
；若
a?0,则
x?
；若
a?0
,则当
b?0
时，
x?R
；当
b?0
时，
aa
x??
。如
已知关于
x
的不等式
(a?b)x?(2a?3b)?0
的解集为
(??,?)，则关于
x
的不等式
1
3
(a?3b)x?(b?2a)?0< br>的解集为_______
（答：
{x|x??3}
）
七．一元二次 不等式的解集（联系图象）。尤其当
??0
和
??0
时的解集你会正确表示吗 ？
设
a?0
,
x
1
,x
2
是方程
ax?bx?c?0
的两实根，且
x
1
?x
2
，则其解集如 下表：

2
ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0

??0

{x|x?x
或
x?x}

{x|x?x
或
x?x}

{x|x?x?x}

{x|x?x?x}

1212
1212
??0

{x|x??
??0

b
}

2a
R
R
R
?

?

{x|x??
b
}

2a
?

2
如解关于
x
的不等式：
ax?(a?1)x?1?0
。
（答：当
a?0
时，
x?1
；当
a?0
时，
x?1
或
x?
11
；当
0?a?1
时，
1?x?
；当
aa
a?1
时，
x??
；当
a?1
时 ，
1
?x?1
）
a
八．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其 步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，
并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一 次因式的根标在数轴上，从最
大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲 线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。

2
（1）解不等式
(x?1)(x?2)?0
。
（答：
{x|x?1
或
x??2}
）；
（2）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集是____
（答：
{x|x?3
或
x??1}
）；
（3）设函数f(x)
、
g(x)
的定义域都是R，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2}
，
g(x)?0
的解集为
?
，则不等式
f(x)gg(x)?0
的解集为______
（答：
(??,1)U[2,??)
）；
（4）要使满足关于
x< br>的不等式
2x?9x?a?0
（解集非空）的每一个
x
的值至少满足不
等式
x?4x?3?0和x?6x?8?0
中的一个，则实数
a
的取 值范围是______.
（答：
[7,
九．不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
（1）解不等式
22
2
81
)
）
8
5?x
??1
（答：
x
2
?2x?3
(?1,1)U(2,3)
）
（2 ）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
，求 关于
x
的不等式
ax?b
?0
的解集。
x?2
（答：
(??,?1)?(2,??)
）.
十．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式
|2?
31
x|?2?|x?|

42
（答：
x?R
）；
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；解不等式
|x|?|x?1|?3

（答：
(??,?1)U(2,??)
）
（4）两边平方：

若不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数< br>a
的取值范围为______。
（答：
{}
）
十一．含参 不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是
关键．”注意解完之后要 写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应
按参数取值分别说明其解集；但若按 未知数讨论，最后应求并集. 如
（1）若
log
a
4
3
2
?1
，则
a
的取值范围是__________
3
2
）；
3
（答：
a?1
或
0?a?< br>ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1
（答：a?0
时，
{x|
x?0}
；
a?0
时，
{x |x?
或
x?0}
）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有 集合的形式表示；（2）不等式解集
的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如关于
x
的不等式
11
或
x?0}
；
a?0
时，
{x|?x?0}
aa
ax?b?0
的解集为
(??,1)
，则不等式
x?2
?0
的解集为__________（答：（－1,2））
ax?b
十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？ （常应
用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用
数形结合法）
（1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f< br>?
x
?
min
?A

若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D< br>上
f
?
x
?
max
?B

22如（1）设实数
x,y
满足
x?(y?1)?1
，当
x?y?c ?0
时，
c
的取值范围是______
（答：
?
2?1,??
）；
?
?
（2）不等式< br>x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范 围_____
（答：
a?1
）；

2
（3）若不等 式
2x?1?m(x?1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立， 则
x
的取值范围
_____
（答：（
7?1
3?1
,））；
2
2
(?1)< br>n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?
对于任意正整数
n
恒 成立，则实数
a
的取值范围是
n
n
_____
（答：
[?2,)
）；
3
2
（5）若不等式
x? 2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的取值范
围.
（答：
m??
（2). 能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
2
1
）
2
x使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D
上的
f
?
x
?
min
?B
.如
已知不等式
x?4?x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集，求实数a
的取值范围
____
（答：
a?1
）
（3). 恰成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?A
的 解集为
D
；
若不等式
f
?
x
?
?B在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的解集为
D
.
十三．对于方程
ax?bx?c?0
有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数
a
是否为0，
其次若
a?0
，则一定有
??b?4ac?0
。对于多项式方程、不等式、函数的最
高次项中含有 参数时，你是否注意到同样的情形？
（1）
?
a?2
?
x?2?
a?2
?
x?1?0
对一切
x?R
恒成立，则
a
的取值范围是_______
2
2
2

（答：
(1,2]
）；
（ 2）关于
x
的方程
f(x)?k
有解的条件是什么？(答：
k?D< br>，其中
D
为
f(x)
的值
域)，特别地，若在
[0,
?
2
]
内有两个不等的实根满足等式
cos2x?3sin2x?k ?1
，则实
数
k
的范围是_______.
（答：
[0,1)
）
2
十四．一元二次方程根的分布理论。方程< br>f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
在
(k,??)
上有两
根、 在
(m,n)
上有两根、在
(??,k)
和
(k,??)
上 各有一根的充要条件分别是什么？
?
?
??0
?
（
?< br>f(k)?0
、
?
b
?
??k
?
2a
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x

?
??0
?
f(m)? 0
?
、
f(k)?0
）。根的分布理论成立的
?
f(n)? 0
?
?
m??
b
?n
?
2a
前提是开区间 ，若在闭区间
[m,n]
讨论方程
f(x)?0
有实数解的情况，可先利用在 开区间
(m,n)
上实根分布的情况，得出结果，再令
x?n
和
x? m
检查端点的情况．
如实系数方程
x?ax?2b?0
的一根大于0且小于 1，另一根大于1且小于2，则
取值范围是_________
（答：（
2
b?2
的
a?1
1
，1））
4
十五．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程
ax?bx?c?0
2
的两个根即为二次不等式
ax?bx?c?0(?0)
的解集的端点值，也 是二次函数
2
y?ax
2
?bx?c
的图象与
x
轴 的交点的横坐标。
（1）不等式
x?ax?
3
的解集是
(4,b)
，则
a
=__________
2
（答：
1
）；
8

（2）若关于
x
的不等式
ax?bx?c?0的解集为
(??,m)?(n,??)
，其中
m?n?0
，则
关 于
x
的不等式
cx?bx?a?0
的解集为________
2
2
（答：
(??,?
11
)?(?,??)
）；
mn
（3）不等式
3x?2bx?1?0
对
x?[?1,2]
恒成立，则实数
b
的取值范围是_______
（答：
?
）。
2